Suites réelles et complexes () Suites 1 / 36 1 Limites et relation d’ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 2 / 36 Plan 1 Limites et relation d’ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 3 / 36 Relation d’ordre et passage à la limite Proposition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. 1 S’il existe un entier N0 tel que ∀n > N0 , un > 0, alors lim un > 0. n→+∞ 2 S’il existe un entier N tel que ∀n > N, un 6 vn , alors lim un 6 lim vn . n→+∞ n→+∞ () Suites 4 / 36 Théorème ( des gendarmes ) Soit (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N trois suites telles que : ∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn . Si les suites (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers la même limite `, alors la suite (vn )n∈N converge aussi vers `. () Suites 5 / 36 Démonstration. Soit ε > 0. Puisque (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers `, il existe Nu,ε ∈ N et Nw ,ε ∈ N tels que ∀n > Nu,ε , ` − ε 6 un 6 ` + ε et ∀n > Nw ,ε , ` − ε 6 wn 6 ` + ε. On pose Nε = max(Nu,ε , Nw ,ε ). Pour tout n > Nε , on a alors ` − ε 6 un 6 vn 6 wn 6 ` + ε donc ` − ε 6 vn 6 ` + ε ce qui prouve la convergence de la suite (vn )n∈N vers `. () Suites 6 / 36 Corollaire Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites. Si pour tout n ∈ N, |un | 6 vn et si la suite (vn )n∈N converge vers 0, alors la suite (un )n∈N converge aussi vers 0. Démonstration. Pour tout n ∈ N, on a 0 6 |un | 6 vn . En appliquant le théorème des gendarmes avec la suite nulle, et les suites (|un |)n∈N et (vn )n∈N , on obtient que la suite (|un |)n∈N converge vers 0. Par conséquent, la suite (un )n∈N converge aussi vers 0. () Suites 7 / 36 Proposition ((quand il n’y a qu’un gendarme)) Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles telles que pour tout n ∈ N, on a un 6 vn . 1 Si (un )n∈N tend vers +∞, alors (vn )n∈N tend aussi vers +∞. 2 Si (vn )n∈N tend vers −∞, alors (un )n∈N tend aussi vers −∞. Démonstration. i) Soit A ∈ R. Puisque (un )n∈N tend vers +∞, il existe NA ∈ N tel que ∀n > NA , un > A. On a alors pour tout n > NA , vn > un > A, ce qui prouve que la suite (vn )n∈N tend vers +∞. () Suites 8 / 36 Limite d’une suite monotone Théorème (( de la limite monotone )) 1 Toute suite (un )n∈N croissante et majorée converge vers ` = sup{un , n ∈ N}. 2 Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞. 3 De même, toute suite (vn )n∈N décroissante et minorée converge vers ` = inf{un , n ∈ N}. 4 Toute suite décroissante et non minorée tend vers −∞. Remarque: Toute suite monotone admet donc une limite dans R. () Suites 9 / 36 Suites adjacentes Définition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. On dit que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes si et seulement si : 1 l’une des deux suites est croissante 2 l’autre décroissante. 3 leur différence (vn − un )n∈N tend vers 0. Remarque: Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites adjacentes telles que (un )n∈N est croissante et (vn )n∈N est décroissante, alors on a nécessairement : ∀n ∈ N, un 6 vn . () Suites 10 / 36 Proposition Deux suites adjacentes (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers une limite commune `. De plus, si (un ) est la suite croissante et (vn ) la suite décroissante, alors on a: ∀n ∈ N, un 6 ` 6 vn () Suites 11 / 36 Démonstration. Supposons que (un ) est la suite croissante et (vn ) la suite décroissante. La suite (un )n∈N est croissante et majorée par v0 donc elle converge vers une limite `u ∈ R et pour tout n ∈ N, on a un 6 `u . La suite (vn )n∈N est décroissante et minorée par u0 donc elle converge vers une limite `v ∈ R et pour tout n ∈ N, on a `v 6 vn . Puisque lim (vn − un ) = 0 et puisque n→+∞ lim (vn − un ) = lim vn − lim un = `v − `u , n→+∞ n→+∞ n→+∞ on a `u = `v = `, ce qui termine la preuve. () Suites 12 / 36 Plan 1 Limites et relation d’ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 13 / 36 Définitions Définition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. On dit que 1 la suite (un )n∈N est négligeable devant (vn )n∈N s’il existe une suite (εn )n∈N convergeant vers 0 telle que un = vn εn au dela d’un certain rang. On note alors un = o(vn ) 2 (un est un ”petit o” de vn ). la suite (un )n∈N est équivalente à (vn )n∈N s’il existe une suite (an )n∈N convergeant vers 1 et telle que un = vn an au delà d’un certain rang. On note alors un ∼ vn () (un est équivalent à vn ). Suites 14 / 36 Proposition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. Si la suite (vn )n∈N ne s’annule pas au delà d’un certain rang N alors : 1 un = o(vn ) si et seulement si la suite ( uvnn )n>N converge vers 0. 