TC101C Analyse Harmonique et Distributions

Valérie BURDIN
Département Image et Traitement de l’Information
[email protected]
TC101C
Analyse Harmonique et Distributions
IG1A – UV TC101 – Socle Fondamental
Polycopié de cours
Année 2013
Responsable module : Valérie Burdin
Analyse Harmonique et Distributions
Polycopié de cours
Module TC101C
IG1A – UV TC101 – Socle Fondamental
Contact :
Valérie BURDIN
Département Image et Traitement de l’Information
[email protected]
Cours moodle :
http://formations.telecom-bretagne.eu/fad/course/view.php?id=23287
Fiche programme :
https://portail.telecombretagne.eu/portal/pls/portal/pkg_df.programmes.SHOW_FICHE?p_id_mod_er=23561
Table des matières
1 Préliminaires
1.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Théorèmes d’intégration . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctions d’une variable complexe . . . . . . .
|
1.3.1 Topologie de C
. . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Séries entières et fonctions analytiques
1.3.3 Fonctions holomorphes . . . . . . . . .
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2 Transformation de Laplace des fonctions
2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Abscisse de sommabilité . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Holomorphie de la transformée de Laplace . .
2.2 Exemples de transformées de Laplace de fonctions . .
2.3 Transformée de Laplace d’une fonction dérivée . . . .
2.4 Transformée de Laplace des primitives d’une fonction
2.5 Transformée de Laplace et translation . . . . . . . . .
2.6 Transformée de Laplace et convolution . . . . . . . .
2.7 Inversion de la transformation de Laplace . . . . . . .
2.7.1 Lien avec la transformée de Fourier . . . . . .
2.7.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . .
3 Théorie élémentaire des distributions
3.1 Définition des distributions . . . . . .
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . .
3.1.2 D, espace des fonctions test .
3.1.3 D′ , espace des distributions .
3.2 Opérations sur les distributions . . .
1
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21
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31
3.3
3.4
3.2.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . .
Topologie dans l’espace des distributions
3.3.1 Convergence dans D ′ . . . . . . .
3.3.2 Sur-ensembles de D . . . . . . . .
3.3.3 Sous-ensembles de D′ . . . . . . .
Les distributions à plusieurs dimensions .
3.4.1 Définitions et exemples . . . . . .
3.4.2 Dérivation dans D ′ (IR3 ) . . . . .
3.4.3 Application . . . . . . . . . . . .
4 La convolution
4.1 Convolution des fonctions . . . . . . . .
4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Interprétation physique . . . . . .
4.1.3 Fonctions causales . . . . . . . .
4.2 Convolution dans D′ . . . . . . . . . . .
4.2.1 Produit tensoriel . . . . . . . . .
4.2.2 Convolution de distributions . . .
4.3 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Continuité de la convolution . . .
4.3.2 Notions de densité des ensembles
4.4 Convolution en physique . . . . . . . . .
4.4.1 Propriétés de l’opérateur . . . . .
4.5 Algèbre de convolution . . . . . . . . . .
4.5.1 Equation de convolution . . . . .
4.5.2 Calcul symbolique . . . . . . . .
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5 Transformation de Fourier des fonctions
5.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Transformation de Fourier inverse . . . . . . . . . . .
5.2.1 Problème d’inversion . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . .
5.3 Propriétés des transformées de Fourier . . . . . . . .
5.3.1 Translation, modulation, changement d’échelle
2
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63
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5.4
5.5
5.6
5.3.2 Dérivées et majorations . . . . .
Transformée en cosinus et sinus . . . . .
Convolution et transformation de Fourier
Transformée de Fourier dans IR3 . . . . .
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6 Transformation de Fourier des distributions
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 L’espace de Schwartz, S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Convergence dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Propriétés des fonctions de S . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 L’espace S ′ des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Exemples de distributions tempérées . . . . . . . . . . . . .
6.4 Transformée de Fourier dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Transformée de Fourier dans E ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Recherche des transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Exemples de transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 L’espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Relation de Parseval-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Transformation de Fourier dans L2 (IR) . . . . . . . . . . . .
6.8.4 Transformation de Fourier dans L2 ([a, b]) . . . . . . . . . . .
6.9 Transformée de Fourier de distributions périodiques . . . . . . . . .
6.9.1 Peigne de Dirac de période 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.2 Peigne de Dirac de période T . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.3 Distribution périodique régulière . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Transformation de Laplace de distributions . . . . . . . . . . . . . .
