2niv2géométrie chap3

e
Mathématiques 2 Niv.1 et 2
Troisième partie : Géométrie
Théorie chapitre 3
CHAPITRE 3 :
DROITES
§ 3.1
Condition d'alignement de trois points et pente de la droite
passant par deux points donnés.
Soit A = (xA; yA ), B = (B ; yB ) et C = (xC; yC ) trois points alignés (non situés sur une même verticale ).
On peut écrire, selon le théorème de Thales :
yB − y A yC − y A
xB − x A
y − yA
=
= B
⇔
xB − x A
xC − x A
xC − x A
yC − y A
Réciproquement, on peut démontrer que, si ces deux rapports sont égaux, alors les trois points sont
alignés.
On admet donc que l'équivalence suivante est toujours vraie, à savoir :
yB − y A yC − y A
=
xB − x A
xC − x A
⇔
A et B et C sont alignés.
elle est donc la condition d'alignement de deux points.
Remarque
Si deux points A et B sont situés sur une même verticale, alors ils ont la même première coordonnée :
xA = xB et la différence (xB – xA) vaut zéro.
De la même façon, si deux points A et B sont sur une même horizontale, alors yB – yA = 0.
C'est pour ces raisons que l'on a précisé que les points A, B et C ne devaient pas être sur une même
verticale ni sur une même horizontale, car les dénominateurs des fractions obtenus devaient être
différents de zéro.
Cependant, la formule obtenue finalement est valable pour des points situés sur une horizontale.
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Théorie chapitre 3
Exemple :
Soit les points A = ( -4 ; -4 ), B = ( -2 ; -4 ), C = (- 2 ; -1 ), D = (- 2 ; 4 ), E = ( 1 ; 3 )
et F = ( 2 ; 5 ).
y
D
•
F
•
•
E
1
C
A
•
0
•
•
1
x
B
Les points A, C et F sont alignés, car
3
yC − y A
−1+ 4
=
=
x C − x A −2 + 4 2
et
yF − y A 5 + 4 9 3
=
= =
xF − x A
2+4 6 2
mais les points A, C et E ne sont pas alignés, car
y C − y A €−1+ 4 3
y E − y A € 3 +€4 7
=
=
et
=
=
5
x C − x A −2 + 4 2
xE − x A
1+ 4
De plus, on remarque que xB = xC = xD, donc les points B, C et D sont alignés verticalement.
€
€
€
yB − yA
Le rapport m =
est le même pour tous les points situés sur la droite passant par A et B et il
xB − xA
correspond bien au rapport :
y − yA
dis tance verticale
m= B
pente de la droite AB
xB − x A
€dis tance horizontale
€Exemple :
Soit A = (-1; -4) et B = (-5; 6) . La pente de la droite AB , est m =
§ 3.2 Equation de la droite passant par deux points.
10
5
6 − (−4)
=
=−4
2
−5 − (−1)
€
€
Soit les deux points A = ( xA; yA ) et B = ( xB ; yB ) ( non situés sur la même verticale )
et soit P = ( x ; y ) un point variable appartenant à la droite AB et distinct de A et de B.
Le point P est aligné avec A et B; ses coordonnées satisfont alors à la condition d'alignement de trois
points :
yB − y A
y − yA
=
xB − x A
x − xA
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Théorie chapitre 3
La droite passant par A et B, que nous noterons dAB, est donc l'ensemble de tous les points vérifiant la
condition ci-dessus. En utilisant une notation ensembliste, on a:
y −y
y − yA
dAB = P | P = ( x ; y ) et B A =
xB − x A
x − xA
{
La condition
}
yB − y A
y − yA
=
définit complètement la droite passant par A et B ; on l'appelle la condition
xB − x A
x − xA
caractéristique (de la droite AB) et on note, de façon abusive mais bien pratique,
dAB :
yB − y A
y − yA
=
xB − x A
x − xA
Equation de la droite passant par A et B (*)
yB − y A
y − yA
=
xB − x A
x − xA
ce qui signifie que la droite AB est définie par la condition
Exemples :
1.
Si A = ( 2 ; 5 ) et B = ( 3 ; -4 ),
alors
dAB :
−4 − 5 y − 5
=
3−2
x −2
−9 y − 5
=
1 x −2
-9(x – 2) = y – 5
€
€
-9x + 18 = y – 5
-9x – y + 23 = 0
et finalement
dAB : 9x + y – 23 = 0.
