11 Logique - Tourbillon

11 Logique
Exercice 131 P et Q sont deux propriétés, l’assertion (P ∧Q) ⇒((¬P) ∨Q) est-elle
vraie ?
Exercice 132 Extrait de l’épreuve spécifique (MP) des CCP.
Dans la mythologie grecque, l’accès aux enfers est gardé par le Cerbère, un ter-
rible loup à trois têtes. Celui-ci se trouve devant trois couloirs qui, soit permettent
de rejoindre le monde des vivants, soit conduisent directement aux enfers.
Lorsque Cerbère accueille un nouvel arrivant, il est contraint de lui dire la vérité.
Par la suite, il peut mentir ou dire la vérité à sa guise mais il respecte toujours les
règles qu’il s’est fixées.
Après avoir bu la coupe de cigüe, Socrate se retrouve face à Cerbère. Celui-ci, ho-
noré de rencontrer le grand philosophe, veut lui offrir une chance d’éviter la dam-
nation éternelle. Il lui dit alors : « Je vais t’indiquer un des couloirs qui mènent au
monde des vivants mais, pour mettre à l’épreuve ta grande sagesse, j’énoncerai trois
indications logiques qui seront, soit toutes vraies, soient toutes fausses et tu en dé-
duiras le couloirs que tu devras suivre ».
Nous noterons I1,I2et I3les propositions associées aux indications de la pre-
mière, la deuxième et la troisième tête du Cerbère.
Question 132.1 Représenter l’énoncé de Cerbère sous la forme d’une formule du
calcul des propositions dépendant de I1,I2et I3.
La première tête dit ensuite : « Le premier couloirs ainsi que le troisième mènent
au monde des vivants.
La deuxième tête dit : « Si le deuxième couloir mène au monde des vivants, alors
le troisième n’y mène pas ».
La troisième tête conclut par : « Le premier couloir mène au monde des vivants
par contre le deuxième n’y mène pas ».
Nous noterons C1,C2,C3les variables propositionnelles correspondant au fait
qui le premier, le deuxième, le troisième couloir mène au monde des vivants.
Question 132.2 Exprimer I1,I2et I3sous la forme de formules du calcul des propo-
sitions dépendant de C1,C2et C3.
Question 132.3 En utilisant le calcul des propositions (résolution avec les tables de
vérité), déterminer le couloir que Socrate doit suivre pour rejoindre le monde des
vivants.
Question 132.4 En admettant que Cerbère ait menti en donnant les trois indica-
tions, Socrate pouvait-il suivre d’autres couloirs Si oui, le ou lesquels ?
Exercice 133 Démontrer (1 =0) ⇒(1 <0).
Exercice 134 Nier et discuter la véracité des assertions suivantes.
1. ∃x∈R,∀y∈R,x+y>0 ;
2. ∀x∈R,∃y∈R,x+y>0 ;
3. ∀x∈R,∀y∈R,x+y>0 ;
4. ∃x∈R,∀y∈R,y2>x.
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Exercice 135 Écrire précisément, puis nier les assertions suivantes. fest une appli-
cation définie sur Ret à valeurs réelles.
1. Pour tout xréel, f(x) est inférieur à 1.
2. Il existe xréel tel que f(x)≤1.
3. L’application fest croissante.
4. La partie I de Rest un intervalle.
5. fest paire.
6. fest périodique.
7. fest strictement croissante.
8. fest injective (respectivement surjective).
9. ∀x∈R,f(x)<x2.
Exercice 136 Les assertions suivantes sont-elles équivalentes ? Laquelle implique
l’autre ?
1. x∈R:x2=4 et x=2.
2. z∈C:z=¯ zet z∈R.
3. x∈R:x=πet e2πx=1.
Exercice 137 Comparer les assertions suivantes.
1. ∀x,∃y,x≤y
2. ∀x,∀y,x≤y
3. ∃x,∃y,x≤y
4. ∃x,∀y,x≤y
Exercice 138 Dans un village un barbier rase tous les habitants qui ne se rasent pas
eux-même. Le barbier se rase-t-il ?
Exercice 139 Que pensez-vous de ce raisonnement?
1. Plus il y a d’emmenthal, plus il y a de trous.
2. Plus il y a de trous, moins il y a d’emmenthal.
3. Donc plus il y a d’emmenthal, moins il y a d’emmenthal.
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12 Dénombrement et combinatoire
Exercice 140 Toute ressemblance avec un sujet de concours ne serait peut-être pas
fortuite. Claude la «science», qui n’est pas fort en logique, pense avoir démontré l’as-
sertion A(n) suivante :
Si a et b sont deux entiers positifs tels que max(a,b)=n alors a =b
Claude a fait le raisonnement suivant :
A(0) est vraie car si max(a,b)=0alors aet bsont tous les deux nuls. Supposons
que A(n)soit vraie, soient aet bdans Ntels que max(a,b)=n+1. Posons a0=a−
1et b0=b−1. Alors max(a0,b0)=net d’après l’hypothèse de récurrence, a0=b0,
ce qui implique a=b. Par conséquent A(n+1) est vraie et d’après le principe du
raisonnement par récurrence l’assertion A(n)est vraie pour tout ndans N.
Saurez vous convaincre allègrement Claude qu’il se trompe ?
1. Trouver un contre-exemple.
2. Où est l’erreur ?
Exercice 141 P(n) est l’assertion «ncrayons sont de la même couleur». P(1) est vraie.
Supposons la propriété vraie pour les entiers inférieurs ou égaux à navec n≥1.
Soient n+1 crayons, si nous retirons un crayon, les nrestants sont de la même cou-
leur, remettons-le avec les autres et retirons un autre crayon ; les nrestants sont
encore de la même couleur. Donc les n+1 crayons ont la même couleur.
