Expression de l`espérance du chiffre d`affaire Partie II

Corrigé HEC maths II 2003 par Pierre Veuillez
Partie I : Expression de l’espérance du chi¤re d’a¤aire
Dans cette partie, nest un entier naturel non nul, Nun entier supérieur ou égal à 2, et pun réel
strictement compris entre 0et 1.
Une compagnie aérienne a vendu nbillets à cent euros pour le vol 714 qui peut accueillir jusqu’à N
passagers. La probabilité pour qu’un acheteur se présente à l’embarquement est pet les comporte-
ments des acheteurs sont supposés indépendants les uns des autres.
Un acheteur qui ne se présente pas à l’embarquement est remboursé à 80%, tandis qu’un acheteur qui
se présente à l’embarquement mais n’obtient pas de place, le vol étant déjà complet, est remboursé
à 200%.
Soit Xla variable aléatoire désignant le nombre d’acheteurs d’un billet se présentant à l’embar-
quement, soit Yla variable aléatoire désignant le nombre d’acheteurs d’un billet se présentant à
l’embarquement mais n’obtenant pas de place et soit Gla variable aléatoire désignant le montant en
centaines d’euros du chi¤re d’a¤aire de la compagnie sur le vol considéré.
On suppose ces variables aléatoires dé…nies sur le même espace de probabilité (;A;P).
1. Xest le nombre de passagers se présentant parmi n; chacun ayant une probabilité de 0;8et
les choix étant indépendants. Donc X ,! B(n; p)et E(X) = np et V(X) = np (1 p)
2. Le nombre total de passager est X(!)pour Nplaces.
– Si X(!)N; tous ont une place et Y(!) = 0
– Si X(!)> N; il y en a X(!)N=Y(!)qui n’ont pas de place.
3. Le chi¤re d’a¤aire est la di¤érence entre les sommes perçues et les sommes déboursées à savoir
en centaine d’euros :
– celles servies aux démissionnaires : (nX)0;8
– celles servies au surnuméraires : 2Y
les sommes perçues étant neuros
Donc G=n2Y0;8 (nX) = 0;2n2Y+ 0;8X
Comme on a déjà lu l’énoncé jusqu’à la partie III, on se réjouit de la concordance avec la suite
de l’énoncé de Yet de G!
4. On suppose, dans cette question seulement, que nest inférieur ou égal à N.
Comme nN; il n’y a pas de client en surnombre donc Y= 0
Il reste donc G= 0;2n+ 0;8Xet
E(G)=0;2n+ 0;8E(X) = n(0;2+0;8p)
La compagnie cherche alors à évaluer la probabilité P([X>N]) et à savoir si le nombre naurait pu
être choisi de façon à optimiser son chi¤re d’a¤aire.
Partie II : Approximations dans des cas particuliers
1. On suppose, dans cette question, que pest égal à 0;5.
a) Soit Xla variable aléatoire dé…nie par : X=
Comme 2et nsont des constantes, E(X) = 2E(X)n
pn=nn pn= 0
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et V(X) = 22V(X)
pn2= 1
Xest donc centrée réduite.
b) Comme Xsuit une loi binomiale, on peut alors approcher sa "centré réduite" Xsi nest
assez grand par une loi normale centrée réduite.
Donc comme [X>N] = X > N 1
2=X>2Nn+ 1
pnalors
PhX2Nn1
pni= P hX 2Nn1 pni
qui pourra être approché par n+12N
pn
c) Pour tout réel xsupérieur ou égal à 1, on pose : f(x) = x+ 1 2N
px
fest dérivable sur [1;+1[et
f0(x) = px(x+ 1 2N)1
2px
px2
=x1+2N
xpx>0
car 2N1>0pour peu que le nombre de place soit non nul ...
Donc fest strictement croissante.
d) On suppose que Nest égal à 320 et on donne : 7
p6460;609 ;
6
p645 0;592 .
