11 Logique - Tourbillon

11 Logique
Exercice 131 P et Q sont deux propriétés, l’assertion (P ∧ Q) ⇒ ((¬P) ∨ Q) est-elle
vraie ?
Exercice 132 Extrait de l’épreuve spécifique (MP) des CCP.
Dans la mythologie grecque, l’accès aux enfers est gardé par le Cerbère, un terrible loup à trois têtes. Celui-ci se trouve devant trois couloirs qui, soit permettent
de rejoindre le monde des vivants, soit conduisent directement aux enfers.
Lorsque Cerbère accueille un nouvel arrivant, il est contraint de lui dire la vérité.
Par la suite, il peut mentir ou dire la vérité à sa guise mais il respecte toujours les
règles qu’il s’est fixées.
Après avoir bu la coupe de cigüe, Socrate se retrouve face à Cerbère. Celui-ci, honoré de rencontrer le grand philosophe, veut lui offrir une chance d’éviter la damnation éternelle. Il lui dit alors : « Je vais t’indiquer un des couloirs qui mènent au
monde des vivants mais, pour mettre à l’épreuve ta grande sagesse, j’énoncerai trois
indications logiques qui seront, soit toutes vraies, soient toutes fausses et tu en déduiras le couloirs que tu devras suivre ».
Nous noterons I1 , I2 et I3 les propositions associées aux indications de la première, la deuxième et la troisième tête du Cerbère.
Question 132.1 Représenter l’énoncé de Cerbère sous la forme d’une formule du
calcul des propositions dépendant de I1 , I2 et I3 .
La première tête dit ensuite : « Le premier couloirs ainsi que le troisième mènent
au monde des vivants.
La deuxième tête dit : « Si le deuxième couloir mène au monde des vivants, alors
le troisième n’y mène pas ».
La troisième tête conclut par : « Le premier couloir mène au monde des vivants
par contre le deuxième n’y mène pas ».
Nous noterons C1 , C2 , C3 les variables propositionnelles correspondant au fait
qui le premier, le deuxième, le troisième couloir mène au monde des vivants.
Question 132.2 Exprimer I1 , I2 et I3 sous la forme de formules du calcul des propositions dépendant de C1 , C2 et C3 .
Question 132.3 En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les tables de
vérité), déterminer le couloir que Socrate doit suivre pour rejoindre le monde des
vivants.
Question 132.4 En admettant que Cerbère ait menti en donnant les trois indications, Socrate pouvait-il suivre d’autres couloirs Si oui, le ou lesquels ?
Exercice 133 Démontrer (1 = 0) ⇒ (1 < 0).
Exercice 134 Nier et discuter la véracité des assertions suivantes.
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0 ;
2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y > 0 ;
3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0 ;
4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x.
28
Exercice 135 Écrire précisément, puis nier les assertions suivantes. f est une application définie sur R et à valeurs réelles.
1. Pour tout x réel, f (x) est inférieur à 1.
2. Il existe x réel tel que f (x) ≤ 1.
3. L’application f est croissante.
4. La partie I de R est un intervalle.
5. f est paire.
6. f est périodique.
7. f est strictement croissante.
8. f est injective (respectivement surjective).
9. ∀x ∈ R, f (x) < x 2 .
Exercice 136 Les assertions suivantes sont-elles équivalentes ? Laquelle implique
l’autre ?
1. x ∈ R : x 2 = 4 et x = 2.
2. z ∈ C : z = z̄ et z ∈ R.
3. x ∈ R : x = π et e2πx = 1.
Exercice 137 Comparer les assertions suivantes.
1. ∀x, ∃y, x ≤ y
2. ∀x, ∀y, x ≤ y
3. ∃x, ∃y, x ≤ y
4. ∃x, ∀y, x ≤ y
Exercice 138 Dans un village un barbier rase tous les habitants qui ne se rasent pas
eux-même. Le barbier se rase-t-il ?
Exercice 139 Que pensez-vous de ce raisonnement ?
1. Plus il y a d’emmenthal, plus il y a de trous.
2. Plus il y a de trous, moins il y a d’emmenthal.
3. Donc plus il y a d’emmenthal, moins il y a d’emmenthal.
29
12 Dénombrement et combinatoire
Exercice 140 Toute ressemblance avec un sujet de concours ne serait peut-être pas
fortuite. Claude la «science», qui n’est pas fort en logique, pense avoir démontré l’assertion A(n) suivante :
Si a et b sont deux entiers positifs tels que max(a, b) = n alors a = b
Claude a fait le raisonnement suivant :
A(0) est vraie car si max(a, b) = 0 alors a et b sont tous les deux nuls. Supposons
que A(n) soit vraie, soient a et b dans N tels que max(a, b) = n + 1. Posons a 0 = a −
1 et b 0 = b − 1. Alors max(a 0 , b 0 ) = n et d’après l’hypothèse de récurrence, a 0 = b 0 ,
ce qui implique a = b. Par conséquent A(n + 1) est vraie et d’après le principe du
raisonnement par récurrence l’assertion A(n) est vraie pour tout n dans N.
