Induction électromagnétique

PSI Moissan 2012 Induction F´evrier 2013
Induction ´electromagn´etique
I Approche historique et qualitative de l’induction
I.1 Description du ph´enom`ene
Le ph´enom`ene d’induction est un ph´enom`ene qui apparait dans 2 cas de figure et qui consiste en
l’apparition d’une force ´electromotrice (donc d’une diff´erence de potentiel) dans un circuit ne comportant
pas de g´en´erateur. Ce ph´enom`ene se produit exp´erimentalement :
– lorsque l’on approche un aimant produisant un champ magn´etique d’un circuit fixe (configuration
circuit fixe/champ variable de Neumann),
– lorsque l’on d´eplace un circuit dans le champ produit par un aimant (configuration circuit mo-
bile/champ permanent de Lorentz).
Cette f-´e-m est d’autant plus importante que la vitesse de d´eplacement est grande, et disparaˆıt d´es que
le mouvement relatif est nul.
Dans la suite du cours, nous aborderons ces deux situations extrˆemes tout en gardant `a l’esprit que
la situation la plus g´en´erale est celle d’un champ variable et d’un circuit en mouvement (ou d´eformable).
Par ailleurs, l’´etude sera faite dans le cadre de l’ARQP.
I.2 Loi de Faraday (1831)
La loi de Faraday permet de d´eterminer la force ´electromotrice induite edans un circuit ferm´e de la
mani`ere suivante :
edΦ
dt (1)
o`u Φ est le flux du champ magn´etique `a travers la surface d´efinie par le circuit ferm´e. Cette loi prend en
compte aussi bien l’induction de Neumann que de Lorentz et nous la retrouverons plus tard `a partir des
´equations de Maxwell.
I.3 Loi de Lenz (1834)
C’est une loi de mod´eration qui pr´edit le comportement g´en´eral des effets de l’induction : les effets
de l’induction (f´em, courants induits, mise en mouvement) ont tendance `a s’opposer aux causes qui leur
donnent naissance.
Applications Deux applications simples permettent de mettre en ´evidence l’int´erˆet de la loi de Lenz :
– lorsque l’on approche l’aimant de la spire, le flux augmente et cr´ee une f´em n´egative (voir exp´erience),
ce qui cr´ee en retour un champ magn´etique qui s’oppose au champ magn´etique cr´ee par l’aimant
– dans le cas des rails de Laplace, si la barre s’´eloigne, le flux augmente, ce qui g´en`ere une force de
Lorentz qui ralentit la barre.
1

PSI Moissan 2012 Induction F´evrier 2013
II Induction de Neumann
II.1 Loi de l’induction de Neumann
Lorsqu’un circuit ´electrique fixe et ind´eformable est plong´e dans un champ magn´etique ext´erieur
variable dans le temps, il peut ˆetre le si`ege de courants induits.
En effet, dans le cadre de l’ARQS, les ´equations de Maxwell sont les suivantes :
div Eρ
0
Maxwell Gauss (2)
div B0 Maxwell Thomson (3)
rotEB
tMaxwell Faraday (4)
rotB µ0~ jMaxwell Amp`ere (5)
L’´equation de Maxwell-Faraday implique
Egrad VA
t
o`u grad Vest la champ en r´egime permanent, `a circulation conservative, alors que A
test un terme li´e
`a la variation temporelle, terme non conservatif. En effet, si on calcule la circulation de Esur un circuit
ferm´e Γ, on obtient la force ´electromotrice e
eN
Γ
E d~ l
Γ
grad V d~ l
0
Γ
A
td~
l
On d´efinit alors le champ ´electromoteur Empar
Em
A
t
Par ailleurs, on peut exprimer la force ´electromotrice en fonction de B. En effet
eN
Γ
A
td~
ld
dt
Γ
A d~ l
ce qui donne en utilisant la formule de Stokes-Amp`ere
d
dt
Σ
rotA d S
la surface σ´etant orient´ee en tenant compte du sens dans lequel on calcule la circulation. Comme B
rotA, on peut alors ´ecrire
eN
d
dt B d S dΦ dt
ce qui permet bien de retrouver la loi de Faraday ´enonc´ee au chapitre I.
2

PSI Moissan 2012 Induction F´evrier 2013
II.2 M´ethode : induction de Neumann dans un circuit filiforme
1. Orienter arbitrairement le circuit ´electrique.
2. D´eduire l’orientation de la surface par la r`egle de la main droite (ou des 3 doigts)
3. Calculer le flux magn´etique `a travers le circuit
Φ
Σ
B d S
4. Calculer la f´em induite donn´ee par la loi de Faraday
eN
dΦ
dt
5. Dessiner le sch´ema ´electrique ´equivalent
II.3 Inductance et auto-inductance
On suppose 2 circuits filiformes C1et C2parcourus par des courant i1et i2. On note B1et B2les
champs cr´e´es respectivement par les 2 circuits. Chaque champ cr´ee un flux magn´etique `a travers chaque
circuit. On utilise la notation suivante : Φ1 2 est le flux de B1`a travers le circuit 2. Les flux Φ1 1 et
Φ2 2 sont appel´es flux propres. On a donc
Φj k
Ck
Bjd S k
D’apr`es la loi de Biot et savart, Bjest proportionnel `a ij, on peut donc d´efinir les coefficients de propor-
tionnalit´e
Φj j LjijΦj k Mj kij
On peut montrer que Mj k Mk j M.
Pour un circuit filiforme, on d´efinit le coefficient d’auto-inductance, grandeur positive
d´ependant de la g´eom´etrie du circuit, par la relation
Φj j Ljij
L’unit´e de Lest le Henry (H).
Pour un circuit filiforme, on d´efinit le coefficient d’inductance mutuelle, qui d´epend de la
g´eom´etrie de l’ensemble des deux circuits, par les relations
Φj k MijΦk j Mik
L’unit´e de Mest le Henry (H) et son signe d´epend des orientations relatives des deux circuits.
3

