Correction de la force subie par une bulle en fluide newtonien et
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19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Correction de la force subie par une bulle en fluide newtonien et non newtonien aux faibles nombres de Reynolds. Applications à la microfluidique. A. DESPEYROUXa, A. AMBARIa, A. BEN RICHOUa,b a. Arts et Métiers ParisTech, EMT, 2, bd du Ronceray, BP 93525, 49035 Angers cedex 01, France b. EMET – Faculté des Sciences et Techniques de Beni-Mellal – BP 523 – Maroc Résumé : Dans une première étape, nous avons déterminé les corrections à apporter à la force hydrodynamique subie par une bulle quand celle-ci se déplace dans l’axe d’un microcapillaire. Cette correction a été calculée dans le cas des fluides newtoniens et non newtoniens de type Ostwald rhéoépaississant ou rhéofluidifiant. La solution de ce problème a été obtenue numériquement aux faibles nombres de Reynolds pour lesquels la bulle est sphérique, en utilisant deux méthodes numériques, une méthode variationnelle et des calculs asymptotiques en régime de lubrification. A l'extérieur de la bulle, les fonctions de courant et de vorticité sont écrites dans un système de coordonnées curvilignes et orthogonales épousant le contour de la bulle et les parois cylindriques du tube. Le maillage a été réalisé par la méthode des singularités, correspondant à un écoulement interne. Les résultats ont été comparés avec succès à ceux que nous avons obtenus par la méthode des volumes finis, d’une part, et avec des résultats obtenus par la méthode de dissipation minimale d’énergie d’autre part. La validité de l’ensemble de ces résultats a été corroborée par nos calculs asymptotiques en régime de lubrification. Abstract : Firstly, we determined the correction factor to the hydrodynamic force undergone by a bubble when it translates in the axis of a microcapillary. This correction factor has been calculated for both Newtonian and shear-thickening or shear-thinning power-law fluids. The solution of this problem has been obtained for very low Reynolds number in which the bubble remains spherical. To achieve this, we used two different numerical methods, a variational method and an asymptotic one in the lubrication regime. In the external flow around the bubble, the stream and vorticity functions are written in curvilinear and orthogonal coordinates matching the boundaries of the bubble and of the cylindrical tube. An orthogonal mesh has been obtained by the singularities method corresponding to the flow of an inviscid fluid around the bubble. In the one hand, our results are compared successfully with those obtained by the finite volume method, and with the results given by the minimal dissipation energy method, in the other hand. The validity of all our results has been corroborated by our asymptotic calculations in the lubrication regime. Mots clefs : bulles, microfluidique, écoulements multiphasiques, fluides non newtoniens, interactions hydrodynamiques. 1 Introduction Dans les systèmes microfluidiques [1], on est de plus en plus intéressés par l’entraînement de petites bulles par un fluide qui peut être newtonien ou non newtonien. Ce mouvement ne peut échapper aux interactions hydrodynamiques entre ces bulles et les parois des microcanaux. Dans de nombreuses autres applications industrielles faisant intervenir des bulles (dans les domaines du génie chimique, pétrochimique, biochimique, biologique, agroalimentaire, génie de l'environnement), l’intérêt de bien déterminer les efforts hydrodynamiques subis par ces microbulles et tenant compte des interactions hydrodynamiques en fluide non newtonien n’est plus à prouver [2]. Dans le cas des fluides newtoniens et en milieu infini, les écoulements autour et à l'intérieur d'une sphère fluide se déplaçant à vitesse constante ont été obtenus analytiquement par Hadamard [3] et Rybczynski [4] 1 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 aux faibles nombres de Reynolds. Ceci dans l’hypothèse où la vitesse et la contrainte tangentielle