Définition: Propriétés - Collège Charles Péguy

F i c h e c o n n a i s s a n c e , j ' a p p r e n d s
T h è m e D E s p a c e e t g é o m é t r i e
À l a f i n d e l a 3 e, j e d o i s
s a v o i r :
U t i l i s e r l e s n o t i o n s d e g é o m é t r i e p l a n e p o u r
d é m o n t r e r .
C e t t e f i c h e p o r t e s u r L e P a r a l l é l o g r a m m e
5e - 4 e - 3 e S y n t h è s e
D é f i n i t i o n :
U n p a r a l l é l o g r a m m e
e s t u n
q u a d r i l a t è r e
d o n t l e s c ô t é s
o p p o s é s s o n t p a r a l l è l e s
.
E x e m p l e :
( A B ) / / ( D C )
( A D ) / / ( B C )
R e m a r q u e s i m p o r t a n t e s :
L e c a r r é , l e r e c t a n g l e , l e l o s a n g e f o n t p a r t i e d e l a
f a m i l l e d e s p a r a l l é l o g r a m m e s .
P r o p r i é t é s
C e n t r e d e s y m é t r i e
U n p a r a l l é l o g r a m m e a d m e t u n c e n t r e d e s y m é t r i e
.
O n l ' a p p e l l e l e c e n t r e d u p a r a l l é l o g r a m m e
.
C ' e s t l ' i n t e r s e c t i o n d e s d i a g o n a l e s
.
E x e m p l e :
C o n s é q u e n c e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s s e s
diagonales se coupent en leur milieu.
•S i u n q u a d r i l a t è r e a s e s d i a g o n a l e s q u i s e c o u p e n t e n l e u r
m i l i e u , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
C ô t é s e t a n g l e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s l e s c ô t é s
o p p o s é s o n t m ê m e l o n g u e u r e t l e s a n g l e s o p p o s é s o n t m ê m e
m e s u r e .
•S i u n q u a d r i l a t è r e à s e s c ô t é s o p p o s é s d e u x à d e u x
d e même
longueur a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e
•S i u n q u a d r i l a t è r e a d e u x c ô t é s
o p p o s é s p a r a l l è l e s e t d e
m ê m e l o n g u e u r , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
AB
DC
60°
A
DC
B
O

F i c h e c o n n a i s s a n c e , j ' a p p r e n d s
T h è m e D E s p a c e e t g é o m é t r i e
À l a f i n d e l a 3 e, j e d o i s
s a v o i r :
U t i l i s e r l e s n o t i o n s d e g é o m é t r i e p l a n e p o u r
d é m o n t r e r .
C e t t e f i c h e p o r t e s u r L e P a r a l l é l o g r a m m e
5e - 4 e - 3 e S y n t h è s e
D é f i n i t i o n :
U n p a r a l l é l o g r a m m e
e s t u n
q u a d r i l a t è r e
d o n t l e s c ô t é s
o p p o s é s s o n t p a r a l l è l e s
.
E x e m p l e :
( A B ) / / ( D C )
( A D ) / / ( B C )
R e m a r q u e s i m p o r t a n t e s :
L e c a r r é , l e r e c t a n g l e , l e l o s a n g e f o n t p a r t i e d e l a
f a m i l l e d e s p a r a l l é l o g r a m m e s .
P r o p r i é t é s
C e n t r e d e s y m é t r i e
U n p a r a l l é l o g r a m m e a d m e t u n c e n t r e d e s y m é t r i e
.
O n l ' a p p e l l e l e c e n t r e d u p a r a l l é l o g r a m m e
.
C ' e s t l ' i n t e r s e c t i o n d e s d i a g o n a l e s
.
E x e m p l e :
C o n s é q u e n c e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s s e s
diagonales se coupent en leur milieu.
•S i u n q u a d r i l a t è r e a s e s d i a g o n a l e s q u i s e c o u p e n t e n l e u r
m i l i e u , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
C ô t é s e t a n g l e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s l e s c ô t é s
o p p o s é s o n t m ê m e l o n g u e u r e t l e s a n g l e s o p p o s é s o n t m ê m e
m e s u r e .
•S i u n q u a d r i l a t è r e à s e s c ô t é s o p p o s é s d e u x à d e u x
d e même
longueur a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e
•S i u n q u a d r i l a t è r e a d e u x c ô t é s
o p p o s é s p a r a l l è l e s e t d e
m ê m e l o n g u e u r , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
AB
DC
60°
A
DC
B
O

