Banque « Agro » A - 0709 PHYSIQUE Durée : 3 h 30 L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette épreuve Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Thème « l’information » Nous allons rechercher des informations sur les caractéristiques d’un circuit à partir de mesures expérimentales (pour la partie A qui traite d’électricité) ou de la notice d’un constructeur (pour la partie B qui traite d’un nettoyeur haute pression). Les deux parties A et B sont indépendantes. A Étude d’un circuit électrique Étude en régime sinusoïdal Un générateur sinusoïdal alimente un circuit RLC constitué d’un condensateur de capacité C 0.1µF , d’une bobine réelle d’auto-inductance L et de résistance r inconnues, placés en série avec une résistance R 480 . Le générateur est un générateur basse fréquence de résistance interne Rg 50 délivrant un signal sinusoïdal de pulsation et de f.é.m. efficace E , e t E 2 cos t . À toute grandeur réelle u t U m cos t est associée une grandeur complexe u t U m exp jt j U exp j t , j 2 1 et U U m exp j est l’amplitude complexe. L’intensité circulant dans le circuit est i t I 2 cos t . Le montage est donné ci-dessous. L R uR (t ) Rg C uC (t ) et Figure 1 A.1 Donner l’expression complexe de la tension e t ainsi que celle de i t . A.2 La tension efficace pour un signal quelconque f (t) est donnée par feff f 2 où f 2 désigne la moyenne temporelle de f 2 . Si on considère la tension u t U m cos t , montrer qu’on peut Tournez la page SVP 1/8 écrire ueff u où est un facteur de proportionnalité sans dimension et u est le module de u . Comment peut-on mesurer expérimentalement une tension efficace ? A.3 Préciser les expressions des impédances complexes de la bobine, du résistor et du condensateur. A.4 Préciser le comportement limite de ces différents composants à haute et basse fréquence. En déduire qualitativement le comportement de la tension uc t aux bornes du condensateur à haute et basse fréquences. A.5 Donner l’expression théorique de l’amplitude complexe U c associée à la tension aux bornes du condensateur en fonction des caractéristiques des composants. Mettre U c sous la forme canonique Uc A 2 A, 0 et Q en fonction des données du problème. où on exprimera 1 j 0 Q 0 A.6 En déduire la tension efficace aux bornes du condensateur U ce en fonction de , Q , 0 et E . A.7 Écrire U ce en fonction de x / 0 , Q et E . Montrer que la tension efficace U ce x passe par un extremum en xr si Q Qmin . Préciser xr et Qmin . En déduire la pulsation r de résonance. La comparer à 0 . A.8 Exprimer U ce 0 en fonction de Q et E . A.9 Tracer l’allure de U ce pour les valeurs de Q = 0,1 Q=1 et Q=10. A.10 Calculer l’impédance complexe Z du circuit. Mettre Z sous la forme Z R0 1 jQ 0 . 0 Préciser R0 en fonction de RG , R et r . A.11 A.12 Donner l’expression théorique de l’amplitude complexe I associée à l’intensité du courant traversant le circuit en fonction de R0 , , Q , 0 et E . A' En déduire que l’intensité efficace I e peut se mettre sous la forme I e 1 B2 0 0 2 . Préciser A ' et B en fonction de Q , E et R0 . Était-il nécessaire de faire une autre série de mesure pour avoir la courbe I e ? A.13 Montrer que I e présente un extremum pour r . Préciser r et I max I e r . A.14 On appelle bande passante l’intervalle de pulsation max min pour laquelle I e I max / 2 . Montrer que 0 / Q . 