x - Les math. avec H. Rorthais

3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N4 – cahier élève
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Ch.N4 : Systèmes d’équations
1 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS
ex. 1
DÉFINITIONS 1
 5x + 2y

 –2x + y
=4
= –7 est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues désignées par les lettres x
et y.
Un couple de nombres (x ; y) est solution d'un système s'il vérifie simultanément les deux égalités.
Exemple 1 :
 5x + 2y = 4
?
 –2x + y = –7
Le couple (2 ; –3) est-il solution du système 
+ 2y = 5  2 + 2  (–3) = 10 – 6 = 4
.
 –2x + y = –2  2 + (–3) = –7
Les deux égalités sont vérifiées pour x = 2 et y = –3 donc le couple (2 ; –3) est solution du système
 5x + 2y = 4

.
 –2x + y = –7
 5x
Pour x = 2 et y = –3 : 
Exercice du cours n°1 page 76
 4x
 3x
Les couples (–5 ; 1,5) et (1 ; 9,5) sont-ils solutions du système 
x = –5
– 3y = –24,5
?
+ 7y = –4,5
y = 1,5
 4  (–5) – 3  1,5 = –20 – 4,5 = –24,5
 3  (–5) + 7  1,5 = –15 + 10,5 = –4,5
(–5 ; 1,5)
x=1
y = 9,5
 4  1 – 3  9,5 = 4 – 13,5 = –9,5
 3  1 + 7  9,5 = 3 + 66,5 = 69,5
(1 ; 9,5)
Exercice n°1 page 77 Tour de chauffe
a) Vérifie que le nombre –5 est solution de l'équation 3x + 7 = –8.
b) Vérifie que le couple (3 ; –2) est solution des équations et du système suivants.

3x + 5y = –1
3 × (–5) + 7 = –15 + 7 = –8
x=3

 –x

 2x
+ 2y = –7
– 5y = 16
–5
y = –2
•
3 × 3 + 5 × (–2) = 9 + (–10) = –1
(3 ; –2)
•
7 × 3 + 6 × (–2) = 21 + (–12) = 9
 –3 + 2 × (–2) = –3 + (–4) = –7

 2 × 3 – 5 × (–2) = 6 – (–10) = 6 + 10 = 16
(3 ; –2)
•

7x + 6y = 9
2 RÉSOLUTION
(3 ; –2)
ex. 2 à 4
DÉFINITION 2
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à déterminer tous les couples de nombres
(x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
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2.1 Résolution par combinaisons
Exemple 2 :
 5x
 2x
Résous le système 
– 4y = 8
par combinaisons.
+ 5y = 1
Détermination d'une des inconnues
On cherche à éliminer l'inconnue y pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue.
 5  (5x – 4y) = 5  8
On multiplie les deux membres de la première équation par 5 et ceux de la

seconde par 4.
 4  (2x + 5y) = 4  1
 25x – 20y = 40
On obtient ainsi des coefficients opposés devant y dans les deux équations.

 8x
+ 20y = 4
25x + 8x = 40 + 4
33x = 44
44 4 × 11 4
x=
=
=
33 3 × 11 3
On ajoute membre à membre les deux équations du système ainsi obtenu
pour éliminer y.
On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de x.
Détermination de l'autre inconnue
4
5  – 4y = 8
3
20
– 4y = 8
3
4
–4y =
3
–1
y=
3
On remplace x par
4
dans l'une des deux équations pour trouver y (ici la
3
première).
On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de y.
x=3
 5x – 4y = 8
4 –1

Donc, si
alors 
–1 . On vérifie ensuite que le couple 3 , 3  est bien une solution de ce
 2x + 5y = 1
y= 3
4
4 –1
est la solution de ce système.
3 3 
système. On en déduit que le couple  ,
Remarque :
Pour trouver la valeur de y, on pouvait aussi éliminer l’inconnue x.
Exercice du cours n°3 page 76
 3x – 7y = 29
Résous par combinaisons le système 
.
 4x – 5y = –33

