DZ - EQUATIONS DIFFERENTIELLES

DZ - EQUATIONS DIFFERENTIELLES
On a regroupé sous ce titre plusieurs morceaux de cours écrits à des époques diverses et pour des
niveaux divers.
Sommaire
Equations différentielles : généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Méthodes pratiques de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Equations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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Partie I - Equations différentielles : généralités
Soit U un ouvert de Rp , et ] α, β [ un intervalle de R. Soit une fonction F de classe C1 sur ] α, β [ ×U
à valeurs dans Rp . On considère l’équation différentielle :
(E)
y ′ = F (t, y) ,
Une condition initiale est la donnée d’un couple (t0 , y0 ) de ] α, β [ ×U .
Résoudre l’équation différentielle (E) avec condition initiale (t0 , y0 ), c’est trouver les couples
( ] a, b [ , f ), où ] a, b [ est inclus dans ] α, β [ et contient t0 , la fonction f est de classe C1 sur ] a, b [ ,
et vérifie, pour tout t de ] a, b [ , la relation
f ′ (t) = F (t, f ′ (t))
avec
f (t0 ) = y0 .
Théorème de Cauchy
Existence Sous les conditions ci-dessus on peut toujours résoudre l’équation différentielle, avec
condition initiale donnée.
Unicité Si ( ] a, b [ , f ) et ( ] c, d [ , g) sont deux solutions de la même équation différentielle avec
la même condition initiale, alors f et g coïncident sur ] a, b [ ∩ ] c, d [ .
Solution maximale Il existe un plus grand intervalle ] a, b [ , et une fonction f de classe C1 sur
] a, b [ telle que ( ] a, b [ , f ) soit solution de l’équation (E) avec condition initiale donnée.
Exemple 1
(E)
y′ =
y
= F (t, y) .
t
La fonction F est de classe C1 sur R∗ × R. Donnons nous (t0 , y0 ) avec t0 non nul, et cherchons la
solution maximale.
De manière évidente, les fonctions y = C t sont solutions de l’équation. Il suffit de déterminer la
constante C en utilisant la relation
y 0 = C t0 .
On obtient
y=
y0
t.
t0
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Si t0 est strictement positif, la solution maximale est donc
où
( ] 0, ∞ [ , f )
f (t) =
y0
t.
t0
Si t0 est strictement négatif, la solution maximale est alors
( ] −∞, 0 [ , f )
où
f (t) =
y0
t.
t0
Remarquons que dans ce cadre, la solution maximale ne peut “franchir” la valeur t = 0, puisque F
n’est pas définie pour cette valeur.
Si l’on s’intéresse maintenant à l’équation différentielle
t y′ = y ,
(E1 )
qui sort du cadre du théorème, les fonctions y = C t pour une constante C quelconque, sont solutions
dans R tout entier de (E1 ). Mais, si y0 est non nul, il n’existe pas de solution de cette équation vérifiant
la condition initiale (0, y0 ).
Exemple 2
Considérons l’équation
y′ =
(E)
p
1 − y 2 = F (t, y) .
La fonction F est de classe C1 sur R× ] −1, 1 [ .
Donnons nous une condition initiale (t0 , y0 ). Nécessairement y0 est dans ] −1, 1 [ et donc y0 = cos θ0
avec 0 < θ0 < π.
Soit l’intervalle
I0 = ] −π + t0 + θ0 , t0 + θ0 [ .
On constate que t0 appartient à I0 . Par ailleurs, si t est dans I0 alors t − t0 − θ0 appartient à ] −π, 0 [ ,
et sin(t − t0 − θ0 ) est négatif. Alors si l’on pose sur I0 ,
f (t) = cos(t − t0 − θ0 ) ,
on a :
On a également
p
1 − f (t)2 = | sin(t − t0 − θ0 )| = − sin(t − t0 − θ0 ) = f ′ (t) .
f (t0 ) = cos(θ0 ) = y0 .
La solution maximale cherchée est donc (I0 , f ). (Elle est bien maximale car elle ne peut franchir les
bornes de I0 sans devenir égale à 1 ou −1).
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On pourrait étudier de la même manière l’équation
p
y = − 1 − y2 .
Remarquons là aussi que la forme de l’équation est importante. En effet les deux équations précédentes
impliquent
y 2 + y ′2 = 1 .
(E)
Cette équation a comme solutions
y = cos(t − t0 )
quel que soit t0 . Elle a également pour solutions y = 1 et y = −1.
Toutes ces solutions sont définies sur R tout entier. Alors elle possède une infinité d’autres solutions
obtenues en recollant en des points d’ordonnée 1 ou −1, des solutions de la première forme. En conséquence par un point quelconque (t0 , y0 ) où −1 ≤ y0 ≤ 1, il passe une infinité de solutions de (E).
Application du théorème de Cauchy aux équations d’ordre 2
Considérons l’équation différentielle du second ordre
y ′′ = G(t, y, y ′ ) ,
(E)
où G est une application de classe C1 de ] α, β [ × ] α′ , β ′ [ × ] α′′ , β ′′ [ dans R. Posons
y′ = z
,
Y = (y, z)
,
F (t, Y ) = (z, G(t, y, z))
et
U = ] α′ , β ′ [ × ] α′′ , β ′′ [ .
La fonction F est de classe C1 sur ] α, β [ ×U à valeur dans R2 . De plus l’équation (E) équivaut au
système
′
y =z
z ′ = G(t, y, z)
c’est-à-dire à
(y ′ , z ′ ) = F (t, y, z) ,
où encore à
Y ′ = F (t, Y ) .
Résoudre l’équation (E) revient donc à trouver une fonction f de classe C1 sur un ouvert de R2 telle
que
f ′ (t) = F (t, f (t)) .
Le théorème de Cauchy s’applique dans ce cas. En particulier une condition initiale est un couple
(t0 , Y0 ) tel que
f (t0 ) = Y0 = (y0 , z0 ) = (y(t0 ), z(t0 )) ,
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c’est-à-dire tel que
y(t0 ) = y0
et z(t0 ) = y ′ (t0 ) = z0 .
La démarche précédente ramène donc toute équation d’ordre 2 (ou plus) à une équation d’ordre 1 (mais
dans un autre espace vectoriel) .
Courbes intégrales
Considérons des applications F de ] α, β [ ×U dans R. Les solutions de l’équation
y ′ = F (x, y)
sont alors des fonctions y = f (x) et se représentent dans le plan par des courbes. Ce sont les courbes
intégrales de l’équation.
Les méthodes de résolution d’une équation différentielle, qu’elle se présente sous la forme ci-dessus, ou
sous une forme encore plus générale
F (x, y, y ′ ) = 0 ,
ou à un ordre quelconque
F (x, y ′ , ..., y (n) ) = 0 ,
ne permettent pas toujours d’obtenir des solutions sous la forme y = f (x). On obtient souvent x et
y comme fonctions d’une variable auxiliaire t, (voir partie II), et les courbes intégrales sont alors les
courbes paramétrées par
x = x(t)
y = y(t)
On obtient parfois aussi des courbes données par une équation implicite
h(x, y) = 0 .
Exemple d’équation différentielle : systèmes différentiels linéaires
Soit A un endomorphisme de Rp , et B une application de classe C1 de ] α, β [ dans R. On pose, si
(t, Y ) appartient à ] α, β [ ×Rp
F (t, Y ) = A(Y ) + B(t) .
On obtient alors une application de classe C1 de ] α, β [ ×Rp dans R et le théorème de Cauchy s’applique.
Nous verrons dans la partie IV comment résoudre en pratique une équation différentielle du type
Y ′ = A(Y ) + B(t) .
une telle équation (dans Rp ) se traduit par un système différentiel linéaire :
yi′ = ai1 y1 + · · · + aip yp + bi (t) (1 ≤ i ≤ p) .
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Partie II - Méthodes pratiques de résolution
Equations différentielles du premier ordre
I - Equations à variables séparées
Elles sont de la forme
f (y)y ′ = g(x) ou f (y)dy = g(x)dx .
Les solutions s’obtiennent en intégrant les deux membres.
Z
Z
f (y) dy = g(x) dx + C .
Remarque : si l’équation est
g(x)y ′ = f (y) .
et si y0 annule f , les fonctions constantes y = y0 sont solutions.
II - Equations dans lesquelles il manque x
Ce sont les équations de la forme
F (y, y ′ ) = 0 .
1) y ′ = ϕ(y)
équation à variables séparées.
2) y = ψ(y ′ )
on pose y ′ = t, et on cherche y et x comme fonctions de t. On a y = ψ(t), donc
dy = ψ ′ (t) dt
et
dy = t dx .
Alors x est solution de l’équation à variables séparées
dx =
3) Cas général
et l’on pose
ψ ′ (t)
dt .
t
On cherche un paramétrage u = ϕ(t), v = ψ(t) de la courbe d’équation F (u, v) = 0,
y = ϕ(t)
y ′ = ψ(t)
donc
donc
dy = ϕ′ (t)dt
dy = ψ(t) dx
On obtient x comme solution de l’équation à variables séparées
dx =
ϕ′ (t)
dt .
ψ(t)
Ne pas oublier les intégrales singulières : si y0 est tel que F (y0 , 0) = 0, alors y = y0 est solution.
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III - Equations dans lesquelles il manque y
Ce sont des équations de la forme
F (x, y ′ ) = 0 .
1) y ′ = ϕ(x)
équation à variables séparées.
2) x = ψ(y ′ )
on pose y ′ = t, et on cherche x et y comme fonctions de t. On a x = ψ(t), donc
dx = ψ ′ (t) dt
et dy = t dx .
Alors y est solution de l’équation à variables séparées
dy = tψ ′ (t) dt .
3) Cas général
et l’on pose
On cherche un paramétrage u = ϕ(t), v = ψ(t), de la courbe d’équation F (u, v) = 0,
donc
donc
x = ϕ(t)
y ′ = ψ(t)
dx = ϕ′ (t)dt
dy = ψ(t) dx
On obtient y comme solution de l’équation à variables séparées
