LTMC. LOGIQUE, THÉORIE DES MODÈLES ET - IMJ-PRG

Master STS — mention mathématiques Année 2010/2011
LTMC. LOGIQUE, THÉORIE DES MODÈLES
ET COMPLEXITÉ.
Théorie de la complexité : Machines de Turing
A. CHAMBERT-LOIR, P. JORAY
Exercice 1. — Pour chacun des langages suivants,
décrire une machine de Turing qui accepte un mot
dans l’alphabet {0,1} si et seulement s’il lui appar-
tient :
–L1={w|wcontient autant de 0 que de 1 } ;
–L2={w|wcontient exactement deux fois
plus de 0 que de 1 } ;
–L3={w|wcontient au moins deux fois plus
de 0 que de 1 }.
Exercice 2. — Décrire une machine de Turing qui
accepte un mot dans l’alphabet {a,b,c} si et seule-
ment s’il est de la forme aibjck, où i,j,ksont des
entiers tels que k=i+j.
Même question en remplaçant la condition
k=i+jpar la condition k=i j .
Exercice 3. — Soit AREX le langage formé des
couples (R,w), où Rest une expression régulière et
wun mot décrit par R. Démontrer que ce langage
est décidable.
Exercice 4. — Soit VAF le langage formé des 〈A〉où
Aest un automate fini dont le langage L(A) est
vide. Démontrer que ce langage est décidable.
Exercice 5. — Soit IAF le langage formé des 〈A〉où
Aest un automate fini dont le langage L(A) est in-
fini. Démontrer que ce langage est décidable.
Exercice 6. — Soit Lun langage. Démontrer que
Lest reconnaissable si et seulement s’il existe un
langage décidable L0tel que Lsoit l’ensemble des
mots xpour lesquels il existe un mot ytel que le
mot x#yappartient à L0,
Exercice 7. — Soit Lun langage reconnaissable
formé de descriptions 〈Mi〉de machines de Tu-
ring Mi(i>1) qui sont des décideurs. Démontrer
qu’il existe un langage décidable Dqui n’est décidé
par aucune des machines Mi.
Exercice 8. — Soit VMT le langage formé des des-
criptions 〈T〉de machines de Turing Tdont le lan-
gage L(T) est vide. Démontrer que ce langage est
indécidable.
Exercice 9. — Soit RMT le langage formé des des-
criptions 〈T〉de machines de Turing Tdont le lan-
gage L(T) est un langage régulier.
a) Étant donné une machine de Turing Met
un mot w, construire une machine de Turing M0
telle que L(M0)=Σ∗si Mreconnaît w, et
L(M0)={0n1n;n>0} sinon.
b) Démontrer que le langage L(M0)=
{0n1n;n>0} n’est pas régulier.
c) Démontrer que le langage RMT n’est pas déci-
dable.
Exercice 10 (Théorème de Rice).— Soit Pun lan-
gage formé de descriptions 〈M〉de machines de
Turing. On fait les hypothèses suivantes :
–Pn’est pas vide ;
– il existe au moins une description 〈M〉qui
n’appartient pas à P;
– si deux machines Met M0reconnaissent
le même langage et que 〈M〉appartient à P,
alors 〈M0〉aussi.
Dit informellement, Pest une propriété non-
triviale des langages reconnus par les machines de
Turing. Démontrer que ce langage Pn’est pas déci-
dable.
Exercice 11. — Déduire du théorème de Rice que
les langages suivants ne sont pas décidables :
a) le langage IMT formé des descriptions 〈M〉de
machines de Turing telles que L(M) soit infini ;
b) le langage formé des descriptions 〈M〉de ma-
chines de Turing telles que L(M) contienne 1011 ;
c) le langage TMT formé des descriptions 〈M〉
de machines de Turing telles que L(M)=Σ∗.
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