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Automates Cellulaires
Modèle des systèmes complexes
Introduction
Un automate cellulaire est une machine
abstraite.
Les règles de fonctionnement sont simples
Le comportement peut être complexe
Ulam [1940] : croissance des cristaux
Von Neuman [1950] : propriété du vivant
Conway [1970] : Game of Life
Applications
Simulation du comportement d'un gaz.
Un gaz est composé d'un ensemble de molécules dont le
comportement est fonction de celui des molécules voisines.
Étude des matériaux magnétiques selon le modèle
d'Ising :
ce modèle (1925) représente le matériau à partir d'un réseau
dont chaque nœud est dans un état magnétique donné. Cet état
-- en l'occurrence l'une des deux orientations du moment
magnétique -- dépend de l'état des nœuds voisins.
Simulation des processus de percolation.
Conception d'ordinateurs massivement parallèles.
Simulation et étude du développement urbain
Simulation des processus de cristallisation
Simulation de la propagation des feux de forêt
Les objets
Une grille de n éléments appelés cellules
Un ensemble d’ètats appelé alphabet A = {0, 1}
Un voisinage I = {1, 0, 1}
Une table appelée règle locale f : {0, 1}3{0, 1}
n21
01101110f
111110101100011010001000{0, 1}3
Configuration
Une configuration d’un AC est l’affectation d'un état à chaque
cellule.
Donc une configuration est une fonction
x : {1, . . . , 8} {0, 1}
ou d’une façon équivalente un vecteur
x {0, 1}8
01111011
87654321
Mise à jour
L’état de chaque cellule est mis à jour de manière
synchrone
L’ état mis à jour est obtenu par la règle locale
Elle est appliquée en fonction de l’état de la cellule et
des états des cellules qui appartiennent a son
voisinage.
….xi+1
xi
xi-1
….x =
….x'i
….X' =
2
01101110f
111110101100011010001000{0, 1}3
0101111011
0101001110
0101111110
0101101011
Evolution
Cet Automate Cellulaire engendre un Système
Dynamique
X, Foù:
X = {0, 1}nest l’ensemble des configurations
F : {0, 1}n{0, 1}nest la fonction configuration suivante
définie a partir de la règle locale comme suit:
si x{0, 1}n, alors F(x) {0, 1}nest tel que
i = 1, . . . n, F(x)i= f(x i1, xi, xi+1)
Evolution
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4)
Diagramme Espace-Temps Diagramme Espace-Temps
Diagramme Espace-Temps Diagramme Espace-Temps
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Automates élémentaires
1 D
Rayon 1
Alphabet {0,1}
Modélisation : trafic automobile
f
111110101100011010001000{0, 1}3
Modélisation : trafic automobile Modélisation : opinions
f
111110101100011010001000{0, 1}3
Modélisation : opinion
Automate 1 D
Multiples états
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Synchronisation
Firing Squad Synchronization Problem
Comment synchroniser une ligne d'automates
Avec des communications locales
Une solution :
6 états
119 règles élémentaires
Synchronisation
Automate 2 D
Automate 2 D
La grille est de dimension 2
Le voisinage
. .
Automate 2 D
La mise à jour est synchrone
Le nombre de règles possibles est plus
important
Dynamiques complexes
Automate auto-réplicateur
Von Neuman :
Organisation logique d'un automate suffisante pour
assurer l'autoréplication
Langton :
considérer les seuls éléments nécessaires et non les
éléments suffisants
L'automate de Langton
huit états et vingt-neuf règles
la structure qui se réplique est une boucle constituée
d'une « membrane » au sein de laquelle circule
l'information nécessaire à la réplication.
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Automate de Langton Automate de Langton
Automate de Langton Jeu de la vie
Modélisation de la naissance et de la mort des
organismes
Règles :
Une cellule inactive entourée de 3 cellules actives devient
active (« naît ») ;
Une cellule active entourée de 2 ou 3 cellules actives reste
active ;
Dans tous les autres cas, la cellule « meurt » ou reste
inactive.
Jeu de la vie
Comportements stables
Comportements cycliques
Jeu de la vie
Planeur (glider)
Période 4
Translation de 1 cellule en diagonale
1 / 6 100%