–4

3
 –12x + 28y = –116

 12x – 15y = –99
–12x+ 28y + 12x – 15y = –116 – 99
13y = –215
–215
y=
13

3x – 7y = 29
–215
3x – 7  
= 29
 13 
1 505
3x +
= 29
13
1 505
3x = 29 –
13
–1 128
3x =
13
–1 128 –376
x=
=
39
13
–215 , –376
13 
 13
Exercice du cours n°4 page 76
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 –2x + 3y = 3,5
Résous par la méthode de ton choix le système : 
.
 x – 4y = –5,5

x

x
x = –5,5 + 4y
y
–5,5 + 4y
–2(–5,5 + 4y) + 3y = 3,5
11 – 8y + 3y = 3,5
11 – 5y = 3,5
–5y = 3,5 – 11
–5y = –7,5
–7,5
y=
–5
y = 1,5

x – 4 × 1,5 = –5,5
y
x = –5,5 + 6 = 0,5

(0,5 , 1,5)
Exercice n°8 page 77
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
 3x
 4x
a) 
– 5y = 5
+ 7y = –7
 2x
 5x
b) 
+ 3y = 6
+ 7y = 9

–3
4

 12x – 20y = 20

 –12x – 21y = 21
12x– 20y – 12x – 21y = 20 + 21
–41y = 41
y = –1

3x – 5y = 5
3x – 5  (–1) = 5
3x + 5 = 5
3x = 0
x=0
(0 , –1)
 3 × 0 – 5 × (–1) = 0 + 5 = 5

 4 × 0 + 7 × (–1) = 0 – 7= –7

–2
5

 10x + 15y = 30

 –10x – 14y = –18
10x + 15y – 10x – 14y = 30 – 18
y = 12

2x + 3y = 6
2x + 3  12 = 6
2x + 36 = 6
2x = –30
x = –15
(–15 , 12)
 2 × (–15) + 3 × 12 = –30 + 36 = 6

 5 × (–15) + 7 × 12 = –75 + 84 = 9
Exercice n°9 page 78
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
 2x
 3x
a) 
+ 5y = 7
+ 4y = –3
 3x + 5y = 2
b)  5x + 2y = –1

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 2x
 3x
c) 
– 5y = –1
+ 7y = 4
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
–2
3
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 6x + 15y = 21

 –6x – 8y = 6
6x – 6x + 15y – 8y = 21 + 6
7y = 27
27
y=
7

3x + 4y = –3
3x + 4 
27
= –3
7
108
= –3
7
108
3x = –3 –
7
–129
3x =
7
–43
x=
7
3x +
–43 , 27
 7 7
–43
–86
2× 7 +5× 7 = 7 + 7 = 7 =7
 –43
27 –129 108 –21
 3 × 7 + 4 × 7 = 7 + 7 = 7 = –3
27
135

49
–3
5
 15x + 25y = 10

 –15x + (–6)y = 3
15x – 15x + 25y + (–6)y = 10 + 3
19y = 13
13
y=
19

3x + 5y = 2
3x + 5 
13
=2
19
65
=2
19
65
3x = 2 –
19
–27
3x =
19
–9
x=
19
3x +
–9 , 13
19 19
–9
–27
 3 × 19 + 5 × 19 = 19 + 19 = 19 = 2
 –9
13 –45 26 –19
 5 × 19 + 2 × 19 = 19 + 19 = 19 = –1
13
65

38
–3
2
 –6x + 15y = 3

 6x + 14y = 8
–6x + 6x + 15y + 14y = 3 + 8
29y = 11
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11
y=
29

2x – 5y = –1
2x – 5 
11
= –1
29
55
= –1
29
55
2x = –1 +
29
26
2x =
29
13
x=
29
2x –
13 , 11
29 29
–29
 2 × 29 + –5 × 29 = 29 – 29 = 29 = –1
 13
11 39 77 116
 3 × 29 + 7 × 29 = 29 + 29 = 29 = 4
13
11
26 55
Exercice n°10 page 78 Avec un peu d'astuce (bis)
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons.
 3x
 9x
a) 
– 2y = –18
+ 10y = –6
 5x + 4y = 11
 15x + 2y = –7
b) 

 3x + y = 12
 5x – y = 4
 15x – 10y = –90

 9x + 10y = –6
c) 
–2
 2x
 4x
d) 
+ y = 21
– 3y = –13
15x + 9x – 10y + 10y = –90 – 6
24x = –96
–96
x=
24
x = –4

3x – 2y = –18
3(–4) – 2y = –18
–12 – 2y = –18
–2y = –18 + 12
–2y = –6
y=3
(–4 , 3)

–2
 5x + 4y = 11

 –30x – 4y = 14
5x – 30x + 4y – 4y = 11 + 14
–25x = 25
x = –1

5x + 4y = 11
5(–1) + 4y = 11
–5 + 4y = 11
4y = 11 + 5
4y = 16
y=4
(–1 , 4)

H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
3x + 5x + y – y = 12 + 4
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8x = 16
16
x=
8
x=2

