w, t

Mathematics. - SUl' deux, trois OU quatre nombres premiers. Par
J. G. VAN DER CORPUT. (Cinquième communication.)
(Communicated at the meeting of March 26, 1938.)
Traitons d'abord quelques cas spéciaux de la proposition 3; dans ces
cas spéciaux (les propositions 4, 5, 6
et 7) y désigne un nombre positif,
m un
nombre naturel, N un nombre > 3, s un entier qui est en valeur
absolue inférieur à r Ne nY ou n = log N, et tp (x) un polynöme du
degré précis 9 =- 1 qui prend une valeur entière pour toute valeur entière
de x; les nombres Ci6' CH' ••• ,C51' figurant dans ces cas spéciaux, sont
des nombres convenablement choisis, dépendant uniquement de y. m et
du choix du polynöme tp (x).
Proposition of: Désignons par F (t) ie nombre des manières dont on
peut écrire t comme la somme de deux nombres premiers> 3 et posons
q; (t) =
u>3 u'>3
l u+"'-tl<i
du du'
log u log u'·
Si tp (x) + s est pair pour tout entier x, on a
[N) I w-l I +1
,,:1 F(tp(x)+s)-C'q>(tp(x)+s)llw_2 <ci6
Ne
n-m;
Ie produit II w -2
1
est étendu à tous les facteurs premiers impairs de
w-
tp (x) + s. tandis que C' est la constante absolue
Démonstration: Pour tout nombre naturel x-=:' N on a I tp (x) I-=:' Ci7 Ng ,
donc
Posons
A =A'=3; B=B' =tZ
e =(CH +
y) Ne nY +~" Z> O.
F (tp (x) + s) est Ie nombre des manières d' écrire tp (x) + s sous la forme
p + p',
ou les nombres premiers p et p' sont supérieurs à 3 et inférieurs

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à 'Ijl (x) + s, done inférieurs à (C12 + r) Ng n", d'ou il suit A < p < B et
A' < p' < B'. En outre
cp ('Ijl (x) + s) =
ear les inégalités
B B'
.f J'
A A'
I u + U'-'I'(x)-5l <; I
dudu
'
log u log u"
u + u' -oe:: 'Ijl (x) + s + 1- -oe:: (CH + r) Ng nY + - ~ = B = B'
entrainent u -oe:: B et u' -oe:: B'. En vertu de Z> N la proposition 3.
appliquée avee m + 1 + [I' + ; J au lieu de m, nous donne par eon-
séquent
[N] 00 + 1
~ I F(If'(x) + S)-CP (If' (x) + s) ~ H(q.'Ijl(x)+s) I< C48Ng n-
m•
x=1 q=1
En outre
i H (q, t) = 2 IJ (1 + H (w, t))
q=1 w>2
est d'après Ie lemme 18 pour tout nombre pair t égal à
2 TI (1 + _1_) TI (1 -. __ 1 -) - C' II
w> 2 w-I' w > 2 (w-l)2 -w > 2
wl' wt, wl'
d'ou suit l'assertion en vertu de l'identité
1
I + ;;--=1 w-l
I - w-2'
1 - (w- ~ lp
1+ w-I
I .
1- --- -
(w-l)2
En utilisant les lemmes 18, 19 et 20 il est faeile de déduire les pro-
positions 5. 6 et 7 de la proposition 3.
Proposition 5: Soit 3 -oe:: A < B; désignons par F (t) Ie nombre des
manières dont on peut écrire t sous la forme p + p'. ou les nombres
premiers p et p' sont situés entre A et B; posons
cp (t) =
I,,+u'-' I <\
dudu'
log u log u"
g
Si 'Ijl (x) + s est pair pour tout entier X, on a pour tout nombre Z =- V 4 B
I I
w-l I + 1
~ F ('Ijl (x) + s) -C cp ('Ijl (x) + s) TI -2 < C49 zg z-m;
Ixl<z W

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w-l
C' et IJ w _ 2 sont la constante absolue et Ie produit, figurant dans la
proposition précédente.
Proposition 6: Désignons par F (t) Ie nombre des manières dont on
peut écrire t sous la forme Pl2 + pl + p', ou PI' P2 et p' désignent des
nombres premiers > 3; posons
dUI dU2 du'
cp (t) = JJJ log
UI log U2 log u' .
u, :> 3 u, :> 3 u,:> 3
I u,'+ u,'+ u'-tl <1
Si 1jJ (x) est -I ou _ 3 (mod. 6) pour tout entier x, on a
IN] +1
I I F(1jJ(x)+s)-2cp(1jJ(x)+s) IJ (I+H(w,1jJ(x)+s)) I <csoNg n-m;
x=l w> 2
w premier
pour tout nombre premier w > 2 et pour tout entier t _ 1 ou 3
(mod. 6), on a
w+1
H (w, t) = - (~-=-lr' lorsque w I (mod.4) et west un facteur de t;
--
w-I
lorsque w = - I (mod. 4) et west un facteur de t;
3w+ 1
(w-I)3' lorsque w 1 (mod.4) et test un
reste quadratique
de w;
I
-(w-TP' lorsque w - -- I (mod. 4) et test un non-reste de w;
w+1
( ;:; -1)3' lorsque w = - I (mod.4) et test un
reste quadratique
de w;
3w--1
- (w _ fr' lorsque w -- - - I (mod. 4) et test un non-reste de w.
Proposition 7: Désignons par F (t) Ie nombre des manières dont il
est possible d'écrire t comme la somme des carrés de quatre nombres
premiers > 3. et posons
cp (t) = f J' J f dUI dU2 dUl'----,d,--::u2 ,--- ' - ,
• • log UI log U2 log
UI' log u/ .
UI :> 3 Ul >-3 UI':::> 3 u~,:::> 3
I u, ' + .,'+ u,"+ .,"-tl < 1
Si 1jJ (x) + s _ 4 (mod. 24) pour tout entier x, on a
IN] +1
~ IF(1jJ(x)+s)-8cp(1jJ(x)+s) IJ (I+H(w,1jJ(x)+s)l<csIN
g
n-
m;
x= 1 lP premier
w>2