dy = ϕ′ (t)ψ(t) dt .
Remarque : si pour tout x on a F (x, a) = 0, les droites y = ax + b sont solutions.
IV - Equations homogènes en x et y
Ce sont des équations de la forme
F
1) ) y ′ = f (y/x)
y
x
, y′ = 0 .
On pose y = tx, et on cherche x et y comme fonctions de t. On a donc
dy = f (t) dx
et dy = t dx + x dt .
On obtient x comme solution de l’équation à variables séparées
dx
dt
=
.
x
f (t) − t
2) ) y/x = f (y ′ )
donc
On pose y ′ = t, et on cherche x et y en fonction de t. On a dy = t dx et y = f (t) x
dy = f (t) dx + xf ′ (t) dt .
On obtient x comme solution de l’équation à variables séparées
dx
f ′ (t)
=
dt .
x
t − f (t)
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3) ) Cas général
et l’on pose
On cherche un paramétrage u = ϕ(t), v = ψ(t), de la courbe d’équation F (u, v) = 0
y = xϕ(t)
y ′ = ψ(t)
dy = ϕ(t) dx + xϕ′ (t) dt
dy = ψ(t) dx
donc
donc
On obtient x comme solution de l’équation à variables séparées
ϕ′ (t)
dx
=
dt .
x
ψ(t) − ϕ(t)
Remarque 1 : si t0 vérifie F (t0 , t0 ) = 0, on a comme solution la droite y = t0 x.
Remarque 2 : les courbes représentatives des solutions d’une équation homogène donnent par homothéties de centre 0 d’autres courbes solutions. En effet, si l’on a
X = kx
alors
y
Y
=
X
x
et Y = ky ,
et
dY
dy
=
.
dX
dx
V - Equations linéaires (en y et y ′ ) (Voir aussi partie III)
Elles sont de la forme
(1)
a(x)y ′ + b(x)y = c(x) .
On lui associe l’équation homogène (ou sans second membre)
(2)
a(x)y ′ + b(x)y = 0 .
Théorème Si f est une solution non nulle de (2), toute solution de (2) est de la forme kf où
k est une constante. En d’autres termes, l’ensemble des solutions de (2) est un espace vectoriel de
dimension 1.
Si f est une solution non nulle de (2), et g une solution de (1) l’ensemble des solutions de (1) est
l’ensemble des fonctions kf + g où k est une constante quelconque.
Recherche des solutions
Méthode de variation de la constante
On résout l’équation (2) qui se met sous la forme d’une équation à variables séparées
y′
b(x)
=−
.
y
a(x)
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On prend une solution non nulle f , et l’on cherche des solutions de (1) de la forme
y = k(x)f (x) .
En remplaçant dans (1), on obtient une équation à variables séparées qui va donner
k′ (x) =
c(x)
.
a(x)f (x)
Une fois connu k, on en déduit y.
Cas des équations à coefficients constants
Si a et b sont des constantes, les solutions de (2) sont de la forme
y = kerx ,
où r est la racine du polynôme ax + b.
VI - Equations de Bernoulli
Ce sont des équations de la forme
a(x)y ′ + b(x)y + c(x)y n = 0 .
La solution y = 0 est solution singulière. On divise par y n , et l’on pose z = y −n+1 , on a alors
z ′ = (−n + 1)y ′ y −n ,
et l’équation se ramène à une équation linéaire en z et z ′
a(x) ′
z + b(x)z + c(x) = 0 .
−n + 1
VII - Equations de Lagrange (équations linéaires en x et y)
Elles sont de la forme
y = a(y ′ )x + b(y ′ ) .
Il y a deux sortes de solutions.
a) si y0 est un nombre tel que a(y0 ) = y0 , les droites
y = a(y0 )x + b(y0 )
sont solutions.
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b) On pose y ′ = t, et l’on cherche x et y comme fonctions de t. On a
y = a(t)x + b(t) ,
donc
dy = a(t) dx + a′ (t)x dt + b′ (t) dt
et dy = t dx .
On obtient alors x comme solution d’une équation linéaire en dx/dt et x
a′ (t)x + (a(t) − t)
dx
+ b′ (t) = 0 .
dt
Remarque : les droites obtenues dans la partie a) sont tangentes aux courbes obtenues dans la partie
b).
VIII - Equations de Clairault
Ce sont des équations de Lagrange dans lesquelles a(u) = u. Elles sont donc de la forme
y = y ′ x + b(y ′ ) .
On obtient
a) Pour tout nombre y0 , la droite d’équation
y = y0 x + b(y0 ) .
b) En posant y ′ = t, la courbe paramétrée par
x=−
b′ (t)
= −b′ (t) ,
a′ (t)
y = −tb′ (t) + b(t) .
IX - Equations de Ricatti
Ce sont des équations de la forme
y ′ = a(x)y 2 + b(x)y + c(x) .
On ne peut résoudre ces équations que si l’on connaît une solution particulière y1 . (Par exemple, si a,
b, c sont des polynômes, on pourra chercher une solution polynomiale).
On cherche des solutions y de la forme
y = z + y1 .
En remplaçant dans l’équation, on obtient z comme solution d’une équation de Bernoulli
z ′ = a(x)z 2 + (2a(x)y1 (x) + b(x))z .
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Equations différentielles du second ordre
I - Equations dans lesquelles il manque y
Elles sont de la forme
F (x.y ′ , y ′′ ) = 0 .
On pose y ′ = z, et on est ramené à résoudre l’équation du premier ordre
F (x, z, z ′ ) = 0 ,
puis à résoudre
y′ = z .
II - Equations dans lesquelles il manque x
Elles sont de la forme
F (y, y ′ , y ′′ ) = 0 .
On pose y ′ = p. On a alors
y ′′ = p
et l’on résout
F
dp
,
dy
dp
y, p, p
dy
= 0,
qui est une équation du premier ordre. On peut achever le calcul de deux manières possibles :
– si la résolution de l’équation en y et p donne y en fonction de p, on résout ensuite
dx =
dy
,
p
qui donne x en fonction de p.
– si la résolution de l’équation en y et p donne p en fonction de y, on résout ensuite
y ′ = p(y) ,
ce qui donne y en fonction de x.
III - Equations homogènes en y, y ′ , y ′′
Elles sont de la forme
y ′ y ′′
= 0.
F x, ,
y y
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On pose z = y ′ /y. On a alors
z ′ = −z 2 +
y ′′
,
y
et l’équation devient
F (x, z, z ′ + z 2 ) = 0
qui est une équation du premier ordre. On résout ensuite
y′
= z(x)
y
qui est une équation à variables séparées.
IV - Equations linéaires en y, y ′ , y ′′ (Voir aussi partie III)
Elles sont de la forme
(1)
a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = d(x) ,
et on leur associe l’équation sans second membre
(2)
a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = 0 .
Il n’y a pas de méthode générale pour résoudre de telles équations.
Théorème
1) Si f1 et f2 sont deux solutions de (2) non proportionnelles, l’ensemble des solutions de (2) est
constitué des fonctions de la forme λ1 f1 + λ2 f2 où λ1 et λ2 décrivent le corps de base (R ou C). En
d’autres termes, l’ensemble des solutions de (2) est un espace vectoriel de dimension 2.
2) Si g est une solution de (1), on obtient toutes les solutions de (1), en ajoutant à g une solution
quelconque de (2).
3) Si fi est une solution de
a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y = di (x) ,
alors
y=
n
X
fi
i=1
est solution de l’équation
a(x)y ′′ + b(x)y ′ + c(x)y =
n
X
i=1
(Principe de superposition des solutions).
di (x) .
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Méthodes de résolution lorsque l’on connaît des solutions non nulles de (2)
1) On connaît une solution f non nulle de (2). On cherche des solutions de (1) de la forme
y = z(x)f (x) .
En remplaçant dans l’équation (1), on obtient l’équation
(af )(x)z ′′ + (2(af ′ )(x) + (bf )(x))z ′ = d(x) .
Si l’on pose u = z ′ , on est ramené à résoudre une équation linéaire du premier ordre en u′ et u, puis
l’on détermine z en résolvant z ′ = u.
2) On connaît deux solutions indépendantes f1 et f2 de (2). On cherche des solutions de la forme
y = λ1 (x)f1 (x) + λ2 (x)f2 (x) .
En dérivant, on obtient
y ′ = λ′1 (x)f1 (x) + λ′2 (x)f2 (x) + λ1 (x)f1′ (x) + λ2 (x)f2′ (x) .
On impose la condition
λ′1 f1 + λ′2 f2 = 0 .
Alors
y ′′ = λ1 f1′′ + λ2 f2′′ + λ′1 f1′ + λ′2 f2′ ,
et en remplaçant dans (1) on obtient
a(λ′1 f1′ + λ′2 f2 ) = d .
On résout le système d’inconnues λ′1 et λ′2 formé par
′
λ1 f1 + λ′2 f2 = 0
.
a(λ′1 f1′ + λ′2 f2′ ) = d.
Ce système a toujours une solution. En effet son déterminant a(f1′ f2 − f1 f2′ ) n’est pas identiquement
nul, car (f1′ f2 − f1 f2′ ) et le numérateur de la dérivée de f1 /f2 et l’on a supposé que f1 et f2 étaient
indépendantes. Leur quotient n’est donc pas constant. Une fois obtenu λ′1 et λ′2 , on résout les deux
équations du premier ordre pour obtenir λ1 et λ2 .
Envisageons deux cas où l’on sait trouver des solutions de (1) et donc de (2).
V - Equations linéaires à coefficients constants
Ce sont des équations de la forme
(1)
ay ′′ + by ′ + cy = d(x)
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où a, b, c sont des constantes.
L’équation sans second membre
ay ′′ + by ′ + cy = 0
(2)
a des solutions que l’on connaît. On les obtient en cherchant les racines du polynôme aX 2 + bX + c.
appelé polynôme caractéristique de l’équation.
1) Si ce polynôme a deux racines distinctes r1 et r2 , les solutions de (2) sont de la forme