F i c h e c o n n a i s s a n c e , j ' a p p r e n d s
T h è m e D E s p a c e e t g é o m é t r i e
À l a f i n d e l a 3 e, j e d o i s
s a v o i r :
U t i l i s e r l e s n o t i o n s d e g é o m é t r i e p l a n e p o u r
d é m o n t r e r .
C e t t e f i c h e p o r t e s u r L e P a r a l l é l o g r a m m e
5e - 4 e - 3 e S y n t h è s e
D é f i n i t i o n :
U n p a r a l l é l o g r a m m e
e s t u n
q u a d r i l a t è r e
d o n t l e s c ô t é s
o p p o s é s s o n t p a r a l l è l e s
.
E x e m p l e :
( A B ) / / ( D C )
( A D ) / / ( B C )
R e m a r q u e s i m p o r t a n t e s :
L e c a r r é , l e r e c t a n g l e , l e l o s a n g e f o n t p a r t i e d e l a
f a m i l l e d e s p a r a l l é l o g r a m m e s .
P r o p r i é t é s
C e n t r e d e s y m é t r i e
U n p a r a l l é l o g r a m m e a d m e t u n c e n t r e d e s y m é t r i e
.
O n l ' a p p e l l e l e c e n t r e d u p a r a l l é l o g r a m m e
.
C ' e s t l ' i n t e r s e c t i o n d e s d i a g o n a l e s
.
E x e m p l e :
C o n s é q u e n c e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s s e s
diagonales se coupent en leur milieu.
•S i u n q u a d r i l a t è r e a s e s d i a g o n a l e s q u i s e c o u p e n t e n l e u r
m i l i e u , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
C ô t é s e t a n g l e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s l e s c ô t é s
o p p o s é s o n t m ê m e l o n g u e u r e t l e s a n g l e s o p p o s é s o n t m ê m e
m e s u r e .
•S i u n q u a d r i l a t è r e à s e s c ô t é s o p p o s é s d e u x à d e u x
d e même
longueur a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e
•S i u n q u a d r i l a t è r e a d e u x c ô t é s
o p p o s é s p a r a l l è l e s e t d e
m ê m e l o n g u e u r , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
AB
DC
60°
A
DC
B
O

F i c h e c o n n a i s s a n c e , j ' a p p r e n d s
T h è m e D E s p a c e e t g é o m é t r i e
À l a f i n d e l a 3 e, j e d o i s
s a v o i r :
U t i l i s e r l e s n o t i o n s d e g é o m é t r i e p l a n e p o u r
d é m o n t r e r .
C e t t e f i c h e p o r t e s u r L e P a r a l l é l o g r a m m e
5e - 4 e - 3 e S y n t h è s e
D é f i n i t i o n :
U n p a r a l l é l o g r a m m e
e s t u n
q u a d r i l a t è r e
d o n t l e s c ô t é s
o p p o s é s s o n t p a r a l l è l e s
.
E x e m p l e :
( A B ) / / ( D C )
( A D ) / / ( B C )
R e m a r q u e s i m p o r t a n t e s :
L e c a r r é , l e r e c t a n g l e , l e l o s a n g e f o n t p a r t i e d e l a
f a m i l l e d e s p a r a l l é l o g r a m m e s .
P r o p r i é t é s
C e n t r e d e s y m é t r i e
U n p a r a l l é l o g r a m m e a d m e t u n c e n t r e d e s y m é t r i e
.
O n l ' a p p e l l e l e c e n t r e d u p a r a l l é l o g r a m m e
.
C ' e s t l ' i n t e r s e c t i o n d e s d i a g o n a l e s
.
E x e m p l e :
C o n s é q u e n c e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s s e s
diagonales se coupent en leur milieu.
•S i u n q u a d r i l a t è r e a s e s d i a g o n a l e s q u i s e c o u p e n t e n l e u r
m i l i e u , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
C ô t é s e t a n g l e s
:
•S i u n q u a d r i l a t è r e e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e , a l o r s l e s c ô t é s
o p p o s é s o n t m ê m e l o n g u e u r e t l e s a n g l e s o p p o s é s o n t m ê m e
m e s u r e .
•S i u n q u a d r i l a t è r e à s e s c ô t é s o p p o s é s d e u x à d e u x
d e même
longueur a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e
•S i u n q u a d r i l a t è r e a d e u x c ô t é s
o p p o s é s p a r a l l è l e s e t d e
m ê m e l o n g u e u r , a l o r s c ' e s t u n p a r a l l é l o g r a m m e .
AB
DC
60°
A
DC
B
O

F i c h e M é t h o d e , j e s a i s :
Tra c e r u n p a r a l l é l o g r a m m e c o n n a i s s a n t t r o i s s o m m e t s .
É n o n c é
:
Tr a c e r l e p a r a l l é l o g r a m m e A B C D t e l q u e A B = 5 c m , A D = 3 c m e t
^
DAB
= 5 0 ° .
Av a n t d e c o m m e n c e r à t r a c e r
:
J e d e s s i n e u n e f i g u r e à m a i n s l e v é e s u r u n
b r o u i l l o n . J e c o d e c e t t e f i g u r e e t j ' é c r i s l e s
m e s u r e s d e s s u s .
R é s o l u t i o n
:
O n t r a c e l e c ô t é [ A B ] à l a r è g l e , l ' a n g l e d e 5 0 ° a u
r a p p o r t e u r e t l e c ô t é [ A D ] à l a r è g l e .
E n s u i t e t r o i s c o n s t r u c t i o n s s o n t p o s s i b l e s :
T h è m e D E s p a c e e t g é o m é t r i e
À l a f i n d e l a 3 e , j e d o i s s a v o i r
:
M e t t r e e n o e u v r e o u é c r i r e u n p r o t o c o l e d e c o n s t r u c t i o n d ’ u n e f i g u r e g é o m é t r i q u e .
C e t t e f i c h e v a m ' a p p r e n d r e à T r a c e r u n p a r a l l é l o g r a m m e d e 3 m a n i è r e s d i f f é r e n t e s .
S . B e l t z u n g , C o l l è g e C h a r l e s P é g u y 6 8 3 1 0 W i t t e l s h e i m , 2 0 1 6
AB
C
D
5 cm
3 cm
50°