Saurez vous convaincre allègrement Claude qu’il se trompe ?
1. Trouver un contre-exemple.
2. Où est l’erreur ?
Exercice 141 P(n) est l’assertion «n crayons sont de la même couleur». P(1) est vraie.
Supposons la propriété vraie pour les entiers inférieurs ou égaux à n avec n ≥ 1.
Soient n + 1 crayons, si nous retirons un crayon, les n restants sont de la même couleur, remettons-le avec les autres et retirons un autre crayon ; les n restants sont
encore de la même couleur. Donc les n + 1 crayons ont la même couleur.
Il y a une erreur ? Laquelle ?
Exercice 142 Démontrer par récurrence que pour tout x réel positif et n entier positif :
(x + 1)n ≥ 1 + nx
Exercice 143 Étudier les propriétés des applications suivantes (injectivité, surjectivité, croissance) :
1. x 7→ x 2 lorsque la source et le but sont :
– N 7→ N ;
– Z 7→ Z ;
– N 7→ Q.
2. x 7→ x 3 pour Q 7→ Q.
Exercice 144 Il s’agit de démontrer qu’il est impossible de construire une bijection
de E sur P (E) (théorème de Cantor). Pour cela, nous raisonnerons par l’absurde :
Supposons l’existence d’une bijection 3 de E sur P (E). Considérons A = {x ∈ E, x ∉ 3 (x)},
et notons a = 3−1 (A).
1. Montrer qu’il est impossible d’avoir a ∈ A.
2. Montrer qu’il est impossible d’avoir a ∉ A.
3. Conclure.
Exercice 145 Soit ( f n )n≥0 une suite d’applications de N dans lui-même. La fonction
f est définie par
∀n ∈ N : f (n) = f n (n) + 1
Démontrer qu’il n’existe aucun entier m tel que f = f m .
30
Exercice 146 Dans un jeu de bridge (52 cartes) combien y a-t-il de mains (ensemble
de 13 cartes) ?
Exercice 147 Soient n points du plan (n entier) tels que trois quelconques ne soient
pas alignés. Combien de triangles définissent-ils ?
Exercice 148 100 000 billets de loterie sont numérotés de 00 000 à 99 999. Combien
ont cinq chiffres différents ?
Exercice 149 Nombre de partitions d’un ensemble fini en trois ensembles.
Rappelons qu’une partition d’un ensemble E est un ensemble de parties non vides de
E, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à E.
Voir aussi l’exercice 184
Exercice 150 Calculer
P
0≤k≤n 2
¡ ¢ P
¡ ¢
k n
n−k n
k et 0≤k≤n 2
k .
Exercice 151 Soit E un ensemble ayant 12 éléments. Combien y-a-t-il d’ensembles
E = {A1 , A2 , A3 } où A1 , A2 et A3 sont trois parties deux à deux disjointes de 4 éléments
de E ? Généraliser (#E = n, E = {A j /1 ≤ j ≤ m, #A j = p} et mp = n)
Exercice 152 Le cardinal de l’ensemble E est n, calculer
Exercice 153 Démontrer
¡n ¢¡n−k ¢
k
p−k
=
¡p ¢¡n ¢
k
p
P
(x,y)∈P (E) ](x ∩ y).
et en déduire l’égalité :
à !Ã
! Ã !
n n −k
n p
=
2
p
k=0 k p − k
k=p
X
Alternative : dénombrer les couples de parties (A, B), telles que A ⊂ B, d’un ensemble
de cardinal n où le cardinal de B est égal à p.
Exercice 154 Démontrer que pour p ≤ n − 1 :
à !
Ã
!
X
k n
p n −1
(−1)
= (−1)
k
p
0≤k≤p
Exercice 155 (X) Soit (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn . Montrer
n
X
k=1
(−1)k+1
X
min{x i 1 , x i 2 , . . . , x i k } = max{x 1 , . . . , x n }
1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n
Exercice 156 L’application x 7→
x +1
de R\{1} dans R, est-elle injective ? surjective ?
x −1
Exercice 157 Question 157.1 Résoudre les équations x 2 −5x+6 = 0 et x 2 −5x+7 = 0.
Question 157.2 L’application x 7→ x 2 − 5x + 6 de R dans R, est-elle injective ? surjective ?
Exercice 158 Combien de nombres à 6 chiffres peut-on écrire avec les chiffres 2,2,2,3,3,4 ?
31
Exercice 159 De combien de façons peut-on écrire l’entier n positif comme somme
Question 159.1 de deux entiers positifs : x + y = n ?
Question 159.2 de trois entiers positifs : x + y + z = n ?
Exercice 160 Démontrer que, pour tout n entier positif :
X
k(k − 1) =
2≤k≤n
(n − 1)n(n + 1)
3
En déduire
k2
X
1≤k≤n
Exercice 161 Sachant que pour tout entier n positif :
X
2≤k≤n
k(k − 1) =
(n − 1)n(n + 1)
3
démontrer que
X
k(n − k + 1) =
1≤k≤n
(n − 1)n(n + 1)
6
´
¡
¢
1 ³ p−1
p
p+1
Exercice 162 On veut trouver tous les couples n, p ∈ N2 tels que Cn = Cn + Cn .