Il y a une erreur? Laquelle ?
Exercice 142 Démontrer par récurrence que pour tout xréel positif et nentier po-
sitif :
(x+1)n≥1+nx
Exercice 143 Étudier les propriétés des applications suivantes (injectivité, surjecti-
vité, croissance) :
1. x7→x2lorsque la source et le but sont :
–N7→N;
–Z7→Z;
–N7→Q.
2. x7→x3pour Q7→Q.
Exercice 144 Il s’agit de démontrer qu’il est impossible de construire une bijection
de E sur P(E)(théorème de Cantor). Pour cela, nous raisonnerons par l’absurde :
Supposons l’existence d’une bijection 3de E sur P(E). Considérons A ={x∈E, x∉3(x)},
et notons a=3−1(A).
1. Montrer qu’il est impossible d’avoir a∈A.
2. Montrer qu’il est impossible d’avoir a∉A.
3. Conclure.
Exercice 145 Soit (fn)n≥0une suite d’applications de Ndans lui-même. La fonction
fest définie par
∀n∈N:f(n)=fn(n)+1
Démontrer qu’il n’existe aucun entier mtel que f=fm.
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Exercice 146 Dans un jeu de bridge (52 cartes) combien y a-t-il de mains (ensemble
de 13 cartes) ?
Exercice 147 Soient npoints du plan (nentier) tels que trois quelconques ne soient
pas alignés. Combien de triangles définissent-ils ?
Exercice 148 100 000 billets de loterie sont numérotés de 00 000 à 99 999. Combien
ont cinq chiffres différents ?
Exercice 149 Nombre de partitions d’un ensemble fini en trois ensembles.
Rappelons qu’une partition d’un ensemble Eest un ensemble de parties non vides de
E, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à E.
Voir aussi l’exercice 184
Exercice 150 Calculer P0≤k≤n2k¡n
k¢et P0≤k≤n2n−k¡n k¢.
Exercice 151 Soit E un ensemble ayant 12 éléments. Combien y-a-t-il d’ensembles
E={A1,A2,A3} où A1, A2et A3sont trois parties deux à deux disjointes de 4 éléments
de E ? Généraliser (#E =n,E={Aj/1 ≤j≤m,#Aj=p} et mp =n)
Exercice 152 Le cardinal de l’ensemble E est n, calculer P(x,y)∈P(E) ](x∩y).
Exercice 153 Démontrer ¡n
k¢¡n−k p−k¢=¡p
k¢¡n
p¢et en déduire l’égalité :
k=p
X
k=0Ãn
k!Ãn−k p−k!=Ãn p!2p
Alternative : dénombrer les couples de parties (A,B), telles que A ⊂B, d’un ensemble
de cardinal noù le cardinal de B est égal à p.
Exercice 154 Démontrer que pour p≤n−1 :
X
0≤k≤p
(−1)kÃn
k!=(−1)pÃn−1 p!
Exercice 155 (X) Soit (x1,..., xn)∈Rn. Montrer
n
X
k=1
(−1)k+1X
1≤i1<i2<···<ik≤n
min{xi1,xi2,...,xik}=max{x1,...,xn}
Exercice 156 L’application x7→ x+1
x−1de R\{1} dans R, est-elle injective ? surjective ?
Exercice 157 Question 157.1 Résoudre les équations x2−5x+6=0 et x2−5x+7=0.
Question 157.2 L’application x7→x2−5x+6 de Rdans R, est-elle injective ? surjec-
tive ?
Exercice 158 Combien de nombres à 6 chiffres peut-on écrire avec les chiffres 2,2,2,3,3,4 ?
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Exercice 159 De combien de façons peut-on écrire l’entier npositif comme somme
Question 159.1 de deux entiers positifs : x+y=n?
Question 159.2 de trois entiers positifs : x+y+z=n?
Exercice 160 Démontrer que, pour tout nentier positif :
X
2≤k≤n
k(k−1) =(n−1)n(n+1)
3
En déduire
X
1≤k≤n
k2
Exercice 161 Sachant que pour tout entier npositif :
X
2≤k≤n
k(k−1) =(n−1)n(n+1)
3
démontrer que
X
1≤k≤n
k(n−k+1) =(n−1)n(n+1)
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Exercice 162 On veut trouver tous les couples ¡n,p¢∈N2tels que Cp
n=1
2³Cp−1
n+Cp+1 n´.
1. Montrer que, si le couple ¡n,p¢est solution, il en va de même du couple ¡n,n−p¢.
2. Montrer que les couples ¡n,p¢solutions sont les couples qui vérifient : 1 ÉpÉ
n−1 et n+2=¡n−2p¢2.
3. En déduire que ce sont tous les couples de la forme : (n=k2−2
p=1
2(k+1)(k−2)
où kdécrit une partie de Zà préciser.
4. Vérifier alors que changer ken −kdans les formules du 3. revient à changer
¡n,p¢en ¡n,n−p¢.
Exercice 163 Soient E et F deux ensembles de cardinaux respectifs 6 et 5. Calculer
le nombre de surjections de E dans F. Généraliser avec #F =net #E =n+1 puis
#E =n+2 (enfin #E =n+3).
Exercice 164 Combien de mots de trois lettres peut-on faire avec l’alphabet latin de
26 lettres
Question 164.1 si les trois lettres sont deux à deux distinctes ?
Question 164.2 si les trois lettres sont quelconques ?
Exercice 165 Combien y-a-t-il de façon de placer ncouples sur un banc de manière
à ce que deux femmes ne puissent être voisines? Même question autour d’une table
(ronde).
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