Tous les points dont les coordonnées vérifient l'équation 9x + y – 23 = 0 appartiennent à la droite
dAB; par exemple, le point C = ( 1 ; 14 ) est un point de cette droite, car
9xC + yC – 23 = 9·1 + 14 – 23 = 9 + 14 – 23 = 0
mais le point D = ( 4 ; -10 ) n'appartient pas à cette droite, car
9xD + yD – 23 = 9·4 + (-10) – 23 = 36 – 33 = 3 ≠ 0.
On vérifie facilement que A et B sont bien des points de la droite passant par A et B :
9xA + yA – 23 = 9·2 + 5 – 23 = 18 + 5 – 23 = 0, donc A ∈ dAB
9xB + yB – 23 = 9·3 + (-4) – 23 = 27 – 4 – 23 = 0, donc B ∈ dAB.
2.
Si A = (a; 0) et B = (0; b) sont les points d'intersection avec les axes, on a alors :
x y
b −0
y −0
+ =1
=
⇔ b(x - a) = - ay ⇔
bx + ay = ab ⇔
a b
0−a
x −a
Remarque :
Si les points A et B sont situés sur une même verticale, alors ils ont la même première coordonnée,
c'est-à-dire xA = xB, et tous les points de la droite passant par A et B doivent avoir la même première
coordonnée ; dAB est donc définie par x = xA.
Exemple :
La droite d, passant par ( 3 ; 5 ) et ( 3 ; -4 ) est définie par d : x = 3 ou par d : x – 3 = 0.
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§ 3.3. Equation de la droite passant par un point et de pente donnée.
On peut transformer l'équation (*) ainsi :
.
y −y
y − yA
(x − x A ) et puisque B A = m, on peut écrire :
y - yA = B
xB − x A
xB − x A
y - yA = m (x - xA) Equation de la droite passant par A et de pente m
ou encore
y = m .( x - x A ) + y A
y = mx + y - m. x
A
A
y = mx + n
y = mx + n
Equation de la droite de pente m et d'ordonnée à l'origine n
Cette droite coupe l'axe des y (ensemble
des points ayant l'abscisse nulle) au
point (0; n);
par conséquent, n représente la mesure
algébrique du segment qui va
de (0; 0) à (0; n).
Exemples:
1.
Déterminer l'équation de la droite passant par A = (-10; 20) et de pente
y − 20
3
=
x − (−10) 4
2.
€
3.
⇔
4y - 80 = 3x + 30
⇔
3
:
4
d : 3x - 4y + 110 = 0
€
Soit la droite 3x + 11y + 17 = 0 . Quelle est sa pente et son ordonnée à l'origine ?
3
17
3
17
En €
écrivant y = x, on trouve sa pente m = et son ordonnée à l'origine n = .
11
11
11
11
Déterminer l'équation de la droite d passant par A = ( 2 ; 5 ) et parallèle à la droite passant par les
€
€
points ( €
-1 ; 2 )€et ( 5 ; -2 )
Nous savons que ces deux droites ont la même pente (car elles sont parallèles) ; mais la pente de la
−2 − 2
−4 −2
seconde est connue: m =
=
=
5 − (−1)
6
3
−2 y − 5
Donc d :
=
⇔ -2(x – 2) = 3(y – 5) ⇔ -2x + 4 = 3y – 15 ⇔ -2x – 3y + 19 = 0
3
x −2
Finalement
€ – 19€= 0
€d : 2x + 3x
On vérifie facilement que A appartient à d:
€
€
2xA + 3yA – 19 = 2·2 + 3·5 – 19 = 4 + 15 – 19 = 0, donc A ∈ d.
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§ 3.4 Quelques remarques à propos de la pente.
1.
Quels que soit les points A et B choisis sur un même droite (non verticale), la valeur de la pente est
toujours la même.
2.
Si deux droites (non verticales) sont parallèles ou confondues, alors elles ont la même pente et
réciproquement (Théorème de Thales).
3.
La pente d'une droite verticale n'est pas définie, car dans ce cas
y − yB
xB = xA et le dénominateur de la fraction A
est nul.
x −x
A
4.
B
La pente peut être positive, négative ou nulle.