6.10.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.4 Application de la transformation de Laplace au calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Références
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68
69
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84
85
85
86
86
87
89
90
92
92
93
93
. 94
97
3
4
Chapitre 1
Préliminaires
Dans ce cours, nous utiliserons des notions d’intégration plus poussées que la
notion d’intégrale de Riemann vue communément. Il s’agit de la notion d’intégrale
de Lebesgue pour les fonctions numériques (de variables réelles) et de la notion
de fonction holomorphe pour les fonctions de la variable complexe. Ces notions
seront utilisées essentiellement dans les démonstrations et pour justifier l’existence
des objets manipulés. Nous reportons le lecteur intéressé à deux ouvrages cités en
référence : le polycopié de Dominique Pastor “Intégration des fonctions numériques”
ainsi que le polycopié de Bernard Petit “Introduction aux fonctions d’une variable
complexe”. Nous décrivons simplement dans ce chapitre préliminaire les principales
définitions de ces notions.
1.1
Espaces fonctionnels
Dans tout le polycopié, on utilisera les définitions et notations suivantes.
Définition 1.1.1. Une fonction
f est dite sommable, si elle est absolument intéZ
grable sur IR, c’est-à-dire
|f (x)|dx existe.
IR
Notation. L’ensemble des fonctions sommables est noté L1 .
Définition 1.1.2. Une fonction f est dite localement sommable, si elle est absolument intégrable sur tout intervalle fermé [a, b] de IR, c’est-à-dire pour tout fermé
Z b
[a, b] ⊂ IR,
|f (x)|dx existe.
a
Remarquons que toute fonction sommable (absolument intégrable sur IR) est localement sommable.
5
Notation. L’ensemble des fonctions localement sommables est noté L1loc .
Définition 1.1.3. Une fonction f est dite
Z de carré sommable, si elle est absolument
de carré intégrable sur IR, c’est-à-dire
|f (x)|2 dx existe.
IR
Notation. L’ensemble des fonctions de carré sommable est noté L2 , celui des fonctions
de carré localement sommable L2loc .
Exercice. Montrer que L2[a,b] ⊂ L1[a,b] , pour a et b réels finis.
Définition 1.1.4. On définit une égalité presque partout entre deux fonctions f et
p.p.
g, et on note f = g, si f (x) = g(x) pour presque tout x. C’est-à-dire que l’égalité
peut éventuellement ne pas être vérifiée sur un ensemble de mesure nulle, appelé
aussi ensemble négligeable.
La définition d’un ensemble de mesure nulle est complexe à définir rigoureusement. De manière pratique, nous pourrons nous contenter des exemples suivants.
Exemple. Un point est un ensemble négligeable, on dit qu’il est de mesure nulle. Un
ensemble fini de points est de mesure nulle. Un ensemble dénombrable de points est
| ).
de mesure nulle (par exemple l’ensemble des rationnels Q
1.2
Théorèmes d’intégration
Nous aurons aussi besoin des deux résultats ci-dessous.
Théorème 1.2.1 (de convergence dominée de Lebesgue). Soit fk une suite de fonctions qui converge presque partout vers une fonction f . On suppose qu’il existe une
fonction positive sommable fixe g telle que l’on ait : |fk (x)| ≤ g(x) p.p. pour tout k.
On a alors
Z
|f (x) − fk (x)|dx = 0
et
lim
k→+∞
lim
k→+∞
Z
fk (x)dx =
Théorème 1.2.2 (de Fubini).
Soit f (x, y) une fonction définie dans IR × IR.
6
Z
f (x)dx.
a) Si f est à valeur dans IR+ , on définit l’égalité suivante, où les trois membres
sont positifs finis ou infinis
ZZ
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx =
f (x, y)dx dy
IR2
IR
IR
IR
IR
| et sont
b) Si f est sommable sur IR2 , les trois membres ont un sens dans C
égaux.
Remarque 1.2.1. Attention si f (x, y) n’est pas sommable sur IR2 , il se peut que
seulement l’une des expressions ait un sens ou, si elles ont toutes deux un sens, que
les valeurs soient distinctes.
x2 − y 2
sur E = {0 ≤ x ≤ 1} × {0 ≤ y ≤ 1}. f est non
Exemple. f (x, y) = 2
(x + y 2 )2
π
sommable sur IR2 et les expressions donnent ± selon la variable d’intégration
4
choisie en premier.
1.3
Fonctions d’une variable complexe
Dans ce cours nous manipulons essentiellement des fonctions de la variable réelle
mais nous sommes aussi appelé à considérer des fonctions de la variable complexe
z. Dans cette section nous donnons les définitions relatives à la continuité et la
dérivabilité des fonctions d’une variable complexe et, sans démonstration, certains
résultats utiles dans le cadre de ce cours.