3x + y = 12
3  2 + y = 12
6 + y = 12
y = 12 – 6
y=6
(2 , 6)

3
 6x

 4x
+ 3y = 63
– 3y = –13
6x + 4x + 3y – 3y = 63 – 13
10x = 50
50
x=
10
x=5

2x +y = 21
2  5 + y = 21
10 + y = 21
y = 21 – 10
y = 11
(5 , 11)
2.1
Résolution par substitution
Exemple 3 :
 –3x + y = 9
par substitution.
 4x – 3y = –17
Résous le système 
y = 9 + 3x
On exprime y en fonction de x à l'aide de la première équation.
4x – 3(9 + 3x) = –17
On remplace (substitue) y par 9 + 3x dans la deuxième équation.
4x – 27 – 9x = –17
On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de
x.
–5x = 10
x = –2
y = 9 + 3 × (–2)
On remplace x par –2 dans l'équation trouvée à la première étape pour
y=9–6
trouver la valeur de y.
y=3
 –3x + y = 9
 x = –2
Donc, si 
alors 
.
 4x – 3y = –17
y=3
On vérifie ensuite que le couple (–2 ; 3) est une solution effective de ce système en appliquant ce qui a été vu
partie 1. On en déduit que (–2 ; 3) est la solution de ce système.
Exercice du cours n°2 page 76
 5x + y = 17
Résous par substitution le système 
.
 –3x + 4y = 22

y
x

y
y = 17 – 5x
17 – 5x
–3x + 4(17 – 5x) = 22
–3x + 68 – 20x = 22
–23x = 22 – 68
–23x = –46
–46
x=
–23
x=2
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
x
5 × 2 + y = 17
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y = 17 – 10 = 7

–3 × 2 + 4 × 7 = –6 + 28 = 22
5 × 2 + 7 = 10 + 7 = 17
(2 , 7)
Exercice n°5 page 77
Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par substitution.
 x – 3y = 2
 2x – 7y = 6
 5x
 3x
a) 
b) 

– 2y = –7
+ y = –2
x = 3y + 2

 6x + y = 8
 10x + 7y =
c) 
–8
 7x + 4y = –5
 x + 3y = 9
d) 
2(3y + 2) – 7y = 6

6y + 4 – 7y = 6
–y = 6 – 4
–y = 2
y = –2

x = 3y + 2
x = 3 × (–2) + 2 = –6 + 2 = –4
(–4 , –2)
 –4 – 3 × (–2) = –4 + 6 = 2

 2 × (–4) – 7 × (–2) = –8 + 14 = 6
y = –3x – 2


5x – 2(–3x – 2) = –7

5x + 6x + 4 = –7
11x = –7 – 4
11x = –11
x = –1

y = –3x – 2
y = –3  (–1) – 2 = 3 – 2 = 1
(–1 , 1)
5

3

 (–1) – 2  1 = –5 – 2 = –7
 (–1) + 1 = –3 + 1 = –2
y = –6x + 8

10x + 7(–6x + 8) = –8

10x – 42x + 56 = –8
–32x = –8 – 56
–32x = –64
–64
x=
–32
x=2

y = –6x + 8
y = –6  2 + 8 = –12 + 8 = –4
(2 , –4)
 6 × 2 + (–4) = 12 – 4 = 8

 10 × 2 + 7 × (–4) = 20 – 28 = –8
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
Page 8 sur 10
x = –3y + 9

7(–3y + 9) + 4y = –5

–21y + 63 + 4y = –5
–17y = –5 – 63
–17y = –68
–68
y=
–17
y=4

x = –3y + 9
x = –3 × 4 + 9 = –12 + 9 = –3
(–3 , 4)
 7 × (–3) + 4 × 4 = –21 + 16 = –5

