7 Les objets de la géométrie

Maths 6e7. Les objets de la géométrie 2012-2013
7Lesobjetsdelagéométrie
7.1 Point
Définition :Lepointestlepluspetitobjetdelagéométrie.Unpointn’apas de mesure.
Sur une figure on représente le plus souvent un point par une croix ou un tiret lorsqu’il
se trouve sur une ligne.
Pour nommer un point on utilise des lettres majuscules (capitales d’imprimerie).
A
BB!
M
P
7.2 Ligne et ligne droite : segment
Une ligne est un ensemble de points "qui se suivent, très proches les uns des autres" : on
peut tracer une ligne avec un crayon sans lever la mine.
ligne courbe ligne brisée
Définition :Unelignedroiteousegment est la ligne la plus courte qui joint deux points.
Ces deux points s’appellent les extrémités du segment.
segment [AB]ligne brisée EFGHI
E
F
G
H
I
La ligne brisée EFGHI est constituée des segments [EF], [FG], [GH]et[HI]. C’est une
ligne ouverte.Siontracelesegment[IE]laligneestalorsfermée.
Notation :Unsegmentsenoteavecdescrochets:lesegmentquijointlespointsAet B
est noté [AB](ou[BA], l’ordre n’ayant pas d’importance).
Remarque :Attention,AB désigne la longueur du segment [AB], c’est-à-dire la distance
du point Aau point B.LadistanceAB est un nombre qui mesure le segment [AB].
La distance AB est le nombre de fois que l’on peut mettre l’unité de mesure dans le
segment [AB].
L’ordre des points n’a pas d’importance : AB =BA.
F.Bonomi – 14/32 – prog 2005

Maths 6e7. Les objets de la géométrie 2012-2013
7.3 Droite, demi-droite
Définition :Sionprolongeunsegmentparautresegment(ayantaumoinsdeux points
communs avec le précédent) on obtient un nouveau segment pluslong.Enrépétantce
prolongement, aux deux extrémités, et à l’infini, on obtient une droite.
Si on prolonge ainsi un segment d’un seul côté,onobtientunedemi-droite ;lepointse
trouvant à l’autre extrémité s’appelle l’origine de la demi-droite.
Une droite ou une demi-droite sont inifinies :ellesn’ontpasdelongueuretnepeuvent
pas être mesurées (on peut cependant dire que la longueur d’une droite une d’une demi-
droite est inifinie).
Définitions :
–Lorsqu’unpointsetrouvesurunedroiteonditqu’ilappartient àcettedroite.Au
contraire, lorsqu’un point n’est pas sur une droite il n’appartient pas à cette droite.
–Lorsquetroispointsappartiennentàunemêmedroite,onditqu’ilssontalignés.
Remarque :Ilestsansintérêtdeparlerd’alignementpourdeuxpointsseulement, puisque
par deux points il passe toujours une droite, alors que cela n’est pas vrai en général pour
trois points quelconques (qui forment un triangle lorsqu’ils ne sont pas alignés).
Notation :Pournommerdesdroitesoudesdemi-droitesonpeututiliserdespointsap-
partenant à ces droites ou demi-droites ou d’autres lettres.
(d)
droite (d)
A
B(∆)
droite (∆) ou (AB)
M
x
y
droite (xy)ou(My)ou(xM )
E
F
demi-droite [EF)
G
H
x
demi-droite [HG)ou[Hx)
O
y
demi-droite [Oy)
Remarque :l’ordredeslettresutiliséesestsansimportancepourdésigner une droite ;
au contraire, pour désigner une demi-droite la première lettre est toujours le point origine
de la demi-droite.
7.4 Milieu d’un segment
Définition :Lemilieud’unsegmentestle point du segment qui est équidistant de ses
extrémités.
A
B
MAM =MB
F.Bonomi – 15/32 – prog 2005