2
¡
¢
¡
¢
1. Montrer que, si le couple n, p est solution, il en va de même du couple n, n − p .
¡
¢
2. Montrer que les couples n, p solutions sont les couples qui vérifient : 1 É p É
¡
¢2
n − 1 et n + 2 = n − 2p .
(
n = k2 − 2
1
3. En déduire que ce sont tous les couples de la forme :
p = (k + 1) (k − 2)
2
où k décrit une partie de Z à préciser.
4. Vérifier
que ¢changer k en −k dans les formules du 3. revient à changer
¡
¢ alors
¡
n, p en n, n − p .
Exercice 163 Soient E et F deux ensembles de cardinaux respectifs 6 et 5. Calculer
le nombre de surjections de E dans F. Généraliser avec #F = n et #E = n + 1 puis
#E = n + 2 (enfin #E = n + 3).
Exercice 164 Combien de mots de trois lettres peut-on faire avec l’alphabet latin de
26 lettres
Question 164.1 si les trois lettres sont deux à deux distinctes ?
Question 164.2 si les trois lettres sont quelconques ?
Exercice 165 Combien y-a-t-il de façon de placer n couples sur un banc de manière
à ce que deux femmes ne puissent être voisines ? Même question autour d’une table
(ronde).
32
Exercice 166 Calculer le nombre de parties à 2 éléments non consécutifs de {1, . . . , n}.
Exercice 167 Soit r un entier positif. Démontrer que
à !
½
X
0
si r < n
n−k n
kr =
(−1)
n!
si
r =n
k
0≤k≤n
Exercice 168 bmc désigne la partie entière de m.
Question 168.1 Vérifier que
à !
X
(1 + x)n + (1 − x)n
2k n
=
x
2k
2
0≤k≤b n c
2
et
!
Ã
X
(1 + x)n − (1 − x)n
n
2k+1
x
=
2k + 1
2
0≤k≤b n−1 c
2
En déduire d’autres expressions de
Ã
un =
X
2
k
0≤k≤b n2 c
et
n
2k
Ã
X
vn =
2
0≤k≤b n−1
2 c
k
!
n
2k + 1
!
Question 168.2 Vérifier que les suites (u n )n≥0 et (v n )n≥0 satisfont la relation :
∀n ∈ N :
s n+2 = 2s n+1 + s n
Exercice 169 Soient m et n deux entiers (n ≥ m ≥ 1), E = {1, . . . , m} et F = {1, . . . , n}.
Dénombrer les applications de E dans F qui sont
– strictement croissantes
– croissantes
Exercice 170 Soient 1 ≤ k ≤ n. Déterminer le nombre de k-uplets (i 1 , . . . , i k ) tels que
1 ≤ i 1 < . . . < i k ≤ n (utiliser l’exercice précédent).
Exercice 171 Un facteur met 7 prospectus dans 10 boites à lettres (distinctes). Combien a-t-il de façons de distribuer ces prospectus si
1. Les boites ne peuvent contenir qu’un prospectus et
– les prospectus sont identiques
– les prospectus sont distincts
2. Les boites peuvent contenir 7 prospectus et
– les prospectus sont identiques
– les prospectus sont distincts
Exercice 172 Dénombrer les mots de longueur n (entier, n ≥ 1), formés de deux
lettres, a et b, dans lesquels deux lettres a ne se suivent pas.
33
Exercice 173 Démontrer que pour tout n entier positif
1.
X
k.k! = (n + 1)! − 1
0≤k≤n
2.
k
1
= 1−
(k
+
1)!
(n
+
1)!
0≤k≤n
X
Exercice 174 Démontr.er les identités suivantes (m, n, k désignent des entiers)
à !
X
m n
=0
(avec n > 0)
(−1)
m
0≤m≤n
à !
X
n
= n2n−1
m
m
0≤m≤n
à !
X
n
m(m − 1)
= n(n − 1)2n−2
m
1≤m≤n
Ã
! Ã
!
X m +k −1
n +k
=
k −1
k
0≤m≤n
à ! Ã
!
X
k
n +1
=
m +1
m≤k≤n m
à !
X
1
n
2n+1 − 1
=
n +1
0≤m≤n m + 1 m
à !
X
X 1
1 n
(−1)m−1
=
m
m
1≤m≤n
1≤m≤n m
à !
Ã
!
X
X
n
n
=
2m
2m + 1
0≤m≤[ n ]
0≤m≤[ n−1 ]
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
2
Exercice 175 Calculer
Ã
X
0≤m≤[ n3 ]
n
3m
!
!
n
3m + 1
0≤m≤[ n−1
3 ]
Ã
!