y = λ1 er1 x + λ2 er2 x .
Dans le cas où le polynôme est à coefficients réels et à racines complexes conjuguées, on a
r1 = u + iv
et r2 = u − iv ,
avec u et v réels. On peut mettre les solutions sous la forme
y = eux (λ1 cos vx + λ2 sin vx) ,
ou encore
y = λeux cos v(x − x0 ) .
2) Si le polynôme a une racine double r0 , les solutions sont de la forme
y = (λ1 + λ2 x)er0 x .
On peut donc appliquer les techniques du paragraphe IV pour résoudre (1).
Remarque : si d(x) = etx u(x), on peut chercher des solutions de la forme
y = etx z .
Dans ce cas, z est solution d’une équation linéaire dont le polynôme caractéristique est P (x + t) si
P (x) est le polynôme caractéristique de l’équation initiale, et dont le second membre est u(x)
az ′′ + (2at + b)z ′ + (at2 + bt + c) = u(x) .
Cas particuliers
1) Si d est un polynôme de degré n, une solution de (1) sera de la forme Q(x) où Q est un polynôme
de degré
n
n+1
n+2
si c est non nul,
si b est non nul et c est nul,
si b et c sont nuls.
2) Si d est de la forme etx R(x) où R est un polynôme de degré n, une solution de (1) sera de la forme
etx Q(x) où Q est un polynôme de degré
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n
n+1
n+2
si t n’est pas racine du polynôme caractéristique
si t est racine simple de ce polynôme
si t est racine double de ce polynôme.
La remarque faite ci-dessus, ramène d’ailleurs immédiatement le cas au cas 1).
VI - Equations d’Euler
Elles sont de la forme
ax2 y ′′ + bxy ′ + cy = 0 .
où a, b, c sont des constantes.
On cherche des solutions de la forme
y(x) = z(ln |x|) .
En remplaçant, on obtient z comme solution de l’équation linéaire à coefficients constants
az ′′ + (b − a)z ′ + cz = 0 .
En cherchant les racines du polynôme caractéristique, on obtient z et l’on en déduit facilement y.
1) Si l’on a deux racines réelles distinctes r1 et r2 ,
y = λ1 |x|r1 + λ2 |x|r2 .
2) Si l’on a deux racines complexes conjuguées s ± it,
y = |x|s (λ cos(t ln |x|) + µ sin(t ln |x|)) .
3) Si l’on a une racine double r0 ,
y = |x|r0 (λ + µ ln |x|) .
Remarque : les solutions obtenues de cette manière sont définies dans R∗ . Lorsque les exposants s’y
prêtent, elles pourront être définies dans R tout entier.
Exemple : si les solutions sur R∗ sont
y = λ|x| + µ
on a y = λx comme solution dans R tout entier.
p
|x| .
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Exercices
Equations différentielles du premier ordre
1) Equations à variables séparées
a) 2x2 y ′ + y 2 = 1
b) y ′ (y − 1) = ex
c) (2 + x)y ′ = 2 − y
2) Equations dans lesquelles il manque x
a) ω 2 y 2 + y ′2 = R2 (ω, R > 0)
b) y 4 − y ′4 + 2yy ′2 = 0
3) Equations dans lesquelles il manque y
a) x = y ′ + 1/y ′
b) x3 + y ′3 − 3axy ′ = 0 (a ∈ R∗ )
c) x2 + y ′2 − 2x − 4y ′ = 4
4) Equations homogènes
2xy
− y2
1p 2
y
b) y ′ = +
x + y2
x x
c) xyy ′ + x2 + y 2 = 0
d) y 3 + x3 y ′3 − x3 y ′2 = 0
a) y ′ =
x2
5) Equations linéaires
2y ′ cos x + 4y sin x = sin 2x
x2 y ′ − 2xy = x2
(x2 − 4)y ′ + xy = 2
y ′ ch x + 1 − y sh x = 0
xe−x
e) xy ′ = y + ln(1 + e−x ) +
1 + e−x
a)
b)
c)
d)
6) Equations de Bernoulli
a) y ′ + y − y 2 x = 0
b) xy ′ + y = xy 3
7) Equations de Lagrange
a) y = −x + y ′3
b) y = xy ′2 − y ′
8) Equations de Clairault
a) y = xy ′ + ay ′ (1 − y ′ ) (a ∈ R)
b) y = xy ′ + 1/y ′
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9) Equations de Ricatti
x(x + 1)y ′ + (x + 1)y 2 − (2x2 + 2x + 1)y + x3 = 0
Chercher une solution particulière de la forme y = xn .
10) Equations diverses
a) 2x2 y ′ + 1 + 2xy − x2 y 2 = 0
b) (1 + y ′ ) cos(x + y) = yy ′ .
(On posera u = xy).
Equations différentielles du second ordre
11) Equations dans lesquelles il manque x.
a) y ′′ + y ′ y = 0
b) (y + 3y ′2 )y ′′ − 2y ′2 = 0
12) Equations homogènes
a) y 2 + 2y ′2 − yy ′′ = 0
b) yy ′ + y ′2 − yy ′′ = x(2y 2 − yy ′′ + y ′2 )
13) Equations linéaires
a) (x2 − x)y ′′ + (2 − x)y ′ − 3y = x2
Chercher une solution particulière de l’équation homogène de la forme y = xn .
b) y ′′ − 2y ′ − 3y = e−x (8x + 6)
c) y ′′ + y ′ − 2y = 4x
d) y ′′ + y ′ − 6y = th x
ex
e) y ′′ − 2y ′ + 5y =
cos x
f ) y ′′ − 2y ′ + 2y = ex tan x.
14) Equations d’Euler
a) 2x2 y ′′ + xy ′ − y = 0
b) x2 y ′′ + xy ′ + y = ln |xe|
DZ 19
Partie III - Equations différentielles linéaires
Lorsque l’on modélise des phénomènes physiques, on obtient souvent des équations qui contiennent
une fonction y que l’on cherche à déterminer, ainsi que certaines de ses dérivées. Une telle équation
s’appelle une équation différentielle. Si l’équation contient la dérivée y (n) et pas de dérivée d’ordre
supérieur, on dit que l’équation différentielle est d’ordre n.
Par exemple, soit g définie sur R par g(x) = ex , l’équation différentielle
y ′ + gy = g2 ,
est une équation différentielle du premier ordre.
Remarque : pour alléger les notations, on écrira plutôt l’équation différentielle précédente sous la
forme
y ′ + ex y = e2x ,
mais c’est un abus de notation, car y est une fonction qui dépend aussi de la variable x.
Résoudre cette équation différentielle sur un intervalle I ouvert non vide, c’est trouver toutes les
fonctions y définies (et dérivables) sur I telles que, pour tout x dans I
y ′ (x) + ex y(x) = e2x .
En général on ne donne pas a priori l’intervalle I et en cours de résolution peuvent apparaître des
valeurs de x qu’il faudra éliminer. Si par exemple on ne peut avoir x = 0, il faudra étudier les solutions
sur les deux intervalles ] 0, +∞ [ et ] −∞, 0 [ .
Sans autre condition, l’ensemble des solutions sur un intervalle I donné dépend d’un certain nombre
de constantes : si l’équation différentielle est d’ordre n il y a en général n constantes.
Dans la modélisation des phénomènes physiques, la fonction y est soumise à des conditions supplémentaires (par exemple pour un phénomène dépendant du temps, la situation au début de l’expérience)
ces conditions sont appelées conditions initiales. Résoudre une équation différentielle avec conditions
initiales c’est trouver les solutions de l’équation différentielle vérifiant de plus les conditions initiales.
Pour une équation d’ordre n, il faut en général n conditions initiales pour avoir une solution unique.
I - Equations différentielles linéaires : généralités
Nous nous intéresserons dans ce cours à une classe particulière d’équations différentielles que l’on
appelle équations différentielles linéaires. Ce sont des équations de la forme
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = g ,
où a0 , a1 , . . . , an , g sont des fonctions définies sur un même intervalle.
DZ 20
(Dans la pratique ces fonctions a0 , a1 , . . . , an , g sont construites à partir des fonctions usuelles et seront
dérivables et nous n’introduirons pas de discussion plus générale sur la nature de ces fonctions).
De telles équations possèdent un certain nombre de propriétés générales (qui s’interpréteront plus tard
dans le cadre des espaces vectoriels).
Dans ce paragraphe I nous supposons a0 , a1 , . . . , an fixés et nous noterons E(g) l’équation
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = g ,
de second membre g.
A une telle équation on associe l’équation dite homogène ou sans second membre E(0)
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0 .
On a alors le principe suivant :
Principe de superposition des solutions
Si y1 et y2 sont solutions respectives des équations E(g1 ) et E(g2 ) alors y1 + y2 est solution de
E(g1 + g2 ), et si λ est un nombre réel, E(λy1 ) est solution de E(λg1 ).
Si l’on a
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 y1′ + a0 y1 = g1 ,
(n)
(n−1)
+ · · · + a1 y2′ + a0 y2 = g2 ,
an y1 + an−1 y1
et
an y2 + an−1 y2
(k)
(k)
alors en sommant, on obtient, puisque (y1 + y2 )(k) = y1 + y2 , la relation
an (y1 + y2 )(n) + an−1 (y1 + y2 )(n−1) + · · · + a1 (y1 + y2 )′ + a0 (y1 + y2 ) = g1 + g2 .
De même en multipliant par λ
an (λy1 )(n) + an−1 (λy1 )(n−1) + · · · + a1 (λy1 )′ + a0 (λy1 ) = λg1 ,
Remarque : dans les conditions ci-dessus, il en résulte aussi que si µ est un autre nombre réel, la
fonction λy1 + µy2 est alors solution de l’équation E(λg1 + µg2 ).
Si l’on applique ce principe avec g1 = g2 = 0 alors les solutions restent dans E(0), et l’on obtient alors :
Théorème Si y1 et y2 sont deux solutions de l’équation E(0) définies sur le même intervalle I,
et λ un nombre réel, alors y1 + y2 et λy1 sont des solutions de l’équation E(0).
