Devoir surveillé : Problème A : Le salaire de la peur

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Devoir surveillé :
Problème A : Le salaire de la peur
Les images suivantes présentent des systèmes amortisseurs pour voiture et camion ; on note dans les deux cas la présence
de ressorts, hélicoïdaux ou à lames, et d’un cylindre de dissipation, disposés entre le châssis et l’essieu du véhicule. Dans le
corps du cylindre en fonctionnement, on a un déplacement de fluide dissipatif.
Dans le célèbre film de Henry Georges Clouzot, le salaire de la peur, un camion chargé de nitroglycérine est conduit à grande
vitesse sur une route défoncée. Est-ce une bonne stratégie pour éviter les fortes accélérations ou les fortes variations
d’accélération ?
Pour répondre à cette question, nous allons mettre en œuvre la méthode des représentations complexes appliquée à la cote du
centre de gravité du camion. Le système est le véhicule considéré comme un point matériel, de masse m. Il est soumis à une
force de rappel de la part d’un ressort, on note L la longueur du ressort et L0 sa longueur à vide et k sa raideur, ainsi qu’à une
force de frottement - dL/dt uz
La roue de rayon R, le ressort et l’amortisseur sont considérés comme sans masse. La roue ne décolle pas et le ressort reste dans
son domaine de fonctionnement linéaire. On prendra pour valeur de l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s-2. On ne
considèrera qu’une seule roue.
1) Discussion d’une hypothèse du modèle
L’hypothèse d’une seule roue pour le modèle du véhicule est-elle gênante ?
2) Equation du mouvement
Montrer que l’équation du mouvement est de la forme :
0
²( ( ) )
²
d z dL
m mg k L t L
dt dt
3) Statique
Quel lien existe-t-il entre la longueur à l’équilibre Leq ,mg, k et L0 ?
On donne : m=1,5 tonnes et Leq - L0 = 0.1m. L0=30cm. Calculer la raideur k du ressort.
4) Régime transitoire vers le repos
z
L(t)
R
m
z(t)=R+L(t)
k
0

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En régime libre, le véhicule est immobile selon l’axe des x, la roue est fixe, le camion oscille verticalement. Montrer que :
²( ) = 0
²
d Z dZ
m kZ t
dt dt
avec Z=z-zeq
5) Détermination du régime critique
On se place au régime critique pour avoir un retour à l’équilibre proche du retour le plus rapide possible.
a) Quelle est alors la relation qui existe entre les paramètres ? Calculer la valeur numérique de .
b) Si on avait pris plus petit ou plus grand, tracer l’allure des évolutions Z(t) sur un même graphe en plus de l’évolution dans
le cas critique.
6) Equation en régime dynamique
La voiture se déplace maintenant sur un profil sinusoïdal : e(x) = em cos ( 2 x/ ) à vitesse constante selon l’axe des x. On a
donc x = V.t soit e = em cos ( 2 V t/ )= em cos ( t) avec = 2 V/
Selon un abus de langage classique, on garde le même nom pour la cote de la route, ceci que l’on utilise la variable abscisse x ou
temps t. On écrit indifféremment e(x) ou e(t) car cette grandeur est intrinsèque pour l’étude physique.
L’équation de base est toujours :
0
²( ( ) )
²
d z dL
m mg k L t L
dt dt
.
Montrer que l’équation du mouvement est alors :
²( )= ( )
²
d Z dZ de
m kZ t ke t
dt dt dt
Quel est l’ordre de l’équation différentielle.
7) Résolution par la méthode des représentations complexes
On pose
()
00
( ) ( )
j t j t j t
m
e t E e e e Z t Z e
.
a) Montrer que cela conduit à :
b) Comment la formule :
00
²²
² ² ²
k
ZE
km
,qui donne l'amplitude de l'oscillation Z0 est-elle obtenue à partir
de l’équation précédente ?
c) Calculer les deux valeurs numériques des pulsations 01 et 02 , solutions des équations
01 02
²k m k
d) Si >> 01 montrer que
0
0E
Zm
. Quelle est la pente en dB / décade du filtre mécanique dans ce domaine hautes
fréquences?
e) Par quelle technique de calcul obtient-on les formules suivantes qui décrivent le déphasage ?
00
²j k m j Z e k j E
x
L(t)
R
m
z(t)
k
e(x)

3
3
² ² ² ² 2
cos sin
² ² ² ² ² ² ² ² ² ²
k m k k m
et
k m k k m k
f) Commenter les limites hautes et basses fréquences pour les quantités Z0 et .
8) Applications numériques, accélération et jerk
On suppose que le profil de la route est sinusoïdal avec une période de 1 mètre, =1m, et que l’amplitude crête à crête est de
20 cm, em=0.1m, on suppose encore que le camion se déplace à une vitesse constante selon l’axe des x à V=60 km/h.
a) Calculer la valeur numérique de la pulsation forcée ainsi que celle de l’amplitude verticale maximale Z0 .
Quelle est la vitesse verticale maximale V0 ? Quelle est l’accélération verticale maximale A0 ? Quel est le jerk vertical maximal J0 ?
Le jerk vertical est la dérivée de l’accélération verticale
3
3
zdz
Jdt
b) Mêmes questions pour les valeurs moyennes de ces quantités.
c) Confirmez les valeurs que vous venez de calculer, en observant les figures suivantes qui représentent les quantités
cinématiques en fonction de la pulsation excitatrice omega.
Déplacement Z Vitesse dZ/dt
Accélération d²Z/dt² Jerk d3Z/dt3
9) Analyse d’informations
On lit sur le web des informations bio-physiques.
Données accélérations :
L’accélération subie par un spationaute pendant la rentrée de l’engin spatial dans l’atmosphère est de 3g pendant quelques
minutes, celle d’un pilote de F1 de 5g pendant quelques secondes, celle subie par un pilote d’avion de chasse en virage serré de
9g pendant quelques secondes aussi. On peut considérer qu’un choc violent mettra de l’ordre de 100g en œuvre, les
enregistreurs de chocs mesurent jusqu’à 20g ou jusqu’à 200g selon les modèles.
Données jerk :
It is reported that most passengers rate a vertical jerk of 2.0 m/s3 in a lift ride as acceptable, 6.0 m/s3 as intolerable and for a
hospital environment 0.7 m/s3 is suggested. Il s’agit sans doute ici de données de confort, car on peut encore lire par ailleurs