Cependant, nous ne parlerons pas de l’intégration des fonctions d’une variable complexe. Les lecteurs intéressés pourront trouver l’information nécessaire dans les références [Petit B.] et [Spiegel M.R.]. Néanmoins, nous reportons ici des extraits du
polycopié de B. Petit, quand les notions sont directement utilisées dans ce cours.
1.3.1
|
Topologie de C
| désigne le corps des nombres complexes qu’on munit de la distance définie par
C
d(z, z ′ ) = |z−z ′ |. Très souvent, et conformément à l’usage, nous identifierons l’espace
| et r
normé ainsi défini avec IR2 muni de la norme euclidienne. Etant donnés a ∈ C
réel strictement positif, on appelle disque ouvert (respectivement disque fermé) de
| | |z − a| < r (respectivement
centre a et de rayon r, l’ensemble D(a, r) = z ∈ C
| | |z − a| ≤ r ) ; on notera C(a, r) = z ∈ C
| | |z − a| = r le cercle
D(a, r) = z ∈ C
7
| est un ouvert si, ou
de centre a et de rayon r. On dit qu’un sous-ensemble U de C
bien U = ∅, ou bien :
∀ a ∈ U,
∃ ra > 0,
tel que D(a, ra ) ⊂ U.
| est dit
Par exemple, tout disque ouvert est un ouvert. Un sous-ensemble F de C
| \ F est un ouvert. Par exemple, tout disque fermé est un fermé.
fermé si C
1.3.2
X
Séries entières et fonctions analytiques
Soit {an }n≥0 une suite de nombres complexes. On considère la série entière
an z n ; on sait qu’il existe un réel positif R, appelé rayon de convergence de
n≥0
la série, vérifiant :
1. Si R > 0, pour tout r ∈ ]0, R[, la série converge normalement (donc uniformément) sur D(0, r). Attention : ceci n’implique pas la convergence uniforme sur
D(0, R) !
2. Si R < ∞, la série diverge pour |z| > R (en fait an z n ne tend pas vers 0).
3. On ne peut rien dire, a priori, pour |z| = R (i.e. tous les cas de figure sont
possibles ainsi qu’en témoignent des exemples élémentaires).
On rappelle également que les séries entières obtenues par dérivation et intégration,
X an
X
z n+1 , ont le même rayon de converc’est-à-dire les séries
nan z n−1 et
n
+
1
n≥1
n≥0
gence.
| une fonction définie sur l’ouvert non vide U. On
Définition 1.3.1. Soit f : U → C
dit que f est analytique sur U si :
| , tels que
∀ a ∈ U, ∃ r > 0, ∃ {αn }n≥0 ⊂ C
D(a, r) ⊂ U et ∀ z ∈ D(a, r), f (z) =
X
αn (z − a)n .
n≥0
Autrement dit, la fonction f (z) est développable en série entière en tout point de
U. Dans cette définition, il est important de noter que les coefficients αn dépendent
1
| \ {1} :
, qui est analytique sur C
de a. Ainsi a-t-on, pour la fonction f (z) =
z−1
8
• Pour a = 0, f (z) = −
X
z n pour z ∈ D(0, 1).
Xn≥0
• Pour a = 2, f (z) =
(−1)n (z − 2)n pour z ∈ D(2, 1).
n≥0
Nous rappelons, sans démonstration, les propriétés classiques suivantes :
Proposition 1.3.1 (Analyticité de la somme d’une série entière). Soit {αn }n≥0 la
suite des coefficients d’une série entière de rayon de convergence R > 0, et soit
X
f (z) =
αn (z − a)n pour z ∈ D(a, R). Alors f est analytique sur D(a, R).
n≥0
(Plus précisément, si b ∈ D(a, R) et si βk =
X
n(n − 1). . .(n − k + 1)(b − a)n−k ,
n≥k
la série entière de coefficients βk /k! a un rayon de convergence ≥ R − |b − a| et, sur
X βk
(z − b)k .)
D(b, R − |b − a|), on a f (z) =
k!
k≥0
Proposition 1.3.2 (Principe des zéros isolés). Soient f une fonction analytique sur
l’ouvert connexe Ω et Zf = z ∈ Ω | f (z) = 0 . Alors, ou bien Zf = Ω (i.e. f est
identiquement nulle) ou bien Zf n’admet aucun point d’accumulation dans Ω ; dans
ce dernier cas, pour chaque a ∈ Zf , il existe un entier positif α et une fonction g
analytique sur Ω tels que g(a) 6= 0 et f (z) = (z − a)α g(z).
(Le fait que Zf n’admette pas de point d’accumulation dans Ω, i.e. le principe des
zéros isolés, se traduit par :
∀ a ∈ Zf , ∃ r > 0, tel que D(a, r) ⊂ Ω et D(a, r) ∩ Zf = {a}.)