DZ 21
On en déduit également le théorème suivant qui relie les solutions des équations E(g) et E(0) :
Théorème On obtient toutes les solutions de l’équation E(g) sur un intervalle I, en ajoutant à une
solution particulière de l’équation avec second membre E(g) une solution quelconque de l’équation
sans second membre E(0).
En effet, si y1 , et y2 sont solutions de E(g) la différence y1 − y2 est solution de E(g − g) = E(0), et
inversement si y0 est une solution de E(g), et si u est une solution de E(0), alors y0 + u est solution
de E(g + 0) = E(g).
Nous allons nous occuper dans la suite de deux cas particuliers d’équations différentielles linéaires,
pour lesquels on a des méthodes simples permettant de résoudre les équations.
II Equations différentielles linéaires du premier ordre
1) Equations de la forme y ′ = g
Ce sont les équations différentielles les plus simples. On sait tout d’abord que, sur un intervalle I,
l’équation sans second membre y ′ = 0 admet comme solutions les fonctions constantes y = k.
La fonction g étant donnée, (dérivable sur un intervalle I par exemple) une solution particulière de
y ′ = g est une primitive y0 de g, et donc toutes les solutions de l’équation c’est-à-dire toutes les primitives de g sur l’intervalle I, s’obtiennent en ajoutant une constante à une primitive y0 particulière.
Remarque : il est important de remarquer ici que si l’on se place sur une réunion d’intervalles,
plusieurs constantes interviennent alors. Prenons par exemple l’équation y ′ = 1/x.
Sur l’intervalle ] −∞, 0 [ , les solutions sont les fonctions
y : x 7→ ln(−x) + k1 ,
où k1 est une constante quelconque.
Sur l’intervalle ] 0, +∞ [ , les solutions sont les fonctions
y : x 7→ ln x + k2 ,
où k2 est une constante quelconque.
Donc sur R∗ , une solution y est définie par
ln(−x) + k1
y(x) =
ln x + k2
et k1 et k2 sont deux constantes quelconques.
si x < 0
si x > 0
DZ 22
On voit qu’à partir de la solution particulière y0 : x 7→ ln |x| on obtient sur R∗ une famille de solutions
dépendant de deux constantes. Cette remarque est encore valable pour une équation différentielle quelconque, et il ne faut pas oublier ce phénomène lorsque l’on écrit que les primitives de x 7→ 1/x sont les
fonctions x 7→ ln |x| + k.
La résolution d’une équation différentielle quelconque va consister essentiellement à se ramener au cas
particulier de recherche de primitives. Il faut donc bien connaître les primitives des fonctions
y usuelles.
′
En particulier il est utile de savoir dans la suite que la fonction y /y est la dérivée de ln .
k
2) Equations de la forme y ′ + by = 0
La fonction b est définie sur un intervalle I. Nous cherchons les solutions de l’équation dans I. Nous
donnons deux méthodes ici : la première est la méthode pratique couramment utilisée, mais qui introduit des divisions par des quantités qui pourraient s’annuler. Nous ferons le calcul sans être rigoureux.
La seconde méthode justifiera correctement le résultat obtenu dans la première.
Remarque : dans les calculs suivants on a préféré mettre la variable x partout pour bien différencier
les fonctions des constantes.
Méthode 1
On écrit l’équation sous la forme
y ′ (x)
= −b(x) .
y(x)
En intégrant chaque membre on obtient
y(x) = −B(x) ,
ln k où B est une primitive de b, et k une constante.
On en déduit
y(x) −B(x)
.
k =e
En supprimant la valeur absolue du premier membre, on en déduit que
y(x) = ke−B(x) ,
où k est une constante quelconque.
Exemple 1
y ′ + x2 y = 0
On obtient successivement
puis
y ′ (x)
= −x2
y(x)
3
y(x) = −x
ln k 3
DZ 23
d’où
y(x) = ke−x
et finalement
y(x) = ke−x
Méthode 2
3 /3
3 /3
.
Multiplions l’équation par la fonction eB où B est une primitive de b. On obtient
y ′ (x)eB(x) + b(x)eB(x) y(x) = 0 .
On constate que le membre de droite est la dérivée de la fonction yeB , en effet
(yeB )′ (x) = y ′ (x)eB(x) + y(x)B ′ (x)eB(x) = y ′ (x)eB(x) + y(x)b(x)eB(x) .
Cela signifie donc que
y(x)eB(x) = K ,
c’est-à-dire
y(x) = Ke−B(x) .
On peut bien sûr retenir la formule générale de la solution, mais il vaut mieux savoir la retrouver et la
première méthode est plus naturelle pour cela.
Remarque : lorsque la fonction b est une constante, alors les solutions de l’équation sont définies par
y(x) = Ke−bx .
3) Equations de la forme ay ′ + by = g
On se place sur un intervalle I où les fonctions a, b et g sont définies et où a ne s’annule pas. L’équation
sans second membre se ramène au cas précédent
y ′ (x) +
b(x)
y(x) = 0 .
a(x)
et l’on sait donc résoudre cette équation. Les solutions sont définies par
y(x) = Ku(x)
où u est une fonction que l’on sait calculer, (la fonction u vaut e−B où B est une primitive de b/a), et
K une constante.
Deux cas peuvent se produire :
1 On trouve une solution particulière y0 de l’équation avec second membre, soit parce qu’il existe une
solution “évidente”, soit parce qu’elle a été déterminée par un autre moyen. On peut par exemple, si
le second membre est simple, chercher une solution “du même type”. Alors les autres solutions sont
données par
y = y0 + Ku
DZ 24
où K est une constante quelconque.
Exemple 2 l’équation y ′ + x2 y = x2 possède une solution évidente définie par y0 (x) = 1. On a
déterminé dans l’exemple 1 les solutions de l’équation homogène associée. Les solutions sur I = R
sont alors données par
3
y(x) = 1 + Ke−x /3 ,
où K est une constante quelconque.
2 On ne connaît pas de solution particulière. On utilise alors le principe de variation de la constante.
Si u est une solution non nulle de l’équation homogène, c’est-à-dire si
a(x)u′ (x) + b(x)u(x) = 0 ,
on cherche une solution de l’équation avec second membre définie par
y(x) = K(x)u(x) .
(On voit que dans les solutions y = Ku de l’équation homogène, on suppose maintenant que la
constante K est une fonctions K, ce qui donne le nom de la méthode).
En dérivant
y ′ (x) = K ′ (x)u(x) + K(x)u′ (x) ,
puis, en remplaçant dans l’équation E(g), on obtient
a(x)(K ′ (x)u(x) + K(x)u′ (x)) + b(x)K(x)u(x) = g(x)
soit
a(x)u(x)K ′ (x) + K(x)[a(x)u′ (x) + b(x)u(x)] = g(x) .
Mais le coefficient de K(x) est nul, donc
a(x)u(x)K ′ (x) = g(x) .
On constate que dans ce calcul les termes contenant K(x) disparaissent nécessairement. On obtient
alors
g(x)
K ′ (x) =
,
a(x)u(x)
et il reste à calculer une primitive du membre de droite pour obtenir le résultat.
Exemple 3
y ′ + x2 y = 3e−x
3 /3
.
Une solution non nulle de son équation homogène associée est la fonction u définie par u(x) = e−x
Donc on cherche une solution de la forme
y(x) = K(x)e−x
3 /3
.
3 /3
.
DZ 25
On dérive
y ′ (x) = K ′ (x)e−x
Alors
y ′ (x) + x2 y(x) = K ′ (x)e−x
3 /3
3 /3
− K(x)x2 e−x
− K(x)x2 e−x
et l’équation devient
K ′ (x)e−x
3 /3
3 /3
3 /3
,
+ x2 K(x)e−x
= 3e−x
3 /3
3 /3
= K ′ (x)e−x
3 /3
,
,
soit K ′ (x) = 3 et donc K(x) = 3x+C, où C est une constante. Finalement les solutions de l’équation
sur I = R sont données par
3
y(x) = (3x + C)e−x /3 .
III - Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Ce sont des équations de la forme
ay ′′ + by ′ + cy = g ,
où a, est un nombre réel non nul, b et c sont des nombres réels, et g est une fonction. Par rapport à
la situation générale, les coefficients a, b, c de l’équation sont des constantes, d’où le qualificatif de ces
équations.
1) Equation homogène
On admettra le résultat suivant.
Théorème Si U1 et U2 sont, sur un intervalle I, deux solutions non proportionnelles de l’équation
homogène ay ′′ + by ′ + cy = 0, alors les solutions de cette équation sur I sont données par
y = K1 U1 + K2 U2 ,
où K1 et K2 sont deux constantes quelconques.
(Dire que les solutions ne sont pas proportionnelles signifie qu’elles ne sont pas nulles et que le quotient
U1 /U2 n’est pas constant).
Un choix de fonctions U1 et U2 va être précisé ci-dessous.
A une telle équation homogène on associe un polynôme, appelé polynôme caractéristique de l’équation, défini par
P (X) = aX 2 + bX + c ,
c’est un trinôme du second degré qui a pour discriminant le nombre ∆ = b2 − 4ac. Le tableau suivant donne un choix de fonctions U1 et U2 à connaître. Les fonctions dépendent des racines du trinôme.
DZ 26
racines
U1 (x)
U2 (x)
∆
α
x
∆>0
α1 , α2
e 1
eα2 x
∆=0
α
eαx
xeαx
ρx
∆ < 0 α1 = ρ + iσ , α2 = ρ − iσ cos(σx)e
sin(σx)eρx
(Il est facile de voir que ces fonctions sont bien des solutions).
Remarque : dans le cas où ∆ est négatif, on remarquera que
