Devoir surveillé : Problème A : Le salaire de la peur

Devoir surveillé :
Problème A : Le salaire de la peur
Les images suivantes présentent des systèmes amortisseurs pour voiture et camion ; on note dans les deux cas la présence
de ressorts, hélicoïdaux ou à lames, et d’un cylindre de dissipation, disposés entre le châssis et l’essieu du véhicule. Dans le
corps du cylindre en fonctionnement, on a un déplacement de fluide dissipatif.
Dans le célèbre film de Henry Georges Clouzot, le salaire de la peur, un camion chargé de nitroglycérine est conduit à grande
vitesse sur une route défoncée. Est-ce une bonne stratégie pour éviter les fortes accélérations ou les fortes variations
d’accélération ?
Pour répondre à cette question, nous allons mettre en œuvre la méthode des représentations complexes appliquée à la cote du
centre de gravité du camion. Le système est le véhicule considéré comme un point matériel, de masse m. Il est soumis à une
force de rappel de la part d’un ressort, on note L la longueur du ressort et L 0 sa longueur à vide et k sa raideur, ainsi qu’à une
force de frottement - dL/dt uz
La roue de rayon R, le ressort et l’amortisseur sont considérés comme sans masse. La roue ne décolle pas et le ressort reste dans
son domaine de fonctionnement linéaire. On prendra pour valeur de l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s -2. On ne
considèrera qu’une seule roue.
z
m
z(t)=R+L(t)
L(t)
k
R
1) Discussion d’une hypothèse du modèle
0
L’hypothèse d’une seule roue pour le modèle du véhicule est-elle gênante ?
2) Equation du mouvement
Montrer que l’équation du mouvement est de la forme : m
d²z
dt ²
mg k ( L(t ) L0 )
dL
dt
3) Statique
Quel lien existe-t-il entre la longueur à l’équilibre Leq ,mg, k et L0 ?
On donne : m=1,5 tonnes et
Leq - L0 = 0.1m. L0=30cm. Calculer la raideur k du ressort.
4) Régime transitoire vers le repos
1
En régime libre, le véhicule est immobile selon l’axe des x, la roue est fixe, le camion oscille verticalement. Montrer que :
d ²Z
dZ
m
kZ (t ) = 0 avec Z=z-zeq
dt ²
dt
5) Détermination du régime critique
On se place au régime critique pour avoir un retour à l’équilibre proche du retour le plus rapide possible.
a) Quelle est alors la relation qui existe entre les paramètres ? Calculer la valeur numérique de .
b) Si on avait pris
le cas critique.
plus petit ou plus grand, tracer l’allure des évolutions Z(t) sur un même graphe en plus de l’évolution dans
6) Equation en régime dynamique
La voiture se déplace maintenant sur un profil sinusoïdal : e(x) = em cos ( 2
donc x = V.t soit e = em cos ( 2 V t/ )= em cos ( t) avec = 2 V/
x/ ) à vitesse constante selon l’axe des x. On a
Selon un abus de langage classique, on garde le même nom pour la cote de la route, ceci que l’on utilise la variable abscisse x ou
temps t. On écrit indifféremment e(x) ou e(t) car cette grandeur est intrinsèque pour l’étude physique.
m
L(t)
k
z(t)
R
x
e(x)
L’équation de base est toujours : m d ² z
dt ²
mg k (L (t ) L0 )
Montrer que l’équation du mouvement est alors :
m
dL .
dt
d ²Z
dt ²
dZ
dt
kZ (t )= ke(t )
de
dt
Quel est l’ordre de l’équation différentielle.
7) Résolution par la méthode des représentations complexes
On pose e(t )
E0 e j
t
em e j
a) Montrer que cela conduit à :
b) Comment la formule :
t
Z (t )
k
Z0e j(
m ²
k²
Z0
t
)
.
Z0 e j
j
²
k m ² ²
²
k
j
E0
E0 ,
qui donne l'amplitude de l'oscillation Z0 est-elle obtenue à partir
de l’équation précédente ?
c) Calculer les deux valeurs numériques des pulsations
d) Si
>>
01
montrer que
Z0
01
et
02
, solutions des équations
k
m
01
²
k
02
E0
. Quelle est la pente en dB / décade du filtre mécanique dans ce domaine hautes
m
fréquences?
e) Par quelle technique de calcul obtient-on les formules suivantes qui décrivent le déphasage ?
