National Juin 2005 Calculatrice interdite EXERCICE II. QUATRE

National Juin 2005
Calculatrice interdite
EXERCICE II. QUATRE SATELLITES TERRESTRES ARTIFICIELS PARMI
BIEN D'AUTRES (5,5 POINTS)
Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations
concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en oeuvre ses connaissances de physique pour les
vérifier et les approfondir.
Dans tout l'exercice, on notera :
Masse de la Terre: MT (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O)
Rayon de la Terre: RT
Masse du satellite étudié: mS
Altitude du satellite étudié: h
Constante de gravitation universelle: G
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
1. Le premier satellite artificiel.
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par
Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite
artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la
représenter sur un schéma.
1.2. L' étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires.
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son
lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la
Terre en 100 minutes.
2.1. Étude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
2.1.1. En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que le mouvement circulaire de
Hubble est uniforme.
2.1.2. Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G .
2.1.3. Exprimer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis
retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette loi
n'est pas demandé ici).
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
Les satellites météorologiques comme Météosat sont des appareils d'observation géostationnaires.
2.2.1. Qu'appelle-t-on satellite géostationnaire ?
2.2.1. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme
autour de la Terre.
a. Montrer que, seule, l'une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
b. Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ? Justifier la
réponse.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors
de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie
lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n 'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant pas
fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.
3.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
La deuxième loi de Kepler, dite « loi des aires », précise que « des aires balayées par le rayon, reliant le
satellite à l' astre attracteur, pendant des durées égales, sont égales ».
Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
3.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de
l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P
correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et 500 km données dans le texte.
3.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse
d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.
3.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.
4. Les missions des satellites artificiels.
Aujourd'hui, plus de 2600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de nombreux
domaines: téléphonie, télévision, localisation, géodésie, télédétection, météorologie, astronomie ...
Leur spectre d'observation est vaste, optique, radar, infrarouge, ultraviolet, écoute de signaux
radioélectriques ...
4.1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les limites des longueurs
d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet .
4.2. La célérité de la lumière dans le vide est 3,0 ´ 108 m.s-l , en déduire les limites en fréquence de la
lumière visible.
4.3. Pourquoi doit on préciser « dans le vide » pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
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Correction
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EXERCICE II. QUATRE SATELLITES TERRESTRES ARTIFICIELS PARMI
BIEN D'AUTRES (5,5 POINTS)
1. Les premier satellite artificiel
1.1.
Terre
n Spoutnik 1
O
FT / S
M T ´ mS
FT / S = G.
n
avec n vecteur unitaire
- radial (porté par la droite (OS))
(RT + h)2
- centripète (orienté de S vers O)
1.2. Dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen, en appliquant la deuxième loi de Newton
r
au système {satellite}: FT / S = mS . a
M ´ mS
r
G. T
n = mS . a
(RT + h)2
MT
r
G.
n = a
(RT + h)2
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires
2.1. étude du mouvement du satellite Hubble dans un référentiel géocentrique
v²
r dv
2.1.1. Pour un mouvement circulaire, on a a =
t +
n , avec t vecteur unitaire tangent à la
dt
(R T + h)
trajectoire et n vecteur radial et centripète.
D'après la seconde loi de Newton, le vecteur accélération a même sens et même direction que le vecteur
dv
FT / S . Ce qui impose
= 0, donc la valeur de la vitesse est constante.
dt
v²
r
2.1.2. On peut écrire a =
n et en utilisant le résultat du 1.2. on obtient l'égalité suivante :
(R T + h)
v²
MT
G.
=
2
(R T + h)
(RT + h)
G.
MT
= v²
(RT + h)
v = G.
MT
(RT + h)
2.1.3. Le satellite décrit son orbite, de périmètre 2p(RT+h), en une durée égale à la période T de son
mouvement.
2p(RT + h)
v=
T
2p(RT + h)
T=
v
2
4p (RT + h)2
T² =
v²
2
4p (RT + h)2
T² =
G.M T
(RT + h)
T² =
4p 2(RT + h)3
G.M T
On retrouve la 3ème loi de Kepler:
4p 2
T²
=
(RT + h)3 G.M T
2.2. Cas d'un satellite géostationnaire
2.2.1. Un satellite géostationnaire est fixe par rapport à un référentiel terrestre. (référentiel terrestre: solide
fixe par rapport au sol terrestre)
2.2.2.a. La figure 2 est incompatible avec la seconde loi de Newton:
Le vecteur accélération est dans le plan contenant l'orbite du satellite.
r
Or d'après la 2nde loi de Newton, le vecteur a possède le même sens
et la même direction que le vecteur FT / S ;
r
a doit avoir pour direction la droite (OS), ce qui n'est pas le cas ici.
r
a
Satellite
O
autre justification possible: Rappel mathématique un cercle est une ellipse
particulière dont les foyers sont confondus et situés au centre du cercle.
D'après la 1ère loi de Kepler (voir son énoncé au 3.1), le point O devrait être au centre de l'orbite du
satellite. Cette loi n'est donc pas respectée sur cette figure 2.
2.2.2.b. La figure 1 est la seule trajectoire qui puisse correspondre au satellite géostationnaire. Le plan
contenant l'orbite du satellite est le plan équatorial. Ainsi le satellite peut rester à la verticale d'un même
lieu si sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques.
3.1. 1ère loi de Kepler :
Si l'on considère un centre attracteur T (ex : la Terre ) et un satellite S soumis à l'interaction
gravitationnelle, ce dernier décrit en l'absence de perturbations, une trajectoire elliptique, dont le centre
attracteur occupe l'un des foyers.
3ème loi de Kepler:
Le rapport du carré de la période de révolution T d'un satellite, autour d'un astre attracteur, au cube du
demi-grand axe a de l’ellipse est constant. T²/a3 = Cte
3.2.
O = centre de l'ellipse
F et F' = Foyers
2a = grand axe
a = demi-grand axe
T centre d'inertie de la Terre
A: 36000 km d'altitude
P: 500 km d'altitude
S
F'
A
O
F
T
2a
<
P
>
3.3. Les deux aires hachurées sont égales. On remarque que dans un cas le satellite parcourt la longue
distance HK, tandis que dans l’autre cas, il parcourt la petite distance MN.
D’après la loi des aires, ces distances inégales sont parcourues durant une même durée t.
Il est donc impossible que le satellite se déplace toujours à la même vitesse.
M
A
N
T
O
3.4. La vitesse est maximale en P et minimale en A.
H
K
P
4. Les missions des satellites artificiels.
4.1.
Spectre optique
l dans le vide
en nm
Ultraviolet
lmini = 400 nm
lmaxi = 800 nm
Infrarouge
c
4.2. l =
n
c
n=
l
3,0 ´ 10 8
3,0 ´ 108
3 10 8
n mini =
=
=
´
= 0,75´1015 Hz soit 7,5´1014 Hz
400 ´ 10 -9
4 ´ 100 ´ 10 -9
4 10 -7
3,0 ´ 108
1
3,0 ´ 108
n min i
0,75 ´ 1015
n maxi =
=
´
=
=
= 0,375´1015 = 3,75´1014 Hz
800 ´ 10 -9
2 400 ´ 10 -9
2
2
soit environ 3,8´1014 Hz.
4.3. Dans le vide la lumière se déplace à la célérité notée c, tandis que dans un autre milieu elle se déplace
à la célérité V < c.
V
l=
la fréquence n est constante, si la célérité V varie alors l varie.
n
l dépend du milieu de propagation.
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