7 Les objets de la géométrie

Maths 6e
7
7.1
7. Les objets de la géométrie
2012-2013
Les objets de la géométrie
Point
Définition : Le point est le plus petit objet de la géométrie. Un point n’a pas de mesure.
Sur une figure on représente le plus souvent un point par une croix ou un tiret lorsqu’il
se trouve sur une ligne.
Pour nommer un point on utilise des lettres majuscules (capitales d’imprimerie).
B
B!
A
P
M
7.2
Ligne et ligne droite : segment
Une ligne est un ensemble de points "qui se suivent, très proches les uns des autres" : on
peut tracer une ligne avec un crayon sans lever la mine.
ligne courbe
ligne brisée
Définition : Une ligne droite ou segment est la ligne la plus courte qui joint deux points.
Ces deux points s’appellent les extrémités du segment.
I
F
H
G
E
segment [AB]
ligne brisée EF GHI
La ligne brisée EF GHI est constituée des segments [EF ], [F G], [GH] et [HI]. C’est une
ligne ouverte. Si on trace le segment [IE] la ligne est alors fermée.
Notation : Un segment se note avec des crochets : le segment qui joint les points A et B
est noté [AB] (ou [BA], l’ordre n’ayant pas d’importance).
Remarque : Attention, AB désigne la longueur du segment [AB], c’est-à-dire la distance
du point A au point B. La distance AB est un nombre qui mesure le segment [AB].
La distance AB est le nombre de fois que l’on peut mettre l’unité de mesure dans le
segment [AB].
L’ordre des points n’a pas d’importance : AB = BA.
F.Bonomi
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prog 2005
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7.3
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2012-2013
Droite, demi-droite
Définition : Si on prolonge un segment par autre segment (ayant au moins deux points
communs avec le précédent) on obtient un nouveau segment plus long. En répétant ce
prolongement, aux deux extrémités, et à l’infini, on obtient une droite.
Si on prolonge ainsi un segment d’un seul côté, on obtient une demi-droite ; le point se
trouvant à l’autre extrémité s’appelle l’origine de la demi-droite.
Une droite ou une demi-droite sont inifinies : elles n’ont pas de longueur et ne peuvent
pas être mesurées (on peut cependant dire que la longueur d’une droite une d’une demidroite est inifinie).
Définitions :
– Lorsqu’un point se trouve sur une droite on dit qu’il appartient à cette droite. Au
contraire, lorsqu’un point n’est pas sur une droite il n’appartient pas à cette droite.
– Lorsque trois points appartiennent à une même droite, on dit qu’ils sont alignés.
Remarque : Il est sans intérêt de parler d’alignement pour deux points seulement, puisque
par deux points il passe toujours une droite, alors que cela n’est pas vrai en général pour
trois points quelconques (qui forment un triangle lorsqu’ils ne sont pas alignés).
Notation : Pour nommer des droites ou des demi-droites on peut utiliser des points appartenant à ces droites ou demi-droites ou d’autres lettres.
y
B
(∆)
A
(d)
droite (d)
x
droite (∆) ou (AB)
M
droite (xy) ou (M y) ou (xM )
y
F
H
E
demi-droite [EF )
x
G
O
demi-droite [HG) ou [Hx)
demi-droite [Oy)
Remarque : l’ordre des lettres utilisées est sans importance pour désigner une droite ;
au contraire, pour désigner une demi-droite la première lettre est toujours le point origine
de la demi-droite.
7.4
Milieu d’un segment
Définition : Le milieu d’un segment est le point du segment qui est équidistant de ses
extrémités.
M
B
AM = M B
A
F.Bonomi
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Sur une figure, pour indiquer que deux segments ont la même longueur on peut utiliser
le codage qui consiste à placer des signes identiques sur les deux segments ce qui suggère
l’égalité des longueurs.
Pour indiquer qu’un point est le milieu d’un segment on utilise le codage pour montrer que
le point est équidistant des extrémités du segment (sur la figure ci-dessus : AM = MB).
Remarques :
1. Pour qu’un point soit le milieu d’un segment il faut qu’à la fois il appartienne au
segment et qu’il soit équidistant de ses extrémités.
2. On ne peut pas utiliser le mot centre pour désigner le milieu d’un segment (ce mot est
réservé au cercle ou à certaines figures particulières en géométrie).
7.5
Cercle
Définition : Un cercle est une ligne fermée dont tous les points sont située à la même
distance d’un point fixe appelé centre du cercle ; cette distance est appelée rayon du cercle.
Pour tracer un cercle il faut connaître son centre et son rayon.
Un cercle est une ligne fermée finie qui peut donc être mesurée : la longueur d’un cercle
s’appelle le périmètre du cercle.
Théorème : Si la distance d’un point M au centre O d’un cercle (C) est égale au rayon r
de ce cercle, alors le point M appartient au cercle (C).
(C)
D
(C)
M
B
r
O
O
A
E
Définitions :
• Le segment qui joint deux points appartenant à un même cercle s’appelle une corde
du cercle ;
• Dans un cercle, une corde qui passe par le centre du cercle s’appelle un diamètre du
cercle ;
• Une portion de cercle qui joint les extrémités d’une corde s’appelle un arc de cercle.
Propriétés :
• Le diamètre d’un cercle est toujours plus grand que toute autre corde de ce cercle ;
• Un cercle possède une infinité de diamètres de longueur égale au double du rayon du
cercle et qui sont tous concourant au centre du cercle ;
• Chaque corde (ou diamètre) détermine deux arcs de cercles : l’un décrit un angle inférieur (ou égal) à 180o , l’autre un angle supérieur (ou égal) à 180o ;
lorsque les deux angles sont égaux à 180o , la corde qui les détermine est un diamètre
du cercle et les deux arcs de cercle sont des demi-cercles.
F.Bonomi
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Exemple : Sur la figure ci-dessus les points A et B déterminent deux arcs de cercles de
longueurs différentes : l’arc de cercle joignant A à B et qui ne contient ni D, ni E et l’arc
de cercle joignant A à B qui contient D et E cet arc est plus long que le précédent ; les
deux arcs de cercle réunis forment le cercle complet.
Les points D et E déterminent deux arcs de cercle de même longueur qui sont des demicercles ; [DE] est un diamètre du cercle.
7.6
Les polygones
Définition : Un polygone est une ligne brisée fermée constituée d’un nombre fini de segments. Ces segments s’appellent les côtés du polygone et les points aux extrémités des
segments s’appellent les sommets du polygone.
Exemples :
A
B
E
ABCDE est un polygone à cinq côtés.
D
On dit que le polygone ABCDE est convexe, car tout segment
joignant deux de ses points est situé à l’intérieur du polygone.
C
I
IJKL est un polygone à quatre côtés.
Le polygone IJKL n’est pas convexe, on dit qu’il est concave
(le segment [IK] est situé à l’extérieur du polygone).
L
J
K
P
P QRS est un polygone à quatre côtés.
R
Q
On dit que le polygone P QRS est croisé.
S
P
Attention l’ordre des points est important : le polygone P QSR est différent
du polygone P QRS.
P
R
Q
R
Q
S
S
Noms des polygones usuels en fonction du nombre de côtés :
Nombre de côtés
3
4
5
6
7
F.Bonomi
Nom
triangle
quadrilatère
pentagone
hexagone
heptagone
Nombre de côtés
Nom
8
octogone
9
ennéagone
10
décagone
11
hendécagone
12
dodécagone
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