2/8 A.15 On donne ci-dessous les graphes de I e f et U ce f où f est la fréquence du générateur. L’échelle de gauche est celle de U ce , celle de droite est celle de I e f . Identifier, en justifiant votre choix, les courbes I e f et U ce f parmi les courbes (1) et (2). A.16 Déterminer à partir de ces courbes : la tension efficace du générateur E , la fréquence propre f 0 et le facteur de qualité Q du circuit, les limites de la bande passante et I max . Figure 2 A.17 En déduire les valeurs de r et de L . Dans les questions qui suivent, on utilise une bobine différente de la précédente caractérisée par les valeurs L' et r ' . A.18 Préciser le déphasage entre i (t ) et e t ainsi que ' le déphasage entre uc (t ) et e t . Préciser 0 ainsi que ' 0 . A.19 Comment peut-on accéder expérimentalement à la mesure de i(t) avec un oscilloscope ? On réalise l’expérience suivante sur le circuit. À l’aide d’un oscilloscope, on mesure la tension e t sur la voie X et la tension U R (t) aux bornes de la résistance R sur la voie Y. On fait varier la fréquence du générateur sinusoïdal et on constate que la voie Y passe par un maximum. A.20 Interpréter la présence de ce maximum aux bornes de R . On se place dorénavant à cette fréquence. Tournez la page SVP 3/8 On s’arrange maintenant pour mesurer sur la voie Y la tension uc t aux bornes du condensateur C en gardant e t sur la voie X. A.21 Les deux oscillogrammes suivants ont été enregistrés l’un pour la voie Y aux bornes de C , l’autre pour la voie Y aux bornes de R . Déterminer le déphasage entre la voie X et la voie Y pour chacun des oscillogrammes. Préciser, en justifiant votre choix, à quel composant correspond chacun des oscillogrammes. Oscillogramme (a) 4/8 Oscillogramme (b) A.22 En déduire les valeurs L' et r ' de la nouvelle bobine. Étude en régime transitoire On alimente désormais le circuit avec une tension continue E et l’on attend que le régime permanent soit établi. A.23 Préciser lorsque le régime permanent est atteint les valeurs de i , u L , u R et uC . Une fois le régime permanent atteint, on remplace l’alimentation par un fil. On étudie donc la décharge d’un condensateur de capacité C 0,1µF dans une bobine d’auto-inductance L et de résistance interne, r inconnues placées en série avec une résistance R variable. A.24 Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de uc (t ) et la mettre sous la forme canonique : d 2uc 0 duc 02uc 0 Q ' dt dt où on exprimera 0 et Q ' , le facteur de qualité du circuit, en fonction des données du problème. 2 Tournez la page SVP 5/8 A.25 Rappeler les relations de continuité à l’intérieur d’une bobine et d’un condensateur. En déduire les du valeurs uc (0) et c (0) . dt A.26 Comme le montre le graphe (figure 3), on se trouve en régime pseudo périodique. Montrez que ceci n’est possible que si la résistance R est inférieure à une valeur maximale que l’on explicitera en fonction de L , r et de C . A.27 Montrez que la solution physique s’écrit sous la forme uc e t Acos( t) Bsin( t) . Préciser les expressions de et en fonction de 0 et Q ' . Préciser les valeurs des constantes A et B . A.28 On donne les valeurs des deux premiers maxima pour ( t 0 ) : Tension en V Date en ms S1 S2 2,73 0,65 0,73 1,29 Donnez la valeur expérimentale de la pseudo-période T et de la pseudo-pulsation . u T On pose ln 1 . Montrer que 0 . En déduire l’expression de Q ' en fonction de . 2Q ' u2 2 On donne 1, 28 et 6 . Évaluer Q ' et 0 . A.29 A.30 À quelle condition peut–on assimiler la pseudo-période à la période propre ? Cette approximation estelle vérifiée dans le cas étudié ? Trouvez les valeurs numériques de L et Q ' . Figure 3 6/8 B La notice d’un nettoyeur haute-pression Nous allons essayer de retrouver un maximum d’informations à partir de la notice d’un constructeur : Un fabricant de nettoyeur haute pression donne les spécifications suivantes : Pression d’entrée, pe = 2 bar, Débit volumique, Dv 6 L.min 1 , Puissance électrique, Pentrée 2000W , Pression à la sortie du compresseur, ps 120 bar , Force de réaction