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on a pour tout nombre premier w > 2 et pour tout nombre t _ 4 (mod. 24)
H(w, t)=
w2 + 6w + 1
(w-l)3
, lorsque w = 1 (mod. 4) et west un
facteur
de t;
, lorsque w -- -1 (mod. i) et west un
facteur
de t;
5w
2 +
lOw + 1 lorsque w = 1 (mod.
4) et test un
(w-l)4
reste quadratique de w;
3w+ 1
---
(w-lP
, lorsque w = 1 (mod. 4) et test un
non~reste de w;
(w+ 1)(3w-l)
(w-l)4 lorsque w :~'-- -1 (mod.4) et test un
reste quadratique
de w;
5w
2 -
10w + 1 lorsque w _ - - 1 (mod.
4) et test un
(w-l)4
non~reste de w.
LeIIlIIle 25: Les fonctions H (q, t), définies par (35), (36) et (37)
satisfont pour tout entier t *- 0 qui satisfait à la congruence correspon~
dan te, à l' inégalité
dans ce lemme
CS2' CS3' • • • ,CS8 sont des constantes absolues et positives,
convenablement choisies.
DéIIlonstration: O'après la remarque, ajoutée à la proposition 3,
on a
..
I H(q,t)=e IJ (1 +H(w , t»,
q=1
w premier
... >2
ou e = 2 ou 8 et 1 + H (W , t) > O.
Pour tout nombre premier w > 2, qui n'est pas un facteur de t, on a,
d' après les lemmes 18, 19 et 20,
-~ ~
1 + H (w, t) > e w' ,
de sorte que Ie produit n (1 + H (w, t», étendu à ces nombres premiers.
est supérieur à
cs
4,
Pour tout facteur premier impair w de t on a, d'après les mêmes
Iemmes,
1 + H(w, t) > e W

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de sorte que Ie produit TI (1 + H(w, t)), étendu à ces nombres premiers,
est supérieur à
I
-~- % C
e w<ltl w > e-c .,-loe1og(3+ltl) _ sa
-log (3 + I ti)'
Le membre de gauehe de (56) est done supérieur à log?; ~8ltlr
Finissons eet article en démontrant la proposition 1 (première eom-
munieation, p. 847). Dans eette démonstration CS9' C60' ••• ,C69 désignent
des nombres positifs, eonvenablement ehoisis
et dépendant uniquement
de r, m et du ehoix du polynöme V' (x).
Pour tout nombre x qui est en valeur absolue """'" Z, nous avons
I V' (x) I"""'" CS9 zg, done I V' (x) + si"""'" (cS9 + r) ze zr.
Posons
A = A' = AI = A2 = AI' = A/ = 3;
B = B' = BI2 = B22 = BI '2 = B/2 = t Ne = 4 (CS9 + r) ze zr.
La proposition 3, appliquée avee N au lieu de Z et avee m + 1 +
+ [r + ; ] au lieu de m, nous apprend en vertu de N> Z
I' I F (V' (x) + s) - ~ (V' (x) + s) i H(q, V' (x)+s) 1< C60 ze+ I-m z. (57)
1 "I<z q=1
Examinons d'abord les expressions fl = P + p'; f2 = PI2 + P2
2 +
P' et
f
2+ 2+ '2+ '2
3
= PI P2 PI P2 .
Pour ehaeune de ees expressions, la fonetion ~ (t), définie dans (32),
(33) ou (34), jouit de la propriété
t
~ (t) > C61 log" t
(1 + -4 • 3i """'" t"""'" tB).
(58)
Désignons par A Ie nombre des entiers positifs x"""'" Z tels que
V' (x) + s ==- ze z-lm et F (V' (x) + 5) = O.
Il suit de (56) et (58) que tous ees nombres x satisfont à l'inégalité
~ (V' (x) + s) i H (q, V' (x) + s) > C62 ze z-t
m-S,
q=1
de sorte que (57) nous apprend
done