TD Analyse Numérique Licence L3 MASS, 2016

TD Analyse Num´erique Licence L3 MASS, 2016-2017
Exercice 1 : Soit A∈ Mn(R) une matrice carr´ee inversible telle que Ai,i 6= 0 pour tout i= 1,· · · , n
et soit b∈Rn. On consid`ere l’algorithme de Gauss Seidel pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax =b:
on se donne x(0) ∈Rnet on calcule x(k+1) ∈Rnpour k∈Ntels que
Ai,ix(k+1)
i=bi−
i−1
X
j=1
Ai,jx(k+1)
j−
n
X
j=i+1
Ai,jx(k)
j, i = 1,· · · , n.
(1) Montrer que
x(k+1) =x(k)+L−1b−Ax(k), k ∈N,
avec Lla partie triangulaire inf´erieure de Aie la matrice de Mn(R) telle que
Li,j =Ai,j si i≥j,
0 si i < j. ,
(2) Soit ¯x=A−1bla solution de Ax =bet e(k)= ¯x−x(k),k∈N. Montrer que
e(k+1) =Be(k), k ∈N.
avec B= (I−L−1A) puis
e(k)=Bke(0),
et donner la condition n´ecessaire et suffisante du cours pour que la suite x(k)converge vers x.
(3) en utilisant les r´esultats de l’exercice 2 ci-dessous montrer que
ke(k)k2≤(pρ(BtB))kke(0)k2.
(4) Soit la matrice
A=2−1
−1 2 ,
et b∈R2donn´e. Calculer la matrice d’it´eration B∈ M2(R) de l’algorithme de Gauss Seidel
et calculer les valeurs propre de B. En d´eduire si l’algorithme de Gauss Seidel converge ou non
pour cette matrice A.
(5) Calculer pρ(BtB) pour la matrice Aci-dessus Qu’en d´eduisez vous sur la convergence de
l’algorithme de Gauss Seidel pour cette matrice en comparaison avec la convergence de l’algo-
rithme de Richardson `a pas α= 1 et avec la convergence de l’algorithme de Richardson `a pas
optimal ?
(6) En d´eduire une condition suffisante sur le nombre d’it´erations kde l’algorithme de Gauss Seidel
pour que
ke(k)k2
ke(0)k2
≤
pour une pr´ecision  > 0 donn´ee.
Exercice 2 : Normes induites dans l’espace vectoriel Mn(R).
Soit A∈ Mn(R) et k.kune norme sur Rn. On d´efinit
kAk= sup
x∈Rn,x6=0
kAxk
kxk.

(1) Montrer que la fonction A→ kAkd´efinit une norme sur l’espace vectoriel Mn(R) que l’on
appelle norme induite par la norme k.ksur Rn.
(2) Montrer que la norme induite v´erifie
kAxk≤kAkkxk,
et
kABk≤kAkkBk,
pour tous x∈Rnet A, B ∈ Mn(R).
(3) montrer que pour kxk2= (Pn
i=1 x2
i)1/2, alors
kAk2=pρ(AtA).
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