€
Il s'agit de distinguer trois situations différentes pour une droite, c'est-à-dire une droite peut former
avec l'axe Ox un angle positif, négatif ou nul.
Pente positive
L'angle qu'une droite forme avec l'axe des x est
positif si le plus petit angle qui permet de
« rabattre » Ox sur d est parcouru en sens antihoraire (sens contraire aux aiguilles d'une montre,
comme en trigonométrie).
Exemple :
6−4
= 1
5−3
[ On peut remarquer que dans ce cas l'angle que la droite AB fait avec l'axe des x mesure 45°.]
Soit A = (3; 4 ) et B = (5; 6) . La pente de la droite passant par A et B est : m =
Pente négative
L'angle qu'une droite forme avec l'axe des x
est négatif si le plus petit angle qui permet de
« rabattre » Ox sur d est parcouru en sens
horaire (sens des aiguilles d'une montre,
comme en trigonométrie).
Exemple:
Soit A = (3; 4) et B = (7; -8). La pente de la droite passant par A et B est m =
−8 − 4
= -3.
7−3
Pente nulle
L'angle qu'une droite forme avec l'axe des x
Si l'angle est nul, c'est-à-dire la droite d est
est nul si la droite d est parallèle à Ox ou est
parallèle ou superposée à Ox,
0
y − yA
on a yA = yB et m = B
=
= 0.
xB − xA xB − xA
confondue avec Ox.
La pente est nulle.
€
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€
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§ 3.5 Equation générale de la droite.
Dans les équations
y = mx + n
ou
y - yA =
yB − y A
(x − x A )
xB − x A
on exprime y en fonction de x. Mais, d'un point de vue plus général, il n'y a pas de raison de privilégier l'une
des coordonnées par rapport à l'autre.
Ainsi, partant de l'équation
y − yA
(x − x A ) ,
y - yA = B
xB − x A
(y - yA ).(xB - xA ) =(x - xA).(yB - yA) ou
on peut écrire
x. yB - yA +y . -(xB - xA ) + - x A (yB - yA) + y A(xB - xA )
⇓
⇓
⇓
a
b
c
c'est-à-dire :
x.a + y .b
=0
+ c = 0
Il s'agit d'une équation du 1er degré à deux inconnues ( ou variables) x,y.
ax + by + c = 0
Equation générale d'une droite ou
Equation cartésienne d'une droite.
où a,b et c sont trois constantes caractérisant la droite et dépendant
de A = ( xA ; yA) et B = ( xB ; yB).
Jusqu'ici, on a démontré que
A,B et P alignés ⇒ ax + by + c = 0
On peut se demander si l'équation ax + by + c = 0 représente toujours une droite, c'est-à-dire si la proposition
réciproque est aussi vraie.
La question est donc :
Une équation quelconque du premier degré représente-elle une droite ? et exclusivement une
droite ?
On peut répondre affirmativement aux questions ci-dessus. Néanmoins, on acceptera ceci sans
démonstration.
2
En notation ensembliste, on a : d = {(x ; y) | ax + by + c = 0 et (x ; y) ∈ R }
tout en rappelant que a et b ne doivent pas être simultanément nuls.
Exemple:
On demande l'équation cartésienne de la droite passant par A = (4; 0) et B = (0; 3) .
y −3
0−3
On a
=
⇔ 4y - 3 = -3x ⇔ 3x + 4y - 3 = 0
x −0
4−0
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Remarques :
1.
La pente de la droite d, définie par ax + by + c = 0, est m = -
a
b
La pente d'une droite caractérise sa direction, cela signifie que deux droites parallèles ont la même
pente et ces pentes ne dépendent que du quotient des coefficients des variables (x et y).
Soit une droite d définie par ax + by + c = 0 (avec b ≠ 0) et soit deux points A et B appartenant à
cette droite: on a donc axA + byA + c = 0 et axB + byB + c = 0.
De ces deux relations, on tire successivement:
axA + byA + c = axB + byB + c;
axA + byA = axB + byB;
axA – axB = byB – byA;
a(xA – xB) = b(yB – yA);
-a(xB – xA) = b(yB – yA);
-
a yb − yA
=
b xb − xa
Nous avons vu précédemment que la dernière expression ci-dessus représente la pente de la droite d.
2.