2 un ∼ vn si et seulement si la suite ( uvnn )n>N converge vers 1. Proposition Si (un )n∈N est équivalente à (vn )n∈N alors (vn )n∈N est équivalente à (un )n∈N , on dit que les deux suites sont équivalentes. () Suites 15 / 36 Propriétés Proposition Soit (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N et (xn )n∈N quatre suites réelles. 1 Si un = o(vn ) et vn = o(wn ), alors un = o(wn ). (transitivité) 2 Si un = o(wn ) et vn = o(wn ), alors un + vn = o(wn ). 3 Si un = o(wn ) et vn = o(xn ), alors un vn = o(wn xn ). () Suites 16 / 36 Proposition Soit (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N et (xn )n∈N quatre suites réelles. 1 Si pour tout n ∈ N, un = vn + wn et si wn = o(vn ) alors un ∼ vn . 2 Si un ∼ vn et vn ∼ wn , alors un ∼ wn (transitivité). 3 Si un ∼ wn et vn ∼ xn alors un vn ∼ wn xn . 4 Si un ∼ wn et vn ∼ xn et si les suites (vn )n∈N et (xn )n∈N ne s’annulent pas au delà d’un certain rang, alors uvnn ∼ wxnn Remarque: Attention, on ne peut pas additionner ou soustraire avec des équivalents ! On ne peut pas appliquer une fonction sur un équivalent ! () Suites 17 / 36 Démonstration. 1 Puisque wn = o(vn ), il existe une suite (εn )n∈N convergeant vers 0 telle que wn = vn εn au delà d’un certain rang. Ainsi, au delà d’un certain rang, on a un = vn (1 + εn ) et la suite (1 + εn )n∈N converge vers 1 donc par définition un ∼ vn . 2 Si un ∼ vn et vn ∼ wn , alors il existe deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N convergeant vers 1 telles que un = vn an et vn = wn bn au dela d’un certain rang. On a donc un = wn (an bn ) au delà d’un certain rang et la suite (an bn )n∈N tend vers 1 donc un ∼ wn . Pour les deux autres points, la démonstration se fait selon le même procédé (en faisant très attention avec le quotient). () Suites 18 / 36 Proposition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites équivalentes. 1 Si la suite (vn )n∈N a une limite (finie ou infinie), alors la suite (un )n∈N a une limite et lim un = lim vn . n→+∞ n→+∞ 2 Si la suite (vn )n∈N ne s’annule pas au delà d’un certain rang, alors la suite (un )n∈N ne s’annule pas au delà d’un certain rang. 3 Si la suite (vn )n∈N est positive au delà d’un certain rang, alors la suite (un )n∈N est positive au delà d’un certain rang. () Suites 19 / 36 Démonstration. Puisque un ∼ vn , il existe une suite (an )n∈N convergeant vers 1 telle que un = vn an au delà d’un certain rang N1 . 1 Puisque les suites (vn )n∈N et (an )n∈N sont convergentes, la suite (vn an )n∈N converge et on a lim vn an = lim vn lim an = lim vn . Donc la suite (un )n∈N n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ est convergente et lim un = lim vn . n→+∞ 2 n→+∞ La suite (an )n∈N tend vers 1 donc au delà d’un certain rang N2 , on a an > 0. Puisque au dela d’un certain rang N3 , la suite (vn )n∈N ne s’annule pas, pour tout n > max(N1 , N2 , N3 ), on a un = vn an 6= 0. () Suites 20 / 36 Comparaison des suites de référence Proposition 1 2 Pour tous réels α et β, si α < β alors nα = o(nβ ). Pour tous nombres réels positifs a et b, si 0 < a < b, alors an = o(b n ). Démonstration. 1 Soit α et β deux réels tels que α < β. Pour tout n ∈ N∗ , on a nα = nα−β et lim nα−β = 0 car α − β < 0 donc nα = o(nβ ). nβ n→+∞ 2 Soit a et b deux réels tels tout n ∈ N, que 0 < a < b. On a alors pour a n a n an n = o(b n ). = et lim = 0 car 0 < a/b < 1 donc a n b b b n→+∞ () Suites 21 / 36 Corollaire Soit P = ad X d + ad−1 X d−1 + · · · + a1 X + a0 un polynôme de R[X ] avec ad 6= 0. On a P(n) ∼ ad nd autrement dit : ad nd + ad−1 nd−1 + · · · + a1 n + a0 ∼ ad nd . Un polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. () Suites 22 / 36 Comparaison des suites tendant vers +∞ Lemme On a lim n! = +∞. n→+∞ Démonstration. Pour tout n > 1, on a n! > n donc lim n! = +∞. n→+∞ () Suites 23 / 36 Proposition Pour tous réels α > 0, β > 0 et a > 1, on a nβ = o(an ), () (ln n)α = o(nβ ) Suites et an = o(n!). 