de cisaillement sont continues sur l'interface entre les deux fluides et sans tenir compte du saut de pression dû à la tension interfaciale : F0 (α ) = 6πµeU 0 a 3 + 2α 3 + 3α (1) Où α = µe µi est le rapport de la viscosité du fluide support µe sur la viscosité de la goutte µi et a le rayon de cette dernière. En particulier, dans le cas d’une bulle ( α → ∞ ), la force subie par celle-ci en milieu illimité se réduit à : F0 = 4πµeU 0 a . Dans le cas où le fluide support est non newtonien de type loi de puissance qui décrit convenablement la rhéofluidification ou le rhéoépaississement, la force subie par la bulle en milieu infini présente de grandes difficultés analytiques, à l’instar de la force de type Stokes sur une sphère rigide dans le même fluide [5]. Dans cette communication, nous allons apporter une solution numérique et asymptotique comparée aux résultats obtenus à l’aide d’une approche semi-analytique basée sur la méthode variationnelle utilisée par de nombreux auteurs dans le cas d’une sphère rigide [6]. 2 Formulation et résolution du problème Notre objectif est de déterminer la force subie par une bulle sphérique de rayon a se déplaçant à la vitesse constante U 0 dans l’axe d’un tube de rayon b = a k rempli d’un fluide d’Ostwald dont la loi de comportement est décrite par : σ = − pδ + 2m(2 DII )( n −1) 2 D où σ est le tenseur des contraintes, D = (1 2 ) ( ∇u + ∇t u ) le tenseur taux de déformations où DII = tr ( D 2 ) est son second invariant, p la pression dans le fluide extérieur, m la consistance ( Pa.s n ) , n l’indice de fluidité, et u la vitesse de l’écoulement du fluide extérieur à la bulle. Cette loi décrit un comportement rhéofluidifiant ( pour n < 1) ou rhéoépaississant ( pour n > 1) de viscosité apparente µa = m ( 2 DII )( n −1) 2 . Cet écoulement s’effectuant à des nombres de Reynolds généralisés très faibles Re n = ρU 0 2 − n ( 2a ) m ≪ 1 . Dans ces conditions, la bulle conserve sa forme sphérique tant que son volume ne n dépasse pas celui du tube dans lequel elle se déplace. Ainsi, nous sommes amenés à considérer le problème de la bulle avec les mêmes hypothèses que pour la bulle d’Hadamard. Le problème étudié se réduit à résoudre en régime thermique isotherme les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement du fluide extérieur suivantes : ∇.u = 0 ∂u ρ + u.∇ u = −∇ p + ∇. µ a D ∂t ( ) ( (2) ) avec la condition de glissement à la paroi de la bulle. Ces équations ont été résolues sous forme adimensionnelle par l’utilisation de la longueur, de la vitesse, de la pression et du temps caractéristiques ( respectifs suivants : lc = a , U c = U 0 , pc = m (U 0 a ) et tc = ρ a 2 m (U 0 a ) n n −1 ). Dans le cas d’un fluide d’Ostwald, la force hydrodynamique subie par la bulle se déplaçant axialement dans un microtube avec un confinement k = a b peut s’écrire sous la forme : F ( n, k ) = 4π m (U 0 2a ) n −1 aU 0 λ ( n, k ) (3) où λ ( n, k ) = λ ( n, k = 0 ) λ+ ( n, k ) avec λ ( n, k = 0 ) correspondant au facteur multiplicatif dans le cas d’un milieu infini. λ+ ( n, k ) peut être considéré comme le facteur de correction de la force subie par la bulle en milieu confiné par rapport à celle qu’elle subit en milieu infini. Celui-ci dépend du confinement k = a b et de la loi de comportement du fluide par le biais de son indice de fluidité n (couplage non linéaire). Dans tous les cas, nous sommes confrontés à la difficulté de la détermination de ce facteur multiplicatif λ ( n, k = 0 ) . A notre connaissance, ce facteur n’a jamais été déterminé pour les très faibles nombres de Reynolds en milieu infini, ni confiné. Vu la difficulté de l’obtention d’une solution analytique hors du régime 2 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 asymptotique, nous avons opté pour une résolution numérique dont la validité sera confirmée indirectement par une analyse asymptotique. Le calcul de λ ( n, k ) a été obtenu en résolvant les équations dynamiques en formulation fonction de courant ψ et de la vorticité ω , écrites dans un système de coordonnées curvilignes orthogonales