U1 (x) = Re eα1 x
et U2 (x) = Im eα1 x ,
puisque
eα1 x = e(ρ+iσ)x = eρx eσx = eρx (cos(σx) + i sin(σx)) .
Donc, si l’on pose C1 = (K1 − iK2 )/2, les solutions s’écrivent
y(x) = K1 Re eα1 x + K2 Im eα1 x = 2 Re(C1 eα1 x ) ,
ce que l’on peut encore écrire
y(x) = C1 eα1 x + C1 eα2 x ,
où C1 est une constante complexe quelconque. Cette expression a l’avantage d’avoir la même forme
que dans le cas ∆ > 0 (avec des fonctions et des constantes complexes cependant).
On peut aussi dans ce cas adopter pour les solutions une notation utile en physique. En partant de
l’expression
y(x) = K1 cos(σx)eρx + K2 sin(σx)eρx .
p
et en notant A = K12 + K22 , on peut mettre Aeρx en facteur, cela donne
!
K
K
1
2
y(x) = Aeρx p 2
cos(σx) + p 2
sin(σx) .
K1 + K22
K1 + K22
Si l’on appelle ϕ un angle qui vérifie
on obtient alors
sin ϕ = p
K1
K12
+
K22
et
cos ϕ = p
K2
K12 + K22
y(x) = Aeρx (cos(σx) sin ϕ + sin(σx) cos ϕ) ,
et finalement
y(x) = Aeρx sin(σx + ϕ) ,
où A et ϕ sont deux constantes quelconques.
,
DZ 27
Cas particulier
L’équation y ′′ + ω 2 y = 0 est un cas particulier du cas ∆ < 0, puisque ∆ = −4ω 2 , et le polynôme
caractéristique a pour racines ±ωi. Les solutions sont donc
y(x) = K1 cos(ωx) + K2 sin(ωx) ,
où
y(x) = A sin(ωx + ϕ) .
Exemple 4
y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 ex + K2 e−3x ,
car le polynôme caractéristique X 2 + 2X − 3 a pour racines 1 et −3.
Exemple 5
y ′′ − 4y ′ + 4y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 e2x + K2 xe2x ,
car le polynôme caractéristique X 2 − 4X + 4 a pour racine double 2
Exemple 6
y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 a pour solutions sur R les fonctions définies par
y(x) = K1 ex cos x + K2 ex sin x ,
car le polynôme caractéristique X 2 − 2X + 2 a pour racines complexes conjuguées 1 + i et 1 − i.
2) Equation complète avec second membre particulier
Comme dans le cas des équations différentielles linéaires du premier ordre, on pourra obtenir toutes
les solutions de l’équation avec second membre si l’on en connaît une solution particulière. Or il est
possible de déterminer une telle solution par identification lorsque le second membre est de la forme
g(x) = eβx Q(x) ,
où Q est un polynôme de degré q. Il existe en effet une solution y0 de la même forme c’est-à-dire
y0 (x) = eβx R(x) ,
où R est un polynôme. On peut préciser d’avantage :
si β est racine de multiplicité k du polynôme caractéristique P , alors R(x) = xk S(x), où S est de degré
q, c’est-à-dire , en détaillant les différents cas
1 si β n’est pas racine du polynôme caractéristique P , alors R = S est de degré q,
2 si β est racine simple de P , alors R(x) = xS(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + 1)
3 si β est racine double de P , alors R(x) = x2 S(x) où S est de degré q, (donc R est de degré q + 2)
DZ 28
Cela veut dire que dans chaque cas il y a à déterminer q + 1 coefficients, pour obtenir Q.
Exemple 7
y ′′ + 2y ′ − 3y = 5xe2x .
Le nombre β = 2 n’est pas racine du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière y
définie par
y(x) = e2x (λx + µ) .
On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l’équation et on identifie :
y ′ (x) = e2x (2λx + 2µ + λ) et
y ′′ (x) = e2x (4λx + 4µ + 4λ) .
On en déduit :
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = e2x (5λx + 5µ + 6λ) = 5xe2x .
L’identification donne le système
5λ = 5
5µ + 6λ = 0
ce qui donne λ = 1 et µ = −6/5, d’où la solution particulière définie par
6
2x
,
y(x) = e
x−
5
et les solutions définies sur R par
x
−3x
y(x) = K1 e + K2 e
Exemple 8
2x
+e
6
x−
5
.
y ′′ + 2y ′ − 3y = 8xex .
Le nombre β = 1 est racine simple du polynôme caractéristique. Il existe une solution particulière de
la forme
y(x) = (λx2 + µx)ex .
On calcule les dérivées de cette fonction, on remplace dans l’équation et on identifie :
y ′ (x) = ex (λx2 + (2λ + µ)x + µ) et y ′′ (x) = ex (λx2 + (4λ + µ)x + 2λ + 2µ) .
On en déduit :
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = ex (8λx + 4µ + 2λ) = 8xex .
L’identification donne le système
8λ = 8
4µ + 2λ = 0
ce qui donne λ = 1 et µ = −1/2, d’où la solution particulière définie par
x
,
y(x) = ex x2 −
2
DZ 29
et les solutions définies sur R par
x
.
y(x) = K1 ex + K2 e−3x + ex x2 −
2
Remarque : ce qui précède est encore vrai si β est une racine complexe. Cela permet par exemple de
traiter les seconds membres de la forme
g(x) = Q(x)eξx cos(ζx)
ou
g(x) = Q(x)eξx sin(ζx)
qui sont respectivement les parties réelle et imaginaire de Q(x)eβx lorsque β = ξ + iζ.
On peut procéder de deux manières :
1 soit chercher tout d’abord une solution avec le second membre complexe Q(x)eβx , puis prendre la
partie réelle ou imaginaire de cette solution.
2 soit remarquer que cette partie réelle ou imaginaire est de la forme
eξx (R1 (x) cos(ζx) + R2 (x) sin(ζx)) ,
où R1 et R2 sont des polynômes dont les degrés sont q ou q + 1 selon que β n’est pas racine de P ou
est racine simple.
Exemple 9
y ′′ + 2y ′ − 3y = cos x.
On remarque que cos x est la partie réelle de eix et β = i n’est pas racine du polynôme caractéristique.
On résout tout d’abord avec le second membre eix . On cherche une solution de la forme
y(x) = λeix .
On a donc
y ′ (x) = λieix
et y ′′ (x) = −λeix ,
d’où
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = eix (−4 + 2i)λ = eix .
On en déduit
−4 − 2i
1
=
.
−4 + 2i
20
Une solution particulière de l’équation avec second membre cos x est alors obtenue en prenant la partie
réelle de celle avec second membre eix , donc
1
1
−4 − 2i ix
e
sin x .
= − cos x +
y(x) = Re
20
5
10
λ=
Si l’on ne veut pas utiliser les nombres complexes on peut chercher directement une solution de la
forme
y(x) = λ cos x + µ sin x .
DZ 30
On a alors
y ′ (x) = −λ sin x + µ cos x et y ′′ (x) = −λ cos x − µ sin x ,
d’où
y ′′ (x) + 2y ′ (x) − 3y(x) = (−4λ + 2µ) cos x + (−4µ − 2λ) sin x .
L’identification donne le système
−4λ + 2µ = 1
,
−2λ − 4µ = 0
ce qui donne λ = −1/5 et µ = 1/10.
Lorsque le second membre est une somme de termes de la forme eβx Q(x) on pourra utiliser le principe
de superposition des solutions.
Exemple 10
y ′′ + 2y ′ − 3y = 8xex + 5xe2x
On obtient une solution particulière de l’équation en additionnant les solutions particulières obtenues
dans les exemples 7 et 8. D’où les solutions sur R,
x
6
x
−3x
2x
.
+ ex x2 −
y(x) = K1 e + K2 e
+e
x−
5
2
3) Méthode de variation des constantes
Si U1 et U2 sont deux solutions non proportionnelles de l’équation homogène, on a donc
aU1′′ (x) + bU1′ (x) + cU1 (x) = 0 et aU2′′ (x) + bU2′ (x) + cU2 (x) = 0 ,
Les solutions de l’équation sans second membre sont données par
y(x) = K1 U1 (x) + K2 U2 (x) ,
où K1 et K2 sont des constantes. On cherche une solution de l’équation avec second membre de la
forme
y(x) = K1 (x)U1 (x) + K2 (x)U2 (x) .
(On a donc remplacé les constantes K1 et K2 figurant dans les solutions de l’équation homogène par
des fonctions). En dérivant on obtient
y ′ (x) = K1 (x)U1′ (x) + K1′ (x)U1 (x) + K2 (x)U2′ (x) + K2′ (x)U2 (x) .
On impose ici une première relation qui fait disparaître dans y ′ (x) les dérivées K1′ (x) et K2′ (x) :
K1′ (x)U1 (x) + K2′ (x)U2 (x) = 0 ,
donc
y ′ (x) = K1 (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′ (x) ,
DZ 31
puis en dérivant de nouveau,
y ′′ (x) = K1 (x)U1′′ (x) + K1′ (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) .
On en déduit
ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = a(K1 (x)U1′′ (x) + K1′ (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′′ (x) + K2′ (x)U2′ (x))
+b(K1 (x)U1′ (x) + K2 (x)U2′ (x)) + c(K1 (x)U1 (x) + K2 (x)U2 (x))
= K1′ (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x)
+K1 (aU1′′ (x) + bU1′ (x) + cU1 (x)) + K2 (aU2′′ (x) + bU2′ (x) + cU2 (x)) .
Mais les coefficients de K1 et de K2 sont nuls. Il reste donc
ay ′′ (x) + by ′ (x) + cy(x) = K1′ (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) = g(x) ,
On s’aperçoit que K1 (x) et K2 (x) sont alors solutions du système
′
K1 (x)U1 (x) + K2′ (x)U2 (x) = 0
K1′ (x)U1′ (x) + K2′ (x)U2′ (x) = g(x)
Il ne reste plus qu’à résoudre ce système pour obtenir K1′ et K2′ et à chercher des primitives pour
obtenir K1 et K2 .
Exemple 11
y ′′ − y =
e2x
.
ex + 1
Le polynôme caractéristique X 2 − 1 a pour racines 1 et −1. On cherche des solutions définies par
y(x) = K1 (x)ex + K2 (x)e−x .
Le calcul précédent conduit donc au système

