Anneaux et modules artiniens - Les

Anneaux et modules artiniens
Table des mati`eres
1 Modules et anneaux artiniens 1
1.1 D´efinitions............................................. 1
1.2 Exemples et contre-exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Propri´et´es basiques de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Spectre d’un anneau artinien 3
2.1 Dimension de Krull et finitude du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Nilpotence du radical et cons´equences sur la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Caract´erisation des anneaux et modules artiniens 4
3.1 Caract´erisation des anneaux artiniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Caract´erisation des modules artiniens sur un anneau artinien . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Modules et anneaux artiniens
1.1 D´efinitions
Lemme Soit Eun enemble ordonn´e. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(1) Tout sous-ensemble non vide de Ea un ´el´ement minimal.
(2) Toute partie totalement ordonn´ee non vide de Ea un plus petit ´el´ement.
(3) Toute suite d´ecroissante d’´el´ements de Eest stationnaire.
Preuve On a facilement (1) ⇒(2) ⇒(3). Pour (3) ⇒(1) on regarde la contrapos´ee : l’existence d’un
sous-ensemble non vide de Ed´epourvu d’´el´ement minimal permet de construire une suite strictement
d´ecroissante.
D´efinition Soit Aun anneau, Mun A-module. On dit que Mest artinien si l’ensemble des sous-
modules de Mordonn´e par l’inclusion satisfait, ce qui est ´equivalent, les conditions (1),(2) ou (3).
On dit que l’anneau Aest artinien si le A-module Aest artinien.
Remarque Les sous-modules du A-module Asont exactement les id´eaux de l’anneau A.
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1.2 Exemples et contre-exemples
Exemples Le module (0) est toujours artinien.
Le Z-module Z/nZest fini, donc artinien. C’est aussi le cas de l’anneau Z/nZ.
Soit kun corps. Un k-espace vectoriel est artinien si et seulement s’il est de dimension finie. kest
lui-mˆeme artinien.
Contre-exemples L’anneau Zn’est pas artinien : consid´erer Z⊃2Z⊃4Z⊃.... De mˆeme si kest
un corps, k[X] n’est pas un anneau artinien : en effet, (X)⊃(X2)⊃... ⊃(Xn)⊃....
Un sous-anneau d’un anneau artinien n’est donc pas n´ecessairement artinien : Z⊂Q,k[X]⊂k(X) (qui
sont des corps).
Une somme directe infinie de modules non nuls n’est pas un module artinien.
1.3 Propri´et´es basiques de conservation
Proposition Soit 0−→ M0f −→ Mg −→ M00 −→ 0une suite exacte de A-modules. Alors :
Mest artinien ⇔M0et M00 sont artiniens.
Preuve ⇒Une suite d´ecroissante (M0
n) de sous-modules de M0a pour image par fune suite
d´ecroissante (f(M0
n)) de sous-modules de M, qui est alors stationnaire. Comme fest injective, la suite
(M0
n) = (f−1(f(M0 n))) est aussi stationnaire.
Une suite d´ecroissante (M00
n) de sous-modules de M00 a pour image r´eciproque par gune suite d´ecroissante
(g−1(M00
n)) de sous-modules de M, qui est alors stationnaire. Comme gest surjective, la suite (M0 n) =
(g(g−1(M0
n))) est aussi stationnaire.
⇐Soit (Mn) une suite d´ecroissante de sous-modules de M. On pose M0
n=f−1(Mn) et M00 n=g(Mn).
(M0
n) et (M00 n) sont alors deux suites d´ecroissantes, donc stationnaires, dans M0et M00. Choisissons n0
tel que M0
n=M0 n0et M00 n=M00 n0si n≥n0. On va montrer que si n≥n0,Mn=Mn0.
Soit x∈Mn0. Alors g(x)∈M00
n0=M00 ndonc il existe xn∈Mntel que g(x) = g(xn). D’o`u x−xn∈
Ker(g) = Im(f). Choisissons donc t∈M0tel que f(t) = x−xn. On sait que t∈f−1(Mn0) = M0
n0=M0 n.
Donc x−xn=f(t)∈f(M0
n) = f(f−1(Mn)) = Im(f)∩Mn⊂Mn, et x∈Mn, donc Mn0=Mn.