24 / 36 Comparaison des suites tendant vers 0 Lemme Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites tendant vers +∞ (ces suites ne s’annulent donc pas au delà d’un certain rang). Si un = o(vn ) alors 1 1 = o( ) vn un Proposition Pour tous réels α > 0, β > 0 et a ∈ ]0, 1[, on a 1 1 1 1 n n = o(a ), a = o et =o . n! (ln n)α nβ nβ () Suites 25 / 36 Utilisation des limites classiques des fonctions usuelles On rappelle certaines limites classiques des fonctions usuelles : lim x→0 sin(x) =1 x lim x→0 tan(x) =1 x ln(1 + x) =1 x→0 x lim lim x→0 1 − cos(x) 1 = 2 x 2 ex −1 = 1. x→0 x lim Proposition Soit une suite (un )n∈N convergeant vers a. Soit une fonction réelle f telle que lim f (x) = b, alors on a lim f (un ) = b. x→a n→+∞ () Suites 26 / 36 En utilisant ce résultat (on en reparlera plus tard) et les limites précédentes on obtient : Proposition Si (un )n∈N est une suite de nombres réels telle que lim un = 0 alors on n→+∞ a: sin(un ) ∼ un tan(un ) ∼ un 1 − cos(un ) ∼ un2 2 ln(1 + un ) ∼ un eun −1 ∼ un . Exercice 1 2n − 1 3n Calculer lim . n→+∞ 2n + 4 Déterminer un équivalent de la suite ln(cos(1/n)) n∈N 1 2 () Suites 27 / 36 Plan 1 Limites et relation d’ordre 2 Comparaison des suites 3 Suites de nombres complexes () Suites 28 / 36 Suites de nombres complexes Définition Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes. On dit que la suite (zn )n∈N est bornée si et seulement si la suite de nombres réels (|zn |)n∈N est bornée. Remarque: Il n’y a pas de relation d’ordre sur C qui prolonge la relation d’ordre sur R. Il n’y a donc pas de notion de suite complexe croissante ou décroissante, ni de suite complexe majorée ou minorée. () Suites 29 / 36 Définition On dit que la suite de nombres complexes (zn )n∈N est convergente si, et seulement si, il existe ` ∈ C tel que lim |zn − `| = 0, c’est-à-dire si, et n→+∞ seulement si, ∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, ∀n > Nε , |zn − `| 6 ε. On dit alors que la suite (zn ) converge vers ` et on note lim zn = `. On n→+∞ dit que la suite (zn )n∈N est divergente si elle n’est pas convergente. Attention : il n’y a pas de sens à dire que la suite (zn )n∈N tend vers l’infini. () Suites 30 / 36 Proposition Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes. La suite (zn )n∈N converge vers ` = a + ib (avec (a, b) ∈ R2 ) si, et seulement si, (Re(zn ))n∈N converge vers a. et (Im(zn ))n∈N converge vers b. (ce sont des suites de nombres réels) () Suites 31 / 36 Corollaire Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes. Si (zn )n∈N converge vers `, ¯ alors (zn )n∈N converge vers `. Démonstration. Si la suite (zn )n∈N converge vers ` = a + ib (a, b ∈ R), alors les suites (Re(zn ))n∈N et (Im(zn ))n∈N convergent respectivement vers a et b. Comme pour tout n ∈ N, Re(zn ) = Re(zn ) et Im(zn ) = − Im(zn ), on a lim Re(zn ) = a et lim Im(zn ) = −b. D’après la proposition n→+∞ n→+∞ ¯ précédente, on a lim zn = a − ib = `. n→+∞ () Suites 32 / 36 Proposition Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes. 1 Si (zn )n∈N converge vers `, alors la suite (|zn |)n∈N converge vers |`|. 2 La suite (zn )n∈N converge vers 0 si et seulement si la suite (|zn |)n∈N converge vers 0 . () Suites 33 / 36 Proposition Toute suite complexe convergente est bornée. Remarque: Les résultats obtenus pour les suites de nombres réels qui ne font pas intervenir la relation d’ordre dans R restent valable pour les suites de nombres complexes. () Suites 34 / 36 Proposition Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres complexes. Si (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers `1 et `2 respectivement, alors 1 la somme (un + vn )n∈N de ces deux suites est convergente et l’on a lim un + vn = `1 + `2 . n→+∞ 2 le produit (un vn )n∈N de ces deux suites est convergent et l’on a lim un vn = `1 `2 . n→+∞ 3 pour tout λ ∈ C, la suite (λun )n∈N est convergente et l’on a lim λun = λ`1 . n→+∞ () Suites 35 / 36 Proposition 4 si de plus `2 est non nul, alors il existe N ∈ N tel que ∀n > N, vn 6= 0 u 1 1 n et la suite converge vers . Dans ce cas, la suite vn n>N `2 vn n>N `1 converge vers . `2 () Suites 36 / 36