€ b de la variable y est différent de
On sait que pour une droite d qui n’est pas verticale, le coefficient
zéro. On peut donc transformer son équation de la façon suivante:
a
c
ax + by + c = 0 ;
by = -ax – c ;
y=- x– ;
b
b
y = (-
a
) x + (- c )
b
b
Cette dernière écriture montre qu'à chaque x on fait correspondre exactement un y, ce qui rappelle la
fonction réelle du premier degré, f : x  mx + n, dont la représentation graphique est une droite. Pour
€
€
€
€
ce type de fonctions, on se souvient que m représente la "pente de la fonction" et n son "ordonnée à
l'origine".
a
) x + (- c ) (équation équivalente à ax + by + c = 0, si b ≠ 0), on pose
b
b
c
c
x = 0, on obtient y = - ; ce qui montre que la droite d : ax + by + c = 0 passe par le point ( 0 ; - ).
b
b
Si dans l'expression y = (-
Par analogie avec€les fonctions
€ réelles, (pour les droites non verticales) nous appellerons ordonnée à
c
l'origine (ou hauteur à l'origine) le nombre - .
€
€
b
Exemples:
1.
2.
3
5
€
Soit l'équation 3x + 16y - 5 = 0 . L'équation
donnée est équivalente à y = x+
.
16
16
3
5
La pente de la droite vaut et l'ordonnée à l'origine n =
.
16
16
On vérifie facilement que la droite d passant par A = ( -3 ; 1 ) et B = ( 3 ; 5 ) a pour équation :
2x – 3y + 9 = 0.
€
2
On peut récrire cette équation sous la forme y = x + 3 et on remarque que le graphique de cette
3
2
droite est le même que celui de la fonction f : x  x + 3.
3
y
B
•
2
3
3
A
d
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•
1
0
1
x
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Cas particuliers :
1.
Si a = b = c = 0, l'équation 0x + 0y + 0 = 0 est satisfaite par tout couple (x; y); donc tout point du plan
satisfait à l'équation;
0x + 0y + 0 = 0 est l'équation du plan, auquel appartiennent tout les points P = (x; y).
2.
Si a = b = 0 et c ≠ 0, l'équation 0x + 0y + c = 0 n'est satisfaite par aucun couple.
3.
Si b = 0, l'équation ax + c = 0 ⇔ x = -
4.
Si a = 0, l'équation by + c = 0 ⇔ y = -
c
est satisfaite par n'importe quelle valeur de y (∀ y).
a
c
Donc l'équation est satisfaite par tout couple du type (- ; y ).
a
Ces couples forment un ensemble de points situés sur une même verticale et l'équation de cette
c
droite verticale est x = - ⇔ x = const
a
€
Dans le cas c = 0, cette droite est confondue avec l'axe des y dont l'équation est x = 0.
c
est satisfaite par n'importe quelle valeur de x (∀ x). Donc
b
c
l'équation est satisfaite par tout couple du type ( x; - ).
b
€ de points situés sur une même horizontale et l'équation de cette
Ces couples forment un ensemble
c
droite horizontale est y = - ⇔ y = const
b
Dans la cas c = 0, cette droite est confondue avec l'axe des x dont l' équation est y = 0
5.
Si c = 0, alors l'équation devient ax + by = 0
et le point ( 0 ; 0 ) vérifie cette équation: a·0 + b·0 = 0 + 0 = 0.
Cette droite passe donc par l'origine O = ( 0 ; 0 ).
§ 3.6 Intersection de deux droites
Deux droites peuvent soit se couper en un point, soit être gauches (pas d'intersection), soit être confondues.
Point de vue des ensembles :
L'intersection est un couple
d1 ∩ d2 = S = { (xo; y0)}
L'intersection est l'ensemble
L'intersection est un
vide
ensemble contenant une
d1 ∩ d2 = ∅
infinité de couples
d1 ∩ d2 = d2 = d1
Point de vue de la géométrie :
d1
d1
d2
d1 = d 2
d2
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Point de vue de l'algèbre :
Puisque les droites sont des ensembles de points définis par des équations caractéristiques, cela signifie
qu'un point appartient à une droite donnée que si ses coordonnées vérifient l'équation caractéristique de
cette droite.
Le point d'intersection de deux droites est un point, qui, s'il existe, appartient aux deux droites : ses
coordonnées doivent donc vérifier les deux équations caractéristiques des droites. Pour trouver ce point il
faut donc résoudre le système formé des deux équations .