Corollaire Soient Mun A-module artinien et Pun sous-module de M. Alors Pet M/P sont des
A-modules artiniens.
Preuve 0−→ P⊂ −→ Mp −→ M/P −→ 0 est exacte.
Corrolaire Soient M1, ..., Mndes A-modules. Alors ⊕n
i=1Miest artinien ⇔ ∀i, Miest artinien.
Preuve Par r´ecurrence finie, en utilisant la suite exacte
0−→ Mi
i
−→ ⊕n
j=1Mj
p
−→ ⊕n
j=1,j6=iMj−→ 0
Corollaire Soient M1, ..., Mndes A-modules. Alors Pn
i=1 Miest artinien ⇔ ∀i, Miest artinien.
Preuve Pn
i=1 Miest un quotient de ⊕n
i=1Mi.
Remarque - Ces d´emonstrations sont aussi valables pour des modules noeth´eriens, en rempla¸cant
les suites d´ecroissantes par des suites croissantes.
Proposition Soit Aun anneau, S⊂Aune partie multiplicative. Si Aest artinien, S−1Al’anneau
des fractions de Aen Sest artinien.
Preuve Soit (bn) une suite d´ecroissante d’id´eaux de l’anneau S−1A. Si AiS
A
→S−1A, notons an=
iS
A
−1(bn). (an) ´etant une suite d´ecroissante d’id´eaux de A, elle stationne. Il en est de mˆeme pour (bn) =
(S−1an).
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2 Spectre d’un anneau artinien
2.1 Dimension de Krull et finitude du spectre
Proposition Un id´eal premier pd’un anneau artinien est maximal.
Preuve On sait que A/p est un anneau int`egre et artinien, il suffit de montrer que c’est un corps.
Soit a∈A/p,a6= 0. La suite d´ecroissante des id´eaux ((an))n∈Nest stationnaire, disons en r: on a
(ar) = (ar+1). Donc ar=bar+1, et comme a6= 0 et A/p est int`egre, ba = 1, et aest inversible ; pest
ainsi maximal.
Corollaire Le radical de Jacobson d’un anneau artinien est ´egal `a son nilradical
Corollaire La dimension de Krull d’un anneau artinien est 0.
Remarque Les anneaux dans lesquels tous les id´eaux premiers sont maximaux (de dimension de
Krull 0) ne sont pas n´ecessairement artiniens.
Soit kest un corps ; notons xila classe de Xidans l’anneau quotient A=k[Xn]n∈N/(XiXj)i,j∈N. Le
seul id´eal premier de Aest l’id´eal maximal (xn)n∈N.
La suite d’id´eaux (xn)n∈N⊃(xn)n∈N−{0}⊃(xn)n∈N−{0,1}⊃... est strictement d´ecroissante. An’est
donc pas artinien.
Proposition Le spectre d’un anneau artinien est fini.
Preuve Notons Fl’ensemble des id´eaux qui sont intersection d’un nombre fini d’id´eaux premiers
dans l’anneau artinien A.Fest non vide. Il poss`ede donc un ´el´ement minimal a=Tn
i=1 pi, o`u les pisont
premiers et distincts. On va d´emontrer que Spec(A) = {p1, ..., pn}.
Soit p∈Spec(A). On observe que p∩a∈F. Comme p∩a⊂a, par minimalit´e de a,p∩a=a, ce qui se
traduit par a=Tn
i=1 pi⊂p, et qui entraˆıne que pi⊂ppour un certain i, et donc pi=ppuisque piest
maximal.
Remarque La r´eciproque est fausse : Le spectre de A=k[Xn]n∈N/(XiXj)i,j∈Nest un singleton,
donc fini, bien que Ane soit pas artinien.
2.2 Nilpotence du radical et cons´equences sur la structure
Proposition Le radical r=J(A) = p(0) d’un anneau artinien Aest nilpotent (il existe n∈Ntel
que rn= (0)).
Preuve (rn)n∈Nest une suite d´ecroissante d’id´eaux ; elle stationne donc en n∈N. On va montrer
que rn= (0). Notons a=rn.