 K1′ (x)ex + K2′ (x)e−x = 0
 K1′ (x)ex − K2′ (x)e−x =
e2x
ex + 1
En résolvant ce système, on trouve
K1′ (x) =
ex
2(ex + 1)
et
K2′ (x) = −
e3x
.
2(ex + 1)
Comme ex est la dérivée de ex + 1, la fonction 2K1′ se présente sous la forme u′ /u avec u > 0, et on
obtient immédiatement une primitive en ln u
K1 (x) =
1
ln(ex + 1) + C1 .
2
Pour K2′ , on transforme l’expression en remarquant que
e2x − 1
1
1
e2x
=
+ x
= ex − 1 + x
,
x
x
e +1
e +1
e +1
e +1
DZ 32
donc
K2′ (x)
d’où
1
=−
2
1
K2 (x) = −
2
2x
e
ex
−e + x
e +1
x
,
e2x
x
x
− e + ln(e + 1) + C2 .
2
Finalement, on obtient les solutions de l’équation dans R :
1
ex
y(x) =
+ 1 + C1 ex + C2 e−x
(ex − e−x ) ln(ex + 1) −
2
2
x
1
e
+ + C1 ex + C2 e−x .
= sh x ln(ex + 1) −
4
2
DZ 33
Partie IV - Systèmes différentiels linéaires
Soit b1 , · · · , bn des fonctions continues de la variable t sur un ouvert U de R, à valeurs dans K = R ou
C, et, pour 1 ≤ i, j ≤ n des nombres réels aij . On cherche à résoudre le système
 ′
y = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + b1


