Première S2 2007/2008 Exercices supplémentaires de mécanique Exercice 1 : Puissance moyenne On monte une charge à 4,0m du sol en 2,0s en exerçant une force constante. La puissance moyenne de cette force est 600W. 1) Déterminer le travail de la force pendant la montée. 2) Déterminer la valeur de la force exercée sur la charge. Exercice 2 : caravane tractée Une voiture monte une côte rectiligne de pente 6,00 % (le centre d'inertie de la voiture s’élève d’une hauteur de 6,0 m lorsqu'elle parcourt une distance de 100 m sur la piste) et de longueur L = 200 m à la vitesse constante v = 70,0km.h-1. Cette voiture tracte une caravane de masse m = 500 kg. Dans cet exercice la caravane sera considérée comme un solide en translation. g = 9,80 N.kg-1. Les forces de frottement s'opposant au mouvement de la caravane, dues essentiellement à la résistance de l'air, sont équivalentes à une force unique et constante f de valeur f = 1, 00 ⋅ 103 N . 1)Faire le bilan des forces extérieures s'appliquant à la caravane. Représenter ces forces sur un schéma. 2)Quelle est la résultante de ces forces ? Justifiez. 3)Calculer le travail du poids P , le travail de la réaction normale R N , et le travail de la force de frottement f pour un déplacement de longueur L. 4)En déduire le travail de la force de traction T exercée par la voiture sur la caravane pour un déplacement de longueur L. 5)Quelle est la puissance moyenne de cette force ? 6)Arrivée en haut de la côte, la voiture s’arrête et le conducteur décroche la caravane, malheureusement, celle-ci repart en arrière, le long de la pente. En considérant que la caravane part d’en haut avec une vitesse initiale nulle et que les frottements de l’air sont négligeables pour simplifier, calculer la vitesse à laquelle la caravane arrive en bas de la pente de longueur L. Que peut dire au niveau des transferts d’énergie au niveau de la caravane dans ce cas ? 7)Même question, mais cette fois on prend en compte les frottements f ' lors de la descente ; on peut considérer que ceux-ci ont pour valeur f ' = 0, 20 ⋅ 103 N . Exercice 3 : mouvement d’un pendule Une bille de masse m = 100 g est suspendue à un point O par un fil inextensible de longueur ℓ = 1m et de masse négligeable. Le pendule ainsi constitué peut effectuer des oscillations de part et d’autre de sa position d’équilibre. On l’écarte de la verticale d’un angle θ 0 = 30° et on l’abandonne sans vitesse initiale. On suppose les frottements négligeables et on prendra g = 9,80 N .kg − 1 h 1) Quelle est la position d’équilibre θ éq du pendule ? Justifiez. O θ o = 30° 2) Représenter les forces qui s’exercent sur la bille lorsque le fil fait un angle θ 0 avec la verticale. 3) Ces forces se compensent-elles ? Que peut-on en conclure sur le mouvement de la bille une fois lâchée ? 4) Exprimer littéralement le travail de chacune des forces au cours du mouvement (on ne cherchera pas à faire l’application numérique) 5) Justifiez la conservation de la somme Ec + Epp pour la bille du pendule. Quelle est la transformation d’énergie qui s’effectue au cours du mouvement ? 6) En déduire la vitesse de la bille lorsqu’elle repasse par sa position d’équilibre (écriture littérale puis application numérique). 