Sommaire Chapitre 1 ■ Révision du programme d’algèbre de première année 5 Fiches de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sujets d’oraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapitre 2 ■ Compléments d’algèbre linéaire A. Sommes directes – Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 B. Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 C. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 D. Réduction des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Chapitre 3 ■ Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 B. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 C. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien – Matrices symétriques . . . . 99 L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 D. Chapitre 4 ■ Exercices d’oraux et extraits de problème de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 B. Énoncés utilisant les chapitres 1, 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 A. Énoncés utilisant les chapitres 1 et 2 4 CHAPITRE 1 Révision du programme d’algèbre de première année Fiches de Révision 1. Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels 2. Matrices . . . . . . . . . . . . 3. Familles de vecteurs . . . . . . . . 4. Suites récurrentes linéaires d’ordre deux. . 5. Applications linéaires . . . . . . . . 6. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 10 13 14 16 Sujets d’oraux Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 Problèmes Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse des énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 27 5 Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel sur (ou -espace vectoriel). ✓ Sous-espaces vectoriels : cas général ■ F est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel E si et seulement si : ⎧• F E ⎪ ⎪• F ⎨ ⎪ • F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire ⎪ ( x, y ) F 2 , ( , ) 2 , x y F. ⎩ Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F est -espace vectoriel. ■ ■ Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, F G et F G sont des sous-espaces vectoriels de E. Soit ( u j ) 1 j p une famille de p vecteurs d’un espace vectoriel E. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des p vecteurs de est un sous-espace vectoriel de E appelé sousespace vectoriel engendré par et noté Vect ( ) ou Vect ( u 1, u 2, …, u p ). ✓ Espaces vectoriels de dimension finie ■ ■ L’espace vectoriel E est dit de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d’éléments. La dimension de E est le nombre d’éléments commun à toutes les bases de E dimE n ⇔ Il existe une base de E ayant n éléments dimE 0 ⇔ E { 0 }. ✓ Sous-espaces vectoriels en dimension finie Soit E un espace vectoriel de dimension finie. ■ Tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie et dimF dimE. ■ Si F est un sous-espace vectoriel de E, F E ⇔ dimF dimE . ■ Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de l’espace vectoriel E : F G ⇔ ⎨ ✓ Espaces vectoriels particuliers ■ ■ Si dimF 1 , F est une droite vectorielle, si dimF 2 , F est un plan vectoriel, si dimF dimE 1 , F est un hyperplan vectoriel de E. dim n n dim n [ X ] n 1 dim np ( ) np . ✓ Somme directe de deux sous-espaces vectoriels La somme F G est directe ⇔ F G { 0 } ⇔ Tout vecteur u de F G s’écrit de manière unique u v w avec v F et w G . Le sous-espace vectoriel F G est alors noté F G . 6 ⎧F G . ⎩ dimF dimG Fiches de révision ✓ Sous-espaces supplémentaires ■ F et G sont supplémentaires dans E ⇔ E F G ⇔ tout vecteur u de E s’écrit de manière unique u v w avec v F et w G . ⎧E F G ⇔⎨ ⎩F G {0} Si E est de dimension finie n – tout sous espace vectoriel F de E admet au moins un supplémentaire G dans E et dimE dimF dimG . – F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E ⇔ Il existe une base F de F et une base G de G telles que la réunion de F et G , soit une base de E. ■ ⎧ dimF dimG dimE ⇔⎨ . ⎩F G {0} 7 Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année Matrices ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Soit A ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1,1 a 2,1 a i ,1 a n ,1 a 1,2 … a 1, j … a 1,p ⎞⎟ a 2,2 … a 2,j … a 2,p ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ une matrice de np ( ) . a i ,2 … a i ,j … a i ,p ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ a n ,2 … a n,j … a n ,p ⎠ On note aussi A ( a i , j ) 1 i n ou ( a i , j ) , les a i , j sont dans . 1 jp ✓ Opérations ■ Soit A et B deux matrices de np ( ) et , alors A B np ( ) et A np ( ) et : A B (a i , j bi , j) A ( a i , j ) ( n ,p ( ), +, × ) est un -espace vectoriel de dimension np, de base la famille ( E i j ) 1 i n 1 jp où j ⎛ 0 0⎞ ⎜ ⎟ E i j i ⎜ 1 ⎟ ( E i j a n lignes et p colonnes, tous ses coefficients sont nuls sauf celui de la i e ligne et j e colonne ⎜ ⎟ qui vaut 1). ⎝ 0 0⎠ p ■ ■ Si A np ( ) et B pq ( ) , alors AB nq ( ) et : AB ( c i , j ) avec c i , j a i ,k b k ,j k =1 (en général AB BA ) Si A et B sont deux matrices de p ( ) , telles que AB BA , alors pour tout n : n (A B )n ⎛⎝ nk⎞⎠ A k Bn k k =0 ✓ Inverse d’une matrice carrée A n ( ) ■ ■ A inversible ⇔ B n ( ) telle que AB I n ou BA I n (On a alors B A 1 ) ⇔ Y n , 1 ( ), le système AX Y a une solution unique (On a alors X A 1 Y ). Si A est triangulaire ou diagonale, A inversible ⇔ tous ses éléments diagonaux sont non nuls. ■ Soit A et B deux matrices inversibles de n ( ). (1) A 1 est inversible et ( A 1 ) 1 A. (2) AB est inversible et ( AB 1 ) B 1 A 1 . (3) Pour tout p , A p est inversible et ( A p ) 1 ( A 1 ) p . Cette matrice est notée A p . t t t 1 (4) A est inversible et ( A ) ( A 1 ) . b ⎞ est inversible si et seulement si ad bc 0 . ⎟ d⎠ 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 Dans ce cas, ⎜ a b ⎟ ----------------------- ⎜ d b⎟ . ad bc ⎝ c a ⎠ ⎝ c d⎠ ■ 8 ⎛a ⎜ ⎝c