TD 2

Travaux Dirig´es Automates no2
—2007-2008—
xExercice 1. D´eterminisez les automates suivants :
1 2
34
b
a
aba a
b
bp
qr
s
a, b
a, b
a
b
ba
xExercice 2. Sur l’alphabet {a, b}, donnez un automate qui reconnaˆıt les mots qui
contiennent soit au moins deux a, soit au moins deux b. D´eterminisez cet automate.
xExercice 3. On se place sur l’alphabet binaire B={0,1}.
1. Trouvez un automate d´eterministe et complet A3reconnaissant les nombres dont
l’´ecriture binaire est multiple de 3.
2. Trouvez un automate d´eterministe et complet A6reconnaissant les nombres dont
l’´ecriture binaire est multiple de 6 par les deux m´ethodes suivantes :
a. Directement en appliquant une construction similaire au 1.
b. En exploitant le fait qu’un nombre est multiple de 6 si et seulement si il est `a
la fois multiple de 3 et de 2.
3. Inverser un automate consiste `a inverser le sens de toutes les transitions de l’au-
tomate, transformer les ´etats initiaux en terminaux et les ´etats terminaux en
initiaux. Quels sont les mots reconnus par l’inverse d’un automate A? Si Aest
complet, l’inverse l’est-il aussi ? Si Aest d´eterministe, l’inverse l’est-il aussi ?
4. Inversez A3et A6. On note B6l’inverse de A6.
5. D´eterminisez B6et ´emondez-le. On note C6l’automate obtenu.
6. Inversez C6, on note D6l’automate obtenu. Quel est le langage reconnu par D6?
7. D´eterminisez D6et ´emondez-le. Que remarque-t-on ?
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xExercice 4. ´ Etant donn´e un entier n≥1construire un automate non-d´eterministe
sur l’alphabet A={a, b}avec n+ 1 ´etats reconnaissant les mots de longueur ≥ntels
que la n-i`eme lettre en partant de la fin soit un a(A∗aAn−1).
On suppose avoir determinis´e l’automate et obtenu un automate A= (A, Q, δ, i, F ).
On veut montrer qu’il poss`ede au moins 2n´etats. Pour tout mot u, on note δ∗(i, u)
l’´etat o`u on arrive en lisant le mot u.
Soient uet vdeux mots distincts de longueur n. Montrez que δ∗(i, u)6=δ∗(i, v)
(indication : trouver un mot wtel que uw soit reconnu et pas vw, ou le contraire).
Combien il y a-t-il de mots de longueur nsur l’alphabet A={a, b}? Conclure.
xExercice 5. Montrez qu’un automate fini sans circuit `a n´etats ne reconnaˆıt que des
mots comportant moins de nlettres.
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