sur la poignée-pistolet : 30 N, Diamètre du tuyau d’entrée et de sortie, d 11,3 mm du compresseur, Section amont de la buse S 2 mm 2 Section de sortie de la buse, s 1 mm 2 . B.1. Étude du compresseur : La puissance électrique sert essentiellement à l’alimentation du compresseur. La transformation est supposée adiabatique réversible. Sortie Entrée pe 2 bar ve , vitesse ue , énergie interne massique Se , section en entrée Surface de contrôle Compresseur ps 120 bar vs , vitesse u s , énergie interne massique Ss , section en sortie Nous allons faire un bilan énergétique entre deux instants t et t dt . On notera E , l’énergie à l’intérieur de la surface de contrôle. L’eau est considérée comme un fluide incompressible de masse volumique et on négligera les effets de pesanteur. Les sections Se et S s sont les mêmes. On donne Se Ss 100 mm 2 B.1.1 On définit le système fermé qui coïncide avec la surface de contrôle à l’instant t. Représenter le système fermé aux instants t et t dt . B.1.2 Préciser l’énergie du système E * (t ) du système fermé à l’instant t puis E * (t dt) à l’instant t dt en fonction de , Se , ve , ue , E , dt , S s , vs , us . B.1.3 Quelles sont les deux conséquences du régime permanent ou stationnaire. B.1.4 Préciser le travail des forces pressantes pendant dt sur le système fermé . Tournez la page SVP 7/8 B.1.5 Donner l’identité thermodynamique faisant intervenir la variation d’énergie interne dU . Que devient-elle pour un liquide incompressible ? B.1.6 On admettra que pour le fluide qui nous intéresse, l’énergie interne ne dépend que de la température. En déduire que la transformation est aussi isotherme. B.1.7 Rappeler la définition générale d’un débit volumique en fonction des vitesses et des sections. En déduire la valeur de ce débit dans le système légal, le débit massique ainsi que les vitesses à l’entrée et à la sortie, ve et vs . B.1.8 À partir de la question B.1.2, déduire l’expression de la puissance du compresseur et sa valeur. B.1.9 En déduire l’expression et la valeur du rendement du compresseur si l’on suppose que la puissance électrique ne sert qu’à alimenter le compresseur. B.2 Action sur le pistolet. Nous allons déterminer l’action du jet d’eau (en gris clair) sur le pistolet (en hachuré). Nous nous plaçons en régime permanent et la main maintient le tuyau à l’horizontal. La pression extérieure est pext 1 bar. Surface de contrôle ( ) en trait gras Pistolet Entrée p 'e S 2 mm 2 Sortie p 's s 1 mm 2 eau La surface de contrôle notée contient le fluide (en gris sombre) et la buse (zone hachurée) et on notera P , la quantité de mouvement du fluide dans la surface de contrôle. B.2.1 Rappeler la relation de Bernoulli en précisant les hypothèses. Discuter (en 3 lignes maximum) la validité de ces hypothèses dans la géométrie du problème. B.2.2 Calculer les vitesses vs et v 's , à l’entrée et à la sortie de la buse de section s . B.2.3. Préciser la pression de sortie, ps . En déduire la pression pe à l’entrée de la buse dans les hypothèses précédentes. B.2.4. Définir le système fermé aux instants t et t dt . En déduire les quantités de mouvement p t et p t dt respectivement à l’instant t et à l’instant t dt , en fonction de Dm , vs , v 's , dt et P , quantité de mouvement de la surface de contrôle. B.2.5. Faire le bilan des forces. B.2.6. En appliquant le théorème d’Euler, en déduire la force exercée par la main F , sur le tuyau pour le maintenir immobile. On négligera la pesanteur. La calculer. Conclusion. B.2.7 Comparer la charge à la sortie du compresseur et à l’entrée du jet d’eau. En déduire la perte de charge. Proposer une interprétation physique quant à l’origine de ces pertes. FIN DE L’ÉPREUVE 8/8