X
n
3m + 2
0≤m≤[ n−2 ]
(1)
Ã
X
(2)
(3)
3
Exercice 176 Combien y a-t-il d’entiers entre 1 et 100 qui sont divisibles par 2, 3 et
5 ? (Répondre à la même question pour 1000).


P (E) → P (E)
Exercice 177 Soit E un ensemble, a ∈ E et f : X 7→ X ∪ {a} si a ∉ X


X 7→ X − {a} si a ∈ X
34
1. Montrer que f est une bijection.
2. Supposons désormais que E est fini et card(E) = n. Appelons P(E) l’ensemble
des parties de E de cardinal pair et I(E) l’ensemble des parties de E de cardinal
impair. Montrer que card(P(E)) = card(I(E)).
¡ ¢
P
3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de nk=0 (−1)k nk .
n
P
Exercice 178 En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que
(−1)k Ckn =
k=0
P
0. En déduire la valeur de
C2k
n .
0≤2k≤n
Exercice 179 Soient 0 ≤ p ≤ n.
1. Montrer par récurrence sur n que
n
P
k=p
p
p+1
Ck = Cn+1 .
2. Ecrire ces égalités pour p = 2 et p = 3.
3. En déduire les sommes
S2 = 1 2 + 2 2 + · · · + n 2
S02 = 1.2 + 2.3 + · · · + (n − 1).n
S03 = 12 .2 + 22 .3 + · · · + (n − 1)2 .n
Exercice 180 En remarquant que (1 + x)n =
An =
n
P
k=0
kCkn
Bn =
n
P
k=0
k(k − 1)Ckn
n
P
k=0
Cn =
S3 = 1 3 + 2 3 + · · · + n 3
Ckn x k , calculer
n
P
k=0
k 2 Ckn
Dn =
n
P
k=1
(−1)k kCkn
Exercice 181 Démontrer que l’application suivante définit une bijection entre N×N
et N? :
1
((p, q) 7→ p + 1 + (p + q + 1)(p + q)
2
(cette formule provient du dénombrement de N × N en diagonale : (p, q) est le p +
1-ième élément de l’ensemble {(x, y) ∈ N × N/x + y = p + q} qui possède p + q + 1
éléments et il y en a 12 (p + q)(p + q + 1) en dessous).
Exercice 182 Égaler les coefficients de t k dans chacun des membres de
(1 + t )m (1 + t )n = (1 + t )m+n
En déduire
à !Ã
! Ã
!
m
n
m +n
=
k−j
k
0≤ j ≤k j
à !2 à !
X n
2n
=
j
n
0≤ j ≤n
X
(1)
(2)
puis
X
0≤ j ≤n
à !2
2n
(2n)!
=
2
2
j ! (n − j )!
n
35
(3)
Exercice 183 Soit E un ensemble, on considère l’ensemble F de toutes les applications de E dans {0, 1}. Autrement dit
F = F (E, {0, 1}) = {0, 1}E
Question 183.1 À toute fonction f de E dans {0, 1}, on associe la partie f −1 ({1}) de E
(on notera f −1 (1)).
Montrer que l’on définit ainsi une application bijective 3 :
3 : f 7→ P (E)
Nous noterons l’application inverse
3−1 : A 7→ f A
Question 183.2 Soient A et B deux parties de E. Calculer, en fonction de f A , f B et 1,
les applications suivantes :
f E , f ; , f A∩B , f E\A et f A∪B .
¡
¢ ¡
¢
Question 183.3 On pose A∆B = A \ (A ∩ B) ∪ B \ (A ∩ B) . Représenter A∆B à l’aide
d’un diagramme de V ENN (en clair : avec des «patates»).
Calculer f A∆B en fonction de f A , f B .
Question 183.4 Démontrer que (P (E), ∆) est un groupe commutatif.
Exercice 184 On note S(m, n) le nombre de surjections d’un ensemble de cardinal
m sur un ensemble de cardinal n (m ≥ n).
Question 184.1 Démontrer : S(m, n) = n(S(m, n − 1) + S(m − 1, n − 1)).
Question 184.2 Démontrer : p m =
Pk=p ¡
p ¢
S(m, k).
k=0 p−k
Question 184.3 Démontrer : S(m, n) =
Pk=n
k=0
(−1)k
¡n ¢
m
k (k − n) .
Question 184.4 Expliciter S(m + 1, n) et S(m + 2, n).
On pourra utiliser l’exercice no 153.
Exercice 185 Le problème des ménages ou problème de la table ronde (suite) quel
est le nombre de manières d’asseoir n ménages (= couples mari-épouse) autour
d’une table circulaire, les maris et les épouses étant alternés de telle sorte qu’aucune
épouse ne soit à côté de son mari.
Question 185.1 Quel est le nombre de possibilités de placer les épouses ?
Considèrons les épouses placées et numérotons (dans le sens indirect) les épouses
(on affecte au mari le numéro de son épouse) ainsi que les sièges libres : un siège
porte le numéro de l’épouse qui est à sa gauche. Nous cherchons alors le nombre de
façons de placer les maris (appelé nombre de solutions réduit) noté µ(n). On note σ
une permutation de Nn :
36
– A2i −1 = {σ | σ(i ) = i } pour i ∈ Nn ,
– A2i = {σ | σ(i ) = i + 1} pour i ∈ Nn−1 ,
– A2n = {σ | σ(n) = 1}.