épousant parfaitement le contour de la bulle et les parois cylindriques du tube. Cette technique est bien décrite dans [7]. Il est à rappeler que la construction du maillage a été traitée par l’utilisation de la méthode des singularités [7-11]. Celle-ci consiste en la détermination des équipotentielles et des lignes de courant de l’écoulement d’un fluide parfait incompressible et irrotationnel, dans cette même configuration géométrique. Le maillage fourni par ces équipotentielles et ces lignes de courant est utilisé en tant que transformation conforme numérique pour la génération d’un maillage orthogonal de notre géométrie. Sur celui-ci, les techniques (A.D.I.) et (S.O.R.) [12] sont appliquées pour calculer les fonctions de ψ et ω de l’écoulement du fluide en loi de puissance à l'extérieur de la bulle suivant un schéma du deuxième ordre en temps et en espace. Nous avons obtenu des résultats stables, précis utilisant un temps de calcul minimal, par le choix d’un maillage adapté s'inspirant de nos études antérieures. Le critère de convergence est assuré par la condition suivante : ( λ ( n, k ) − λ ( n, k ) ) i +1 λ i +1 ( n, k ) < 10−6 i Afin de vérifier la précision de nos calculs numériques, nous avons comparé nos résultats avec ceux obtenus à l’aide du code de type volumes finis FLUENT. L’algorithme SIMPLE a été utilisé avec le schéma QUICK sur un maillage structuré en adoptant le même critère de convergence utilisé précédemment. Les résultats numériques obtenus par ce code de calcul sont en très bon accord avec ceux calculés par notre propre code décrit ci-dessus. La concordance des résultats obtenus par les deux méthodes constitue une confirmation de leur validité. 3 Approximation de la force de traînée par la méthode variationnelle Aux faibles nombres de Reynolds, dans le cas des fluides non newtoniens dont la viscosité apparente dépend uniquement du second invariant, la méthode variationnelle introduite par Helmholtz et Korteweg a été généralisée pour ce type de fluide [13]. Nous avons appliqué ce principe de dissipation minimale d’énergie pour tenter de donner une solution approchée à la détermination de la force subie par la bulle en fluide d’Ostwald. En effet, le théorème de dissipation d’énergie nous conduit à écrire la relation suivante : I = 2π ∫ ∞ a ∫ π 0 où φ = m ( 2 ( d rr 2 + dθθ 2 + dϕϕ 2 ) + d rθ 2 ) φ r 2 sin θ dθ dr = U .F ( n, k = 0 ) , n +1 2 (4) est la fonction de dissipation de Rayleigh pour un fluide en loi de puissance et dij sont les composantes du tenseur taux de déformation du fluide en coordonnées sphériques, où d rr = ∂Vr V V cot θ 1 ∂Vθ Vr 1 ∂ V , dθθ = + , dϕϕ = r + θ , d rθ = r θ ∂r 2 ∂r r r ∂θ r r r courant ψ , et Vr = 1 ∂Vr , correspondant à la fonction de + r ∂θ 1 ∂ψ 1 ∂ψ , Vθ = . La faiblesse de cette technique réside dans la non r 2 sin θ ∂θ r sin θ ∂r connaissance préalable de la fonction du courant ψ . Une alternative à cette difficulté consiste à introduire une fonction de courant vérifiant les conditions aux limites et l’équation de continuité mais dépendant d’un paramètre γ par le biais duquel nous pouvons minimiser l’énergie dissipée. Dans cette communication, nous allons donner les résultats obtenus par cette approche pour la détermination de la force de traînée F ( n, k = 0 ) subie par une bulle en translation uniforme dans un fluide d’Ostwald en milieu infini. Dans ces conditions : λ ( n, k = 0 ) = F ( n, k = 0 ) U 4π m 0 2a n −1 aU 0 = ( 2a ) n−2 mU 0 3 n −1 ∞ π a 0 ∫ ∫ φ r 2 sin θ dθ dr . (5) 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Pour la fonction ψ , nous avons choisi celle de la solution d’Hadamard-Rybczynski dans le cas de la bulle, et tenant compte du fait que la longueur d’écran des interactions hydrodynamiques dans les fluides en loi de puissance décroît comme ξ ∼ 1 r 1 . Ce qui nous a conduit à : n γ U0 2 2 a n ψ = r sin θ 1 − 2 r (6) Dans cette approche, le bon paramètre γ correspondant à chaque n est déterminé par la minimisation de la fonction λ ( n, k = 0 ) (voir formule (4)) obtenu par l’application du théorème