x - Les math. avec H. Rorthais

3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N4 – cahier élève Page 1 sur 10
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
Ch.N4 : Systèmes d’équations
1 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS ex. 1
DÉFINITIONS 1
5x + 2y = 4
–2x + y = –7 est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues désignées par les lettres x
et y.
Un couple de nombres (x ; y) est solution d'un système s'il vérifie simultanément les deux égalités.
Exemple 1 :
Le couple (2 ; –3) est-il solution du système 
 5x + 2y = 4
–2x + y = –7 ?
Pour x = 2 et y = –3 : 
 5x + 2y = 5  2 + 2  (–3) = 10 – 6 = 4
–2x + y = –2  2 + (–3) = –7 .
Les deux égalités sont vérifiées pour x = 2 et y = –3 donc le couple (2 ; –3) est solution du système
 5x + 2y = 4
–2x + y = –7 .
Exercice du cours n°1 page 76
Les couples (–5 ; 1,5) et (1 ; 9,5) sont-ils solutions du système 
 4x – 3y = –24,5
3x + 7y = –4,5 ?
x = –5y = 1,5
 4  (–5) – 3  1,5 = –20 – 4,5 = –24,5
 3  (–5) + 7  1,5 = –15 + 10,5 = –4,5
(–5 ; 1,5)
x = 1y = 9,5
 4  1 – 3  9,5 = 4 – 13,5 = –9,5
 3  1 + 7  9,5 = 3 + 66,5 = 69,5
(1 ; 9,5)
Exercice n°1 page 77 Tour de chauffe
a) Vérifie que le nombre –5 est solution de l'équation 3x + 7 = –8.
b) Vérifie que le couple (3 ; –2) est solution des équations et du système suivants.
 3x + 5y = –1
 7x + 6y = 9
–x + 2y = –7
2x – 5y = 16
3 × (–5) + 7 = –15 + 7 = –8–5
x = 3 y = –2
• 3 × 3 + 5 × (–2) = 9 + (–10) = –1 (3 ; –2)
• 7 × 3 + 6 × (–2) = 21 + (–12) = 9 (3 ; –2)
• 
 –3 + 2 × (–2) = –3 + (–4) = –7
2 × 3 – 5 × (–2) = 6 – (–10) = 6 + 10 = 16 (3 ; –2)
2 RÉSOLUTION ex. 2 à 4
DÉFINITION 2
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à déterminer tous les couples de nombres
(x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.

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2.1 Résolution par combinaisons
Exemple 2 :
Résous le système
5x – 4y = 8
2x + 5y = 1 par combinaisons.
Détermination d'une des inconnues
On cherche à éliminer l'inconnue y pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue.
5  (5x – 4y) = 5  8
4  (2x + 5y) = 4  1
On multiplie les deux membres de la première équation par 5 et ceux de la
seconde par 4.
25x – 20y = 40
8x + 20y = 4
On obtient ainsi des coefficients opposés devant y dans les deux équations.
25x + 8x = 40 + 4
On ajoute membre à membre les deux équations du système ainsi obtenu
pour éliminer y.
33x = 44
x = 44
33 = 4 × 11 3 × 11 = 4 3
On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de x.
Détermination de l'autre inconnue
5  4
3 – 4y = 8
20
3 – 4y = 8
On remplace x par 4
3 dans l'une des deux équations pour trouver y (ici la
première).
–4y = 4
3
y = –1
3
On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de y.
Donc, si
5x – 4y = 8
2x + 5y = 1 alors
x = 4
3
y = –1
3
. On vérifie ensuite que le couple
4
3 , –1 3 est bien une solution de ce
système. On en déduit que le couple
4
3 , –1 3 est la solution de ce système.
Remarque :
Pour trouver la valeur de y, on pouvait aussi éliminer l’inconnue x.
Exercice du cours n°3 page 76
Résous par combinaisons le système 
 3x – 7y = 29
4x – 5y = –33 .
 –4 3 
 –12x + 28y = –116
12x – 15y = –99
 –12x+ 28y + 12x – 15y = –116 – 99
13y = –215
y = –215
13
 3x – 7y = 29
3x – 7  
–215
13 = 29
3x + 1 505
13 = 29
3x = 29 – 1 505
13
3x = –1 128
13
x = –1 128
39 = –376 13
–215
13 , –376 13
Exercice du cours n°4 page 76