PSI Moissan 2012 Induction F´evrier 2013
Le flux dans le circuit 1 du champ magn´etique total est donc donn´e par
Φ1L1i1Mi2
Compte tenu de la loi de Faraday, on peut donc exprimer la f´em induite dans le circuit 1 par l’effet de
l’inductance propre et de l’inductance mutuelle
e1
dΦ1
dt L1
di1
dt Mdi2 dt
II.4 ´ Energie magn´etique
On consid`ere 2 circuits fixes coupl´es par inductance mutuelle
E1
R1
L1
i1
L2
i2
R2
E2
M
On ´ecrit la loi des mailles dans chaque circuit, ce qui donne les ´equations coupl´ees
E1L1
di1
dt Mdi2 dt R1i10E2L2
di2
dt Mdi1 dt R2i20
Pour ´ecrire le bilan ´energ´etique, il faut multiplier ces deux ´equations par les intensit´es respectives dans
chacun des circuits, puis faire la somme, ce qui donne
E1i1E2i1
g´en´erateurs
R1i2
1R2i2 2
Effet Joule
L1i1
di1
dt L2i2
di2
dt Mi1
di2
dt Mi2
di1
dt
Champ magn´etique
Le terme de gauche est le terme explicitant la puissance fournie par les g´en´erateurs, les deux premiers
termes `a droite sont les termes correspondant `a la puissance dissip´ee par effet Joule dans les r´esistances.
Il reste le terme
L1i1
di1
dt L2i2
di2
dt Mi1
di2
dt Mi2
di1
dt
d
dt
1
2L1i2
1
1
2L2i2
2Mi1i2
qui repr´esente la puissance utilis´ee pour fait varier le champ magn´etique. Comme ce terme est la d´eriv´ee
par rapport au temps d’une expression, on peut alors ´ecrire l’´energie potentielle magn´etique de deux
circuits :
Ep
1
2L1i2
1
1
2L2i2
2Mi1i2(6)
4

PSI Moissan 2012 Induction F´evrier 2013
Lien avec l’´energie ´electromagn´etique On peut rapprocher cette expression de l’expression de
l’´energie magn´etique d’un sol´eno¨ıde infiniment long. En effet, on peut calculer le flux du champ magn´etique
`a travers le sol´eno¨ıde
ΦB d S
Comme il y a Nspires de surface πa2et que le champ cr´ee est uniforme B µ0N
li, on obtient
Φµ0
N2
lπa2i
ce qui donne la valeur de L
L µ0
N2
lπa2
et permet de calculer dans ce cas simple
Ep
1
2Li2µ0
N2
2lπa2i2
Par ailleurs, l’´energie ´electromagn´etique s’´ecrit en g´en´eral
Eem
B2
2µ0
dτ
ou l’int´egrale se fait sur tout l’espace. Dans le cas d’un sol´eno¨ıde infiniment long, le champ Best nul hors
du sol´enoide, on peut donc restreindre l’int´egrale au volume du sol´eno¨ıde
Eem
solenoide
B2
2µ0
dτ B2
2µ0
V µ0
N
li lπa2µ0
N2
2lπa2i2
ce qui permet d’identifier l’´energie potentielle magn´etique avec l’´energie ´electromagn´etique. On consid´erera
que cette ´equivalence est g´en´erale.
´
Etincelle de rupture La grandeur Epest une grandeur n´ecessairement continue puisque sa d´eriv´ee, la
puissance, doit ˆetre born´ee. Il en r´esulte que l’intensit´e d’un circuit contenant une bobine est une fonction
continue. Dans le cas d’une rupture physique du circuit (actionnement d’un interrupteur par exemple),
cette continuit´e est assur´ee par la cr´eation d’une ´etincelle qui conduit le courant `a travers l’air.
II.5 Induction de Neumann dans un circuit non filiforme
Dans le cas d’un conducteur non filiforme (comme le fond d’une casserole m´etallique), le calcul du
flux devient impossible dans la mesure o`u le circuit et donc la surface sur laquelle effectuer l’int´egration
ne sont pas d´efinis. Il faut alors passer par le calcul du champ ´electromoteur.
L’existence de ce champ ´electromoteur est alors responsable, en raison de la conductivit´e du mat´eriau,
de courants induits dit de Foucault, qui permettent, par exemple, de chauffer les aliments dans les dispo-
sitifs de table `a induction.
III Induction de Lorentz
III.1 Induction de Lorentz
Un circuit ´electrique en mouvement dans un r´ef´erentiel o`u r`egne un champs magn´etique per-
manent est sujet `a un ph´enom`ene d’induction de Lorentz et donc `a des courants induits.
5