7) La masse de la bille intervient-elle dans l’expression de la vitesse ? Conclure sur la période du mouvement ? Première S2 2007/2008 Correction Exercice 1 : Puissance moyenne On monte une charge à 4,0m du sol en 2,0s en exerçant une force constante. La puissance moyenne de cette force est 600W. 1) Déterminer le travail de la force pendant la montée. WAB ( F ) = PAB × ∆ t = 600 × 2, 0 = 1200 J 2) Déterminer la valeur de la force exercée sur la charge. WAB ( F ) = F ⋅ AB = F × AB WAB ( F ) 1200 ⇒ F= = = 300 N AB 4, 0 Exercice 2 : caravane tractée Une voiture monte une côte rectiligne de pente 6,0 % (le centre d'inertie de la caravane monte de 6,00 m lorsqu'il parcourt 100 m) et de longueur L = 200 m à la vitesse constante v = 70km.h-1. Cette voiture tracte une caravane de masse m = 500 kg. Dans cet exercice la caravane sera considérée comme un solide en translation. g = 9,80 N.kg-1. Les forces de frottement s'opposant au mouvement de la caravane, dues essentiellement à la résistance de l'air, sont équivalentes à une force unique et constante f de valeur f = 1, 00 ⋅ 103 N . 1) Faire le bilan des forces extérieures s'appliquant à la caravane. Représenter ces forces sur un schéma. P : le poids de la caravane R N : la réaction normale de la route f : la force de frottement T : la force de traction exercée par la voiture sur la caravane. 2) Quelle est la résultante de ces forces ? La caravane est en mouvement de translation rectiligne uniforme, l’application du principe d’inertie (1ère loi de Newton) indique que la résultante des forces extérieures (c’est à dire la somme vectorielle des forces extérieures) est nulle : ∑ Fext = P + RN + f + T = 0 3) Calculer le travail du poids P , le travail de la réaction normale R N , et le travail de la force de frottement f pour un déplacement de longueur L. WAB ( P ) = P. AB = m.g .( z A − z B ) = − m.g ( zB − z A ) = − mgh application numérique: WL ( P ) = − 500 × 9,80 × 12, 0 WL ( P) = − 58,8kJ < 0 WL ( RN ) = RN .L = 0 car R N ⊥ L ( ou WL ( RN ) = RN ⋅ L ⋅ cos 90° = 0 ) WL ( f ) = f .L = − f .L car T et L sont colinéaires et de sens opposés (ou WL ( f ) = f .L = f ⋅ L ⋅ cos(180° ) = − f ⋅ L ) application numérique: WL ( f ) = − 1, 00 ⋅ 103 × 200 WL ( f ) = − 200kJ Première S2 2007/2008 4) En déduire le travail de la force de traction T exercée par la voiture sur la caravane pour un déplacement de longueur L. RN + f + T = 0 , alors P.L + R N .L + f .L + T .L =0, d’où WL ( P) + WL ( RN ) + WL ( f ) + Puisque P + WL (T ) =0, en remplaçant par les valeurs trouvées juste avant, on peut écrire que : -58,8 + 0 + (-200) + WL (T ) =0 d’où WL (T ) =259kJ (3 chiffres significatifs) 5) Quelle est la puissance moyenne de cette force ? W (T ) T × L L P (T ) = = = T × v Il faut donc calculer la valeur de T ou la valeur de ∆ t : ∆t ∆t 70 L 200 v = 70km.h − 1 = = 19, 4m.s − 1 ⇒ ∆ t = = = 10,3s 3, 6 v 19, 4 W (T ) 259.103 L On peut alors finir le calcul : P (T ) = = = 2,53 ⋅ 104 W = 25,3kW ∆t 10,3 6) Arrivée en haut de la côte, la voiture s’arrête et le conducteur décroche la caravane, malheureusement, celle-ci repart en arrière, le long de la pente. En considérant que la caravane part d’en haut avec une vitesse initiale nulle et que les frottements de l’air sont négligeables, calculer la vitesse à laquelle la caravane arrive en bas de la pente de longueur L. Que peut dire au niveau des transferts d’énergie au niveau de la caravane ? Si les frottements sont négligeables alors il y aura transfert d’énergie potentielle acquise par la caravane au point B en énergie cinétique de la caravane au point A. Les deux variations seront égales en valeurs absolues mais opposées en valeur. D’où : ∆ EC = − ∆ EPP ⇒ 1 2 1 2 mv A − mvB = − (mgz A − mgz B ) = mg ( z B − z A ) 2 2 1 2 mv A = mg ( z B − z A ) ⇔ vA2 = 2 g ( zB − z A ) ⇒ vA = 2 g ( z B − z A ) 2 Application numérique : v A = 2 × 9,80 × 12, 0 = 15,3m.s − 1 = 55, 2km.h − 1 f 7) Même question, mais cette fois on prend en compte les frottements ' lors de la descente ; on peut considérer que ceux-ci ont pour valeur f ' = 0, 20 ⋅ 103 N . De plus, vB=0, d’où Deux raisonnement sont possibles : • Si les frottements ne sont pas négligeables alors il y aura transfert d’énergie potentielle acquise par la caravane au point B en énergie cinétique de la caravane au point A et énergie thermique perdue pour la caravane par transfert thermique avec l’air. On pourra alors écrire : 1 1 ∆ EC − WL ' ( f ') = − ∆ EPP ⇒ mvA2 − mvB2 = − ( mgz A − mgz B ) + WL ' ( f ') = mg ( zB − z A ) − f '⋅ L ' 2 2 Avec WL ' ( f ') = − f '.L ' car f ' et L ' sont toujours opposés, ils correspondent respectivement à − f et -L De plus vB=0 d’où : 1 2 2 f '⋅ L ' mv A = mg ( z B − z A ) − f '⋅ L ' ⇔ vA2 = 2 g ( z B − z A ) − ⇒ vA = 2 m Application numérique : v A = 2 × 9,80 × 12 − 2 g ( zB − z A ) − 2 f '⋅ L ' m 2 × 0, 20 ⋅ 103 × 200 = 8, 7 m.s − 1 = 31km.h − 1 500 • On applique le théorème de l’énergie cinétique entre B et A. C’est plus classique comme démarche et cela revient au même au niveau des calculs. Première S2 2007/2008 Exercice 3 : mouvement d’un pendule Une bille de masse m = 100 g est suspendue à un point O par un fil inextensible de longueur l=1m et de masse négligeable. Le pendule ainsi constitué peut effectuer des oscillations de part et d’autre de sa position d’équilibre. On l’écarte de la verticale d’un angle θ 0 = 30° et on l’abandonne sans vitesse initiale. On suppose les frottements négligeables et on prendra g = 9,8 N .kg − 1 1) Quelle est la position d’équilibre θ éq du pendule ? Justifiez. La position d ‘équilibre est la position pour laquelle les T forces se compensent : θ éq = 0° 2) Représenter les forces qui s’exercent sur la bille lorsque le fil fait un angle θ 0 avec la verticale. P T h PSon Ces deux forces ne se compensent pas. La bille ne peut pas se maintenir dans cette position. 3) Ces forces se compensent-elles ? Que peut-on en conclure sur le mouvement ? mouvement n’est pas rectiligne uniforme. Le mouvement est circulaire et accéléré dans la descente. 4) Exprimer littéralement le travail de chacune des forces au cours du mouvement (on ne cherchera pas à faire l’application numérique) WAB ( P ) = + mgh = mg ℓ× (1 − cos 30° ) La tension du fil est toujours perpendiculaire au mouvement, son travail est donc nul. 5) Justifiez la conservation de la somme Ec + Epp pour la bille du pendule. Quelle est la transformation d’énergie qui s’effectue au cours du mouvement ? Ec + Epp = constante , on peut donc dire que l’énergie mécanique du système se conserve lors du mouvement car il n’y a pas de frottements ; l’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle et vis-versa. 6) En déduire la vitesse de la bille lorsqu’elle repasse par sa position d’équilibre (écriture littérale puis application numérique). ∆ Ec = − ∆ Ep ⇒ 1 mv² − 0 = mgh = 0,131J 2 h = l − l cos α = l × (1 − cos α ) = 0,134m 1 On en déduit mv² = mgl × (1 − cos α ) 2 Donc v = 2gl × (1 − cos α ) = 2 × 9,8 × 1(1 − cos 30° ) = 2, 63 = 1, 62m.s − 1 7) La masse de la bille intervient-elle dans l’expression de la vitesse ? Conclure sur la période du mouvement ? La vitesse ne dépend pas de la masse de la bille. La période est INDEPENDANTE de la masse de la bille.