topologique -différents -fr -prend -"dans l" -représentation 12

Vol. LXI
No. 1/2009
BULETINUL
UniversităŃii Petrol – Gaze din Ploieşti
19 - 24
Seria
Matematică - Informatică - Fizică
Sur les Multifonctions Floues δ -continues
Mihai Brescan
Universitatea Petrol-Gaze din Ploieşti, Bd. Bucureşti 39, Ploieşti, Catedra de Matematică
Résumé
Le but de notre travail est de généraliser pour une multifonction floue la notion de δ -continuité, étudiée
dans la topologie générale par Y. Kőçőc, T. Noiri et V. Popa. Le travail contient quelques théorèmes de
caractérisation pour cette classe de multifonctions.
Mots clef: espace topologique flou, ensemble flou régulièrement ouverts, semi-ouverts, préouverts,
multifonction floue, multifonction floue
δ
-continue
Préliminaires
Soient un ensemble arbitraire non vide Y (l’espace Y ) et l’intervalle [0,1] ⊂ R . Un ensemble
flou en Y est une fonction λ : Y → [0,1] . Nous noterons par F (Y ) la classe des ensembles
flous de l’espace Y . L’ensemble Y sera identifié à la fonction constante 1 et l’ensemble vide
Φ à la fonction constante 0. Soient un ensemble indexé I et {λi }i∈I une famille d'ensembles
flous en Y . La réunion et l'intersection de cette famille, notées par
U λi , respectivement I λi ,
i∈I
i∈I
sont définies dans le mode suivant:




 U λi ( y ) = sup{λi ( y ) : i ∈ I }, (∀) y ∈ Y et  I λi ( y ) = inf {λi ( y ) : i ∈ I }, (∀) y ∈ Y .
 i∈I 
 i∈I 
λ1 , λ2 ∈ F (Y ) , l'inclusion notée par λ1 ≤ λ2 ou λ1 ⊆ λ2 est définie par
λ1 ( y ) ≤ λ2 ( y ) (∀) y ∈ X . La complémentaire de λ ∈ F (Y ) est définie par λ c =1- λ , λ c ( y )=
(1- λ )( y )= 1- λ ( y ), ( ∀ ) y ∈ Y .
Si
On dit que la famille t ⊆ F (Y ) est une topologie floue sur Y si t satisfait les conditions
suivantes:
1.
0, 1 ∈ t ;
2. si δ i ∈ t , i = 1, n alors
3. si δ i ∈ t , i ∈ I alors
n
n
i =1
i =1
I δ i ∈ t , où I δ i
Uδ i ∈ t .
i∈I
{
}
= min δ i ( y ) : i = 1, n , (∀) y ∈ Y ;
Le couple (Y , t ) est par définition, un espace topologique flou (au sens CHANG) ([4]). Chaque
élément de t s’appelle un ensemble flou t-ouvert et la complémentaire d’un ensemble flou t-
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Mihai Brescan
ouvert s’appelle un ensemble flou t-fermé ([4]). L’intérieur et la fermeture de λ ∈ F (Y ) sont
définis respectivement par (voir [4]):
{
}
Intλ = λ = U{δ δ ≤ λ , δ ∈ t}, Clλ = λ = I σ σ ≥ λ , σ c ∈ t .
o
Un point flou yα en Y est un ensemble flou qui a la valeur α (0 < α ≤ 1) dans le point y ∈ Y
et la valeur 0 dans tous les autres points de l’espace Y. On dit que y = suppyα est le support de
yα ([10]).
On dit que les ensembles λ et µ ∈ F (Y ) sont quasi-coïncidents (ou q-coïncidents) et on va
noter par λ q µ , s’il existe y ∈ Y tel que λ ( y ) + µ ( y ) > 1 ([10]). Au cas contraire, λ et µ
sont non q- coïncidents, donc λ ( y ) ≤ 1 − µ ( y ) pour y ∈ Y et on va noter par λ q µ ([10]).
Nous avons λ ≤ µ si et seulement si λ et 1 − µ sont non q-coïncidents et on va noter par
λ q (1 − µ ) ([10]).
