precis de maths ecs - algebre 2e annee

4
Sommaire
Chapitre 1 ■ Révision du programme d’algèbre de première année 5
Fiches de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Sujets d’oraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chapitre 2
■
Compléments d’algèbre linéaire
. . . . . . . . . . . . . . 33
A. Sommes directes – Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B. Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
C. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
D. Réduction des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chapitre 3
■
Algèbre bilinéaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C. Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
D. Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien – Matrices symétriques . . . . 99
L’essentiel, mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Chapitre 4
■
Exercices d’oraux et extraits de problème
de concours
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A. Énoncés utilisant les chapitres 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
B. Énoncés utilisant les chapitres 1, 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Index
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

CHAPITRE
5
1
Révision du
programme
d’algèbre de
première année
Fiches de Révision
1. Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3. Familles de vecteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4. Suites récurrentes linéaires d’ordre deux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5. Applications linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6. Polynômes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Sujets d’oraux
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Problèmes
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Analyse des énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année
6
Espaces vectoriels – Sous-espaces vectoriels
Soit
E
un espace vectoriel sur (ou -espace vectoriel).
✓ Sous-espaces vectoriels : cas général
■
F
est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel
E
si et seulement si :
Si
F
est un sous-espace vectoriel de
E
, alors
F
est -espace vectoriel.
■ Si
F
et
G
sont deux sous-espaces vectoriels de
E
, et sont des sous-espaces vectoriels de
E
.
■ Soit une famille de
p
vecteurs d’un espace vectoriel
E
.
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des
p
vecteurs de est un sous-espace vectoriel de
E
appelé sous-
espace vectoriel engendré par
et noté ou
✓ Espaces vectoriels de dimension finie
■ L’espace vectoriel
E
est dit de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d’éléments.
■ La dimension de E est le nombre d’éléments commun à toutes les bases de E
Il existe une base de
E
ayant
n
éléments
✓ Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
■ Tout sous-espace vectoriel
F
de
E
est de dimension finie et
■ Si
F
est un sous-espace vectoriel de
E
, .
■ Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de l’espace vectoriel E : .
✓ Espaces vectoriels particuliers
■ Si ,
F
est une droite vectorielle,
si ,
F
est un plan vectoriel,
si , F
est un hyperplan vectoriel de
E
.
■
.
✓ Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
La somme est directe
Tout vecteur
u
de s’écrit de manière unique avec et .
Le sous-espace vectoriel est alors noté .
• FE
• F
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
• F est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire
, xy,()F2,,()2 xy F.
FGFG
uj
()
1jp
Vect () Vect u1u2…up
,,,().
dimE n⇔
dimE 0E⇔0{}.
dimF dimE.
FEdimF⇔dimE
FGFG
dimF dimG
⎩
⎨
⎧
⇔
dimF 1
dimF 2
dimF dimE 1
dimnn
dimnX[] n1
dim np () np
FGFG⇔0{}
⇔FGuvw vFwG
FGFG

Fiches de révision
7
✓ Sous-espaces supplémentaires
■
F
et
G
sont supplémentaires dans
tout vecteur
u
de
E
s’écrit de manière unique avec et .
■ Si
E
est de dimension finie
n
– tout sous espace vectoriel
F
de
E
admet au moins un supplémentaire
G dans E et .
– F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E
Il existe une base F de F et une base G de G telles que la réunion de F et G, soit une base de E.
.
EE⇔FG
⇔uvw vFwG
EFG
FG0{}
⎩
⎨
⎧
⇔
dimE dimF dimG
⇔
dimF dimGdimE
FG0{}
⎩
⎨
⎧
⇔

Chapitre 1 : Révision du programme d’algèbre de première année
8
Matrices
Soit une matrice de .
On note aussi ou , les sont dans .
✓ Opérations
■ Soit A et B deux matrices de et , alors et et :
est un -espace vectoriel de dimension np, de base la famille
où ( a n lignes et p colonnes, tous ses coefficients sont nuls sauf celui de la ie ligne et je colonne
qui vaut 1).
■ Si et , alors et : avec
(en général )
■ Si A et B sont deux matrices de , telles que , alors pour tout :
✓ Inverse d’une matrice carrée
■ A inversible telle que ou (On a alors )
le système a une solution unique (On a alors ).
■ Si A est triangulaire ou diagonale,
A inversible tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
■ Soit A et B deux matrices inversibles de
(1) est inversible et
(2) AB est inversible et
(3) Pour tout est inversible et Cette matrice est notée
(4) est inversible et .
■ est inversible si et seulement si .
Dans ce cas, .
A
a1,1
a2,1
ai,1
an,1
a1,2
a2,2
ai,2
an,2
a1, j
a2,j
ai,j
an,j
a1,p
a2,p
ai,p
an,p
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
…
…
…
…
…
…
…
…
np ()
Aai,j
()
1in
1jp
ai,j () ai,j
np () ABnp ()Anp ()
ABai,jbi,j
()
Aai,j
()
n,p()+×,,() Eij
()
1in
1jp
Eij
00
00
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
1
j
iEij
Anp ()Bpq ()AB nq ()AB ci,j ()
ci,jai,kbk,j
k=1
p
AB BA
p() AB BAn
AB()
nn
k
⎝⎠
⎛⎞
AkBnk
k=0
n
An()
Bn()⇔AB In BA In BA
1
Yn1,(),⇔AX YXA
1Y
⇔
n().
A1A1
()
1A.
AB 1
()B1A1.
p,ApAp
()
1A1
()
p.
Ap.
A
tA t
()
1A1
()
t
ab
cd
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞ ad bc 0
ab
cd
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
11
ad bc
-----------------------db
ca
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