Question 185.2 Exprimer µ(n) en fonction du cardinal des intersections des Ai (on
pourra considérer des complémentaires et utiliser la formule du crible).
Question 185.3 Combien y a-t-il de permutations possédant k valeurs fixées ?
P
Question 185.4 En déduire µ(n) = nk=0 (−1)k (n − k)! g 1 (2n, k). Donner l’expression
de µ(n) ; vous pourrez vérifier que les premières valeurs (en commençant à n = 2) de
µ(n) sont : 0, 1, 2, 13, 80, 579, 4738, 43387, 439792, 4890741, 59216642, 775596313, 10927434464 . . ..
37
13 Arithmétique dans Z
Exercice 186 Montrer que :
1. (m, n) 7→ 2m 3n est une injection de N2 dans N.
2. (m, n) 7→ 2m (2n + 1) est une bijection de N2 sur N? .
Exercice 187 Démontrer que, pour tout n dans N, 33n+3 − 26n − 27 est divisible par
169.
Même question avec 114n+2 + 194n+2 et 241.
Exercice 188 Soit P = {p 0 , . . . , p n } un ensemble de n+1 nombres premiers. Le nombre
p 0 · · · p n + 1 est-il divisible par un élément de P ? Que peut-on en déduire sur l’ensemble des nombres premiers ?
Exercice 189 a, b, c, d , k, m, n, r, s, x, y désignent des entiers positifs. Démontrer les
assertions suivantes.
1. (ac) ∧ (bc) = c(a ∧ b) et (ac) ∨ (bc) = c(a ∨ b).
2. (a ∧ b)(a ∨ b) = ab.
3. Si a ∧ r = 1 et b ∧ r = 1 alors (ab) ∧ r = 1.
4. Si a ∧ r = d et b ∧ r = 1 alors (ab) ∧ r = d .
5. Si p est premier ou p = 1 alors pour tous entiers a et b : p | ab implique p | a
ou p | b.
6. Si a ∧ b = d et ar + bs = d alors r ∧ s = 1.
7. (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) et (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c).
8. (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) et (a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c).
9. Si a ∧ b = 1 alors (a + b) ∧ (a − b) vaut 1 ou 2 et (a + b) ∧ (a 2 − ab + b 2 ) vaut 1 ou
3.
10. Si |m| + |n| 6= 0 et ad − bc = 1 alors (am + bn) ∧ (cm + d n) = m ∧ n.
11. Si m ∧ n = d alors (2m − 1) ∧ (2n − 1) = 2d − 1.
12. Si 2n − 1 est premier alors n est premier.
13. Si 2n + 1 est premier alors n est une puissance de 2.
14. Si a ∧ b = 1 alors pour n ≥ 1 : (a n+1 + b n+1 ) ∧ (a n + b n ) | (a − b).
15. Si a ∧ b = 1 et ab = c n alors il existe des entiers x et y tels que a = x n et b = y n .
¡ ¢m
16. Si a ∧ b = 1 (b > 0) et ba
= n alors b = 1.
1
17. Si a n’est pas une puissance m e d’un entier, alors a m n’est pas un entier.
18. Quelque soit n > 0, il existe n entiers consécutifs non premiers (on pourra
utiliser (n + 1)! + k).
19. a ∧ b = (a + b) ∧ (a ∨ b). Trouver deux entiers a et b tels que a + b = 5264 et
a ∨ b = 200340.
Exercice 190 Démontrer ou infirmer les assertions suivantes.
1. Si p est premier alors p | a 2 + b 2 et p | b 2 + c 2 impliquent p | a 2 + c 2 .
2. a 2 | b 2 ⇒ a | b.
38
3. a ∧ b = 1 ⇒ a 2 ∧ b 2 = 1.
4. a ∧ b = 1 ⇒ (a 2 ∧ b 2 ) ∧ (ab) = 1.
Exercice 191 Démontrer que (n + 1) |
¡2n ¢
¡2n+1¢
n . (Utiliser
n ).
Exercice 192 Démontrer que pour tout entier n positif supérieur ou égal à 2,
n’est jamais entier.
1
1≤k≤n k
P
Exercice 193 Soit m un entier positif supérieur ou égal à 3, démontrer que si (m −

1)! + 1 est divisible par m alors m est premier. ( ) Étudier la réciproque (théorème
de Wilson).
Exercice 194 La fonction τ de Dickson est la fonction égale au nombre de diviseurs :
P
d |n 1. Exemples : τ(2) = 2, τ(6) = 4, τ(4) = 3. n étant donné sous la forme
n
n1
n = p 1 . . . p mm , décomposition en facteurs premiers), calculer τ(n) en fonction des
entiers n 1 , . . . , n m .