On dit que le point flou yα et l’ensemble λ ∈ F (Y ) sont q-coïncidents si α + λ ( y ) > 1 pour
y ∈ Y . Un ensemble β ∈ F (Y ) s’appelle un Q-voisinage pour le point flou yα en Y s’il existe
l’ensemble t-ouvert γ (donc γ ∈ t ) tel que yα q γ ≤ β . La famille de tous Q-voisinages pour
yα s’appelle le système de Q-voisinages pour yα ([10]). On dit que l’ensemble λ ∈ F (Y ) est
o
o
un ensemble régulier ouvert (resp. régulier fermé) si λ = λ (resp. λ = λ ) ([1]).
Nous introduisons ici les définitions suivantes:
Définition 1. On dit que le point flou yα est un point δ -adhérent pour l’ensemble µ ∈ F (Y ) si
λ I µ ≠ 0 pour tout ensemble λ régulier ouvert avec yα q λ . L’ensemble de tous les points
δ -adhérents pour µ , s’appelle δ -fermeture (ou δ -adhérence) de µ et on va noter par
δ Cl µ (ou δ µ ). Si δ Cl µ = µ , alors µ s’appelle un ensemble δ -fermé. La complémentaire
d’un ensemble δ -fermé s’appelle δ -ouvert.
Définition 2. L’ensemble noté δ Int µ où δ Int µ = {yα : yα q λ ≤ µ , yα point flou en Y }
pour un ensemble régulier ouvert donné λ ∈ F (Y ) s’appelle δ -intérieur de µ .
Remarque 1. On a bien la relation 1 − δ Int µ = δ Cl (1 − µ ) .
Pour un ensemble λ ∈ F (Y ) sont connues les notions suivantes: On dit que l’ensemble λ est
o
o
o
demi-ouvert (resp. préouvert, demi- préouvert) si λ ≤ λ (resp. λ ≤ λ , λ ≤ λ ) ([2]).
L’intersection de tous les ensembles demi-fermés contenant µ ∈ F (Y ) s’appelle demifermeture de µ et on va noter par S Cl µ ou S µ .
Lemme 1. (NOIRI [7]). Soit µ ∈ F (Y ) . Alors µ
()
est préouvert si et seulement si
s Cl µ = Int µ .
La démonstration est facile, en étant similaire à celle du cas classique.
Sur les Multifonctions Floues δ-continues
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Multifonctions Floues δ -continues
Dans ce travail nous utiliserons la notion de multifonction floue introduit par N. S.
PAPAGEORGIU ([8]):
Définition 3. Soient ( X ,τ ) un espace topologique classique et (Y , t ) un espace topologique
flou, au sens CHANG (en abrégé e. t. f.). L’application F : X → F (Y ) , c’est-à-dire (∀)x ∈ X ,
F ( x ) ∈ F (Y ) , s’appelle une multifonction floue.
Définition 4. Pour une multifonction floue F : X → F (Y ) on définit l’inverse supérieur
F + (λ ) , respectivement l’inverse inférieur F − (λ ) d’un ensemble λ ∈ F (Y ) , dans le mode
suivant: F + (λ ) = {x ∈ X : F ( x ) ≤ λ } , F − (λ ) = {x ∈ X : F ( x ) q λ } ([6], [8]).
Évidemment F + (λ ), F − (λ ) ⊂ X .
Thèoreme 1 ([6]). Pour une multifonction floue F : X → F (Y ) on a bien la relation
F − (1 − µ ) = X − F + (µ ), (∀)µ ∈ F (Y ) .
Nous introduirons ici les définitions suivantes:
Définition 5. On dit que la multifonction floue F : X → F (Y ) est supérieure δ -continue (en
abrégé s. δ. c.) dans le point x ∈ X si pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) , λ ∈ t tel que F ( x ) ≤ λ il
o o
existe U ⊂ X avec x ∈ U tel que F U  ≤ λ .
 
Définition 6. On dit que la multifonction floue F : X → F (Y ) est inférieure δ-continue (en
abrégé i. δ. c.) dans le point x ∈ X
si pour tout ensemble λ ∈ t tel que F ( x ) q λ , il existe
 
U ⊂ X tel que U ⊂ F −  λ  .
 
o
o
Définition 7. On dit que la multifonction floue F : X → F (Y ) est δ-continue si F est inférieur
et supérieur δ-continue dans tous les points de l’espace X.
Le lemme suivant est important pour les démonstrations aux théorèmes de caractérisation.