Triangulation
Cas 1 :
Cas 2 :
"$ a x + b y
1
1
#
$% a2 x + b2 y
= −c1
= −c 2
Cas 3 :
"$ a x + b y = −c
1
1
1
#
$% a2 x + b2 y = −c 2
⇔
#% a x + b y = −c
1
1
1
$
0x
+
0y
=
k
≠
0
&%
"$ a x + b y = −c
1
1
1
#
$% a2 x + b2 y = −c 2
⇔
"$ a x + b y = −c
1
1
1
#
0x
+
0y
=
0
%$
S=∅
S = {(x; y) | (x; y) ∈
a 1x + b 1y + c 1 = 0 }
S = { (xo; y0)}
2
et
Cramer
D = a1b2 - b1a2 ≠ 0
"$ a x + b y
1
1
#
$% a2 x + b2 y
La règle de Cramer ne peut être appliquée dans ces
= −c1
deux cas, puisque :
D = a 1b 2 - b 1a 2 = 0
⇔
= −c 2
(cf algèbre).
!
# x0
#
"
# y
#$ 0
=
=
Dx
D
Dy
')! D D $+)
S = (# x ; y &, ;
)*" D D %)-
D
Exemples :
1.
Le point d'intersection des droites d1 : 2x – 3y – 9 = 0 et d2 : 2x + y – 5 = 0 est défini par le système
d'équations:
"$ 2x − 3y − 9 = 0
#
$% 2x + y − 5 = 0
On résout ce système par la méthode habituelle:
"$ 2x − 3y
#
%$ 2x + y
= 9
= 5
−1
1
"$ 2x − 3y
#
4y
%$
=
9
= −4
d'où y = -1 et ensuite x = 3.
Le point d'intersection des droites d1 et d2 est le point I = ( 3 ; -1 ).
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Théorie chapitre 3
On vérifie:
2.
2xI – 3yI – 9 = 2·3 – 3·(-1) – 9 = 6 + 3 – 9 = 0,
donc I ∈d 1
2xI + yI – 5 = 2·3 + (-1) – 5 = 6 – 1 – 5 = 0,
donc I ∈d 2
Déterminer l’intersection (si elle existe) des droites d1 : 5x – y + 2 = 0 et d2 : x + y – 8 = 0
"$ 5x − y
#
$% x + y
= −2
Par triangulation, on a
=8
"$ 5x − y
#
$%
6x
!# y
"
#$ x
= −2
=6
=7
=1
S = {(1; 7)}
En utilisant la méthode de Cramer, on a :
D=
5 −1
=6
1 1
Dx =
−2 −1
8 1
= 6 Dy =
5 −2
1 8
= 42
S = {(1; 7)}
Les deux droites se coupent en un point.
3.
Déterminer l’intersection (si elle existe) des droites d1 : 3x + 4y - 2 = 0 et d2 : -6x - 8y – 2 = 0
"$ 3x + 4y
#
$% −6x − 8y
=2
=2
" 3x + 4y = 2
Par triangulation, on a : #
et S = ∅
$0x + 0y = 6
Il n'est pas possible d'utiliser la méthode de Cramer, puisque a1b2 - b1a2 = 0
L'ensemble-solution étant vide, les deux droites sont
€ donc parallèles.
4.
Déterminer l’intersection (si elle existe) des droites d1 : 3x + 4y - 2 = 0 et d2 : -6x - 8y – 2 = 0
"$ 3x + 4y
#
$% −6x − 8y
=2
= −4
!3x + 4y
Par triangulation, on obtient : "
# 0x + 0y
S = {(x,y) | 3x + 4y = 2} = {(x,y) | x = α et y =
=
2
=
0
2 − 3α
et α ∈ }.
4
Il existe donc une infinité de couples communs et les deux droites sont superposées (confondues).
Comme précédemment, il n'était pas possible d'utiliser la méthode de Cramer,
puisque a1b2 - b1a2 = 0.
