Automates Cellulaires Introduction Applications Les objets

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Automates Cellulaires
Modèle des systèmes complexes
Introduction
• Un automate cellulaire est une machine
abstraite.
• Les règles de fonctionnement sont simples
• Le comportement peut être complexe
• Ulam [1940] : croissance des cristaux
• Von Neuman [1950] : propriété du vivant
• Conway [1970] : Game of Life
Applications
• Simulation du comportement d'un gaz.
– Un gaz est composé d'un ensemble de molécules dont le
comportement est fonction de celui des molécules voisines.
• Étude des matériaux magnétiques selon le modèle
d'Ising :
– ce modèle (1925) représente le matériau à partir d'un réseau
dont chaque nœud est dans un état magnétique donné. Cet état
-- en l'occurrence l'une des deux orientations du moment
magnétique -- dépend de l'état des nœuds voisins.
• Simulation des processus de percolation.
• Conception d'ordinateurs massivement parallèles.
• Simulation et étude du développement urbain
• Simulation des processus de cristallisation
• Simulation de la propagation des feux de forêt
Les objets
• Une grille de n éléments appelés cellules
• Un ensemble d’ètats appelé alphabet A = {0, 1}
• Un voisinage I = {−1, 0, 1}
• Une table appelée règle locale f : {0, 1}3→{0, 1}
n…21
01101110f
111110101100011010001000{0, 1}3
Configuration
• Une configuration d’un AC est l’affectation d'un état à chaque
cellule.
• Donc une configuration est une fonction
x : {1, . . . , 8} →{0, 1}
• ou d’une façon équivalente un vecteur
x ∈{0, 1}8
01111011
87654321
Mise à jour
• L’état de chaque cellule est mis à jour de manière
synchrone
• L’ état mis à jour est obtenu par la règle locale
• Elle est appliquée en fonction de l’état de la cellule et
des états des cellules qui appartiennent a son
voisinage.
….xi+1
xi xi-1 ….x =
….x'i ….X' =

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01101110f
111110101100011010001000{0, 1}3
0101111011
0101001110
0101111110
0101101011
Evolution
• Cet Automate Cellulaire engendre un Système
Dynamique
•〈X, F〉où:
X = {0, 1}nest l’ensemble des configurations
F : {0, 1}n→{0, 1}nest la fonction configuration suivante
définie a partir de la règle locale comme suit:
si x∈{0, 1}n, alors F(x) ∈{0, 1}nest tel que
∀i = 1, . . . n, F(x)i= f(x i−1, xi, xi+1)
Evolution
x(0) →x(1) →x(2) →x(3) →x(4) →…
Diagramme Espace-Temps Diagramme Espace-Temps
Diagramme Espace-Temps Diagramme Espace-Temps

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Automates élémentaires
1 D
Rayon 1
Alphabet {0,1}
Modélisation : trafic automobile
f
111110101100011010001000{0, 1}3
Modélisation : trafic automobile Modélisation : opinions
f
111110101100011010001000{0, 1}3
Modélisation : opinion
Automate 1 D
Multiples états

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Synchronisation
• Firing Squad Synchronization Problem
– Comment synchroniser une ligne d'automates
– Avec des communications locales
• Une solution :
– 6 états
– 119 règles élémentaires
Synchronisation
Automate 2 D
Automate 2 D
• La grille est de dimension 2
• Le voisinage
. .
Automate 2 D
• La mise à jour est synchrone
• Le nombre de règles possibles est plus
important
• Dynamiques complexes
Automate auto-réplicateur
• Von Neuman :
– Organisation logique d'un automate suffisante pour
assurer l'autoréplication
• Langton :
– considérer les seuls éléments nécessaires et non les
éléments suffisants
• L'automate de Langton
– huit états et vingt-neuf règles
– la structure qui se réplique est une boucle constituée
d'une « membrane » au sein de laquelle circule
l'information nécessaire à la réplication.

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Automate de Langton Automate de Langton
Automate de Langton Jeu de la vie
• Modélisation de la naissance et de la mort des
organismes
• Règles :
– Une cellule inactive entourée de 3 cellules actives devient
active (« naît ») ;
– Une cellule active entourée de 2 ou 3 cellules actives reste
active ;
– Dans tous les autres cas, la cellule « meurt » ou reste
inactive.
Jeu de la vie
• Comportements stables
• Comportements cycliques
Jeu de la vie
• Planeur (glider)
– Période 4
– Translation de 1 cellule en diagonale