TC101C Analyse Harmonique et Distributions
Analyse Harmonique et Distributions
Polycopié de cours
Module TC101C
IG1A – UV TC101 – Socle Fondamental
Contact :
Valérie BURDIN
Département Image et Traitement de l’Information
valerie.burdin@telecom-bretagne.eu
Cours moodle :
http://formations.telecom-bretagne.eu/fad/course/view.php?id=23287
Fiche programme :
https://portail.telecom-
bretagne.eu/portal/pls/portal/pkg_df.programmes.SHOW_FICHE?p_id_mod_er=23561
Table des mati`eres
1 Pr´eliminaires 5
1.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Th´eor`emes d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Fonctions d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Topologie de C
|| .......................... 7
1.3.2 S´eries enti`eres et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Transformation de Laplace des fonctions 11
2.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Abscisse de sommabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Holomorphie de la transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . 13
2.2 Exemples de transform´ees de Laplace de fonctions . . . . . . . . . . . 14
2.3 Transform´ee de Laplace d’une fonction d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Transform´ee de Laplace des primitives d’une fonction . . . . . . . . . 17
2.5 Transform´ee de Laplace et translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Transform´ee de Laplace et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Inversion de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.1 Lien avec la transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Th´eorie ´el´ementaire des distributions 21
3.1 D´efinition des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 D, espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 D′, espace des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Op´erations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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