 1′
y2 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + b2
.
.....................................


 ′
yn = an1 y1 + an2 yn + · · · + ann yn + bn
où y1 , . . . , yn sont des fonctions de classe C1 sur un ouvert de R.
On écrira matriciellement le système
Y ′ = A.Y + B ,
(1)
où
h
A = aij
i
1≤i,j≤n
,

y1
 
Y =  ... 
yn

,
 
b1
 .. 
B=..
bn
Une solution sera donc une matrice colonne dont les coefficients sont des fonctions de t.
I - Résolution de l’équation homogène
(2)
Y ′ = A.Y .
Théorème Les solutions de l’équation (2) constituent un espace vectoriel de dimension n sur K.
Si l’on note V1 , . . . , Vn une base de cet espace, les solutions de (2) sont donc
Y = C1 V1 + · · · + Cn Vn ,
où C1 , .., Cn sont des constantes arbitraires de K.
Si l’on note
 
 
C1
V1i
 .. 
 .. 
B =  .  , Vi =  . 
Cn
Vni
h i
et V = vij
la solution peut encore s’écrire matriciellement
Y = V.C .
1≤i,j≤n
,
DZ 34
Remarques : comme les solutions sont linéairement indépendantes la matrice V (t) est inversible pour
tout t réel.
D’autre part, pour toute matrice colonne C, on aura
V ′ .C = A.V.C .
Recherche d’une base de solutions
1) Solution générale
On a
V (t) = etA .
Cette méthode n’est à employer que lorsque etA se calcule de manière simple, c’est-à-dire
a) si A possède une valeur propre unique ;
b) si A vérifie une équation algébrique simple.
On évitera dans tous les cas la formule générale
etA = S.et(S
−1 .A.S)
.S −1 .
Les solutions de l’équation homogène sont donc
Y (t) = etA .C ,
et donc
C = Y (0) .
De manière plus générale
Y (t) = e(t−t0 )A .C ,
est la solution de l’équation homogène qui vaut C en t0 .
2) Changement de variable
Si l’on pose
Y = S.Z ,
où S est inversible et constante, on a
Z ′ = S −1 .Y ′ = S −1 .A.Y = S −1 .A.S.Z .
En choisissant S pour que S −1 .A.S ait une forme simple (diagonale ou triangulaire par exemple), on
aura
−1
Z(t) = et(S .A.S).C ,
et donc
Y (t) = S.et(S
−1 .A.S)
.C .
DZ 35
En particulier si A est diagonalisable, on prend pour S la matrice formée d’une base (W1 , . . . , Wn ) de
vecteurs propres de A. On a alors


s1


..
S −1 .A.S = 
,
.
sn
d’où
et(S
−1 .A.S)
On en déduit

es1 t

=
..
.
esn t


.
Y = C1 es1 t W1 + · · · + Cn esn t Wn .
Théorème
matrices
Si A est diagonalisable, une base de solutions de l’équation homogène est formée des
Vi (t) = esi t Wi .
où si est valeur propre de A et Wi est vecteur propre associé à si .
3) Méthode des coefficients indéterminés
Soit s une valeur propre de A d’ordre r ′ . On cherche une solution de la forme
Y (t) = est (W0 + tW1 + · · · + tr Wr ) .
où les Wi sont des matrices colonnes constantes.
En remplaçant dans l’équation différentielle on obtient
Y ′ = est ((W1 + sW0 ) + t(2W2 + sW1 ) + · · · + (rWr + sWr−1 )tr−1 + str Wr ) ,
et
A.Y = est (A.W0 + tA.W1 + · · · + tr A.Wr ) .
En identifiant les deux

A.W0




 A.W1
.......