 –3 + 3 × 4 = –3 + 12 = 9
3 ÉTAPES POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME
ex. 5
Exemple 4 :
Un musée propose un tarif pour les adultes à 7 € et un autre pour les enfants à 4,50 €. Lors d'une
journée, ce musée a reçu la visite de 205 personnes et la recette totale a été de 1 222,50 €.
Retrouve le nombre d'adultes et le nombre d'enfants ayant visité le musée lors de cette journée.
Étape n°1 : Choisir les inconnues
Soit x le nombre d'adultes et y le nombre d'enfants.
On repère les inconnues.
On les note généralement x et y.
Étape n°2 : Mettre le problème en équation
205 personnes ont visité le musée donc x + y = 205.
On exprime les informations données
dans l'énoncé en fonction de x et de y.
La recette totale a été de 1 222,50 € donc
7x + 4,50y = 1 222,50.
 x + y = 205
L'énoncé se traduit donc par le système ciAinsi 
.
contre.
 7x + 4,50y = 1 222,50
Étape n°3 : Résoudre le système. On trouve x = 120 et y = 85 (voir partie 2).
Étape n°4 : Vérifier que le couple trouvé est solution du problème (voir partie 2).
Étape n°5 : Conclure : 120 adultes et 85 enfants ont visité le musée lors de cette journée.
Exercice du cours n°5 page 76
Dans une boulangerie, Paul a acheté quatre croissants et trois pains au chocolat pour 5,65 €. Lina a acheté, dans cette
même boulangerie, trois croissants et cinq pains au chocolat pour 6,85 €. Retrouve le prix d'un croissant et celui d'un
pain au chocolat.

x
y

5,65 €
4 × x + 3 × y = 5,65

6,85 €
3 × x + 5 × y = 6,85

 4x + 3y = 5,65

 3x + 5y = 6,85

3
(–4)
 12x + 9y = 16,95

 –12x – 20y = –27,4
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
x
9y – 20y = 16,95 – 27,4
–10,45
y=
= 0,95
–11

–11y = –10,45
y
4x + 3y = 5,65
4x + 3 × 0,95 = 5,65
4x = 5,65 – 2,85
4x = 2,80
x = 0,70

4 × 0,70 + 3 × 0,95 = 2,80 + 2,85 = 5,65
5,65 €
3 × 0,70 + 5 × 0,95 = 2,10 + 4,75 = 6,85
6,85 €

(0,70 ; 0,95)
70
95
Exercice n°15 page 78 Extrait du Brevet
a) Résoudre le système :
 6x

 3x
+ 5y = 57
+ 7y = 55,5
 6x + 5y = 57

 –6x – 14y = –111
–2
6x – 6x + 5y – 14y = 57 – 111
–9y = –54
–54
y=
–9
y=6
y
6
6x + 5y = 57
6x + 5  6 = 57
6x + 30 = 57
6x = 27
x = 4,5
(4,5 , 6)
b) Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement, des albums ou des boîtes.
Léa achète six boîtes et cinq albums et paie 57 €. Hugo achète trois boîtes et sept albums et paie 55,50 €. Quel est le
prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ?
x
y
57 €
55,50 €
6x + 5y = 57
3x + 7y = 55,50
 6x + 5y = 57

 3x + 7y = 55,5
4,50 €
6€
Exercice n°16 page 79
Parmi les quatre systèmes ci-dessous, détermine celui qui permettra de résoudre le problème suivant.
« À la boulangerie, Matteo achète deux parts de pizza et quatre parts de flan pâtissier. Il paie 12 €. Salim achète trois
parts de pizza et deux parts de flans pâtissiers. Il paie 9,80 €.
a) Quel est le prix d'une part de pizza ?
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N4 – cahier élève
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b) Quel est le prix d'une part de flan pâtissier ? »
 2x

 3x

 2x

 3x
+ 4y = 12
– 2y = 9,80
x
 2x

 3x
+ 2y = 12
+ 4y = 9,80
y
+ 4y = 12
+ 2y = 9,80

 2x + 4y = 9,80

 3x + 2y = 12
12 €
9,80 €
2x + 4y = 12
3x + 2y = 9,80
 2x + 4y = 12

 3x + 2y = 9,80

 –x

 3x
–0,5
2x = 3,8
– 2y = –6
+ 2y = 9,80
x = 1,9
3  1,9 + 2y = 9,8
3x + 2y = 9,8
5,7 + 2y = 9,8
2y = 4,1
y = 2,05
(1,90 ; 2,05)
1,90 €
2,05 €
Exercice n°18 page 79 Extrait du Brevet
Perrine a 100 €. Elle souhaite acheter des disques et des livres.
Si elle achète quatre disques et cinq livres, il lui manque 9,50 €. Si elle achète trois disques et quatre livres, il lui reste
16 €.
Calculer le prix d'un disque et celui d'un livre.

x
y

100 €
9,50 €
16 €
 4x

 3x
4x + 5y = 100 + 9,50
3x + 4y = 100 – 16
+ 5y = 109,50
+ 4y = 84

–5
4
 16x + 20y = 438

 –15x – 20y = –420
x = 18
3x + 4y = 84
3  18 + 4y = 84
54 + 4y = 84
4y = 30
y = 7,5
(18 ; 7,5)
18 €
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
7,50 €
http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/