1.3.3
Fonctions holomorphes
Une fonction holomorphe n’est pas autre chose qu’une fonction dérivable au sens
| :
de C
| (où U est un ouvert non vide de C
| ). On dit que
Définition 1.3.2. Soit f : U → C
f est holomorphe sur U si :
| , ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tels que
∀ z ∈ U, ∃ f ′ (z) ∈ C
u ∈ D(z, δ) ∩ U =⇒ |f (u) − f (z) − (u − z)f ′ (z)| ≤ ε|u − z|.
Exemples
9
| et f ′ (z) = nz n−1 .
1. Pour tout entier positif n, f : z 7→ z n est holomorphe sur C
2. Les fonctions z 7→ ℜe z et z 7→ ℑm z ne sont holomorphes en aucun point.
3. On montre aisément que, si H(U) désigne l’ensemble des fonctions holomorphes
| dont les éléments inversibles sont
sur l’ouvert U, H(U) est une algèbre sur C
les fonctions holomorphes ne s’annulant pas sur U ; les formules habituelles de
dérivation sont valables dans le cadre présent et il est laissé au lecteur le soin
de s’en convaincre.
Nous achèverons ces exemples par une propriété fondamentale :
Proposition 1.3.3. Toute fonction analytique est holomorphe. Réciproquement,
toute fonction holomorphe est analytique.
Remarque 1.3.1. L’implication découle des propriétés de convergence uniforme des
séries entières dans le disque ouvert de convergence. La réciproque utilise un résultat
dépassant le cadre de ce cours (voir [B. Petit]).
Nous allons maintenant donner une caractérisation différentielle de l’holomorphie.
Proposition 1.3.4 (Conditions de Cauchy). Soient U un ouvert non vide de C| et
f : U → C| . Si on note P (x, y) = ℜe f (z) et Q(x, y) = ℑm f (z), où z = x + iy, f
est holomorphe sur U si, et seulement si, P et Q sont différentiables sur U et
∂Q
∂P
=
=A
∂x
∂y
∂P
∂Q
=−
= −B.
∂y
∂x
et
La dérivée de f dans C| est alors f ′ (z) = A + iB.
10
Chapitre 2
Transformation de Laplace des
fonctions
2.1
Définitions et propriétés
Définition 2.1.1. Soit f (t) une fonction de la variable réelle t, localement sommable
pour t ≥ 0 (nulle pour t < 0). On appelle transformée de Laplace (TL) de f (t), la
fonction L[f ](p), de la variable complexe p, définie par
Z +∞
F (p) = L[f ](p) =
f (t) e−pt dt.
0
L’intégrale ci-dessus est appelée intégrale de Laplace et f (t), l’originale. On note
f (t) ❂ F (p)
Remarque 2.1.1. Deux fonctions égales presque partout pour t ≥ 0 et différentes
pour t < 0, ont la même TL.
On considère toujours que f est nulle pour t < 0. Cela revient à multiplier f par la
fonction Heaviside Y .
2.1.1
Abscisse de sommabilité
Remarque 2.1.2. Le module de f (t)e−pt est |f (t)|e−σt , avec p = σ + iω. Ainsi, la
sommabilité de l’intégrale de Laplace ne dépend que de la partie réelle de p.
Proposition 2.1.1. S’il existe p0 = σ0 + iω0 tel que f (t)e−p0 t soit sommable, il en
est de même pour tout p = σ + iω tel que σ ≥ σ0 .
11
Preuve. En effet, pour σ ≥ σ0 , |f (t)|e−σt ≤ |f (t)|e−σ0 t .
Corollaire 2.1.2. Il existe un réel a, de signe quelconque, tel que pour σ > a
l’intégrale de Laplace existe et que pour σ < a, elle n’existe pas. Pour σ = a, on ne
peut rien dire.
Preuve. Pour une fonction f (t) donnée, on considère E, l’ensemble des valeurs de
σ = ℜe (p) pour lesquelles f (t)e−pt est sommable. Soit a, la borne inférieure de E.
Si σ > a, d’après la définition de a, il existe σ0 compris entre a et σ, tel que
f (t)e−p0 t est sommable. Ainsi a < σ0 < σ et la proposition 2.1.1 impliquent f (t)e−pt
sommable.
Si σ < a, soit σ1 , tel que σ < σ1 < a, alors f (t)e−pt est non sommable, sans quoi
f (t)e−p1 t le serait aussi d’après la proposition 2.1.1, ce qui contredirait la définition
de a.
Définition 2.1.2. On appelle abscisse de sommabilité (ou de convergence absolue)
de f (t), le réel a, borne inférieure de E. L’ouvert ℜe (p) > a est le domaine de
sommabilité de l’intégrale de Laplace.