2
k ² m ²k
cos
k
m ² ²
² ²
2k
et sin
² k²
²
k
m ² ²
m
3
² k²
²
f) Commenter les limites hautes et basses fréquences pour les quantités Z0 et .
8) Applications numériques, accélération et jerk
On suppose que le profil de la route est sinusoïdal avec une période de 1 mètre, =1m, et que l’amplitude crête à crête est de
20 cm, em=0.1m, on suppose encore que le camion se déplace à une vitesse constante selon l’axe des x à V=60 km/h.
a) Calculer la valeur numérique de la pulsation forcée
ainsi que celle de l’amplitude verticale maximale Z0 .
Quelle est la vitesse verticale maximale V0 ? Quelle est l’accélération verticale maximale A0 ? Quel est le jerk vertical maximal J0 ?
Le jerk vertical est la dérivée de l’accélération verticale J z
d3z
dt 3
b) Mêmes questions pour les valeurs moyennes de ces quantités.
c) Confirmez les valeurs que vous venez de calculer, en observant les figures suivantes qui représentent les quantités
cinématiques en fonction de la pulsation excitatrice omega.
Déplacement Z
Accélération d²Z/dt²
Vitesse dZ/dt
Jerk d3Z/dt3
9) Analyse d’informations
On lit sur le web des informations bio-physiques.
Données accélérations :
L’accélération subie par un spationaute pendant la rentrée de l’engin spatial dans l’atmosphère est de 3g pendant quelques
minutes, celle d’un pilote de F1 de 5g pendant quelques secondes, celle subie par un pilote d’avion de chasse en virage serré de
9g pendant quelques secondes aussi. On peut considérer qu’un choc violent mettra de l’ordre de 100g en œuvre, les
enregistreurs de chocs mesurent jusqu’à 20g ou jusqu’à 200g selon les modèles.
Données jerk :
It is reported that most passengers rate a vertical jerk of 2.0 m/s3 in a lift ride as acceptable, 6.0 m/s3 as intolerable and for a
hospital environment 0.7 m/s3 is suggested. Il s’agit sans doute ici de données de confort, car on peut encore lire par ailleurs
3
qu’un jerk maximum admissible pour un bus est de 30 m/s 3, un jerk a été par exemple mesuré dans le métro à 15m .s-3 pendant
¼ de secondes.
En fait les choses sont très complexes : une accélération qui mène le sang à la tête, voile rouge, est plus dangereuse qu’une
accélération qui l’en retire, voile noir. De plus un jerk vers le repos est beaucoup plus facile à supporter qu’une augmentation de
l’accélération. Enfin les accélérations et les jerks que l’on peut tolérer dépendent beaucoup de la durée pendant laquelle on doit
les supporter.
Mais on a peu de données concernant l’accélération ou le jerk supportables par la nitro-glycérine ;
On lit ici, qu’une goutte de nitro-glycérine qui tombe d’une hauteur de 1 mètre n’explose pas, la goutte par sa déformation
encaissant en fait l’énergie du choc. On lit encore que si une plaque enduite de nitro-glycérine est lâchée de 1 mètre de hateur,
alors il y a explosion, la nitro-glycérine n’ayant alors plus la possibilité de se déformer entre la plaque et le sol !
En exploitant les diagrammes et les informations ci-dessus, statuer sur le caractère très cinématographique de l’exploit de
Montand.
10) Analogie électrique
On donne ci-dessous la fonction de transfert d’un filtre constitué par l’association série de l’association parallèle d’une bobine et
d’un conducteur ohmique avec un condensateur.
On pourrait écrire abusivement R//L + C. La sortie du filtre est le condensateur, l’entrée l’association série toute entière.