Maths 6e7. Les objets de la géométrie 2012-2013
Sur une figure, pour indiquer que deux segments ont la même longueur on peut utiliser
le codage qui consiste à placer des signes identiques sur les deux segments ce qui suggère
l’égalité des longueurs.
Pour indiquer qu’un point est le milieu d’un segment on utilise le codage pour montrer que
le point est équidistant des extrémités du segment (sur la figure ci-dessus : AM =MB).
Remarques :
1. Pour qu’un point soit le milieu d’un segment il faut qu’à la fois il appartienne au
segment et qu’il soit équidistant de ses extrémités.
2. On ne peut pas utiliser le mot centre pour désigner le milieu d’un segment (ce mot est
réservé au cercle ou à certaines figures particulières en géométrie).
7.5 Cercle
Définition :Uncercleestuneligneferméedonttouslespointssontsituée à la même
distance d’un point fixe appelé centre du cercle ;cettedistanceestappeléerayon du cercle.
Pour tracer un cercle il faut connaître son centre et son rayon.
Un cercle est une ligne fermée finie qui peut donc être mesurée :lalongueurd’uncercle
s’appelle le périmètre du cercle.
Théorème :Siladistanced’unpointMau centre Od’un cercle (C)estégaleaurayonr
de ce cercle, alors le point Mappartient au cercle (C).
(C)
O
r
M
(C)
O
A
B
D
E
Définitions :
•Le segment qui joint deux points appartenant à un même cercle s’appelle une corde
du cercle ;
•Dans un cercle, une corde qui passe par le centre du cercle s’appelle un diamètre du
cercle ;
•Une portion de cercle qui joint les extrémités d’une corde s’appelle un arc de cercle.
Propriétés :
•Le diamètre d’un cercle est toujours plus grand que toute autre corde de ce cercle;
•Un cercle possède une infinité de diamètres de longueur égale au double du rayon du
cercle et qui sont tous concourant au centre du cercle ;
•Chaque corde (ou diamètre) détermine deux arcs de cercles : l’un décrit un angle infé-
rieur (ou égal) à 180o,l’autreunanglesupérieur(ouégal)à180
o;
lorsque les deux angles sont égaux à 180o,lacordequilesdétermineestundiamètre
du cercle et les deux arcs de cercle sont des demi-cercles.
F.Bonomi – 16/32 – prog 2005

Maths 6e7. Les objets de la géométrie 2012-2013
Exemple :Surlafigureci-dessuslespointsAet Bdéterminent deux arcs de cercles de
longueurs différentes : l’arc de cercle joignant AàBet qui ne contient ni D,niEet l’arc
de cercle joignant AàBqui contient Det Ecet arc est plus long que le précédent ; les
deux arcs de cercle réunis forment le cercle complet.
Les points Det Edéterminent deux arcs de cercle de même longueur qui sont des demi-
cercles ;[DE]estundiamètreducercle.
7.6 Les polygones
Définition : Un polygone est une ligne brisée fermée constituée d’un nombre fini de seg-
ments. Ces segments s’appellent les côtés du polygone et les points aux extrémités des
segments s’appellent les sommets du polygone.
Exemples :
A
B
C
D
EABCDE est un polygone à cinq côtés.
On dit que le polygone ABCDE est convexe,cartoutsegment
joignant deux de ses points est situé à l’intérieur du polygone.
IJKL est un polygone à quatre côtés.
Le polygone IJKL n’est pas convexe, on dit qu’il est concave
(le segment [IK]estsituéàl’extérieurdupolygone).
I
J
K
L
P
Q
R
S
PQRS est un polygone à quatre côtés.
On dit que le polygone PQRS est croisé.
Attention l’ordre des points est impor-
tant : le polygone PQSR est différent
du polygone PQRS.
P
Q
R
S
P
Q
R
S
Noms des polygones usuels en fonction du nombre de côtés :
Nombre de côtés Nom Nombre de côtés Nom
3triangle 8octogone
4quadrilatère 9ennéagone
5pentagone 10 décagone
6hexagone 11 hendécagone
7heptagone 12 dodécagone
F.Bonomi – 17/32 – prog 2005