Problème

Fiche LP101 : structure des fiches…
Problème
Déterminez la stabilité d’une
position d’équilibre
Exemple
Pré-requis
Remarque - exercice
(1)
Concepts
Stratégie
Résumé
Liste des fiches
1 – Méthode d’analyse d’un problème de
mécanique
2 – Energie Potentielle
3 – Equilibre
4 – Stabilité
5 – TEC / Calcul d’un travail
6 – Energie mecanique
7 – Graphe énergétique
8 – Formules pour la description des champs
Fiche LP101 I : Methodologie d’analyse d’un exercice
Préliminaires
Une situation physique est
décrite
(1) Décrire le système
Définir l’objet étudié et ce qui l’entoure
Support, Ressort, charge ou masse
Terre…
Définir le repère
comprendre ce que veut l’énonce
pour l’origine, la direction des axes
Ou définir des axes « intelligents »
pour la description du mouvement
(2) Décrire les forces
Faire la liste des forces (a partir des « objets » qui
interagissent avec le système)
expression vectorielle, et pour toutes positions
Pour chaque force
si elle est conservative : calcul de Ep (fiche II)
sinon, est-elle perpendiculaire au mvt ?
est-ce que son angle avec le mvt
et son amplitude sont constante?
Description du mouvement
On veut suivre une trajectoire
Equilibre
(1) Positions : Newton ou Ep (fiche III)
(2) Stabilité : analyse des forces ou Ep
(fiche IV)
(3) Mouvement avec vitesse constante :
Newton + a=0
Mouvement
(1) 2 Positions : TEC (fiche V) – Em (VI)
(2) Frottement : Em (VI)
(3) Mouvement : graphe de l’Ep (VII)
Pour finir :
Trouver des cas particuliers intuitifs
(angle nul, masse faible ou très grande…)
Vérifier l’homogénéité de votre formule
Fiche LP101 II : Energie Potentielle
Problème
Déterminez l’Energie Potentielle
d’un système (S)
Pré-requis
. Une force est conservative si
Exemples
Le poids : P = -mg u_z
(si axe z oriente vers le haut)
dEp/dz = mg donc Ep(z) = mgz + C
Si l’axe du mouvement est (Ox) avec
z = x sin(alpha) – cas d’une pente croissante
alors Ep(x) = mg x sin(alpha) + C
- son travail ne dépend pas du trajet
suivi entre A et B
- elle peut s’écrire : F = - dEp/dx u_x
. L’Ep est la primitive de (-F), elle est
définie une constante près.
Remarque
Concepts
Vérifiez que la tendance naturelle du système
est d’aller vers le minimum de Ep
Force conservative, primitive (notée Int)
Une force conservative existe,
et son Ep doit être calculée,
avant que le mouvement de (S) ne soit défini
Stratégie
(a) Déterminez l’axe u selon lequel agit F
par ex. : F = F(x) u_x
ou encore F = F(y) u_y
De manière générale F = F(p) u_p.
(b) Donc F(p) = - dEp/dp
(c) Ep(p) = - Primitive(F) + C
par ex.
Ep(x) = - Primitive(F(x))+C
ou encore Ep(y) = - Primitive(F(y))+C
Résumé
L’axe de la force donne la variable selon
laquelle Il faut exprimer Ep
On intègre la force selon cette variable
On peut ensuite faire un changement de
variable
Fiche LP101 III : Equilibre
Problème
Déterminez les positions d’équilibre
d’un système (S)
Pré-requis
Une position d’équilibre E est définie par
le fait qu’un objet posé en E sans vitesse
ne redémarre pas, donc :
-a = 0
- somme(F) = 0
- dEp/dx
= 0 (si le mouvement se fait
selon l’axe Ox)
Exemples
Pour un ressort accroché en haut, la longueur
à l’équilibre est plus grande que la longueur
au repos.
Pour un ressort accroche en bas, la longueur
à l’équilibre est plus petite que la longueur
au repos.
Remarque
Un mouvement ne peut s’arrêter que sur une
position d’équilibre.
Les frottements n’interviennent jamais dans le
calcul d’un équilibre.
Concepts
Vitesse, accélération
Stratégie
(1) Faites la listes des forces agissant sur (S)
(2) Projetez chaque force sur l’axe du
mouvement
(5) Appliquez la loi de Newton
ou
(1’) cherchez les minimums (tangente horiz.)
du graphe de l’Ep
Résumé
Pour trouver une position d’équilibre, on peut
Soit projeter la loi de Newton,
Soit chercher les minimums de Ep
Il faut toujours vérifier si cette position est
intuitivement raisonnable…
Fiche LP101 IV : Stabilité
Problème
Déterminez la stabilité d’une
position d’équilibre
Pré-requis
Savoir trouver les positions d’équilibre !
Une position d’eq. (E) est stable si :
- en plaçant (S) très prés de (E), les
forces en présence le ramènent vers (E)
- F est selon +u_x pour x < ≅ x(E),
F est selon -u_x pour x >≅ x(E),
- (Ep)’’ > 0 (minimum)
Concepts
Etre proche d’un point, dérivée seconde
Stratégie
Pour chaque position d’équilibre de (S) :
(1) Calculez la dérivée seconde de Ep
ou regardez le graphe (…)
(2) Si (Ep)’’ >0 (minimum), alors stable.
ou
(1) Prenez x < ≅ x(E), puis x >≅ x(E), et
(2) Discutez des forces…
Exemple
Une charge (+q) entre deux charges (-q)
(l’une en r=0, l’autre en r=d) :
. l’équilibre est en r = d/2
. si la charge (+) est placée en r=d/2-e,
la force de (-q) en 0 > la force de (-q) en d
donc la charge (+) s’éloigne de l’équilibre et se
retrouve en 0 : donc instable
Remarque - exercice
(1) Dans l’exemple ci-dessus, la position r=0
(et r=d) est une position stable…
mais physiquement impossible !.