Application : Combien existe-t-il de diviseurs positifs de 75600.
τ(n) =
Q
Exercice 195 Soit P = d |n d le produit des diviseurs de l’entier naturel non nul n.
2
Démontrer que = P = n τ(n) où τ est la fonction de Dickson.
Indication : la fonction d 7→ dn est une permutation de l’ensemble des diviseurs de
n.
Exercice 196 La fonction 3 d’Euler est la fonction qui à un entier n strictement positif associe le nombre des entiers m tels que 1 ≤ m ≤ n et m ∧ n = 1. Exemples :
3(2) = 1, 3(6) = 2, 3(4) = 2.
1. Démontrer que si p est premier alors 3(p) = p − 1 et si n est entier supérieur à
1 alors 3(p n ) = p n−1 (p − 1).
2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux (c.à.d. sans diviseur premier
commun) alors : 3(ab) = 3(a)3(b).
Indication : Posons, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : Pn = {q ∈ ‚1, n −
1ƒ/q ∧ n = 1}. Soient m et n deux entiers supérieurs ou égaux à 2, tels que
m ∧ n = 1. Notons u et v des entiers tels que 1 = um + vn.
Pour tous entiers x et m nous notons x m l’entier de ‚0, m − 1ƒ égal à x modulo
m.
Démontrer que l’application
x mn 7→ (x m , x n )
de Pmn dans Pm ×Pn est une bijection dont l’application réciproque est (x m , x n ) 7→
x mn où x mn est le reste de la division euclidienne de x m vn + x n um par mn.
P
3. Calculer 1≤m≤n m. On pourra utiliser la bijection m 7→ n −m et la fonction 3.
m∧n=1
n
n
4. n étant donné sous la forme n = p 1 1 . . . p mm vérifier que :
Ã
σ(n) =
X
d |n
d=
Y
n +1
!
X
1≤k≤m 0≤ j ≤n k
39
j
pk
=
Y
1≤k≤m
pk k
−1
pk − 1
Exercice 197 Calculer 2718 ∧ 3141 et 213 ∧ 2004.
Exercice 198 Résoudre les équations suivantes dans Z :
1. 8x + 3y = 27.
2. 1143x + 1957y = 1.
Exercice 199 Soit A une partie de Z telle que :
1. Si a et b sont dans A, alors a + b est dans A ;
2. Si a est dans A, alors −a est dans A.
Démontrer qu’il existe n dans N tel que A = nZ (ensemble des multiples de n).
Exercice 200 Question 200.1 Soient n un entier positif et p un nombre
j k premier.
P
n
Démontrer que la plus grande puissance de p qui divise n! est : ∞
.
k=1 p k
Question 200.2 Combien y-a-t-il de «0» consécutifs à la fin de l’écriture décimale
de 72! ?
Question 200.3 Démontrer que pour tous réels a et b : b2ac + b2bc ≥ bac + bbc + ba +
bc.
Question 200.4 Soient deux entiers positifs m et n, démontrer que
entier.
(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!
est
Exercice 201 Pour tout entier positif non nul a nous notons Pa l’ensemble des diviseurs premiers positifs de a et Da l’ensemble des diviseurs positifs de a. Nous définissons deux fonctions sur N? par f (1) = 1 et
1 Y
(1 − d )
a d ∈Pa
X
g (a) =
f (d )
f (a) =
d ∈Da
1. Soient a et b deux entiers naturels tels que a ∧b = 1. Démontrer que l’application (x, y) 7→ x y définit une bijection de Da × Db dans Dab .
Indications : déterminer l’application réciproque.
2. En déduire que g est multiplicative, i.e. pour tous a et b tels que a ∧ b = 1 :
g (ab) = g (a)g (b)
3. Démontrer g (a) = a1 .
40
14 Polynômes
Exercice 202 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
1. X9 − 1 par X3 − 1 ;
2. X9 + 1 par X3 + 1 ;
3. Xmn − 1 par Xn − 1 où m et n sont des entiers positifs ;
Exercice 203 Factoriser X5 − 1 et X8 − 1.
Exercice 204 Factoriser X2 + X + 1 + i , X4 + X3 − X − 1 et X4 + 3X3 + 4X2 + 3X + 1. Pour
le dernier écrire x 2 Q(x + x1 ) où Q est un polynôme de degré 2.
Exercice 205 Montrer que pour tout entier n il existe un polynôme Tn de degré n
tel que (pour tout réel θ) :
cos n θ = Tn (cos θ)
(polynômes de T CHEBYCHEV).
n
Exercice 206 Calculer (1 + X)(1 + X2 ) · · · (1 + X2 ) par récurrence
Exercice 207 Calculer les restes des divisions de X2n −2Xn cos φ+1 , Xn sin φ−X sin n φ+
sin(n − 1)φ et Xn+1 cos(n − 1)φ − Xn cos n φ − X cos φ + 1 par X2 − 2X cos φ + 1.
Exercice 208 Pour quelles valeurs de n, X2n + Xn + 1 est-il divisible par X2 + X + 1 ?