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Résous par la méthode de ton choix le système : 
 –2x + 3y = 3,5
x – 4y = –5,5 .
 x y x = –5,5 + 4y
 x–5,5 + 4y
–2(–5,5 + 4y) + 3y = 3,5
11 – 8y + 3y = 3,5
11 – 5y = 3,5
–5y = 3,5 – 11
–5y = –7,5
y = –7,5
–5
y = 1,5
 y x – 4 × 1,5 = –5,5 x = –5,5 + 6 = 0,5
(0,5 , 1,5)
Exercice n°8 page 77
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
a)
3x – 5y = 5
4x + 7y = –7
b)
2x + 3y = 6
5x + 7y = 9
 4–3
12x – 20y = 20
–12x – 21y = 21
 12x– 20y – 12x – 21y = 20 + 21
–41y = 41
y = –1
 3x – 5y = 5
3x – 5  (–1) = 5
3x + 5 = 5
3x = 0
x = 0
(0 , –1)
3 × 0 – 5 × (–1) = 0 + 5 = 5
4 × 0 + 7 × (–1) = 0 – 7= –7
 5–2
 10x + 15y = 30
–10x – 14y = –18
 10x + 15y – 10x – 14y = 30 – 18
y = 12
 2x + 3y = 6
2x + 3  12 = 6
2x + 36 = 6
2x = –30
x = –15
(–15 , 12)
 2 × (–15) + 3 × 12 = –30 + 36 = 6
5 × (–15) + 7 × 12 = –75 + 84 = 9
Exercice n°9 page 78
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
a)
2x + 5y = 7
3x + 4y = –3
b)
3x + 5y = 2
5x + 2y = –1
c)
2x – 5y = –1
3x + 7y = 4

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 3–2
 6x + 15y = 21
–6x – 8y = 6
6x – 6x + 15y – 8y = 21 + 6
7y = 27
y = 27
7
 3x + 4y = –3
3x + 4  27
7 = –3
3x + 108
7 = –3
3x = –3 – 108
7
3x = –129
7
x = –43
7
–43
7 , 27 7
 2 × –43
7 + 5 × 27 7 = –86 7 + 135 7 = 49 7 = 7
3 × –43
7 + 4 × 27 7 = –129 7 + 108 7 = –21 7 = –3
 5–3
 15x + 25y = 10
–15x + (–6)y = 3
15x – 15x + 25y + (–6)y = 10 + 3
19y = 13
y = 13
19
 3x + 5y = 2
3x + 5  13
19 = 2
3x + 65
19 = 2
3x = 2 – 65
19
3x = –27
19
x = –9
19
–9
19 , 13 19
 3 × –9
19 + 5 × 13 19 = –27 19 + 65 19 = 38 19 = 2
5 × –9
19 + 2 × 13 19 = –45 19 + 26 19 = –19 19 = –1
 –3 2
–6x + 15y = 3
6x + 14y = 8
–6x + 6x + 15y + 14y = 3 + 8
29y = 11

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y = 11
29
 2x – 5y = –1
2x – 5  11
29 = –1
2x – 55
29 = –1
2x = –1 + 55
29
2x = 26
29
x = 13
29
13
29 , 11 29
 2 × 13
29 + –5 × 11 29 = 26 29 – 55 29 = –29 29 = –1
3 × 13
29 + 7 × 11 29 = 39 29 + 77 29 = 116 29 = 4
Exercice n°10 page 78 Avec un peu d'astuce (bis)
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
a)
3x – 2y = –18
9x + 10y = –6
b)
5x + 4y = 11
15x + 2y = –7
c)
3x + y = 12
5x – y = 4
d)
2x + y = 21
4x – 3y = –13
 –2
15x – 10y = –90
9x + 10y = –6
15x + 9x – 10y + 10y = –90 – 6
24x = –96
x = –96
24
x = –4
 3x – 2y = –18
3(–4) – 2y = –18
–12 – 2y = –18
–2y = –18 + 12
–2y = –6
y = 3
(–4 , 3)
 –2
5x + 4y = 11
–30x – 4y = 14
5x – 30x + 4y – 4y = 11 + 14
–25x = 25
x = –1
 5x + 4y = 11
5(–1) + 4y = 11
–5 + 4y = 11
4y = 11 + 5
4y = 16
y = 4
(–1 , 4)
 3x + 5x + y – y = 12 + 4