nul suffit -52

Départements d’Informatique
Soutien en mathématiques
Séance 2
I - Quantificateurs :
1- Définitions :
- Le quantificateur universel, noté
∀
(=A à l’envers, A étant l’initiale de l’allemand
Alle)
)(, xPEx∈∀
se lit « pour tout
x
appartenant à
E
,
)(xP
» ou « quel que soit
x
appartenant
à
E
,
)(xP
»
- Le quantificateur existentiel, noté
∃
(=E retourné, E étant l’initiale de l’allemand
Existierien)
)(/ xPEx∈∃
se lit « il existe (au moins) un
x
appartenant à
E
tel que
)(xP
» ou « pour au
moins un
x
appartenant à
E
tel que
)(xP
»
Exercice : Compléter les tableaux suivants :
Tableau 1 :
Enoncé en langage formalisé
Phrase en français
2
xy=
yxIRx =∈∃ 2 /
01, >+∈∀ +yIRy
0)('/ 00 =∈∃ xfIRx
Les solutions de l’équation
0cos =x
L’entier
n
est un multiple de 3
L’entier
n
est carré
Les courbes des fonctions
f
et
g
ont un point
commun

Les nombres
n
xxx ,...,, 21
étant des nombres réels
Tableau 2
En français
En langage formalisé
Les
i
x
sont tous nuls
L’un des
i
x
est nul
Les
i
x
sont non tous nuls
Les
i
x
sont tous non nuls
Tableau 3
En français
En langage formalisé
Les
i
x
sont égaux
2 au moins parmi les
i
x
sont égaux
2 au moins parmi les
i
x
sont distincts
Les
i
x
sont tous distincts
2- Négation des quantificateurs :
Enoncé
Négation de l’énoncé
)(, xPEx∈∀
)(/ xPEx∈∃
Exercice : Compléter le tableau suivant :
Enoncé
P
NONP
En français
Tout réel possède un inverse
En langage formel
Exercice : Reprendre les tableaux 2 et 3 du 1- . Qui est la négation de qui ?
II- Implication, condition nécessaire, suffisante :
1- Implication :
Exercice : Hachurer la partie du plan
{ }
yxxyxM ≤⇒≥0/),(
2- Condition nécessaire, suffisante :
Exercice : Indiquer si c’est vrai ou faux
- Pour qu’un quadrilatère soit un parallèlogramme, il faut qu’il ait 3 angles droits
- Pour qu’un quadrilatère soit un parallèlogramme, il suffit qu’il ait 3 angles droits
- Une condition nécessaire pour qu’un quadrilatère soit un carré est que ses diagonales
soient perpendiculaires

- Une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un carré est que ses diagonales
soient perpendiculaires
Exercice : Compléter :
- Pour qu’un quadrilatère soit un carré, il ………..que se diagonales soient de même
longueur
- Pour qu’un quadrilatère soit un ………..…, il faut et il suffit qu’il ait trois angles
droits
- Pour qu’un quadrilatère soit un ……..……, il faut et il suffit que ses diagonales se
coupent en leur milieu
- Pour qu’un parallèlogramme soit un ……………, il faut et il suffit que ses diagonales
soient perpendiculaires
- Pour qu’un parallèlogramme soit un ……………, il faut et il suffit que ses diagonales
soient de même longueur.
En résumé :
- Pour que A il faut B (ou « une condition nécessaire pour que A est B ») signifie
….
⇒
…..
- Pour que A il suffit B (ou « une condition suffisante pour que A est B ») signifie
….
⇒
…..
-
3- Réciproque, négation, contraposée
Exercice : Compléter :
- La réciproque de
QP⇒
est :
- La négation de
QP⇒
est :
- La contraposée de
QP⇒
est :
III- Raisonnement par récurrence :
1. Exercice 1 :
( )
n
u
est la suite définie par
1
0=u
et
3
1
1+
+
=
+
n
n
nu
u
u
pour tout naturel
n
.
a- Démontrer par récurrence que pour tout
n
,
0≥nu
b- Démontrer par récurrence que pour tout
n
,
1≤nu
c- Démontrer par récurrence que la suite
( )
n
u
est décroissante

2. Exercice 2:
( )
n
u
est la suite définie par
7
0=u
et
1810
1−= +nn uu
pour tout naturel
n
.
a- Calculer :
4321 ,,, uuuu
b- Conjecturer une expression de
n
u
en fonction de
n
c- Démontrer cette conjecture par récurrence.
3. Dérivées successives :
Rappel :
f
une fonction dérivable sur un intervalle I.
Sa fonction dérivée
'f
est appelée fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de
f
. On la note
parfois
)1(
f
Lorsque
'f
est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée
''f
(ou parfois
)2(
f
).
''f
est
appelée fonction dérivée seconde (ou d’ordre 2) de
f
.
Par itération, pour tout naturel
2≥n
, on définit la fonction dérivée nième (ou d’ordre n) de
f
comme étant la dérivée de fonction dérivée d’ordre
1−n
.
'
)1( ff =
et pour tout naturel
2≥n
,
( )'
)1()( −
=nn ff
Exercice 3 :
f
est la fonction définie sur
*IR
par
x
xf 1 )( =
a- Donner les fonctions :
)4()3( ,,'',' ffff
.
b- Conjecturer une formule donnant la fonction
)(n
f
.
c- Démontrer cette formule à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
4. Binôme de Newton
Exercice 4:
a- Rappeler la formule du binôme de Newton
b- Démontrer cette formule à l’aide d’un raisonnement par récurrence