Exercice 209 Démontrer les égalités, pour n entier strictement positif et |x| 6= 1
X2n − 1
X2n+1 − 1
(X2 − 1)
=
(X − 1)
=
n−1
Y
kπ
+ 1)
n
(4)
2k π
+ 1)
2n + 1
(5)
(X2 − 2X cos
k=1
n
Y
(X2 − 2X cos
k=1
En déduire
n−1
Y
n
Y
kπ
sin
2n
k=1
=
kπ
2n + 1
=
sin
k=1
Exercice 210 Calculer
Y
sin
1≤k≤n−1
p
n
2n−1
p
2n + 1
2n
(6)
(7)
kπ
n
Exercice 211 Diviser (cos θ + X sin θ)n par (X2 + 1)2
Exercice 212 Diviser Xn sin θ − X sin n θ + sin(n − 1)θ par X2 − 2X cos θ + 1
Exercice 213 Calculer le reste de la division de (X − 3)2n + (X − 2)n − 2 par
X − 3,
(X − 3)(X − 2),
(X − 3)3 ,
41
(X − 2)2 ,
(X − 2)2 (X − 3)2
Exercice 214 Soit P un polynôme. Montrer que P(X) − X divise P(P(X)) − X
Exercice 215 Pour quelles valeurs de n, (Xn + 1)n − Xn est-il divisible par X2 + X + 1 ?
Exercice 216 Un polynôme P est divisible par son polynôme dérivé P0 . Que peut-on
en déduire ?
Exercice 217 Le polynôme X3 +X2 + λX+6 a deux racines α et β telles que α + β = αβ.
Quelles sont les valeurs possibles de λ ?
Exercice 218 Trouver tous les polynômes P de degré inférieur ou égal à 4 tel que
P(X) + 10 soit divisible par (X − 2)2 et P(X) − 12 divisible par (X + 2)3 .
Exercice 219 Chercher les racines du polynôme P
X
P=
(−1)k
Q
0≤ j ≤k (X −
j)
k!
0≤k≤n−1
En déduire une expression plus simple de P (on peut aussi procéder par récurrence).
Exercice 220 Soit P un polynôme irréductible de R[X]. Démontrer que P n’a que des
racines simples comme élément de C[X].
Exercice 221 Diviser Xn par (X − a)2 (calculer le quotient et le reste).
Exercice 222 Factoriser X8 + 1
Exercice 223 Soit P = X5 − 209X + λ, trouver λ pour qu’il existe des racines réelles x 1
et x 2 de P telles que x 1 x 2 = 1.
Exercice 224 Factoriser X3 − (6 + 3i)X2 + 3(3 + 4i)X − 2 − 11i sachant qu’il admet une
racine triple.
Exercice 225 Développer (1 − X)(1 − ω1 X) . . . (1 − ωn−1 X) où 1, ω1 , . . . , ωn−1 sont les
racines n ede 1.
Exercice 226 Trouver un polynôme P tel que P(1) = 3, P0 (1) = 4, P00 (1) = 5 et P(n) (1) =
0 pour n ≥ 3.
Exercice 227 Factoriser X6 − 2 cos(3θ)X3 + 1 sur C et sur R.
Exercice 228 Factoriser sur R les polynômes X4 + X2 + 1 et X8 + X4 + 1.
µ
¶
¶
µ
i n
i n
Exercice 229 Factoriser 1 + X − 1 − X sur C.
n
n
Exercice 230 Soit P un polynôme dont les restes dans les divisions par X − 1, X − 2 et
X − 3 sont 3, 6, 12. Déterminer le reste de la division de P par (X − 1)(X − 2)(X − 3).
Exercice 231 À quelle condition X2 + αX + 2 divise-t-il X4 + 3X2 + αX + β ?
42
Exercice 232 pCalculer (simplement et sans calculette) la valeur de X4 − X3 − 3X2 +
3
3X − 4 en 1 + 2.
Exercice 233 Trouver un polynôme de degré 5 sachant que le reste de sa division
par (X + 1)3 est 1 et que le reste de sa division par (X − 1)3 est −1.
Exercice 234 Déterminer a et b pour que aXn+1 + bXn + 1 soit divisible par (X − 1)2 .
Exercice 235 Soient trois scalaires non nuls et deux à deux distincts. Montrer que
les polynômes
X(X − b)(X − c) X(X − c)(X − a) X(X − a)(X − b)
+
+
a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) c(c − a)(c − b)
et 1 +
(X − a)(X − b)(X − c)
sont égaux.
abc
Exercice 236 Résoudre le système

 x +y +z
x y + y z + zx

xyz
=
=
=
1
1
1
=
=
=
1
9
1
Exercice 237 Résoudre le système

 x +y +z
x2 + y 2 + z2
 1 1 1
x + y +z
Exercice 238 Résoudre l’équation x 4 − 4x 3 + x 2 + 6x + 2 = 0 sachant que la somme
de deux des solutions est égale à 2.