Supposons a6= (0) ; on observe que a2=a. L’ensemble Fdes id´eaux bde Atels que ba 6= (0) est donc
non vide ; soit cson plus petit ´el´ement.
Si pour tout x∈c, on avait xa = (0), alors on aurait ca = (0). Donc il existe x∈ctel que xa 6= (0).
Mais alors (x)∈F, donc c= (x).
Aussi, (xa)a=xa2=xa 6= 0, donc (xa)∈Fet (xa)⊂(x), d’o`u (xa) = (x) et ainsi on obtient l’existence
d’un z∈a, tel que xz =x. Par r´ecurrence, pour tout n∈N, on a alors xzn=x. Mais comme z∈a⊂r,
on trouve x= 0. On a donc a=rn= (0).
Corollaire Un anneau artinien est un produit fini d’anneaux locaux.
Preuve Soit Spec(A) = {m1, ..., mn}, et soit s∈Ntel que p(0)s= (0). Alors :
p(0)s= (
n
\
k=1
mk)s= (
n
Y
k=1
mk)s=
n
Y
k=1
(ms
k) =
n
\
k=1
(ms
k) = (0)
A, isomorphe `a A/(0) est donc isomorphe `a A/ Tn
k=1(ms
k). Par le th´eor`eme chinois, Aest donc aussi
isomorphe `a Qn
k=1 A/(ms
k)
L’anneau A/(ms
k) est par quotient artinien, et a un seul id´eal premier mk/(ms k) (regarder la projection
Apk →A/(ms
k)). Il est local, et Aest un produit d’anneaux locaux.
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3 Caract´erisation des anneaux et modules artiniens
3.1 Caract´erisation des anneaux artiniens
Th´eor`eme Soit Aun anneau. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(1) Aest noeth´erien et tout id´eal premier de Aest maximal.
(2) Aest artinien.
(3) Le A-module Aest de longueur finie.
Preuve Observons que l’id´eal (0) d’un anneau artinien Aest un produit d’id´eaux maximaux : on
vient de voir qu’il existe s∈Ntel que Tn
k=1(ms
k) = (0), avec Spec(A) = {m1, ..., mn}. On va d’abord
d´emontrer le lemme suivant :
Lemme Soit Aun anneau dans lequel (0) est produit d’id´eaux maximaux. Les assertions suivantes
sont ´equivalentes :
(1) Aest noeth´erien.
(2) Aest artinien.
(3) Le A-module Aest de longueur finie.
Preuve du lemme On a toujours (3) ⇒(1) ou (2). Prouvons simultan´ement que (1) ⇒(3) et
(2) ⇒(3).
Ecrivons (0) = Qn
i=1 miavec nminimal. De ce fait, m1⊃m1m2⊃... ⊃m1...mnest une suite de
composition strictement d´ecroissante de A-modules.
De plus Ann(m1...mi/m1...mi+1)⊃mi+1, et par maximalit´e de mi+1, on a le fait que Ann(m1...mi/m1...mi+1) =
mi+1, et donc que m1...mi/m1...mi+1 puisse ˆetre muni d’une structure de A/mi+1-espace vectoriel.
Cet espace est de dimension finie : l’existence d’une famille libre (uk)k∈Ninfinie dans m1...mi/m1...mi+1
permettrait de construire des suites de A-modules (u1)⊂(u1, u2)⊂... et (uk)k∈N⊃(uk)k∈N−{0}⊃...
qui contrediraient respectivement le fait m1...mi/m1...mi+1 soit respectivement noeth´erien ou artinien,
donc respectivement (1) et (2).
En relevant dans Aune suite de Jordan-H¨older de chacun de ces espaces vectoriels (ide 1 `a n−1), on
raffine m1⊃m1m2⊃... ⊃m1...mnen une suite de Jordan-H¨older, de longueur finie (par additivit´e des
longueurs). C’est (3).
Il reste `a recoller les bouts avec le lemme 2 :
Lemme 2 Soit Aun anneau noeth´erien. (0) est un produit d’id´eaux premiers.
Preuve du lemme 2 Soit Fl’ensemble des id´eaux de Ane contenant pas un produit d’ideaux
premiers.