Lemme 2 ([5]). Pour une multifonction floue F : X → F (Y ) les affirmations suivantes sont
équivalentes:
1) F est s. δ. c. (resp. i. δ. c.) ;
2) pour tout ensemble λ ∈ t avec F ( x ) ≤ λ (resp. F ( x ) q λ ) il existe un ensemble U ⊂ X ,
régulier ouvert avec x ∈ U tel que F (U ) ≤ s Cl λ (resp. F (u ) q s Cl λ , (∀)u ∈ U ;
3) F + (λ ) est δ-ouvert (resp. F − (λ ) est δ-ouvert) en X pour tout ensemble λ ∈ F (Y )
régulier ouvert ;
4) F − (µ ) (resp. F + (µ ) ) est δ-fermé en X pour tout ensemble µ ∈ F (Y ) régulier fermé.
Nous donnerons ici quelques théorèmes de caractérisation pour les multifonctions floues.
Théorème 2. Pour la multifonction floue F : X → F (Y ) les affirmations suivantes sont
équivalentes:
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Mihai Brescan
1) F est s. δ. c.;
(
)
δ Cl (F (λ )) ⊆ F (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) semi-ouvert.
2) δ Cl F − (λ ) ⊆ F − (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) demi-préouvert ;
3)
−
−
Démonstration
(1) ⇒ (2) Soit λ ∈ F (Y ) un ensemble demi-préouvert. Parce que Cl λ est régulier fermé, conf.
(
)
au Lemme 2, δ Cl F − (λ )
δ Cl (F − (λ )) ⊆ F − (Cl λ ) .
est δ-fermé en X
et
F − (λ ) ⊆ F − (Cl λ ) et donc
(2) ⇒ (3) C’est évidemment, parce que tout ensemble semi-ouvert en Y est demi-préouvert en Y.
(3) ⇒ (1) Soit µ ∈ F (Y ) un ensemble régulier-fermé, donc µ est demi-ouvert en Y (voir [2],
(
)
on a bien δ Cl F − (µ ) ⊆ F − (Cl µ ) = F − (µ ) et donc F − (µ ) est δ -fermé en X. Après le
Lemme 2 il en résulte que F est s. δ. c.
Théorème 3. Pour une multifonction floue F : X → F (Y ) les affirmations suivantes sont
équivalentes:
1) F est i. δ. c.;
(
)
δ Cl (F (λ )) ⊆ F (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) semi-ouvert.
2) δ Cl F + (λ ) ⊆ F + (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) demi-préouvert ;
3)
+
+
La démonstration est similaire à celle du théorème précédent. Comme une généralisation de la
notion classique de δ-continuité (NOIRI, [7]) nous introduirons ici la suivante
Définition 8. On dit que la fonction f : ( X ,τ ) → (Y , t ) est δ-continue si pour tout point
x ∈ X et pour tout Q-voisinage β de f ( x ) il existe un voisinage ouvert U de x tel que
o o
f U  ≤ β .
 
Remarque 2. Nous considérons ici la fonction f comme une multifonction floue à une valeur
unique. Alors pour la fonction f a lieu le corollaire suivant:
Corollaire 1. Les affirmations suivantes sont équivalentes:
1) f est δ-continue ;
( (λ )) ⊆ f (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) demi-préouvert ;
δ Cl ( f (λ )) ⊆ f (Cl λ ) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) préouvert ;
f (λ ) ⊆ δ Int ( f (Int (Cl λ ))) pour tout ensemble λ ∈ F (Y ) préouvert.
2) δ Cl f
−1
−1
3)
−1
−1
4)
−1
−1
Remarque 3. La notation f
donné par f
−1
−1
(λ ) représente l’image inverse (au sens CHANG) d’ensemble λ
o λ = λ o f , au sens de la composition ordinaire de fonctions ([4]).
Comme une généralisation de la définition classique introduite par VALERIU POPA ([9]) nous
introduirons ici:
Définition 9. Pour la multifonction floue F : X → F (Y ) on définit la multifonction floue
S Cl F : X → F (Y ) , où (S Cl F )( x ) = S Cl (F ( x )) (∀)x ∈ X .
Sur les Multifonctions Floues δ-continues
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A l’aide de la multifonction SCl F on démontre les théorèmes suivants de caractérisation pour
la multifonction F.
Théorème 4. La multifonction F : X → F (Y ) est s. δ. c. si et seulement si la multifonction
S Cl F : X → F (Y ) est s. δ. c.