2
Exemple. Pour f (t) = Y (t)e−t , L[f](p) existe pour tout p donc a = −∞.
√
Pour f (t) = Y (t)e− t , L[f](p) existe pour tout p tel que ℜe (p) > 0 donc a = 0.
2
Pour f (t) = Y (t)et , L[f](p) n’existe jamais donc a = +∞.
En résumé, la droite verticale x = a coupe le plan en deux demi-plans : l’un où
f (t)e−pt est sommable, l’autre où elle ne l’est pas.
Définition 2.1.3. Soit une fonction f (t) localement sommable (f nulle pour t < 0)
et vérifiant, pour t ≥ t0 ≥ 0, la majoration
|f (t)| ≤ Mekt
M > 0, k ∈ IR,
on dit que f est d’ordre exponentiel k quand t tend vers +∞.
Proposition 2.1.3. Si f , localement sommable, (f nulle pour t < 0), est d’ordre
exponentiel k, alors l’abscisse de sommabilité a ≤ k.
Preuve. On doit montrer que pour tout σ > k, f (t)e−pt est sommable.
Z
0
+∞
Z
f (t) e−pt dt ≤
t0
−σt
|f (t)| e
0
12
dt +
Z
+∞
|f (t)| e−σt dt.
t0
Pour 0 < t < t0 , f (t)e−pt est sommable car f est localement sommable.
Pour t > t0 , on a |f (t)|e−σt ≤ Me(k−σ)t qui est sommable sur [t0 , +∞[ dès que
k − σ < 0.
f (t)e−pt est donc sommable sur [0, +∞[ pour tout p tel que σ > k, c’est-à-dire
a ≤ k.
Remarque 2.1.3. On peut donner deux conséquences pour une fonction f d’ordre
exponentiel k. Si f est à croissance polynômiale (ou bornée), l’abscisse de sommabilité est négative ou nulle. En effet, pour t suffisamment grand, tout réel k positif
même très petit permet la majoration.
Si f est à support compact, tout réel k convient et a = −∞.
2.1.2
Holomorphie de la transformée de Laplace
Théorème 2.1.4. Dans son domaine de sommabilité, la transformée de Laplace
est une fonction de p, linéaire, continue, et qui tend vers 0 lorsque ℜe (p) tend vers
+∞.
Preuve. La linéarité est évidente.
La continuité provient du théorème de Lebesgue : la fonction ft (p) = f (t) e−pt est
continue en p0 pour presque tout t.
Soit p0 dans le domaine de sommabilité (ℜe (p0 ) > a). Il existe un voisinage de p0 ,
V (p0 ), et un réel σ1 tel que pour tout p ∈ V (p0 ), on ait ℜe (p) > σ1 > a, c’est-àdire |f (t) e−pt | < |f (t)| e−σ1 t = g(t) sommable car a est l’abscisse de sommabilité.
Ainsi la transformée de Laplace est continue en tout p0 appartenant au domaine de
sommabilité.
De plus : soit p = σ + iω, on a
Z t0
Z +∞
−σt
|L[f ](p)| ≤
|f (t)| e dt + M
e−(σ−k)t dt
Z0 ξ
Z t0 t0
M −(σ−k)t0
e
≤
|f (t)| dt + e−σξ
|f (t)| dt +
σ−k
0
ξ
On choisit ξ pour que le premier terme soit négligeable, les autres termes tendant
vers 0 lorsque σ tend vers +∞.
Théorème 2.1.5. La transformée de Laplace d’une fonction f ∈ L1loc (IR+ ) et
d’abscisse de sommabilité a est holomorphe dans tout le demi-plan complexe ℜe (p) >
13
a et on a
dm
L[f ](p)
dpm
Preuve. Montrons d’abord que les intégrales de Laplace de f (t) et (−t)m f (t) ont
les mêmes abscisses de sommabilité.
Soit a, l’abscisse de sommabilité pour L[f (t)] et a′ , celle de L[(−t)m f (t)], on peut
écrire
Z +∞
Z 1
Z +∞
−pt
−pt
f (t) e dt =
f (t) e dt +
f (t) e−pt dt = I1 + I2
Y(t) (−t)m f (t) ❂
0
0
1
I1 existe car f (t) est localement sommable, reste à étudier I2 .
Pour t ≥ 1, on a tm ≥ 1 et
Z +∞
Z +∞
−σt
|I2 | <
|f (t)| e dt ≤
|f (t)| |t|m e−σt dt
1
1
m
−σt
et la sommabilité de (−t) f (t) e
entraı̂ne celle de f (t) e−σt , donc a′ est au moins
égale à a (a′ ≥ a).