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Théorie chapitre 3
§ 3.7 Droites parallèles ou confondues
Soit les deux droites :
d 1 : a 1x + b 1y + c 1 = 0
a
avec m1 = - 1
b1
d 2 : a 2x + b 2y + c 2 = 0
a
avec m2 = - 2
b2
Si ces droites sont parallèles ou confondues, on a m1 = m2 et par conséquent : -
a1
a
=- 2
b1
b2
c'est-à-dire m1 = m2 ⇔ a1b 2 − a 2b1 = 0
Les coefficients de deux droites parallèles ou confondues doivent satisfaire à une des deux
€
€
conditions ci-dessus qui sont équivalentes.
Cas particuliers :
Deux droites horizontales sont parallèles ainsi que deux droites verticales.
Exemples:
3
3
x + 7 et y = - x - 6 sont parallèles car m1 = m2
4
4
Les droites 3x - 4y - 8 = 0 et -9x + 12y - 17 = 0 sont parallèles, car a1b2 - b1a2 = 3·12 - (-9) ·(-4) = 0
1.
Les droites y = -
2.
€
€ d'une droite parallèle à la droite d : 3x + 2y – 4 = 0 et passant par le point
Pour déterminer
l'équation
A = ( 3 ; -2 ), on utilise le fait que toutes les droites dont les équations sont 3x + 2y + c = 0,
auront la même pente que d (car les coefficients de x et de y sont les mêmes que ceux de la droite d).
Il ne reste qu'à déterminer la valeur du coefficient libre, c: on doit avoir 3xA + 2yA + c = 0,
c'est-à-dire : 3·3 + 2·(-2) + c = 0, d'où l'on tire c = -9 + 4 = -5.
La droite p : 3x + 2y – 5 = 0 passe par le point A et elle est parallèle la droite d.
3.
En reprenant les exemples 2, 3 et 4 du paragraphe précédent.
i) Pour les droites
d1 : 5x - y = -2
et
d2 : x + y = 8
a1b2 - b1a2 = 5.1 - 1.(-1) = 6 ≠ 0.
Les deux droites ne sont pas parallèles. Elles ont une intersection
ii) Pour les droites
d1 : 3x + 4y = 2
et
d2 : -6x - 8y = 2
a1b2 - b1a2 = 3.(-8) - (-6).4 = 0.
Les deux droites ont la même pente. Ici, elles sont parallèles.
iii) Pour les droites
d1 : 3x + 4y = 2
et
d2 : -6x - 8y = -4
a1b2 - b1a2 = 3.(-8) - (-6).4 = 0.
Les deux droites ont la même pente. Ici, elles sont confondues.
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2012 - 2013
CH. 3, P.21
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Troisième partie : Géométrie
Théorie chapitre 3
§ 3.8 Droites perpendiculaires
Nous voudrions maintenant avoir un critère simple qui nous permette de savoir si deux droites données par
leurs équations sont perpendiculaires ou non.
Pour cela, nous allons utiliser le théorème de Pythagore:
Si deux droites (d1 et d2) se coupent en un seul point (I) et si l'on choisit un point sur chacune des deux
droites (par exemple A sur d1 et B sur d2), alors les deux droites seront perpendiculaires si le triangle ABI
2
2
2
est rectangle en I, c'est-à-dire si [δ(A; I)] +[δ(B; I)] = [δ(A;B)] .
y
d1
A
•
I
•
B•
0
d2
x
Exemple :
Soit les droites d1 : 2x – 3y – 9 = 0 et d2 : 2x + y – 5 = 0 de l'exemple précédent.
Nous savons déjà que leur point d'intersection est I = ( 3 ; -1 ).
Choisissons maintenant un point A sur d1 et un point B sur d2: par exemple
A = ( 6 ; 1 ) et B = ( 1 ; 3 ) (on vérifie facilement que A ∈ d1 et B ∈ d2).
[δ(A; I)] + [δ(B; I)] = [(3 – 6)2 + (-1 – 1)2] + [(3 – 1)2 + (-1 – 3)2]
2
2
= (-3)2 + (-2)2 + 22 + (-4)2 + = 9 + 4 + 4 + 16 = 33
2
[δ(A;B)] = (1 – 6)2 + (3 – 1)2 = (-5)2 + 22 = 25 + 4 = 29
2
2
2
donc [δ(A; I)] +[δ(B; I)] ≠ [δ(A;B)] , ce qui signifie que les droites d1 et d2 ne sont pas
perpendiculaires.