Démonstration. Nécessité. Nous présupposons que F est s. δ. c. Soient x ∈ X et l’ensemble
λ ∈ F (Y ) , λ ∈ t avec (S Cl F )( x ) ≤ λ . Comme F (x ) ≤ λ et en utilisant le Lemme 2, il
existe l’ensemble U ⊂ X régulier ouvert avec x ∈ U tel que F (U ) ≤ S Cl λ . On a bien
F (u ) ≤ S Cl λ , (∀)u ∈ U et donc S Cl F (u ) ≤ SCl λ et d’ici (SCl F )(U ) ≤ S Cl λ et donc
S Cl F est s. δ. c.
Suffisance. Nous présupposons que SCl F est s. δ. c. et soient x ∈ X et λ ∈ t avec
F ( x ) ≤ λ . Alors (S Cl F )( x ) ≤ S Cl λ et après le Lemme 2 il existe U régulier ouvert en X
avec x ∈ U tel que (SCl F )(U ) ≤ S Cl (SCl λ ) = SCl λ (voir [9]). Puis F (U ) ≤ S Cl λ et
après le Lemme 2, F est s. δ. c.
Théorème 5. La multifonction floue F : X → F (Y ) est i. δ. c. si et seulement si la
multifonction floue S Cl F : X → F (Y ) est i. δ. c.
Démonstration. Nécessité. Soient F i. δ. c., x ∈ X et λ ∈ t avec (S Cl F )( x ) q λ . Alors
λ q F ( x ) et après le Lemme 2, il existe l’ensemble U régulier ouvert en X avec x ∈ U tel que
F (u ) q S Cl λ , (∀) u ∈ U . D’ici il en résulte que (S Cl F )(u ) q S Cl λ , (∀) u ∈ U et donc
S Cl F est i. δ. c.
S Cl F i. δ. c., x ∈ X et λ ∈ t avec F ( x ) q λ . Parce que
F ( x ) ≤ S Cl F ( x ) , S Cl F ( x ) q λ et après le Lemme 2, il existe un ensemble U régulier ouvert
en X avec x ∈ U , tel que (S Cl F )(u ) q S Cl λ , (∀) u ∈ U . Après le Lemme 1,
S Cl λ = Int (Cl λ ) et F (u ) q S Cl λ , (∀) u ∈ U et donc F est i. δ. c. (après le Lemme 2).
Suffisance. Soient
Bibliographie
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
A z a d , K . K . - On Fuzzy Semicontinuity, Fuzzy Almost Continuity and Fuzyy Weakley
Continuity, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 82, pp. 14- 32, 1981
Brescan,
M . - Espaces topologiques flou demi-T2, Studii şi cercetări ştiinŃifice, Seria:
Matematică, 6, pp. 55-72, 1996, Universitatea din Bacău
B r e s c a n , M . - Sur quelques formes faibles de continuité pour les multifonction floues, Studii
şi cercetări ştiinŃifice, Seria: Matematică, 12, pp. 13-30, 2002, Universitatea din Bacău
C h a n g , C . L . - Fuzyy Topological Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
43, pp. 734- 742, 1973
K ü ç ü c , Y . - On some Caracterisations of δ-coutinous Multifunctions, Demonstratio
Mathematica, 28, pp. 587-595, 1995
M u k h e r j e e , M . N . , M a l a k a r , S . - On Almost Continuous and Weakly Continuous Fuzzy
Multifunctions, International Journal of Fuzzy Logic and Intelligent Systems, 5, 1, pp. 59-63, March
2005
N o i r i , T . - On δ-continous Functions, Korean Journal Math. Soc., 16, pp. 161-166, 1980
P a p a g e o r g i u , N . S . - Fuzzy Topology and Fuzzy Multifonctions, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 126, pp. 409- 423, 1987
P o p a , V . - Some Properties of δ-continous Multifunctions, Studii şi cercetări ştiinŃifice, Seria:
Matematică, 6, p. 163-169, 1996, Universitatea din Bacău
24
Mihai Brescan
10. P a o , M . P . , Y i n g , M . L . - Fuzzy Topology I, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 76, pp. 571-599, 1980
Asupra multifuncŃiilor fuzzy δ-continue
Rezumat
În această lucrare se generalizează pentru o multifuncŃie fuzzy conceptul de δ-continuitate studiat în
topologia generală de Y. KÜÇÜC, T. NOIRI şi V. POPA. Rezultatele importante ale lucrării sunt
teoremele de caracterizare date pentru această clasă de multifuncŃii.