H
1
jC
1
jC
RjL
R jL
1
j
L
R
1 LC ²
1
jL
R
0
LC
Q
R
L 0
1
H
1 x²
jx
Q
Vs
jx
Q
Ve
a) Ce filtre est analogue du système mécanique étudié ci-dessus, préciser quelles sont les grandeurs analogues. Quelle est la
nature du filtre ? Quel est son ordre ?
b) Comment déterminer si ce filtre possède un caractère passe-bande ? Le calcul non demandé, dont vous donnerez seulement
le principe, a pour résultat qu’un caractère passe-bande est alors toujours présent, quel que soit le facteur de qualité.
c) On rappelle que nous avons dimensionné le filtre mécanique des questions précédentes au régime critique pour lequel le
facteur de qualité a une valeur bien particulière, si on fait de même pour le filtre électrique, la résonance sera-telle aigue ? Une
réponse en une ligne sans calcul est attendue.
d) Quel est l’ordre de grandeur de la surtension à la résonance, là encore un ordre de grandeur est attendu, on pourra se placer
à la pulsation de référence x=1, qui n’est pas strictement la valeur pour laquelle la résonance se produit pour l’évaluer.
Confirmer l’ordre de grandeur obtenu en examinant le diagramme fourni par l’énoncé.
Par analogie, comparer l’amplitude des oscillations du camion à la résonance avec l’amplitude des oscillations de la route.
11) profil de la route
Pour quelle raison pratique sachant que les trous de la route ont parfois un profil abrupt et non sinusoïdal, le chemin ne peut-il
être parcouru à vitesse lente ? La réponse attendue est une réponse littérale sans aucun calcul.
12) Dégradation de l’état d’un revêtement
Pourquoi, quand des trous apparaissent sur une route, sont-ils répartis de façon à peu près équidistantes ? Réponse littérale
encore.
----------------------------------------------------------------------------------------------
4
Problème B : 2 exercices de mécanique
1) Slalom en avion
Un avion se déplace avec une vitesse constante selon l’axe des x 200km/h. Il slalome sinusoïdalement entre des
mats dressés tous les =500 mètres, l’amplitude crête à crête de l’oscillation est de 2 a = 50 mètres.
y
a cos(
2 x
)
Calculer l’accélération A, où est-elle maximale ?
y
x
2) Chute admissible
z
H
h
a) Lorsqu’une masse m tombe d’une hauteur H, initialement sans vitesse, en l’absence de frottements dans l’air, elle
transforme son énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique . Calculer alors sa vitesse v 0 à l’arrivée, H plus
bas, en fonction de H et g.
Dans les questions suivantes on n’appliquera pas de raisonnement en énergie car la deuxième phase du mouvement
qu’on y étudie est dissipative.
b) La masse m qui chute et arrive avec la vitesse v0 est celle d’un homme qui prend alors appui sur le sol, lequel
exerce sur lui une réaction considérée constante R tout au long de la phase d’arrêt, calculer le temps que dure cette
décélération en fonction de v0, R,m et g.
c) La phase d’arrêt correspond à un abaissement du centre de gravité de h, calculer h en fonction de v 0,R,m et g
d) La tension supportable par les tibias avant rupture est pris à R=10mg, en déduire la hauteur H au-delà de laquelle
le saut est destructif.
AN : h=0.3m, g=10m.s-2
5
Problème C ) Fréquences propres d’un tuyau
sonore
La colonne d’air contenue dans un instrument à vent (flûte, clarinette…) ou dans un tuyau d’orgue vibre selon des
modes propres correspondant à des conditions aux limites données.
Dans une modélisation très simple, on envisage deux types de conditions ;
Si l’extrémité du tuyau est ouverte, la surpression acoustique est nulle à cette extrémité, car on a la pression
atmosphérique qui s’impose.
Si l’extrémité du tuyau est fermée, l’amplitude de la variation de la surpression acoustique est maximale à cette
extrémité.
1) On considère un tuyau de longueur L dans lequel la célérité des ondes sonores est c.
a) Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes. On montrera
que
n
n
c
2L
c
n
n
2L
n
n
N*
Représenter schématiquement la surpression dans le tuyau pour les trois premiers modes, les modes étant classés
par fréquences croissantes
b) Même question, si l’une des extrémités du tuyau est ouverte et l’autre fermée. On montrera que
n
c
4L
nc
2L
(2n 1)
c
. Représenter la surpression ou pression acoustique pour les deux premiers modes
4L
2) Première application : les grandes orgues considérées comme des tuyaux ouverts aux deux extrémités
peuvent produire des notes très graves. Calculer la longueur d’onde d’un son de fréquence 34 Hz
correspondant au Do0, en prenant la valeur de la célérité du son à 0°C dans l’air soit c=331m/s.