Si l'on procède de la même façon dans le cas général, c'est-à-dire avec deux droites quelconques
d1 : a1x + b1y + c1 = 0 et d2 : a2x + b2y + c2 = 0,
on peut démontrer que ces deux droites sont perpendiculaires si et seulement si la condition
a1·a2 + b1·b2 = 0 est remplie.
Le fait que cette condition ne dépende pas des coefficients c1 et c2 ne doit pas nous étonner ; en effet, nous
savons qu'en modifiant le coefficient libre, on ne fait que déplacer la droite parallèlement à elle même, sans
changer sa direction.
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Théorie chapitre 3
Démonstration du cas général :
Soit les deux droites :
d 1 : a 1x + b 1y + c 1 = 0
d2 : a2x + b2y + c2 = 0 et A ∈ d1 ∩ d2
A = (xA; yA) ∈ d1 ⇔ a1xA + b1yA + c1 = 0
A = (xA; yA) ∈ d2 ⇔ a2xA + b2yA + c2 = 0
A quelle condition doivent satisfaire les coefficients de ces deux droites pour qu'elles soient
perpendiculaires ?
Soit B un point de la droite d1. Comme d1 est de pente -
a1 −a1
=
, ses coordonnées peuvent
b1
b1
s'exprimer, à partir de celles du point A, de la manière suivante :
xB = xA + kb1
yB = yA - ka1
€
€
On vérifie facilement que ce couple satisfait à l'équation de d1.
et k ∈
*
Soit C un point de la droite d2. On peut également exprimer ses coordonnées de la manière suivante :
xC = xA + hb2
yC = yA - ha2
et h ∈
*
On vérifie facilement que ce couple satisfait à l'équation de d2.
a)
b)
d1
B
d1
B
A
d2
C
d2
C
A
Afin que les deux droites soient perpendiculaires, il faut que le triangle ABC satisfasse au théorème
de Pythagore. Dans ce but, on calcule :
2
2
2
2
2
2 2
2 2
[δ(A;B)] = (xB - xA ) + ( yB - yA ) = (kb1) + (-ka1) = k b1 + k a1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[δ(A;C)] = (xC - xA ) + ( yC - yA ) = (hb2 ) + (-ha2 ) = h b2 + h a2
2
2
2
[δ(B;C)] = (xC - xB ) + ( yC - yB ) = (hb2 - kb1) + (-ha2 - (-ka1)) =
2
2
2
2
2
2
2
2
= h b2 + k b1 - 2hkb1b2 + h a2 + k a1 - 2hka1a2
Le triangle est rectangle si :
2
2
2
[δ(A;B)] + [δ(A;C)] = δ(B;C)] , c'est-à-dire, lorsque :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k b1 + k a1 + h b2 + h a2 = h b2 + k b1 - 2hkb1b2 + h a2 + k a1 - 2hka1a2
c'est-à-dire si : -2hka1a2 - 2hkb1b2 = 0.
Puisque h ∈
* et k ∈
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* , on a : a1a2 + b1b2 = 0
(CQFD)
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En résumé
La condition de perpendicularité de deux droites s'exprime donc ainsi : a1b1 + b1b 2 = 0
Exemples :
1.
€
En reprenant l'exemple précédent, on voit que ce critère simplifie beaucoup les calculs !
Si d1 : 2x – 3y – 9 = 0 et d2 : 2x + y – 5 = 0, alors a1·a2 + b1·b2 = 2·2 + (–3)·1 = 4 – 3 = 1 ≠ 0
donc les droites ne sont pas perpendiculaires.
2.
Les droites d1 : 4x – 2y + 5 = et d2 : 3x + 6y – 1 = 0 sont perpendiculaires, car
a1·a2 + b1·b2 = 4·3 + (-2)·6 = 12 – 12 = 0.
Remarque :
La condition de perpendicularité est utilisable, quelle que soit la position des deux droites, même si
l'une d'entre elles est verticale.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessous, où d1 est une droite verticale, on a xA = xB et b1 = 0, a1 ≠ 0
a 1a 2 + b 1b 2 = 0
⇒
a 1a 2 = 0
⇒
a2 = 0, c'est-à-dire b2y + c2 = 0 (droite horizontale)
Exemple :
Soit la droite horizontale d1 d'équation : 2 y + 5 = 0 et la droite verticale d2 d'équation : x - 6 = 0.
La condition de perpendicularité est également utilisable et vérifiable dans ce cas.
