Métal Vide

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TD 4
Ondes électromagnétiques dans les métaux
Quelques métaux...
Une onde électromagnétique plane incidente se propage suivant l'axe Oz dans le vide. Le
champ incident i E
JG
est polarisé rectilignement selon Ox. Un métal est placé dans la partie de
l'espace z>0.
A. Réflexion sur un métal parfait et pression de radiation
On suppose dans cette partie que le métal est parfait, c’est à dire que sa conductivité est
infinie. Dans ce cas, l’onde incidente se réfléchit totalement et ne pénètre pas dans le métal.
1. Ecrire les composantes de i E
JG et i
B
JG .
2. Ecrire la relation de passage pour E
J
G à la surface du conducteur. En déduire la forme de
l’onde réfléchie dont les champs électrique et magnétique sont notés r E
J
G et r
B
JG puis de l’onde
résultante dans le vide (z<0). De quel type d’onde s’agit-il? La tracer à différents instants.
Métal
Vide
z
x
O

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3. A partir de la relation de passage pour
B
J
G, déduire le courant surfacique
s
j
G engendré par
l’onde à la surface du conducteur.
4. Du fait de l’existence de ce courant, quel type de force s’exerce sur la surface ? Pourquoi
parle-t-on de pression électromagnétique (ou pression de radiation) ? Calculer cette pression
en fonction de ε0, et de l’amplitude E0 du champ électrique, après être repassé en notations
réelles.
5. La queue des comètes est composée de poussières et de gaz. Le gaz (H20,CO,CN...) qui
diffuse une lumière bleue est sous l'influence du vent solaire (électrons et protons émis par le
soleil) dont nous ne discuterons pas ici. Par contre, les poussières qui diffusent une lumière
jaune sont des petits grains très réfléchissants qui subissent la pression de radiation.
Supposons qu'un grain de poussière s'apparente à un grain métallique parfait.
Dire quelles forces agissent sur ce grain (en supposant que les autres planètes ont une
influence négligeable par rapport au soleil). Comparer qualitativement les forces agissant sur
deux grains de tailles différentes et prédire où se trouve le soleil par rapport aux comètes sur
les deux photos ci-dessous. Pourquoi cette queue est-elle courbée ?
comète Hall-Bopp
http://www.ifa.hawaii.edu/images/hale-
bopp/hb_06april97.html
comète Hyakutake
On observe un nuage jaune sur la gauche,
et une queue bleue dans l'axe de la comète.
(http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap960502.html)

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6. (facultatif) Un vaisseau possédant une voile solaire
est envoyé depuis la Terre vers le Soleil. Arrivé
suffisamment proche du Soleil pour que l'attraction
terrestre soit négligeable devant celle du soleil, il
déploie sa voile solaire perpendiculairement aux
rayons du Soleil. Cette voile est une grande plaque
métallique réfléchissante. Calculer quelle surface de
voile minimum est nécessaire pour que la pression de
radiation permette au vaisseau d'échapper à
l'attraction solaire et de se diriger vers Mars.
Application numérique : calculer cette surface minimum
Distance soleil-vaisseau ~ 1.5 1011 m,
Masse du vaisseau ~ 1000 kg, Masse du soleil ~ 2 1030 kg, G = 6.7 10-11 S.I.
Champ électrique produit par le soleil au niveau du vaisseau E0 ~ 1000 V/m (ce qui
correspond à 1.5 kW/m2),
ε
0 = 8.85 10-12 S.I.
B. Pénétration dans un métal non parfait
On suppose maintenant que le métal n’est pas parfait. Sa conductivité σ n’est donc pas
infinie et l’onde électromagnétique incidente peut pénétrer dans le métal.
On fait alors trois hypothèses :
Hypothèse 1 : L'équation de Maxwell-Gauss peut s'écrire dans le métal .0
m
E
∇
=
J
JGJJG
Hypothèse 2 : La loi d'Ohm est valable dans le métal et s'écrit m
j
E σ =
G
JJG où j est la densité de
courant volumique et
σ est la conductivité électrique (ne pas confondre avec la charge
surfacique).
Hypothèse 3 : le champ associé à l’onde qui pénètre dans le métal m
E
J
JG s'exprime comme
i
E
JJGsous forme d'une onde plane sinusoïdale rectiligne polarisée selon Ox et se propageant
selon Oz avec un vecteur d'onde km et la même pulsation
ω .
1. Ecrire les équations de Maxwell dans le métal. Montrer que, dans l'équation de Maxwell-
Ampère donnant le rotationnel de Bm, on peut négliger un des termes si la fréquence est
suffisament basse.
Application numérique : pour le cuivre, σ = 6 107 Ω-1m-1 . Estimer par un calcul d’ordres
de grandeur si cette hypothèse est justifiée dans le domaine des radiofréquences; même
question pour les hyperfréquences
(rappel : ε0=1 / 4π 9.109 SI).

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Dans la suite, on négligera effectivement ce terme dans l'équation de Maxwell-Ampère.
2. Déduire des équations de Maxwell la forme de l'équation de propagation pour Em. En
déduire la relation de dispersion liant k et ω. Que serait cette relation dans le vide ?
3. Montrer que k est complexe (de la forme k=k' + i k"). Le calculer.
4. Montrer alors que Em est atténuée suivant Oz. Définir une distance caractéristique δ pour
cette atténuation. On appelle δ l’épaisseur de peau, pourquoi ?
Exprimer δ en fonction de σ, μ0, et ω. Expliquer pourquoi on était en droit de parler de
réflexion totale dans le cas du métal parfait du A.
5. Calculer δ pour le cuivre, pour des fréquences ν=50 Hz et ν=1 ΜΗz (on rappelle que
μ0=4π10-7 SI). Pouvez vous alors décrire qualitativement l'onde dans le métal dans ces
deux cas (basse fréquence et radio fréquence) en supposant que le métal a une profondeur
de 1 mm selon z ? Même question si ν=0 ?
6. Calculer le vecteur de Poynting correspondant. Quelle est la direction de propagation de
l’énergie ? Sous quelle forme se transforme-t-elle dans le métal ?
7. Justification de l’hypothèse 1 : à partir de la conservation de la charge et de l’équation de
Gauss
0
.m E
ρ
ε
∇=
JJGJJG déduire l’équation différentielle satisfaite par ρ. En déduire la variation
temporelle ρ(t). Au bout de combien de temps ρ est-elle négligeable dans le métal (on
utilisera à nouveau la conductivité du cuivre) ? L’hypothèse 1 est-elle justifiée ?