LTMC. LOGIQUE, THÉORIE DES MODÈLES ET - IMJ-PRG

Master STS — mention mathématiques
Année 2010/2011
LTMC. LOGIQUE, THÉORIE DES MODÈLES
ET COMPLEXITÉ.
Théorie de la complexité : Machines de Turing
A. C HAMBERT-L OIR , P. J ORAY
Exercice 8. — Soit VMT le langage formé des descriptions ⟨T ⟩ de machines de Turing T dont le langage L (T ) est vide. Démontrer que ce langage est
indécidable.
Exercice 1. — Pour chacun des langages suivants,
décrire une machine de Turing qui accepte un mot
dans l’alphabet {0, 1} si et seulement s’il lui appartient :
– L 1 = {w| w contient autant de 0 que de 1 } ;
– L 2 = {w| w contient exactement deux fois
plus de 0 que de 1 } ;
– L 3 = {w| w contient au moins deux fois plus
de 0 que de 1 }.
Exercice 9. — Soit R MT le langage formé des descriptions ⟨T ⟩ de machines de Turing T dont le langage L (T ) est un langage régulier.
a) Étant donné une machine de Turing M et
un mot w , construire une machine de Turing M 0
telle que L (M 0 ) = Σ∗ si M reconnaît w , et
L (M 0 ) = {0n 1n ; n > 0} sinon.
b) Démontrer que le langage L (M 0 ) =
n n
{0 1 ; n > 0} n’est pas régulier.
c) Démontrer que le langage R MT n’est pas décidable.
Exercice 2. — Décrire une machine de Turing qui
accepte un mot dans l’alphabet {a, b, c} si et seulement s’il est de la forme a i b j c k , où i , j , k sont des
entiers tels que k = i + j .
Même question en remplaçant la condition
k = i + j par la condition k = i j .
Exercice 10 (Théorème de Rice). — Soit P un langage formé de descriptions ⟨M ⟩ de machines de
Turing. On fait les hypothèses suivantes :
– P n’est pas vide ;
– il existe au moins une description ⟨M ⟩ qui
n’appartient pas à P ;
– si deux machines M et M 0 reconnaissent
le même langage et que ⟨M ⟩ appartient à P ,
alors ⟨M 0 ⟩ aussi.
Dit informellement, P est une propriété nontriviale des langages reconnus par les machines de
Turing. Démontrer que ce langage P n’est pas décidable.
Exercice 3. — Soit A REX le langage formé des
couples (R, w), où R est une expression régulière et
w un mot décrit par R . Démontrer que ce langage
est décidable.
Exercice 4. — Soit VAF le langage formé des ⟨A⟩ où
A est un automate fini dont le langage L (A) est
vide. Démontrer que ce langage est décidable.
Exercice 5. — Soit I AF le langage formé des ⟨A⟩ où
A est un automate fini dont le langage L (A) est infini. Démontrer que ce langage est décidable.
Exercice 6. — Soit L un langage. Démontrer que
L est reconnaissable si et seulement s’il existe un
langage décidable L 0 tel que L soit l’ensemble des
mots x pour lesquels il existe un mot y tel que le
mot x#y appartient à L 0 ,
Exercice 11. — Déduire du théorème de Rice que
les langages suivants ne sont pas décidables :
a) le langage I MT formé des descriptions ⟨M ⟩ de
machines de Turing telles que L (M ) soit infini ;
Exercice 7. — Soit L un langage reconnaissable
formé de descriptions ⟨M i ⟩ de machines de Turing M i (i > 1 ) qui sont des décideurs. Démontrer
qu’il existe un langage décidable D qui n’est décidé
par aucune des machines M i .
b) le langage formé des descriptions ⟨M ⟩ de machines de Turing telles que L (M ) contienne 1011 ;
c) le langage TMT formé des descriptions ⟨M ⟩
de machines de Turing telles que L (M ) = Σ∗ .
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