A.W

r−1


A.Wr
En particulier
expressions, on obtient le système
= W1 + sW0
= 2W2 + sW1
.............
= rWr + sWr−1
= sWr
c’est-à-dire

(A − sI).W0




(A
− SI).W1

...............


(A
− SI).Wr−1



(A − SI).Wr
(A − sI)r+1 .W0 = 0 .
= W1
= 2W2
.... .
= rWr
= 0
DZ 36
Si l’on choisit r de telle sorte que Ker(A − sI)r+1 soit le sous-espace spectral associé à s, ce sous-espace
étant de dimension r ′ , on a
W0 = C1 U1 + · · · + Cr′ .Ur′ ,
où C1 , . . . , Cr′ sont des constantes, et (U1 , . . . , Ur′ ) est une base du sous-espace spectral. A partir de
W0 on calcule successivement
1
(A − sI).W1 etc . . .
2
Ce procédé s’utilise pour chaque valeur propre de A. En additionnant les solutions partielles obtenues,
on obtient les solutions de l’équation homogène.
W1 = (A − sI).W0 , W2 =
Cas particulier : valeurs propres non réelles
Si Y est une solution complexe de (2) et si A est réelle, Re Y et Im Y sont des solutions réelles de (2).
Si s est une valeur propre non réelle de A, alors s̄ en est une autre et au même ordre.
On détermine les r ′ solutions linéairement indépendantes et complexes associées à s, puis en prenant
les parties réelles et imaginaires, on obtiendra 2r ′ solutions indépendantes et réelles. Les coefficients de
Y seront alors des produits de polynômes, d’exponentielles, et de sinus ou cosinus.
II - Résolution de l’équation (1)
1) Méthode de variation de la constante
La solution de (2) étant donnée sous la forme
Y (t) = V (t).C ,
où C est une matrice colonne arbitraire, on cherche une solution de (1) de la même forme, où les
coefficients de C dépendent maintenant de t. En remplaçant dans (1), on obtient
Y ′ = V.C ′ + V ′ C = A.V.C + B .
Mais on a
V ′ .C = A.V.C ,
donc
V.C ′ = B ,
c’est-à-dire
C ′ = V −1 .B .
On a donc
C(t) =
Z
V −1 (t).B(t) dt .
DZ 37
Remarque : la matrice V −1 (t).B(t) est une matrice colonne. On obtient C(t) en prenant une primitive quelconque de chaque coefficient il y a donc n constantes arbitraires, une par ligne de la matrice.
Finalement
Y (t) = V (t).
Z
V −1 (t).B(t) dt .
Si l’on choisit une primitive particulière C0 (t) de V −1 (t).B(t) on aura
Y = V.K + V.C0 ,
où K est un vecteur constant.
Une solution quelconque de (1) est donc obtenue en ajoutant à une solution particulière de (1) une
solution quelconque de (2).
En particulier, si
V (t) = etA ,
on a
tA
Y (t) = e .
2) Méthode des coefficients indéterminés
Z
e−tA .B(t) dt .
a) Lorsque le second membre B(t) est de la forme eat (B0 + t1 B1 + · · · + tk Bk ), on peut chercher une
solution particulière de (1) de la même forme. Lorsque a n’est pas valeur propre de A, on cherche une
solution de même degré
Y (t) = eat (U0 + tU1 + ... + tk Uk ) .
En remplaçant dans l’équation différentielle et en


 (A − sI).U0


 (A − SI).U1
..............


 (A − SI).Uk−1


(A − SI).Ur
identifiant, on est conduit au système
= U1 − B0
= 2U2 − B1
........... .
= kUk − Bk−1
= −Bk
Comme (A − aI) est inversible, on en déduit
Uk = (A − aI)−1 .(−Bk ) puis (A − aI)−1 .(kUk − Bk−1 ) etc . . .
Lorsque a est valeur propre de A, le degré de la solution particulière augmente. On cherchera une
solution de la forme
Y (t) = eat (U0 + tU1 + · · · + tk+r+1 Uk+r+1 ) ,
où r + 1 est choisi comme dans I 3) tel que Ker(A − aI)r+1 soit le sous-espace spectral associé à a.
Le système obtenu est plus compliqué puisque cette fois (A − aI) n’est plus inversible.
DZ 38
b) Si le second membre est de la forme
B(t) = eat cos bt(B0 + tB1 + ... + tk Bk )
ou
eat sin bt(B0 + tB1 + ... + tk Bk ) ,
on se ramène au cas précédent en résolvant l’équation avec second membre
e(a+ib)t (B0 + tB1 + ... + tk Bk ) ,
et en prenant ensuite la partie réelle ou la partie imaginaire de la solution trouvée.
c) Si le second membre contient à la fois des polynômes, des exponentielles, sinus et cosinus, on peut
appliquer le principe de superposition des solutions : si Y1 est solution de Y ′ = A.Y + B1 et Y2 est
solution de Y ′ = A.Y + B2 alors Y1 + Y2 est solution de Y ′ = A.Y + B1 + B2 .
On est ainsi ramené à chercher plusieurs solutions avec second membre du type a) ou b).
III Equation avec condition initiale
On cherche la solution de (1) vérifiant la condition
Y (t0 ) = Y0 ,
où Y0 est une matrice colonne donnée.
1) La solution est donnée par
(t−t0 )A
Y (t) = e
tA
.Y0 + e .
Zt
e−sA .B(s) ds ,
t0
ou encore, par changement de variable dans l’intégrale, par
(t−t0 )A
Y (t) = e
.Y0 +
t−t
Z 0
euA .B(t − u) du .
0
2) Si la solution générale a été obtenue sous la forme
Y (t) = V (t).C + Y1 (t) .
on résout l’équation
Y0 = Y (t0 ) = V (t0 ).C + Y1 (t0 ) ,
ce qui détermine la matrice constante C. Elle vaut
C = V (t0 )−1 .(Y0 − Y1 (t0 )) .
DZ 39
IV Equations de degré plus grand que 1
Les systèmes d’équations linéaires à coefficients constants de degré supérieur à 1 se ramènent au cas
de degré 1.
Exemples
1) ay ′′ + by ′ + cy = h avec (a 6= 0).
Posons y ′ = z. Alors y ′′ = z ′ et l’équation équivaut au système
( ′
y =z
c
h
b
z′ = − z − y +
a
a
a
En posant
Y =
y
,
z
on est ramené à un système de degré 1, de matrice
0
1
A=
.
−c/a −b/a
Le polynôme caractéristique de cette matrice n’est autre que
P (X) = X 2 +
c
1
b
X + = (aX 2 + bX + c) .
a
a
a
On retrouve le polynôme caractéristique de l’équation différentielle. Il est facile de voir que l’on retrouve
bien les solutions classiques de ces équations par cette méthode. Ceci se généralise pour des équations
d’ordre n
an y (n) + · · · + a0 y = h .
En posant yk = y (k−1) pour 1 ≤ k ≤ n, on se ramène à un système de degré 1.
′′
x = ax′ + by ′ + cx + dy + h
2)
y ′′ = mx′ + ny ′ + px + qy + k
En posant z = x′ et w = y ′ on se ramène au système de degré 1
 ′
x =z


 ′
y =w
.
′ = cx + dy + az + bw + h
z


 ′
w = px + qy + mz + nw + k