D’autre part : ∀ε > 0, on a tn < eεt pour t assez grand, donc
∃t0 / t > t0 ⇒ |(−t)m f (t) e−pt | ≤ |f (t)| e−(σ−ε)t
donc pour σ − ε > a ou σ > a + ε, cette expression est sommable et l’abscisse de
sommabilité relative à (−t)m f (t) e−σt est inférieure ou égale à a + ε. Comme c’est
vrai quel que soit ε > 0, on a a′ ≤ a.
Les deux inégalités ne sont compatibles que si a = a′ . La première partie se déduit
alors facilement. On peut dériver l’intégrale de Laplace de f (t) sous le signe somme
si l’intégrale ainsi dérivée est uniformément sommable. Cela est le cas dès que σ >
a. D’où le résultat. La fonction L[f ](p) étant dérivable par rapport à la variable
complexe p pour σ > a, elle est holomorphe dans ce domaine.
Z +∞
1
1
Exemple. L[1](p) =
e−pt dt = , pour tout ℜe (p) > 0. Ainsi 2 est la transp
p
0
n!
formée de Laplace de t et n+1 est la transformée de Laplace de tn .
p
2.2
Exemples de transformées de Laplace de fonctions
La transformée de Laplace d’une fonction de L1loc (IR+ ) se calcule à l’aide de l’intégrale donnée par la définition 2.1.1. Cependant, de nombreuses fonctions utilisées de
14
manière intensive en physique ont été répertoriées dans des tables de transformées de
Laplace remarquables dont on donne ici un extrait. Soit une fonction f ∈ L1loc (IR+ ),
et σ0 l’abscisse de sommabilité pour sa transformée :
Originale
❂
Y(t)
❂
Y(t) t
❂
tn−1
, n ∈ IN∗
(n − 1)!
❂
|
Y(t) eat , a ∈ C
❂
Y(t) eat tn , n ∈ IN
❂
|
Y(t) eiat , a ∈ C
❂
|
Y(t) sin(at), a ∈ C
❂
|
Y(t) cos(at), a ∈ C
❂
|
Y(t) sinh(at), a ∈ C
❂
|
Y(t) cosh(at), a ∈ C
❂
Y(t) ta , ℜe (a) > −1
❂
Y(t)
où Γ(a + 1) =
Z
Transformée
1
p
1
p2
1
pn
1
p−a
n!
(p − a)n+1
1
p − ia
a
2
p + a2
p
2
p + a2
a
p2 − a2
p
2
p − a2
Γ(a + 1)
pa+1
σ0
0
0
0
ℜe (a)
ℜe (a)
−ℑm (a)
|ℑm (a)|
|ℑm (a)|
|ℜe (a)|
|ℜe (a)|
0
+∞
ua e−u du, pour ℜe (a) > −1.
0
2.3
Transformée de Laplace d’une fonction dérivée
Soit une fonction continue sur IR+ , d’ordre exponentiel k, dérivable pour t > 0, de
dérivée continue (éventuellement par morceaux) et localement sommable. Calculons
la transformée de Laplace de f ′ pour p = σ + iω. Pour ℜe (p) > a′ , abscisse de
sommabilité de L[f ′ ](p)
15
Intégrons par parties
Z +∞
′
L[f ](p) =
f ′ (t) e−pt dt
0
+∞
= f (t) e−pt 0 + p
ℜe (p) > a′
Z
+∞
f (t) e−pt dt
0
f étant d’ordre exponentiel k, pour σ > k ≥ a, on a |f (t)|e−σt ≤ Me−(σ−k)t qui tend
vers 0 quand t tend vers +∞.
Pour σ > k et σ > a′ , c’est-à-dire σ > σ0 = max(k, a′ ), on a
L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − lim+ f (t) e−pt ,
t→0
ainsi, on énonce la proposition suivante
Proposition 2.3.1. Pour σ > σ0 , L[f ′ ](p) existe si et seulement si lim+ f (t), notée
t→0
f (0+ ), existe. On a alors
L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − f (0+ ).
Remarque 2.3.1. Par hypothèse f (0− ) = 0. Ainsi, pour une fonction continue en 0,
on a L[f ′ ](p) = pL[f ](p). On verra que c’est toujours le cas pour les distributions car
les discontinuitées sont prises en compte dans la dérivation (voir paragraphe 5.2.3.).
Remarque 2.3.2. Si la fonction f admet un point de discontinuité en x0 alors, en
−
notant σf (x0 ) = f (x+
0 ) − f (x0 ), le saut de la discontinuité, on a
L[f ′ ](p) = pL[f ](p) − f (0+ ) − σf (x0 ) e−px0 .