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qu’un jerk maximum admissible pour un bus est de 30 m/s3, un jerk a été par exemple mesuré dans le métro à 15m .s-3 pendant
¼ de secondes.
En fait les choses sont très complexes : une accélération qui mène le sang à la tête, voile rouge, est plus dangereuse qu’une
accélération qui l’en retire, voile noir. De plus un jerk vers le repos est beaucoup plus facile à supporter qu’une augmentation de
l’accélération. Enfin les accélérations et les jerks que l’on peut tolérer dépendent beaucoup de la durée pendant laquelle on doit
les supporter.
Mais on a peu de données concernant l’accélération ou le jerk supportables par la nitro-glycérine ;
On lit ici, qu’une goutte de nitro-glycérine qui tombe d’une hauteur de 1 mètre n’explose pas, la goutte par sa déformation
encaissant en fait l’énergie du choc. On lit encore que si une plaque enduite de nitro-glycérine est lâchée de 1 mètre de hateur,
alors il y a explosion, la nitro-glycérine n’ayant alors plus la possibilité de se déformer entre la plaque et le sol !
En exploitant les diagrammes et les informations ci-dessus, statuer sur le caractère très cinématographique de l’exploit de
Montand.
10) Analogie électrique
On donne ci-dessous la fonction de transfert d’un filtre constitué par l’association série de l’association parallèle d’une bobine et
d’un conducteur ohmique avec un condensateur.
On pourrait écrire abusivement R//L + C. La sortie du filtre est le condensateur, l’entrée l’association série toute entière.
00
11
11
11 ² 1 ²
s
e
jx
L
jV
R
jC Q
R
H Q H
RjL jL jx
LV
LC
LC x
jC R jL R Q
a) Ce filtre est analogue du système mécanique étudié ci-dessus, préciser quelles sont les grandeurs analogues. Quelle est la
nature du filtre ? Quel est son ordre ?
b) Comment déterminer si ce filtre possède un caractère passe-bande ? Le calcul non demandé, dont vous donnerez seulement
le principe, a pour résultat qu’un caractère passe-bande est alors toujours présent, quel que soit le facteur de qualité.
c) On rappelle que nous avons dimensionné le filtre mécanique des questions précédentes au régime critique pour lequel le
facteur de qualité a une valeur bien particulière, si on fait de même pour le filtre électrique, la résonance sera-telle aigue ? Une
réponse en une ligne sans calcul est attendue.
d) Quel est l’ordre de grandeur de la surtension à la résonance, là encore un ordre de grandeur est attendu, on pourra se placer
à la pulsation de référence x=1, qui n’est pas strictement la valeur pour laquelle la résonance se produit pour l’évaluer.
Confirmer l’ordre de grandeur obtenu en examinant le diagramme fourni par l’énoncé.
Par analogie, comparer l’amplitude des oscillations du camion à la résonance avec l’amplitude des oscillations de la route.
11) profil de la route
Pour quelle raison pratique sachant que les trous de la route ont parfois un profil abrupt et non sinusoïdal, le chemin ne peut-il
être parcouru à vitesse lente ? La réponse attendue est une réponse littérale sans aucun calcul.
12) Dégradation de l’état d’un revêtement
Pourquoi, quand des trous apparaissent sur une route, sont-ils répartis de façon à peu près équidistantes ? Réponse littérale
encore.
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Problème B : 2 exercices de mécanique
1) Slalom en avion
Un avion se déplace avec une vitesse constante selon l’axe des x 200km/h. Il slalome sinusoïdalement entre des
mats dressés tous les =500 mètres, l’amplitude crête à crête de l’oscillation est de 2 a = 50 mètres.
2
cos( )
x
ya
Calculer l’accélération A, où est-elle maximale ?
2) Chute admissible
a) Lorsqu’une masse m tombe d’une hauteur H, initialement sans vitesse, en l’absence de frottements dans l’air, elle
transforme son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique . Calculer alors sa vitesse v0 à l’arrivée, H plus
bas, en fonction de H et g.
Dans les questions suivantes on n’appliquera pas de raisonnement en énergie car la deuxième phase du mouvement
qu’on y étudie est dissipative.
b) La masse m qui chute et arrive avec la vitesse v0 est celle d’un homme qui prend alors appui sur le sol, lequel
exerce sur lui une réaction considérée constante R tout au long de la phase d’arrêt, calculer le temps que dure cette
décélération en fonction de v0, R,m et g.
c) La phase d’arrêt correspond à un abaissement du centre de gravité de h, calculer h en fonction de v0,R,m et g
d) La tension supportable par les tibias avant rupture est pris à R=10mg, en déduire la hauteur H au-delà de laquelle
le saut est destructif.
AN : h=0.3m, g=10m.s-2
y
x
h
H
z