2nde. configurations du plan

I. Le triangle
Théorèmes des milieux :
Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC] alors
Si I est le milieu de [AB] et si la parallèle à ( BC ) menée par I
coupe (AC ) en J , alors
Remarque : ces théorèmes servent par exemple à : démontrer que deux droites sont parallèles ;
démontrer qu’un point est le milieu d’un segment ; calculer des longueurs.
Droites et points remarquables du triangle :
• Médianes et centre de gravité
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection G est appelé centre de gravité du triangle.
G est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet
correspondant : AG =
2
3
AA’ ; BG =
2
3
BB’ ; CG =
2
3
CC’ .
•
Hauteurs et orthocentre
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection H est appelé orthocentre du triangle.
•
Bissectrices et cercle inscrit
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection I est équidistant de chacun des trois côtés
du triangle : IP = IQ = IR .
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
•
Médiatrices et cercle circonscrit
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection O est équidistant de chacun des sommets
du triangle : OA = OB = OC .
O est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Remarque : les droites remarquables peuvent servir à : démontrer que trois droites sont concourantes ;
démontrer que deux droites sont perpendiculaires ; démontrer que trois points sont alignés.
CF : Configurations 2nde
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II. Le triangle rectangle
Le théorème de Pythagore et sa réciproque :
• Si ABC est un triangle rectangle en A , alors
réciproquement
• Si ABC est un triangle tel que BC
2
= BA
2
+ AC
2
, alors
Triangle rectangle et cercle : si MAB est un triangle rectangle en M , alors :
• AMB =
• M est sur le cercle de diamètre
• le milieu O de [AB] est le centre du cercle
• O étant le milieu de [AB] , OM =
réciproquement
• Si un triangle MAB possède l’une quelconque des quatre propriétés
ci-dessus , alors
CF : Configurations 2nde
Angles inscrits , angles au centre : C est un cercle de centre O
• On dit qu’un angle AMB est inscrit dans C lorsque son sommet M
est un point de C et lorsque [MA] et [MB] sont deux cordes de C
• On dit que les angles inscrits AMB et ANBinterceptent
le même arc AB
• L’angle AOB est l’ angle au centre associé à l’angle inscrit AMB
et aussi à l’angle ANB.
• Dans un cercle , un angle inscrit est égal à la moitié d’un angle au centre associé :
1
AMB AOB
2
= .
• Dans un cercle , deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux : AMB ANB = .
III. Angles

IV. Le théorème de Thalès et sa réciproque
Théorème de Thalès : si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
• le point M est sur la droite (AB) ,
• le point N est sur la droite (AC) ,
• les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles ,
alors
réciproque : ABC est un triangle , M un point de (AB) et N un point de (AC).
la place de A par rapport à M et B est la même que par rapport à N et C
cela signifie que A est soit extérieur à la fois à [BM] et à [CN]
soit à la fois entre B et M et entre C et N
• Si AM AN
AB AC
= , alors
CF : Configurations 2nde
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