On admettra les deux théorèmes suivants, très utiles pour la résolution d’équations différentielles avec conditions aux limites.
Théorème 2.3.2 (de la valeur initiale). Si L[f ](p) et f (0+ ) existent alors
lim pL[f ](p) = f (0+ ).
p→+∞
Théorème 2.3.3 (de la valeur finale). Si L[f ](p) existe et si f (+∞) = lim f (t)
t→+∞
existe et est finie alors
lim pL[f ](p) = f (+∞).
p→0
Exercice. A l’aide de la transformée de Laplace, résoudre l’équation différentielle
tf ′′′ (t) − f ′′ (t) + tf ′ (t) − f (t) = 0
avec f (0+) = 0, f ′ (0+) = 0, f ′′ (0+) = 0, et f ′′′ (0+) = 1.
16
∀t > 0
2.4
Transformée de Laplace des primitives d’une
fonction
Z
t
Cherchons l’image de g(t) =
f (s) ds où a > 0. En dérivant on obtient g ′ (t) =
a
Z a
f (t), et g(0) = −
f (s) ds. Ainsi la transformée de Laplace de g ′ , qui est unique
0
(voir proposition 2.7.1), est, d’après la proposition 2.3.1 :
′
L[g (t)](p) = pL[g(t)](p) +
Z
a
f (s) ds
0
c’est-à-dire
Z
t
1
1
f (s) ds ❂ L[f (t)](p) −
p
p
Za t
1
f (s) ds ❂ L[f (t)](p)
p
0
2.5
Z
a
f (s) ds
0
Transformée de Laplace et translation
Soit a l’abscisse de sommabilité de f . Pour ℜe (p − λ) > a ou σ > a + ℜe (λ), on
a:
Z
L[f (t)](p − λ) =
+∞
f (t) e−(p−λ)t dt
0
c’est-à-dire
eλt f (t) ❂ L[f (t)](p − λ)
Inversement,
−λp
e
L[f (t)](p) =
Z
+∞
−p(s+λ)
f (s) e
0
ds =
Z
+∞
f (t − λ) e−pt dt
λ
c’est-à-dire
Y(t − λ) f (t − λ) ❂ e−λp L[f (t)](p),
λ>0
Exercice. Calculer la transformée de Laplace d’une fonction f (t) périodique de période T , nulle pour t < 0, et montrer
1
Y(t) f (t) ❂
1 − e−pT
Z
T
f (t) e−pt dt,
0
17
ℜe (p) > 0.
2.6
Transformée de Laplace et convolution
Soient f (t) ❂ F (p) et g(t) ❂ G(p), cherchons l’original du produit ordinaire F G
Z +∞ Z +∞
F (p)G(p) =
f (t)g(s) e−p(t+s) dt ds
0
0
Par changement de variable, t = x − y et s = y, de Jacobien égal à 1, on obtient
Z x
Z +∞
−px
F (p)G(p) =
e
f (x − y)g(y) dy dx
0
0
or avec nos hypothèses f (t) = g(t) = 0 pour t < 0, on reconnaı̂t
Z
x
f (x − y)g(y) dy
0
comme le produit de convolution de deux fonctions causales, (f ∗ g)(x). Ainsi
f ❂ F,
=⇒ f ∗ g ❂ F G
g❂G
Remarque 2.6.1. Comme la transformée de Fourier, la transformée de Laplace change
le produit de convolution en produit simple.
2.7
2.7.1
Inversion de la transformation de Laplace
Lien avec la transformée de Fourier
Soit une fonction f (t), et un complexe p = σ + iω, sa transformée de Laplace est
donnée par
Z +∞
F (σ + iω) =
f (t) e−σt e−iωt dt
0
Ainsi, pour σ fixé, F (σ+iω), considérée comme fonction de la variable ω, est la transformée de Fourier de Y(t) f (t) e−σt . Une transformée de Laplace équivaut donc à une
famille de Fourier, la famille des transformées de Fourier des fonctions Y(t) f (t) e−σt ,
pour σ > a.
Proposition 2.7.1. Si la transformée de Laplace de f (t) est identiquement nulle
pour σ > a, alors f (t) est presque partout nulle.
Preuve. En effet f (t) e−σt a alors une transformée de Fourier nulle, elle est donc
partout nulle (en tant que fonction holomorphe), et par suite f (t) aussi. Donc une
fonction holomorphe n’a jamais plus d’un original.
18
2.7.2
Formule d’inversion
De la formule d’inversion de Fourier, on déduit la formule d’inversion de Laplace :
Z +∞
1
−σt
F (σ + iω) eiωt dω.