En effet, 0.1 + 2.0 = 0
Dans le cas où les droites seraient données sous la forme y = mx + n, la condition a1a2 + b1b2 = 0 peut être
traduite en une condition pour m1 et m2.
Si b1 ≠ 0, on peut écrire : d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ⇔ y = m1x + n1 avec m1= -
a1
b1
Si b2 ≠ 0, on peut écrire : d2 : a2x + b2y + c2 = 0 ⇔ y = m2x + n2
a2
b2
avec m2= -
Dans ce cas, la condition a1a2 + b1b2 = 0 peut s'écrire a1a2 = - b1b2 d'où
a1a2
= -1,
b1b2
ce qui correspond à : m1.m2 = -1.
La condition de perpendicularité de deux droites s'exprime donc également ainsi :
m1 ⋅ m2 = −1
€
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On peut dire de manière équivalente que, si deux droites sont perpendiculaires,
alors leurs pentes m1 et m2 doivent satisfaire à la condition m1 = −
1
m2
c'est-à-dire la pente de l'une est l'inverse de l'opposé de l'autre.
Remarque :
Dans le cas où une des droites est verticale, donc d'une droite d'équation x = constante comme on l'a
vu, la pente n'est pas définie; la droite perpendiculaire à celle-ci sera donc horizontale et d'équation y
= constante avec une pente égale à zéro.
Exemple :
Soit les droites :
d1 : 2x - 8y + 5 = 0 et d2 passant par le point A = (-3; 7) et de pente m2 = -4.
Sont-elles perpendiculaires ?
La pente m1 de d1 étant de
1
et la pente m2de d2étant de -4, les deux droites sont perpendiculaires
4
puisque m1. m2 = -1
€
§ 3.9 Distance d'un point à une droite
Pour connaître la distance d'un point
y
d
A
•
donné (A) à une droite donnée (d), on
peut commencer par trouver la
perpendiculaire (p) à la droite passant
par le point, puis on cherche le point
H •
d'intersection de la droite et de la
perpendiculaire (H), la distance du
p
point à la droite est alors la distance
du point donné au point d'intersection
0
x
AH = δ(A,H).
€
Notation
Nous noterons δ(A,d) la distance du point A à la droite d.
Avec cette notation, dans le schéma ci–dessus δ(A,d) = AH (= δ (A,H ))
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Exemple :
Pour chercher la distance de la droite d : x – 2y + 4 = 0 au point A = ( 4 ; -1 ), on suit la marche à
suivre décrite précédemment.
On sait que les perpendiculaires p à la droite d ont pour équation : 2x + y + c = 0 ; celle qui passe par
A doit vérifier 2xA + yA + c = 0, d'où c = -2xA – yA = -2·4 – (-1) = -8 + 1 = –7.
La perpendiculaire cherchée est donc p : 2x + y – 7 = 0.
On sait que le point d'intersection des droites d et p est donné par les solutions du système
#x − 2y + 4 = 0
$
%2x + y − 7 = 0
on résout ce système:
€
#x − 2y = −4 1
$
%2x + y = 7 2
#x − 2y = −4
$
= 10
% 5x
d'où H = ( 2 ; 3 ).
Finalement
€
δ(A,d) = AH =
(24)2 + (3 + 1)2 =
€
22 + 4 2 =
4 + 16 =
20 = 2 5
€
Si l'on procède de la même façon dans le cas général, c'est-à-dire
avec un point A = ( xA ; yA ) et une droite d : ax + by + c = 0, on peut démontrer que
la distance de A à d dépend de la valeur des expressions (axA + byA + c) et
δ(A,d) =
a2 + b2 :
| ax A + by A + c |
a2 + b2
Exemple :
Appliquée à l'exemple précédent, la formule donne
δ(A,d) =
| 4 ⋅1− 2 ⋅ (−1) + 4 |
2
1 +2
2
=
10 2 ⋅ 5
=
=2 5
5
5
On obtient bien le même résultat, mais beaucoup plus facilement !
En résumé :
La distance de la droite d : ax + by + c = 0 au point A = ( xA ; yA ) est donnée par la formule
δ(A,d) =
| ax A + by A + c |
a2 + b2
Avec ce qui précède, nous pouvons facilement déterminer les médiatrices, les médianes et les hauteurs et
aussi l'aire d'un triangle
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