Sur la polynomialité de certaines algèbres d`invariants d`algèbres de

Sur la polynomialit´e de certaines alg`ebres d’invariants
d’alg`ebres de Lie.
Florence Fauquant-Millet
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Florence Fauquant-Millet. Sur la polynomialit´e de certaines alg`ebres d’invariants d’alg`ebres
de Lie.. Anneaux et alg`ebres [math.RA]. Universit´e Jean Monnet - Saint-Etienne, 2014. <tel-
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Mémoire d’habilitation à diriger des recherches
Spécialité : MATHÉMATIQUES
Florence FAUQUANT-MILLET
Université Jean Monnet, Saint-Etienne
TITRE :
Sur la polynomialité
de certaines algèbres d’invariants
d’algèbres de Lie.
Habilitation à diriger des recherches
soutenue le 13 mai 2014 devant le jury composé de :
– Jacques ALEV
– Roland BERGER
– Michel BRION, rapporteur
– Corrado DE CONCINI, rapporteur
– Stéphane GAUSSENT, tuteur
– Anthony JOSEPH
– Rupert W.T. YU, rapporteur
Florence FAUQUANT-MILLET
Institut Camille Jordan, UMR 5208, Université de Lyon,
Faculté des Sciences et Techniques de l’Université Jean Monnet,
23, rue du Dr Paul Michelon, 42023 Saint-Etienne Cédex 02,
e-mail : [email protected]
tél : [phone]. fax : [phone].

Introduction.
Les algèbres de Lie (dues à Sophus Lie - 1842 - 1899) sont des algèbres non associatives
(munies d’un crochet dit de Lie, vérifiant certains axiomes bien précis) qui interviennent
non seulement en mathématiques (où elles mettent en oeuvre à la fois de l’algèbre, de
l’analyse et de la géométrie) mais aussi dans différentes branches de la physique ou de la
chimie.
Parmi elles, les algèbres de Lie simples (ou semi-simples, c’est-à-dire somme d’algèbres
de Lie simples) sont particulièrement intéressantes : sur Cou sur R, elles ont été toutes
classifiées par E. Cartan et W. Killing vers 1890.
Les algèbres de Lie simples donnent lieu à des systèmes de racines, ce qui permet une
étude combinatoire de telles algèbres.
Mais les algèbres de Lie simples ont également, grâce à leur groupe adjoint, des
propriétés géométriques remarquables. Ainsi on peut utiliser des méthodes de géométrie
algébrique pour mieux étudier ces algèbres de Lie simples ( voir par exemple [42] où
B. Kostant a démontré un théorème de “séparation des variables” par des arguments de
géométrie algébrique).
Enfin certaines sous-algèbres de Lie d’algèbres de Lie semi-simples jouent un rôle
prépondérant, comme les sous-algèbres paraboliques ou même biparaboliques (Chap. I,
Sect. B, Par. 1).
Sans être réductives (c’est-à-dire sans être, au centre près, isomorphes à une algèbre
de Lie semi-simple), ces algèbres paraboliques ou biparaboliques ont un comportement
qui peut rester “proche” de celui des algèbres réductives, tout en offrant une richesse
supplémentaire dans l’étude des algèbres de Lie.
Par exemple d’après C. Chevalley la sous-algèbre Y(g)de l’algèbre symétrique S(g)
d’une algèbre de Lie gsemi-simple sur C, formée des fonctions polynomiales sur g∗
invariantes par l’action du groupe adjoint Gde g, est une C-algèbre de polynômes. Ainsi
on peut se demander s’il en est de même pour une sous-algèbre de Lie parabolique ou
biparabolique (tronquée) d’une algèbre de Lie semi-simple (voir Chap. IV).
De plus Kostant a calculé les degrés des générateurs homogènes de l’algèbre d’inva-
riants Y(g)(toujours pour gsemi-simple sur C) en fonction des valeurs propres d’un
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F. FAUQUANT-MILLET
élément semi-simple hd’un sl2-triplet principal (x, h, y)agissant sur le centralisateur
gyde ydans g([41] ou [16, Chap. 8]). Cela donne le résultat remarquable (dû toujours
à Kostant, [42]) selon lequel, en identifiant g∗avec ggrâce à la forme de Killing, l’ap-
plication de restriction induit un isomorphisme d’algèbres entre Y(g)et l’algèbre des
fonctions régulières sur x+gy. D’ailleurs ce résultat a une interprétation géométrique
intéressante en termes de “tranche” ou de “section de Weierstrass” (voir Chap. VI, Sec-
tion A, Par. 1). Plus précisément x+gyest une tranche ou section de Weierstrass (dite
ici de Kostant) pour Y(g)dans g∗. Ces sections de Weierstrass permettent une “linéari-
sation” des générateurs d’une algèbre d’invariants et donc une meilleure compréhension
de ces générateurs.
On peut se demander si tous ces résultats peuvent ou non se généraliser aux algèbres
de Lie paraboliques ou biparaboliques.
C’est ce qui a été fait en partie, du moins pour les sous-algèbres biparaboliques
d’une algèbre de Lie simple gde type An: A. Joseph a en effet montré que des sec-
tions de Weierstrass existent toujours pour de telles sous-algèbres. Plus précisément il a
construit ce qu’il a appelé des “paires adaptées” (voir Chap. VI, Section A, Par. 2 pour
une définition précise) qui fournissent ensuite, sous certaines conditions, des sections de
Weierstrass. Ces paires adaptées sont en quelque sorte l’analogue, pour une algèbre de
Lie non réductive, d’un sl2-triplet principal. Notons que, si (x, h, y)est un sl2-triplet
principal de Kostant, le couple (h, x)est une paire adaptée pour gcar (ad h)(x) = −x
et xest régulier dans g≃g∗.
Lorsqu’une paire adaptée existe, Joseph a d’ailleurs aussi montré un résultat analogue
à celui de Kostant pour les degrés des générateurs de l’algèbre des invariants du bipara-
bolique (tronqué) associé, lorsqu’on sait que cette algèbre d’invariants est une algèbre de
polynômes (voir [40, Cor. 2.3] ou 2.4 de la Sec. A du Chap. VI).
Ainsi la connaissance de la polynomialité ou non de certaines algèbres d’invariants
d’algèbres de Lie est-elle un problème crucial en théorie des invariants.
La recherche d’invariants dans des algèbres de Lie et la description précise de ces
invariants sont un aspect important de la Théorie des Invariants et de la Théorie des
Groupes de Lie, qui intéresse non seulement des mathématiciens dans le monde entier et
ceci depuis plus d’un siècle, mais également des physiciens (voir par exemple [4], [5], [23]
ou [54] ... où des descriptions d’opérateurs de Casimir, c’est-à-dire d’invariants dans des
algèbres de Lie, sont données explicitement). Le centre de l’algèbre enveloppante d’une
algèbre de Lie joue un rôle important en théorie des représentations des algèbres de Lie,
en particulier l’isomorphisme de Duflo entre ce centre et le centre de Poisson de l’algèbre
symétrique.
L’essentiel de mon travail est consacré à l’étude de la polynomialité de l’algèbre des
invariants de sous-algèbres (bi)paraboliques tronquées d’une algèbre de Lie semi-simple
g, sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Signalons d’ailleurs que,
pour une sous-algèbre biparabolique donnée, l’algèbre des invariants du tronqué associé
est égal au semi-centre associé à cette sous-algèbre biparabolique.
Mon mémoire d’habilitation se décompose de la façon suivante.
– Le premier chapitre expose les notions préliminaires utiles pour la suite : j’y donne
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