P([X>N]) est approché par  (f(n)) fonction croissante de n(pour N…xé)
Or f(645) = 645 + 1 640
p645 =6 p645 donc  (f(645)) 0;592
Et f(646) = 646 + 1 640
p645 =7 p645 donc  (f(645)) 0;609
Donc comme n! (f(n)) est une fonction croissante pour N…xé (composée)
– si nest inférieur ou égal à 645,P([X>N]) 0;6
– si nest supérieur ou égal à 646 alors P([X>N]) 0;6
2. Pour tout entier naturel non nul m, on considère la fonction gmdé…nie sur R
+par
gm(x) = ex
m
X
k=0
xk
k!
a) gmest dérivable sur R
+(produit) et (le terme x0ne se dériva pas comme les autres)
g0
m(x) = ex
m
X
k=0
xk
k!+ex
m
X
k=1
kxk1
k!
=ex 
m
X
k=0
xk
k!+
m
X
k=1
xk1
(k1)!!
=ex 
m
X
k=0
xk
k!+
m1
X
h=0
xh
h!!
=exxm
m!
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la factorielle peut se simpli…er car h1donc h! = h(h1)!
pour encadrer g0
mon étudie son sens de variation :
g0
mest dérivable sur R +et (m6= 0 pour la dérivée de x!xm)
g00
m(x) = 1
m!exxm+mexxm1
=xm1ex
m!(xm)
D’où le tableau de variations :
x0m+1
xm0 + a¢ ne
g00
m(x)+
g0
m(x)& %
Donc g0
mest minimale en met comme elle est négative
8x2R
+;emmm
m!=g0
m(m)6g0 m(x)60:
b) Donc d’après l’inégalité des accroissements …nis (sans la valeur absolue, l’ordre des termes
est à véri…er)
si aet bsont deux réels véri…ant 0< a < b, on a :
(ba)emmm
m!6gm(b)gm(a)60et
06gm(a)gm(b)6(ba)emmm
m!
3. On suppose, dans cette question, que pest égal à 0;99 et que nest strictement supérieur à N.
a) nXest le nombre de clients absents parmi navec une probabilité de 0;01 pour chacun,
indépendamment les uns des autres.
Donc nX ,! B(n; 0;01)
b) On supposera, dans les prochains calculs, que la loi de la variable aléatoire nXpeut
être remplacée par la loi de Poisson de paramètre 0;01 ndont on note Fla fonction de
répartition.
On se ramène à nX: [X>N] = [Xn>Nn]=[nXnN]
On a alors :
P ([X>N]) = F(nN)
c) On a :
F(nN) =
Nn
X
k=0
P (X=k) =
Nn
X
k=0
(0;01n)ke0;01n
k!
=gnN(0;01n)
d) On suppose que Nest égal à 300.
Pour tout réel strictement positif , on note Fla fonction de répartition de la loi de
Poisson de paramètre et on donne :
F3(2) 0;423 ; F3(3) 0;647 ; e333
3! 0;224
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– si nest égal à 302 on a 0;01n= 3;02 et nN= 2
P([X>N]) = P([X>300]) = F3;02 (2) = g2(3;02) g2(3) car g2est décroissante
Et comme g2(3) = F3(2) on a …nalement P([X>N]) F3(2) 0;5
– si nest égal à 303 on a 0;01n= 3;03 et nN= 3
P([X>N]) = F3;03 (3) = g3(3;03) g3(3) car g3est décroissante mais ce n’est pas
l’inégalité qu’il nous faut ...
On utilise le résultat de l’IAF : pour 0<33;03 on a 3;03 3=0;03
0g3(3) g3(3;03) e333
3! 0;03 0;006 et
g3(3;03) g3(3) e333
3! 0;03 0;641 >0;6
Donc si nest égal à 303,P([X>N]) est strictement supérieur à 0;6.
Partie III : Étude d’une suite de variables aléatoires
On suppose, dans cette partie, que Nest un entier naturel supérieur ou égal à 2, que pun réel
strictement compris entre 0et 1et que (Tn)n>1est une suite de variables aléatoires de Bernoulli de
paramètre p, indépendantes, dé…nies sur un espace de probabilité (;A;P).