a) Calculer la longueur du tuyau produisant cette note comme sa fondamentale, quelles autres harmoniques
produit ce tuyau.
b) Si on perçait un trou à la moitié du tuyau que se passerait-il ? Faire un dessin (du tuyau et de la
surpression acoustique)
3) Deuxième application : on peut modéliser très grossièrement une clarinette par un tube fermé au niveau de
l’embouchure et ouvert à l’extrémité de l’instrument. Le son produit par la clarinette ne comporte que des
harmoniques impairs comme établi en 1-b.
a) Montrer que pour la fondamentale
c
0
4L
0
b) L’instrument est muni d’une clef de douzième qui ouvre un trou situé à une distance L /3 de l’embouchure.
Lorsque ce trou est ouvert, la surpression est nulle en ce point. Quelles sont dans ce cas les longueurs
d’ondes des modes propres du tuyau ? Quel est l’effet de l’ouverture du trou sur la fréquence émise par
l’instrument ?
c) Que se passe –t-il quand on fait un trou au 2/3 ?
6
Problème D) petites Mines PCSI 2009
7
8
9
10
Correction et compléments PB A:
1) Discussion d’une hypothèse du modèle
On peut considérer que m est la masse d’un quart du véhicule, mais bien sur la prise en compte de 4 roues
permettrait d’envisager des mouvements autres que les simples oscillations verticales, du type roulis et tangage.
2) Equation du mouvement
Montrer que l’équation du mouvement est de la forme m
d ²z
dt ²
mg k ( L(t ) L0 )
dL
dt
3) Statique
mg=k(L0-Leq) → k=1,5 105N/m
4) Régime transitoire vers le repos
En régime libre la roue est fixe la voiture oscille montrer que m
d ²z
dL
mg k ( L(t ) L0 )
comme z (t )
dt ²
dt
d ²z
dz
m
mg k ( z (t ) R L0 )
;
dt ²
dt
à l'équilibre 0
mg k ( zeq R L0 ) ;
m
définissons alors Z = z-z eq , on a : m
d ²Z
dt ²
kZ (t )
R
d ²Z
dt ²
dZ
dt
kZ (t )=0 avec Z=z-zeq
L(t ) , on en déduit :
dZ
d ²Z
soit m
dt
dt ²
dZ
dt
kZ (t )=0
5) Détermination du régime critique
On se place au régime critique pour avoir un retour à l’équilibre le plus rapide possible. Quel est alors la relation qui
existe entre les paramètres ?
a) ² = 4 k m pour que le discriminant s’annule →
b) si
>3 104, régime apériodique, si
= 2 (k.m) = 3 104
<3 104, régime pseudo-périodique
6) Equation en régime dynamique
La voiture se déplace maintenant sur un profil sinusoïdal : e = em cos (2
On a donc x = V.t soit e = em cos (2 V t / )= em cos ( t)
x / ) à vitesse constante selon l’axe des x.
m
L(t)
k
z(t)
R
x
e(x)
11
L’équation de base est toujours m d ² z
dL
dt
mg k ( L(t ) L0 )
dt ²
Montrer que l’équation du mouvement est donc maintenant : m
On a maintenant z(t) = e(t)+R+L(t). On en déduit : m
A l'équilibre on a toujours 0
mg
k ( zeq
m
d ²Z
dt ²
dZ
dt
d ²z
dt ²
dZ
dt
mg
de
dt
kZ (t )= ke(t )
d [ z e(t )]
dt
k ( z (t ) e(t)-R L0 )
R L0 )
d ²Z
dt ²
Définissons alors Z(t) = z(t) -z eq , on a : m
soit
d ²Z
dt ²
dZ
dt
kZ (t ) ke(t )
de
,
dt
de
dt
kZ (t )= ke(t )
Equation différentielle d’ordre 2.