Si Fest non vide il poss`ede un ´el´ement maximal a, qui n’est donc pas premier. Si bien qu’il existe
x, y /∈Atels que xy ∈A.a+Ax et a+Ay contiennent strictement a, donc ils contiennent des produits
d’id´eaux premiers, Pet Qrespectivement.
Mais alors le produit d’id´eaux premiers P Q ⊂(a+Ax)(a+Ay)⊂a+Axy =a. Donc Fest vide, et (0)
est alors un produit d’id´eaux premiers.
Corollaire Soit Aun anneau noth´erien, m1, ..., mndes id´eaux maximaux de A,r=m1...mn,qun
id´eal de Atel que pour un certain s∈N∗,rs⊂q⊂r. Alors A/q est artinien.
Preuve D’apr`es un des th´eor`emes d’isomorphisme, A/q est isomorphe `a (A/rs)/(q/rs), qui est un
quotient de A/rs. Il suffit donc de v´erifier que ce dernier est artinien.
D´eterminons Spec(A/rs). Consid´erons Ap →A/rs. Soit w∈Spec(A/rs). v=p−1(w)∈Spec(A), et de
plus w⊃rs=ms
1...ms
n, donc v⊃mipour un certain i. D’o`u w=mi/rs. R´eciproquement les id´eaux
mi/rssont tous dans Spec(A/rs), et sont maximaux car les mile sont. A/rsest donc noeth´erien de
dimension de Krull nulle, il est donc artinien, et A/q l’est aussi.
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3.2 Caract´erisation des modules artiniens sur un anneau artinien
Proposition Soit Mun A-module, avec Aun anneau artinien. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(1) M est de type fini.
(2) M est artinien.
(3) M est noeth´erien.
(4) M est de longueur finie.
Preuve On va utiliser le lemme 1 pour prouver (1) ⇔(3) (un anneau artinien est noeth´erien) et le
lemme 2 pour (1) ⇔(2). (4) ⇒(2) et (4) ⇒(3) sont ´evidentes (consid´erer la contrapos´ee). Le lemme 3
concluera avec ((2)et(3)) ⇒(4)
Lemme 1 Soit Mun A-module. On a :
Le A-module Mest noeth´erien ⇔Le A-module Mest de type fini et l’anneau A/Ann(M)est noeth´erien.
Preuve du lemme 1 Remarquons que les sous-modules d’un B-module Pet les sous-modules de P
vus comme B/Ann(P)-modules sont les mˆemes.
Prenons un syst`eme de g´en´erateurs du A-module M, (x1, ..., xn). On a ainsi M=Pn
i=1 Axi. Or Axiest
isomorphe au A-module A/Ann(xi).
⇐A/Ann(xi) est isomorphe `a (A/Ann(M))/(Ann(xi)/Ann(M)), donc est noeth´erien par quotient.
Mpar somme est alors noeth´erien.
⇒Axi´etant un sous-module de M, il est noeth´erien. A/Ann(xi) l’est donc aussi. Consid´erons le
morphisme A→ ⊕n
i=1A/Ann(xi). Son noyau est Ann(M), donc A/Ann(M) s’identifie `a un sous-module
d’un module noeth´erien (par somme), et est donc noeth´erien.
Lemme 2 Soit Mun A-module. On a :
Le A-module Mest artinien ⇔Le A-module Mest de type fini et l’anneau A/Ann(M)est artinien.
Mˆeme d´emonstration que le lemme 1, en rempla¸cant le mot noeth´erien par artinien.
Lemme 3 Soit Mun A-module noeth´erien et artinien. Il est de longueur finie.
Preuve Ceci marche pour M={0}. Si Mn’est pas nul, l’ensemble des sous-modules de Mstricts
est non vide. Comme Mest noeth´erien il admet un ´el´ement maximal M1, noeth´erien aussi. Si M1={0},
Mest de longueur nulle. Sinon, M1admet un sous-module maximal M2... Ce proc´ed´e nous permet de
construire une suite strictement d´ecroissante M=M0⊃M1⊃M2⊃... qui est finie puisque Mest
artinien. On vient de construire une suite de Jordan-H¨older finie pour M.
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