MAT210 Logique et mathématiques discrètes : Cours 1

Chapitre 3
Cardinalité des ensembles et algèbre de
Boole
Ce document contient des définitions qui seront présentées en classe, plusieurs théorèmes dont
nous ferons la démonstration et quelques exercices qui seront faits en équipe lors de la troisième
semaine de cours.
3.1 Cardinalité
Définition 3.1 On dit que les ensembles Aet Bont la même cardinalité si et seulement si il existe
une bijection (c’est-à-dire une fonction injective et surjective) entre Aet B. On note cela ainsi :
|A| = |B|
Exercice 3.1 Montrez que les ensembles finis A={rouge, vert, bleu} et B={4, 5, 6} ont la même
cardinalité en décrivant explicitement une fonction bijective f:A−→ B.
Remarquons que deux ensembles finis ont la même cardinalité si et seulement si ils ont exac-
tement le même nombre d’éléments. Un ensemble fini ne peut donc pas être de même cardinalité
qu’un de ses sous-ensembles stricts. Or, ceci n’est pas vrai pour les ensembles infinis ! Cela peut
d’ailleurs être assez troublant, comme l’illustrel’exercice suivant.
1

2 CHAPITRE 3. CARDINALITÉ DES ENSEMBLES ET ALGÈBRE DE BOOLE
Exercice 3.2 Montrez que les ensembles infinis A=Net B={n∈N|nest impair } ont la même
cardinalité en décrivant explicitement une fonction bijective f:A−→ B.
Définition 3.2 La cardinalité de l’ensemble des nombres naturels est dénotée ℵ
ℵ
ℵ0(aleph-zéro).
|N| = ℵ0
Définition 3.3 Un ensemble infini Aest dit dénombrable si Aet Nont la même cardinalité, c’est-
à-dire s’il existe une bijection entre Aet N. Sinon, l’ensemble infini Aest dit non dénombrable.
Bien que les termes « ensemble dénombrable » soient souvent réservés au ensembles infinis,
certains auteurs, dont Rosen, qualifient aussi tout ensemble fini de dénombrable (countable en
anglais). Nous adopterons aussi cette convention. Ainsi, un ensemble dénombrable désignera
• soit un ensemble fini,
• soit un ensemble infini pour lequel il existe une bijection avec l’ensemble des nombres
naturels.
Pour montrer qu’un ensemble infini Aest dénombrable, on doit fournir une bijection entre Aet
N, ce qui revient en fait à trouver une façon d’énumérer sans omission ni répétition les éléments de A.
Si on peut fournir un algorithme qui produira une liste a0,a1,a2,a3,... dans laquelle chaque élément
de Aapparaîtra une et une seule fois (après un nombre fini d’étapes), alors Aest dénombrable. La
bijection avec Nsera en effet évidente :
0↔a0
1↔a1
2↔a2
.
.
.
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

3.1. CARDINALITÉ 3
Exercice 3.3 Montrez que l’ensemble des mots (suites finies de lettres) sur l’alphabet {a,b} est
dénombrable.
Exercice 3.4 Montrez que l’ensemble Zest de cardinalité ℵ0.
Exercice 3.5 Montrez que l’ensemble N×Nest dénombrable.
Exercice 3.6 Montrez que l’ensemble B={x∈Q|x>0} est dénombrable.
Exercice 3.7 Vrai ou faux. Si B={x∈N|x>10}, alors |B| = |N|. Justifiez.
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

4 CHAPITRE 3. CARDINALITÉ DES ENSEMBLES ET ALGÈBRE DE BOOLE
Théorème 3.1 Si les ensembles Aet Bsont dénombrables, alors leur union A∪Bl’est aussi.
Théorème 3.2 Soit Aet Bdes ensembles tels que A⊆B. Si l’ensemble Best dénombrable, alors A
est dénombrable.
Théorème 3.3 Soit Aet Bdes ensembles tels que A⊆B. Si l’ensemble Aest non dénombrable,
alors Best non dénombrable.
Exercice 3.8 Soit Lun langage de programmation quelconque. Montrez que l’ensemble Pde tous
les programmes écrits en Lest dénombrable.
Théorème 3.4 Si Aest un ensemble infini dénombrable, alors l’ensemble des sous-ensembles de
A(noté ℘(A)) est non dénombrable.
Geneviève Savard, ÉTS, 2014

3.2. ALGÈBRE DE BOOLE 5
Exercice 3.9 Montrez que l’ensemble des problèmes binaires (questions dont la réponse est oui ou
non) sur Nest non dénombrable.
Voici quelques exemples de problèmes binaires sur N.
1. Le nombre nest-il premier ou non ?
2. Le nombre nest-il pair ou impair ?
3. La racine carrée du nombre nest-elle entière ?
Nous discuterons d’une importante conséquence en informatique découlant du fait que l’en-
semble des problèmes sur Nest non dénombrable, mais que l’ensemble des programmes dans un
langage donné est dénombrable.
3.2 Algèbre de Boole
Nous entrons maintenant dans un univers où l’égalité suivante est vraie !
1+1=1
En effet, le 1 en algèbre de Boole correspond au « Vrai » logique, et l’addition, à la disjonction (OU).
¡1+1=1´⇐⇒ ³Vrai OU Vrai ≡Vrai´
Nous rencontrerons aussi des identités qui sont tout à fait valables en Algèbre de Boole, mais pas
en algèbre « habituelle », c’est-à-dire dans l’ensemble des nombres réels. Par exemple :
∀x∈B,x2=x·x=x
Définition 3.4 L’ensemble B={0,1} muni des 3 opérations addition, multiplication et complément
définies comme ci-dessous est appelé l’algèbre de Boole.
xy¯
yx+y x ·y
0 0
0 1
1 0
1 1
À chacune de ces trois opérations correspond une porte logique : porte NON, porte OU et
porte ET. Ces portes correspondent elles-mêmes à des composantes de circuits électriques comme
l’illustrent les figures 3.1 et 3.2.
On peut faire un lien direct entre les identités logiques vues au cours 1, les identités sur les
ensembles vues au cours 2 et les identités en algèbre de Boole que l’on retrouve à la page 815 du
manuel. Par exemple, les lois de De Morgan deviennent ici
x+y=¯ x·¯ yet x·y=¯ x+¯ y
Geneviève Savard, ÉTS, 2014