7) Résolution par la méthode des représentations complexes
a) Prouver k
E0 e j
t
m ²Z0 e j (
t
e(t )
m ²
k
j
Z (t )
Z0e j (
t
)
j Z0e j(
t
)
)
k Z0 e j
j
m ²
Z0 e j
m ²
m
k
j
E0
d ²Z
dt ²
kZ 0 e j (
kE0
Z0 e j
j
k
t
dZ
kZ (t )= ke(t )
dt
kE0 e j t
j E0 e j t
)
de
dt
j E0
j
E0
b) amplitude en prenant la norme
En prenant la norme
c)
01=10,
k
m ² ²
² Z0
k²
² E0 qui donne Z0
02=5
d) Dans la limite >>
01>
02
E0
. Dans ce domaine HF on a une pente de -20 dB/décade puisque g =20 log10(Z0/E0)
m
Z0
e) On obtient le déphasage en reportant Z0 dans l’équation
k
m ²
j
Z0 e j
k
j
E0 et en
identifiant partie réelle et partie imaginaire :
k
m ²
k
m ² ²
cos
j
(cos
²
j sin
k
k
m ²
m ² ²
k
j sin )
j
j
k²
k
m ² ²
k
m ²
k
² k²
² k
j
k²
j
²
j
k
²
kk
²
m ²k
k
m ² ²
k
m ² ²
j
k
m ² ²
kj
² k
²
j
k²
k
m ²
j
²
m ²j
² k²
²
et on identifie partie réelle et imaginaire
12
k ² m ²k
cos
k
m ² ²
f) Dans la limite BF
Dans la limite HF
² ²
² k²
0 qui va bien avec Z0
- /2 , Z 0
2k
et sin
²
k
m ² ²
3
m
² k²
²
E0=em, le camion suit le profil de la piste.
0, grâce à son inertie le camion survole la route.
Complément : Programme python pour tracer les diagrammes des filtres
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
k=1.5*(10**5)
m=1500
eta=30000
emax=0.1
omegafin,numpoints=100,250
omega=np.linspace(1,omegafin,numpoints)
plt.plot(omega, emax*((k*k+eta*eta*omega*omega)/((k-m*omega*omega)**2+eta*eta*omega*omega ))**0.5
)
plt.show()
plt.plot(omega,omega*emax*((k*k+eta*eta*omega*omega)/((k-m*omega*omega)**2+eta*eta*omega*omega ))**0.5
)
plt.show()
plt.plot(omega,omega*omega*emax*((k*k+eta*eta*omega*omega)/((k-m*omega*omega)**2+eta*eta*omega*omega ))**0.5
)
plt.show()
plt.plot(omega,omega*omega*omega*emax*((k*k+eta*eta*omega*omega)/((k-m*omega*omega)**2+eta*eta*omega*omega ))**0.5 )
plt.show()
8) Applications numériques, accélération et jerk
a) L’Application numérique donne =100, Z0=0.02, V0=2m/s, A0=200 m.s-2 =20g , J0= 20 000 m.s-3
b)Pour les valeurs moyennes temporelles, on divise par 2 car la moyenne temporelle d’un cos ² est ½
c) Les graphes confirment ces valeurs
9) Analyse d’informations
Il apparait que les accélérations et jerk imposés par la piste et la vitesse sont douloureux pour les êtres humains
Provoquent-ils par ailleurs l’ignition de l’explosif ?
Pour le savoir on peut tenter le petit calcul suivant ; une chute de z =1 mètre de hauteur donne une vitesse avant le
choc sur le sol de v= (2g z) 5m/s selon mg z = ½ m v²
si un choc c’est 10g =100m.s-2 , la durée du choc est alors de t= 50 ms
selon 5= 100 t
le jerk correspondant est alors de 100 m.s-2/50 10-3s = 2000 m.s-3
13
En examinant les graphes on voit que le jerk limite de 2000 m.s-3 est atteint pour une pulsation de 30 tandis que
l’accélération limite de 10g=100m.s -2 est atteinte pour la pulsation de 50,
La pulsation de la vibration étant de 100, les valeurs de 30 et de 50 sont dépassées, si les calculs et ordres de
grandeur présentés ici sont corrects, on peut penser que ce film, c’est vraiment du cinéma !