(2) Calculez la dérivée seconde de l’Ep dans
l’exemple ci-dessus
(3) Ne pas oubliez les positions d’équilibre
en l’infini
Résumé
La stabilité d’une position d’équilibre s’étudie
- Par une discussion en déplaçant le système
autour de cette position
- Par le calcul de la dérivée seconde de Ep
- Par l’observation du graphe de Ep
Fiche LP101 V : TEC – calcul d’un travail
Problème
Calcul d’un travail
Comment utiliser le TEC ?
Exemples d’application
(1) Trouver la vitesse finale d’un mouvement
(2) Trouver un point d’arrêt (vitesse nulle)
Pré-requis
Avant : liste des forces + calcul d’Ep
Enonce : Soit deux points A et B sur la
trajectoire d’un système (S)
On note F l’ensemble des forces agissant
sur (S) :
Ec(B) - Ec(A) = W(F)
Remarques
(1) Le TEC correspond a l’intégration de
Newton le long de la trajectoire
(2) Il permet de ne pas projeter Newton
(3) Il ne permet pas de déterminer
la trajectoire ou le temps
(4) L’Energie mécanique peut remplacer
avantageusement le TEC (fiche VI)
Concepts
trajectoire, travail
Stratégie – calcul de W
a- force conservative :
W = -dEp = - (Ep(B)-Ep(A))
b – force perpendiculaire au mvt : W = 0
c – angle entre force et mvt = cst = alpha
et force de norme constante = F
W = F L cos(alpha) [L =longueur parcourue]
d- cas général : faire l’intégrale !
Résumé
Pour toutes questions impliquant deux positions
A et B, et ne concernant pas le temps :
Ec(B)-Ec(A) = W(F)
= -dEp(cons.) + W(non cons)
Fiche LP101 VI : Energie mécanique
Problème
Utilisation de l’Energie mécanique
a la place du TEC…
Pré-requis : Em = Ec + Ep
TEC Æ
dEc = W(F) = W(cons.) + W(non cons.)
dEc
= -dEp
+ W(non cons.)
dEc + dEp =
W(non cons.)
dEm = W(Forces non cons.)
dEm = Em(final)-Em(initial)
Concepts
Forces conservatives, Em... et presque rien !
Stratégie
(1)
(2)
(3)
(4)
Connaitre les Ep des forces cons.
Definir proprement l’etat initial et final
Definir Ep et Ec de ses deux etats
a – calculer Em(final)-Em(initial)
b – calculer le travail des forces
non conservatives (fiche V)
(5) Conclure…
Exemples d’applications
1 – calculer une vitesse finale (TEC)
2 – calculer le travail de forces non cons.
(plus direct que le TEC)
ce travail correspond a l’energie perdue
par le système
Remarque
Attention aux signes….
W(forces conservatives) = - dEp
dEm = + W(forces non cons.)
Revoir, et comprendre, la demonstration
Résumé
l’utilisation de l’énergie mécanique
est simple, mais il faut être systématique
et vérifier la cohérence des signes
dans l’expression finale
(perte / gain d’énergie)
Fiche LP101 VII : Graphe d’Ep – Em -Ec
Problème
Décrire le mouvement d’un système
Pré-requis
Calcul d’Ep, Trace de graphes
Définition de l’Em, Em = Ec+Ep
Concepts
Oscillations, barrière énergétique
Stratégie
(1) Calcul de l’Ep totale du système
(2) Trace de l’Ep sur toutes les positions que
le système peut en principe atteindre
(3) Calcul de l’Em au départ de la trajectoire
(ou a la fin selon les cas…)
(4) Si Em est conserve (plupart des cas),
Ligne droite y=Em sur les points avec Ep<Em
(lieu de la trajectoire)
(5) Trace de Ec = Em – Ep
(symétrique de la courbe Ep)
A vitesse nulle, le système se dirige vers les
Ep décroissante
Exemple de questions
(1) le mouvement est-il limite, ou peut-il partir
a l’infini ?
(2) Comment franchir une barrière de potentiel
(il faut donner une Ec pour que Em soit plus
grand que le maximum – local – de l’Ep)
(3) Recherche des points d’équilibre
(fiche III et IV)
Remarques
(1) Faites un graphe soigne
(2) En cas de forces de frottement, l’Em
n’est pas conservé.
a – En cas d’oscillations, le mouvement
finira dans la position d’equilibre
b – Si le mouvement continue vers l’infini,
la vitesse sera de plus en plus faible
(3) La tendance naturelle a diminuer son Ep
permet aussi de verifier l’expression de Ep
Résumé
Trace de Ep, puis Em, puis Ec
Discussion sur la dynamique du
mouvement
Fiche LP101 VIII : Formules pour décrire les Champs
Un ensemble de charges {(q)}
est étudié
Il crée un champ électrique
Dans l’espace : E
Un ensemble de masses {(m)}
est étudié
(…..
E dérive d’un potentiel
E = - grad(V) ;
Si E = E u_x, E = - dV/dx u_x
E devient G
q devient m
…)
RESUME :
Une charge +q est placée
Dans ce champ en un point M
E <-- E = - dV/dx u_x --> V
↓
↓
F = q E <-- F = -dEp/dx u_x --> Ep = q V
Elle subit une force : F = q E(M)
Cette force dérive d’une
Energie potentielle : F = - grad Ep
G <-- G = - dV/dx u_x --> V
↓
↓
F = m G <-- F = -dEp/dx u_x --> Ep = m V