Pour tout entier naturel nnon nul, on pose Xn=
n
X
k=1
Tket on dé…nit sur (;A;P) les variables
aléatoires Ynet Gnpar :
8!2; Yn(!) = Xn(!)Nsi Xn(!)>N+ 1
0si Xn(!)6N
et Gn= 0;2n+ 0;8Xn2Yn
1. a) Comme Xnest une somme de variables suivant des lois Binomiales (Bernouilli) de même
probabilité de succès pindépendantes, on a Xn,! B(n; p)
b) Si nNon a XnNet Ynest constante égale à 0
c) Comme 12on a G1= 0;21+0;8X120et E(G1)=0;2+0;8p
d) Si n > N alors Ynpeut valoir 0(si XnN) ou toutes les valeurs de 1ànN(si
XwN+ 1 )
Donc Yn() = [[0; n N]]
e) Comme Xn+1 =Xn+Tn+1 et que Tn0;on a Xn+1 Xn
Donc [Xn>N][Xn+1 >N]et P [Xn>N]P [Xn+1 >N]
Donc la suite (P[Xn>N])n>1est croissante et majorée par 1(ce sont des probabilités)
donc convergente.
f) cela ressemble à l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev :
P (jXnE(Xn)j  ")V(Xn)
"2
avec ici E(Xn) = np et V(Xn) = np (1 p)
Reste à faire apparaître [Xnnp >"]que l’on voit en partie dans le 1V(Xn)
"2probabilité
de l’événement contraire :
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On a
P (jXnE(Xn)j  ") = 1 P (jXnE(Xn)j  ")
1V(Xn)
"2= 1 np (1 p) "2
Reste à faire disparaître la valeur absolue :
[jXnE(Xn)j  "] = ["Xnnp  "]
[Xnnp >"]
d’où l’inégalité sur les probabilités :
P ([Xnnp >"]) P (jXnE(Xn)j  ")
1np (1 p)
"2
g) On factorise par n:
np (1 p)
(np N)2=p(1 p) n(pN=n)2!0
On revient à P (Xn>N) :
P (Xn>N) = P (Xnnp >Nnp)
1np (1 p)
(np N)2
Et par passage à la limite dans l’inégalité (on sait déjà que (P (Xn>N))nconverge vers
une limite 1)
1lim
n!+1P (Xn>N)1
et limn!+1P (Xn>N) = 1
avec le cas concret de la partie I, quand le nombre de billet vendu tend vers l’in…ni, on
est presque sûre que des passagers seront en suréservation (on aurait pu mettre N+ 1 à
la place de N)... ce qui n’est pas étonnant.
2. Soit nun entier naturel non nul.
a) On a 3 cas à considérer :
– Si Xn(!) = Non a Yn(!) = 0 et Xn+1 (!) = N+Tn+1 (!)
– siTn+1 = 1 alors Xn+1 (!) = N+ 1 et Yn+1 (!) = 1 donc Yn+1 Yn= 1
– siTn+1 = 0 alors Xn+1 (!) = Net Yn+1 (!)=0donc Yn+1 Yn= 0
– Si Xn(!)< N on a Yn(!) = 0 et Xn+1 (!)< N +Tn+1 (!)N
Donc Yn+1 () = 0 et Yn+1 Yn= 0
– Si Xn(!)> N on a Yn(!) = Xn(!)Net Xn+1 (!) = Xn(!) + Tn+1 (!)
– siTn+1 = 1 alors Xn+1 (!) = Xn(!) + 1 > N et Yn+1 (!) = Xn+1 (!)N=Xn(!) +
1 + Ndonc Yn+1 Yn= 1
– siTn+1 = 0 alors Xn+1 (!) = Xn(!)> N et Yn+1 (!) = Xn(!)Ndonc Yn+1 Yn= 0
Donc dans tous les cas Yn+1 Yn= 0 ou 1 Donc Yn+1 Ynest une variable de Bernoulli
D’après l’étude exhaustive faite plus haut
[Yn+1 Yn= 1] est réalisé si et seulement si [Tn+1 = 1] \[Xn>N].
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