10) Analogie électrique
Filtre constitué par une association parallèle (R//L) en série avec un condensateur, sortie condensateur C
1
jC
H
1
1
jC
1
RjL
R jL
jx
Ve
Q
1 x²
Q
Ve
1
Vs
0
jL
R
LC
2
0
1
Ve
Q
0
Vs
Vs
Q
0
1 dVe
0 Q dt
Ve
1 x²
Vs
jx
Q
Ve
j
Vs
Q
0
j
H
0
1
jx
Q
1
R
L 0
Q
j
jx
Vs
Q
2
0
L
R
1 LC ²
j
Ve
j
d ²Vs
dt ²
0²
1 dVS
0 Q dt
1
Vs
a) L’analogie porte sur Ve et le profil de la piste d’une part et sur Vs tension condensateur (ou charge du
condensateur à la constante C près) et Z d’autre part. Le caractère passe bas s’obtient en prenant les limites hautes
et basses fréquences. On a 0dB/décade à BF et on a -20dB/décade à HF, mais comme l’équation différentielle est
d’ordre 2, il s’agit ici d’un filtre d’ordre 2.
b) Comme d’habitude le maximum existe en volume si la dérivée s’annule, selon un calcul qui n’était pas demandé :
jx
Q
1
H
jx
Q
1 x²
x
1 x²
Q²
x
Q²
X
x²
x5
Q²
2
G
Ve
1 x²
x²
Q²
1
x3
Q²
x3
Q4
2
X2
Q²
x²
Q²
1
Vs
2X
x²
Q²
2 x 2 x3
2 x 2 x3
2
2
0
x
Q²
x
Q²
4
dG
dx
x²
Q²
0
2
x3
Q²
8
Q²
2x
1 x²
Q²
0
x
1 x4
Q²
2
x5
Q²
x3
Q4
2 x²
x²
Q²
0
x5
Q²
x²
Q²
2
1
1
x²
Q²
x
Q²
2 x 2 x3
2 x 2 x3
2 1 x ² ( 2 x)
0
x²
Q²
2x
Q²
2 x 2 x3
x4
Q²
0
x
Q²
2 2 x2
0
0 il y a toujours résonance
c) Q=1/2 est un petit facteur de qualité, la résonance sera floue.
d) Pour une estimation grossière du facteur de la surtension à la résonance compte tenu du fait que Q n’est pas
1
grand, on se place en x=1 ou H ( x
1)
j
Q
j
Q
1 2j
2j
H ( x 1)
5
2
0
1,12 faible surtension
Le graphe qui permet d’avoir accès à la résonance, montre lui 1,17 c’est le même ordre de grandeur.
A la résonance, l’amplitude d’oscillation du camion est supérieure à l’amplitude excitatrice de la route.
11) profil de la route
14
Si le profil des trous est abrupt on ne peut que tomber dedans ce qui provoque une percussion.
La modélisation en terme de profil sinusoïdal est certes la fondamentale de la série de Fourier, mais le profil de la
route doit peut-être intégrer d’autres harmoniques. Toutefois si > > 01 les harmoniques de pulsation n. obéiront
à la même contrainte n > > 01 et l’inquiétude semble superflue.
12) Dégradation de l’état d’un revêtement
Si un premier trou dans une zone de faiblesse de la chaussée révélé par le gel se forme, les véhicules arrivent tous
dessus avec à peu près la même vitesse et la même masse, donc sur le même tremplin et ils retombent tous à peu
près au même endroit...
Correction PB B mécanique
1) Choc
z
H
h
a) Lorsqu’une masse tombe d’une hauteur H en l’absence de frottements dans l’air elle transforme son énergie
potentielle de pesanteur en énergie cinétique . Calculer alors sa vitesse v 0 à l’arrivée en fonction de H et g
b) La masse m qui chute et arrive avec la vitesse v0 est celle d’un homme qui prend alors appui sur le sol, lequel
exerce sur lui une réaction constante R tout au long de la phase d’arrêt calculer le temps que dure cette décélération
en fonction de v0, R,m et g.
c) La phase d’arrêt correspond à un abaissement du centre de gravité de h, calculer h en fonction de v 0,R,m et g
d) La tension supportable par les tibias avant rupture est R=10mg en déduire la hauteur H au-delà de laquelle le saut
est destructif.
