Exercices résolus de mathématiques

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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 15
EXGSP150 – EXGSP159
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Nicole Berckmans – Jan Frans Broeckx
Fabienne Zoetard
Aout 2012

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EXGSP150 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012
Soient ' et ' deux diamètres d'un cercle de centre et de rayon . Les angles au centre
qui interceptent les cordes et ' ' sont égaux et valent .
1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et p
AA BB O R
AB A B 
ropre.
2. Quelle est la nature du quadrilatère , , ', ' ?
3. Exprimer l'aire du quadrilatère ainsi que son périmètre en fonction de et
uniquement.
4. Quelle est la valeur maximale de l'aire du quadrila
A B A B
R
tère? A quelle valeur de
correspond-t-elle?
5. Pour quelle valeur de le quadrilatère est-il un rectangle dont le rapport longueur
par largeur vaut 3?
NB. Pour les points 2 à 5, justifier les réponses e n toutes généralités. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
2. Le quadrilatère est un rectangle car les 4 angles au sommet sous tendent un demi cercle.
3. Dans le triangle ' : sin . D'où 2 sin . De même 2 cos
2 2 2 2
périmètre 4 sin cos ; aire
22
c
OA M R c R d R
R cd
22
4 sin cos 2 sin
22
4. Cette aire est maximum lorsque sin 1, c'est-à-dire . Dans ce cas le rectangle
2
est un carré. 2.
cos 3
2
5.Si 3, alors 3 tan 30 60 .
2 3 2
sin 2
Rem : dans le triangle
rR
c d R
d
c
', tan et dès lors 60 2 60
d
ABA c            
Le 26 novembre 2012.

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EXGSP151 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013 série 1.
Soit un cercle de centre et de rayon . A partir d'un point fixe du cercle, on trace une
droite qui coupe le cercle en un point . Soit le point de tel que soit le milieu
du segment ,
1. Ill
O R A
D B M D B
AM
ustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.
2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .
3. Exprimer l'aire du triangle , , en fonction de et de la longueur
uniquement. On note cet
M
A O M R AB
Tte aire.
4. On note l'aire du disque de centre et de rayon . Calculer la valeur maximale
du rapport . Pour quelle valeur de est-elle atteinte?
NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses e
S O R
T S AB
n toute généralité. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans

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2. L'homothétie de centre fixe et de rapport 2 envoie sur . Lorsque parcourt un
cercle de centre et de rayon alors parcourt un cercle de centre ' et de rayon 2 .
3. aire du triangle de
A B M B
O R M O R
T AOM
2
2 2 2
2
22 22
22
22
2 2 2
base et de hauteur
1.2 Notons :
2 2 2
4.
4
2
Maximum de 2
0 2 2
2
... 0
44
1
Conclusion : Max de vaut
AM h
AB x
T AB R x AB T R x
SR
xRx
T x R x
S R R
x R R
d T S d T S
Rx
dx dx
R R x T S Max
TS
Commentaire de Louis François
2
Au point 4, on demande le maximum du rapport . Sachant que est constant,
il suffit de maximiser .
Or le triangle a un base constante ; par conséquent le maximum de l'aire
sera obtenu lor
T S S R
T
AOM OA R
2
2
2
sque la hauteur sera maxmum. Cette hauteur est celle issue de ,
perpendiculaire au côté . Elle sera maximum lorsuqe ' sera perpendiculaire à ' .
Dans ce cas 2 .
11
. .2 . .2
22
1
M
OA MO O A
hR
T OA R R R R
TR
SR  2AB R
Le 16 septembre 2013.

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EXGSP152 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013, série 2.
On considère deux points fixes et distants de , et un cercle de centre et de rayon .
A partir du point , on trace une droite qui coupe le cercle en un point .
On trace ensuite la médiatrice d
A B c B R c
Am
u segment , qui coupe le segment , en un point
milieu .
1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.
2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .
3. On note la distance entre et
A m B m
M
M
rA . On note l'aire du triangle , , .
Exprimer en fonction de , et uniquement.
4. Calculer la valeur de . Pour quelle valeur de est-elle atteinte? Illustrer la
solution sur le dessin du point 1.
M T A B M
T r R c
Tr
NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses en toute généralité. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans
2) Le triangle étant isocèle, on a :
Le lieu de est donc une ellipse de foyers et .
Note : c'est précisément une méthode de construction des ellipses.
AmM AM MB R
M A B