Exercice 239 Trouver une condition sur les scalaires p et q pour que X3 + pX + q
admette une racine multiple.
Exercice 240 Résoudre x 4 − 4x 3 + (2 − λ)x 2 + 2x − 2 = 0 sachant que cette équation a
au moins une racine multiple.
Exercice 241 Déterminer λ pour que le polynôme P(X) = X3 − 3X + λ ait une racine
multiple, puis résoudre l’équation P(x) = 0.
Exercice 242 Calculer la somme des puissances quatrièmes des racines de X3 +X−1.
Exercice 243 Déterminer un polynôme de degré 3 divisible par (X − 1) et ayant le
même reste lorsqu’il est divisé par (X − 2), (X − 3) ou (X − 4).
Exercice 244 Montrer que les racines complexes du polynôme
P=
X Xk
0≤k≤n k!
sont simples, qu’une seule racine est réelle si n est impair et aucune si n est pair.
43
Exercice 245 Déterminer le scalaire a pour que X4 − X + a et X2 − aX + 1 aient une
racine commune.
Exercice 246 Donner une condition sur p et q pour que les points dont les affixes
sont les racines de X3 + pX + q forment un triangle isocèle.
Exercice 247 Soit P un polynôme de degré 3. Montrer que les racines de P0 sont dans
le triangle déterminé par les racines x 1 , x 2 et x 3 de P.
Exercice 248 Soit le polynôme P, X3 + pX + q de racines a, b, c. Calculer
S=
a2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a2
+
+
c2
a2
b2
en fonction de p et q.
Exercice 249 Calculer le pgcd de 2X4 + 11X3 + 10X2 − 5X − 3 et de 2X3 + 5X2 + 5X + 3.
P
Exercice 250 Montrer que le polynôme P = nXn − 0≤k≤n−1 Xk a toutes ses racines
simples et toutes sauf une sont de module strictement inférieur à 1. (Calculer (1 −
X)P.)
Exercice 251 Calculer les coefficients de (1 + X + X2 + · · · + Xn )2
Exercice 252 Soit P un polynôme tel que : P0 | P. Démontrer que P est de la forme
λ(aX + b)n .
Exercice 253 Soit n un entier. Trouver un polynôme Pn tel que : Pn − P0n = Xn . (on
pourrait écrire P = Xn − Q.)
Exercice 254 Soient a etb deux scalaires distincts. Déterminer les coefficients de
Bézout de (X − a)2n et (X − b)2n . (Développer ((X − a) − (X − b))2n et couper la somme
en deux.)
Exercice 255 Calcul de pgcd(A, B).
1. A = X4 + 11X3 + 10X2 − 5X − 3, B = 2X3 + 5X2 + 5X + 3.
2. A = X5 − 2X4 + 2X3 − 3X2 + 2, B = X4 − 2X3 + 7X2 − 4X + 10.
3. A = X4 − 6X3 + 9X2 + 4X − 12, B = X3 − 3X2 − X + 3.
44
15 Fractions rationnelles
Exercice 256 Décomposer en éléments simples sur C :
X4 + X3 − 1
,
(X − 2)3
X4 + 3X3 + 2X2 + X − 7
,
X3
X5 + 1
,
(X2 + X + 1)2
1
X2 (X − 1)2
Exercice 257 Décomposer en éléments simples dans C(X) (θ est réel, m et n sont
entiers strictements positifs et m < n) :
X2 + 2X + 5
,
X2 − 3X + 2
3X2 + X + 1
,
(X − 1)(X2 − 4)
X2
X4 − 2X2 cos θ + 1
X2m
,
1 + X2n
,
1
,
0≤k≤n (X + k)
Q
X2 − 2X − 1
X3 + 7X2 + 7X − 15
1
X8 + X4 + 1
X
0≤k≤n
4
X +X+1
,
(X − 1)(X − 2)
1
,
2
(X + X + 1)2
1
(X3 − 1)3
,
1
0≤ j ≤k (X + j )
Q
X4 + 1
(X2 − 1)3
2X + 3
(X − 3)(X2 + X + 1)
Exercice 258 n ∈ N et θ ∈ R. Calculer les dérivées d’ordre n des fractions rationnelles
suivantes :
Q
1
,
0≤k≤n (X + k)
1
,
X2 − 2X cos θ + 1
1
X2 − 2Xsh θ − 1
Exercice 259 Décomposer en éléments simples dans C(X) :
X2 − X + 4
,
(X − 1)4 (X2 + X + 1)3
X5 − 1
,
(X2 + 1)(X3 + 1)3
2X5 + 3X2 − 1
,
(X2 + X + 1)3
X2 + 1
(X − 1)2 (X2 − X + 1)2
Exercice 260 m et n étant des entiers strictement positifs (assez petits pour respecter le programme), décomposer en éléments simples dans C(X) :
1
,
(X2 − 1)n
1
,
Xm (1 − X)n
1
,
(X2 − X + 1)n
X2n
,
(X2 + 1)n
45
Xm
Xn + 1
1
(X − 1)(Xn − 1)