de dissipation minimale ∂λ ( n, k = 0 ) = 0 . Il est à noter que cette fonction vérifie bien les conditions aux limites et ∂γ l’équation de continuité ( d rr + dθθ + dϕϕ = 0 ). d’énergie 4 Résultats et discussion Sur la figure 1, nous avons reporté l’ensemble des résultats de calcul de la force de traînée normalisée de la bulle, obtenus numériquement par les deux méthodes numériques mises en œuvre, et ceux obtenus par la méthode énergétique. La première constatation est que les deux résultats sont parfaitement en accord pour 0.8 ≤ n < 2 . Néanmoins, les deux résultats s’écartent légèrement pour n < 0.8 . Cependant, comme la plupart des solutions de polymères ont un indice de fluidité 0.8 ≤ n < 1 , les résultats donnés ci-dessous restent utilisables car leur justesse est prouvée par ces deux méthodes différentes. Pour ce qui concerne les fluides rhéoépaississants, un peu moins présents dans l’industrie, la validité de ces résultats est établie. Ceci dit, nous ne nous sommes pas contentés de cette validation et avons mené des calculs asymptotiques en régime de lubrification qui correspond le plus souvent aux applications en microfluidique. FIG. 1 – Facteur de correction de la force de traînée subie par une bulle en translation uniforme dans un fluide d’Ostwald en milieu infini. 4 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 FIG. 2 – Facteur de correction de la force de traînée subie par une bulle en translation uniforme dans un fluide d’Ostwald en situation confinée. Dans le cas des forts confinements, nos résultats numériques sont parfaitement confondus avec nos résultats asymptotiques obtenus dans le cas du régime de lubrification pour 0.7 ≤ n < 1.6 comme le montre la figure 2. En effet, dans le régime de lubrification, la force de pression est prédominante et la totalité de la force est due au rétro-écoulement ayant lieu entre la bulle et le capillaire. Dans ces conditions, il est aisé de calculer le facteur de correction de la force de traînée subie par la bulle : λ+ ( n, k → 1) = 2 2 n −5 2 1 4 n +1 Γ 2n + − n + n 1 2 1 2 1− k 2 π 2n λ (n, k = 0) Γ ( 2n + 1) k (7) Le bon accord entre nos résultats asymptotiques et numériques peut être considéré comme une validation de nos calculs numériques, et par conséquent prouve la justesse du calcul du facteur de correction en milieu infini. Au vu de cette conclusion, la force de traînée subie par une bulle en milieu infini peut dorénavant être calculée par les valeurs numériques proposées sur la figure 1. Quand aux corrections de la force de traînée subie par une bulle se déplaçant à vitesse constante dans un tube capillaire comme ceux utilisés couramment en microfluidique, celle-ci est donnée par la formule (7). 5 Conclusion Différentes méthodes ont été utilisées avec succès pour résoudre un problème à notre connaissance non encore résolu, et qui consiste à déterminer la force de traînée subie par une bulle sphérique dans l’approximation d’Hadamard et Rybczynski en déplacement uniforme dans un fluide en loi de puissance rhéoépaississant ou rhéofluidifiant en milieu infini. Ces résultats ont été confirmés par une analyse asymptotique qui nous a permis de donner analytiquement et numériquement le facteur de correction de cette traînée dans le cas où la bulle se déplace dans un microcapillaire en situation confinée comme celle rencontrée dans certains systèmes microfluidiques. References [1] Tabeling P., Introduction à la microfluidique, Ed. Belin, 2003. [2] Clift R., Grace J. J. and Weber M. E. Bubbles, Drops and Particles, Ed. Academic press, 1978. 5 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 [3] Hadamard J.S, Mouvement permanent lent d'une sphère liquide et visqueuse dans un liquide visqueux, C.R. Hebd. Acad. Sci., 152, 1735-1738, 1911. [4] Rybczynski W., Bull. Int. Acad. Pol. Sci. Lett., CI. Sci. Nat. Ser., A1, 40-46, 1911. [5] Ce problème vient d’être résolu de façon numérique et asymptotique, et est en cours de publication par A. Despeyroux, A. Ambari, A. Been Richou. 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