AN h=0.3m , g=10m.s-2
1
mv0 ²
2
mgH
2 gH
v0 ²
d ²z
mg R
dt ²
dz
R
( g
)t v0
dt
m
d ²z
dt ²
m
g
t stop
R
m
v0
R
g
m
2
z
( g
R t²
)
m 2
R
)
m
( g
0
h
v0 t
2
1 2 gH
2 R
g
m
h
0
v0 ²
R
m
2
g
gH
R
g
m
v0
v0
R
g
m
( g
R tstop ²
)
m 2
h
h
gH
10mg
g
m
H
9
H
v0 t stop
h
0
( g
v0
R
g
R m
)
m
2
v0
v0
R
g
m
h
1 v0 ²
2 R
g
m
9 * 0.3
2.7 m
15
Slalom en avion
Un avion se déplace avec une vitesse constante selon l’axe des x 200km/h. Il slalome
sinusoïdalement entre des mats dressés tous les =500 mètres, l’amplitude crête à crête de
l’oscillation est de 2 l = 50 mètres. y
a cos(
2 x
)
Calculer l’accélération maximale, où se fait-elle sentir ?
y
x
vx
cst x
y
a cos(
vt
2 x
Ax
0
) a cos(
2 vt
dy
dt
)
a
2 v
sin(
accélération maximale qd y est maximal et vaut alors a
200
3, 6
500
2 v
)
Ay
d²y
dt ²
a
2 v
200 000
3600
500
2
cos(
25 *
)
2
2 * 3.14 *
2 * 3.14 *
2
2 vt
25 *
200
3, 6
2
500
2
6.3*
25 *
2 vt
25 * 6.3*
2
3, 6 * 5
2
25 *
12.6
18
2
25 * 4
9
11 ms
2
1g latéral
16
Correction PB C, tuyau sonore :
Pour une onde stationnaire en p(x,t) = p0 sin(kx) sin( t) on a un nœud en x=0 ou p(x=0,t)=0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.a) Le cours donne pour deux nœuds
Puisqu’alors sin(kL)=0
n
n
c
2L
Lk=n
c
n
n
2L
n
L2 / =n
n
N*
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1.b) Le cours donne pour un nœud et un ventre
Puisqu’alors sin(kL)= 1
n
c
4L
nc
2L
(2n 1)
L k = /2 + n
L 2 / = /2 + n
c
4L
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) tuyau d’orgue AN 1a
2
3
2
3
c
2L
c
2L
=c/ =350/34=10.3m
c
1
c
2L
c
1
2L
L=5.15m
1
L
2
2
c
3
2
2L
3
Remarque : si on perçait le tuyau de 5.15m d’un trou en son centre on imposerait que s’y trouve un nœud
l’harmonique 2 ci-dessous représentée ne serait pas perturbée, par contre la fondamentale ci dessus ne pourrait
survivre car alors le ventre serait détruit
L’harmonique n=3 aussi serait détruite
En fait toutes les harmoniques impaires seraient détruites
et tout se passe comme si on avait un tuyau fermé ouvert de longueur L/2. L’ouverture du trou a multiplié par deux
la fondamentale et les harmoniques (octave). Tout se passe comme si on avait deux tuyaux de longueur L/2
17
3) clarinette fondamentale et harmoniques impaires
0
c
4L
0c
2L
c
fondamentale
4L
première harmonique
n 1
c
4L
c
0
c
2L
n
c
4L
nc
2L
(2n 1)
c
4L
n
4L
2n 1
n
N
4L
0
3
c
première harmonique
4L
c
1
1
4L
L
3
3
4
Si on ouvre un trou en L/3, on sera à /4 de la paroi : on a bien un nœud de pression ici cette première
harmonique n=1 subsiste, par contre la fondamentale n=0 disparait, tout se passe comme si on avait un tube de
longueur L/3.
Si on ouvre un trou en 2L/3, ni la fondamentale ni la première harmonique n’apprécient, par contre la première
harmonique souffre plus que la fondamentale car elle devrait posséder un ventre amplitude 1 en 2L/3 alors que la
fondamentale est à cos(
2
)
32
cos( )
3
1/ 2amplitude 1/ 2
On supprime donc l’harmonique.
18
Correction PB D optique et électricité petites mines
19
20
21
22