Loi de Poisson - S. Tummarello

Loi de Poisson
Capacités attendues
X Représenter graphiquement la loi de Poisson.
X Calculer une probabilité dans le cadre de la loi de Poisson à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel.
X Interpréter l’espérance et l’écart type dans le cadre d’un grand nombre de répétitions.
X Déterminer le paramètre de la loi de Poisson approximant une loi binomiale donnée.
Extrait du programme : on s’intéresse au nombre de réalisations observées, pour un intervalle de temps de
longueur donnée, lorsque le temps d’attente entre deux réalisations est fourni par une loi exponentielle.
• Les réalisations concernent des événements « rares » (au sens où l’on néglige la probabilité que deux
réalisations se produisent en même temps) : pannes de machines, communications téléphoniques, arrivées
de clients à un guichet, apparition d’étoiles filantes, etc.
• On suppose que les temps d’attente entre deux réalisations sont des variables aléatoires indépendantes,
qui suivent toutes une loi exponentielle de même paramètre λ.
λ
P( X > t) = e−λt
t
On peut ainsi calculer que la probabilité d’attendre plus d’un temps t vaut e−λt : cette probabilité diminue
donc avec t.
• On peut également voir que le temps d’attente moyen entre deux réalisations vaut
1
.
λ
• Si le temps d’attente moyen vaut par exemple 10 minutes, le paramètre λ = 0, 1 peut être interprété
comme le nombre moyen de réalisations par minute .
λ est ainsi la cadence à laquelle les réalisations se produisent.
• On démontre que sous les hypothèses précédentes, le nombre de réalisations observées durant un temps
t suit une loi de Poisson de paramètre λt.
Définition (non exigible)
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si pour tout entier k > 0 :
P ( X = k) = e− λ ·
λk
.
k!
On pourra comparer avec le développement limité
ex = 1 + x +
TS Opticien Lunetier – 2016 / 2017
x3
xn
x2
+
+···+
+ xn ε( x)où lim ε( x) = 0.
x →0
2!
3!
n!
1
Lycée Fresnel - Paris
Calcul instrumenté
X suit la loi de Poisson paramètre λ. Avec la calculatrice,
• on obtient la valeur de P( X = k) :
• on obtient la valeur de P( X 6 k) :
Théorème
Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors son espérance et sa variance valent
et
E(X ) = λ
V (X ) = λ
Théorème
Si n > 30, p 6 0, 1 et np 6 15, la loi binomiale de paramètres n et p peut être approchée par
la loi de Poisson de paramètre λ = np.
Les histogrammes ci-dessous permettent de comparer la loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0, 1, la loi
de Poisson de paramètre λ = np = 6 et leur différence.
15%
Loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0, 1
10%
5%
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
15%
Loi de Poisson de paramètre λ = 6
10%
5%
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
18
20
22
24
26
28
4%
Différence
2%
2%
2
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4
6
8
10
12
14
2
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Exercices
Exercice 1
Une entreprise effectue des contrôles pour détecter si un produit satisfait aux normes prévues. Le produit
est conditionné en boîtes. Les contrôles montrent que la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard dans la
production soit défectueuse est égale à 0, 006.
Soit n un entier naturel. On note X la variable aléatoire qui à chaque lot de n boîtes du produit tirées au hasard
et avec remise dans la production associe le nombre de boîtes défectueuses dans ce lot.
1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale. Donner l’espérance mathématique de X en fonction de n.
2. Déterminer, en fonction de n, la probabilité qu’il n’y ait aucune boîte défectueuse dans le lot.
3. On admet que l’on peut approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire X par une loi de Poisson.
(a) Déterminer le paramètre de la loi de Poisson.
(b) On désigne par X1 une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre X, où X est la valeur
obtenue au a.. En utilisant cette loi de Poisson et la table du formulaire calculer la probabilité qu’il
y ait au plus deux boîtes défectueuses dans le lot.
Donner le résultat approché arrondi à 10−2 .
Exercice 2
Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Des appareils sont conditionnés par lots de 100 pour
l’expédition aux distributeurs de pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de 100 appareils dans
la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement
à un tirage avec remise de 100 appareils.
On considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l’appareil soit défectueux est 0, 05.
On considère la variable aléatoire X1 qui, à tout prélèvement de 100 appareils, associe le nombre d’appareils
défectueux.
1.
(a) Justifier que la variable aléatoire X1 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b) Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire X1 .
2. On suppose que l’on peut approcher la loi de X1 par une loi de Poisson de paramètre λ.
(a) On choisit λ = 5 ; justifier ce choix.
(b) En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux appareils défectueux
dans un lot.
Exercice 3
Une entreprise fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis.
On prélève au hasard n verres semi-finis dans un stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu’un
verre semi-fini prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est égale à 0, 016. Le stock est suffisamment
important pour assimiler un prélèvement de n verres semi-finis à un tirage avec remise de n verres.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de n verres semi-finis dans ce stock, associe le
nombre de verres semi-finis défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
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2. Dans cette question n = 250.
Calculer l’espérance mathématique E( X ). Interpréter le résultat.
Calculer la probabilité qu’aucun verre ne soit défectueux.
En déduire la probabilité qu’au moins un verre soit défectueux.
On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le
paramètre λ de cette loi de Poisson.
(e) On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre obtenu au d. Calculer
P (Y > 1 ) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Exercice 4
Une compagnie a un contrat d’entretien pour 300 ascenseurs. On admet que, chaque semaine, la probabilité de
1
. On suppose l’indépendance entre les pannes d’un même ascenseur ainsi que
panne d’un ascenseur est de 75
de deux ascenseurs différents. Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du
parc complet des ascenseurs.
1.
1
.
75
près, la probabilité pour que lors d’une semaine il y ait plus de 3 pannes.
(a) Indiquer pourquoi X suit une loi binomiale de paramètres n = 300 et p =
(b) Calculer, à 10−2
2. On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson, de paramètre m. On désigne par Y
une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.
(a) Indiquer pourquoi m est égal à 4.
(b) En utilisant la variable Y, calculer une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité pour que la
compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine.
Exercice 5
On s’intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d’une grande entreprise, provenant de clients dispersés sur le réseau
Internet. La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d’engendrer des problèmes de surcharge du serveur.
On s’intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au cours de certaines durées jugées critiques.
On désigne par τ un nombre réel strictement positif. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeurs
le nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée τ (exprimée en secondes).
La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ = 500τ.
1. Dans cette question, on s’intéresse au cas où τ = 0, 01.
(a) Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au cours d’une durée de 0,01 s.
(b) En expliquant votre démarche, déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que p ( X > n0 ) < 0, 05.
2. Dans cette question, on s’intéresse au cas où τ = 0, 2.
On admet que la loi de Poisson de paramètre λ = 100 peut être approchée par la loi normale de moyenne
µ = 100 et d’écart type σ = 10.
En utilisant cette approximation, calculer :
(a) la probabilité P( X > 120) ;
(b) une valeur approchée du nombre réel positif a tel que P(100 − a 6 X 6 100 + a) = 0, 95.
Exercice 6
Par une belle nuit d’été, on observe en moyenne douze étoiles filantes par heure. Quelle est la probabilité d’en
voir au moins une dans le prochain quart d’heure ?
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