Y(t) f (t) e
=
2π −∞
Ces différentes formules, correspondant aux diverses valeurs de σ > a, doivent donner
la même fonction Y(t) f (t). D’ailleurs on peut écrire
Z +∞
1
Y(t) f (t) =
F (σ + iω) e(σ+iω)t dω
2π −∞
ou
1
Y(t) f (t) =
2iπ
Z
σ+i∞
F (p) ept dp.
σ−i∞
Exercice. Montrer que l’expression ci-dessus est indépendante de σ en intégrant la
fonction holomorphe F (p) ept sur le bord du domaine rectangulaire
| / |y| ≤ ω, σ1 ≤ x ≤ σ2 } (voir [Schwartz, p. 250]).
{z = x + iy ∈ C
19
20
Chapitre 3
Théorie élémentaire des
distributions
3.1
3.1.1
Définition des distributions
Introduction
Les fonctions mathématiques sont largement utilisées pour décrire et modéliser
des phénomènes physiques. Cependant si on considère des phénomènes de durée
très courte (par exemple des impulsions), il est difficile de trouver une fonction qui
modélise bien ce phénomène. Donnons un exemple concret qui montre les limites de
la notion de fonctions.
Un exemple en électrostatique
Introduisons tout d’abord une fonction qui aura un rôle important en traitement
de signal comme en physique.
Définition 3.1.1 (La fonction porte). On appelle “fonction porte” et on note Π(x)
la fonction définie par
(
0 si |x| ≥ 1/2
Π(x) =
1 si |x| < 1/2
Soit une densité de charge ρk (x) = kΠ(kx) en électrostatique. La charge totale
d’un
support linéaire est donnée par l’intégrale de ρk sur ce support, c’est-à-dire
Z
IR
ρk (x) dx = 1 car indépendante de k.
21
Essayons de modéliser une charge totale concentrée à l’origine. Cela revient à faire
tendre k vers l’infini. Le phénomène est alors modélisé par une fonction presque partout nulle. Sur l’ensemble négligeable représenté par le point origine, cette fonction
a une valeur infinie. Le graphe de ρk est représenté par la figure 3.1.
50
40
30
20
10
0
−1
−0.5
0
0.5
1
Figure 3.1 – Fonctions ρk pour k = 1, 4, 10, 20 et 50.
Définition 3.1.2. On note delta “l’objet” défini par
(
0
si x 6= 0
delta(x) =
+∞
si x = 0
Z
et vérifiant
delta(x) dx = 1.
IR
Vers un nouveau cadre théorique
Cet objet delta, manipulé en tant que fonction donne des résultats absurdes. En
effet, delta est une fonction presque partout nulle, d’intégrale égale à 1, or on sait
que l’intégrale d’une fonction presque partout nulle est nulle. Ainsi, delta ne peut
être une fonction. Cependant Paul Dirac introduit cet objet en 1935, ce qui permet
de modéliser les phénomènes physiques auxquels sont confrontés les physiciens. Ils
savent qu’un objet tel que delta existe, mais le cadre théorique dans lequel il est
utilisé n’est pas satisfaisant et son utilisation implique des abus d’écriture.
Pendant dix ans les physiciens travailleront sans modélisation mathématique correcte et en 1945, Laurent Schwartz, grand mathématicien français qui étudie alors,
22
entre autres choses, certains espaces vectoriels topologiques, introduit la notion de
distributions. Le cadre théorique est construit peu à peu, les abus d’écriture disparaissent et l’objet delta, maintenant noté δ (prononcer distribution Dirac), a alors
une définition rigoureuse et y prend une place centrale. La dérivation et l’intégration
deviennent aussi plus simples. Finalement, ce cadre théorique complexe permet de
“manipuler” beaucoup plus simplement les outils de traitement du signal et de la
physique en général.
Etant donnée la complexité de la théorie générale des distributions qui commence par l’étude des fonctionnelles sur des espaces vectoriels topologiques, nous
nous restreindrons à une présentation simplifiée qui implique l’admission de certains
résultats. Cependant, nous espérons ne pas tomber dans le piège de la présentation
catalogue des seules formules utiles pour les cours de traitement du signal et d’électromagnétisme. Entre les deux extrêmes, il y a place pour plusieurs cheminements.
Voici celui qui a été choisi.
3.1.2
D, espace des fonctions test
Une fonction est définie par le résultat de son application à tout un ensemble de
| n.
valeurs de IRn ou C
Notion de fonctionnelle
Définition 3.1.3. Une fonctionnelle est définie par le résultat de son application à
tout un ensemble de fonctions appelées fonctions test ou fonctions d’essai.
Autrement dit, une fonctionnelle est une fonction de fonctions (test). On peut faire
en sorte de choisir un ensemble de fonctions test afin d’obtenir le maximum de fonctionnelles ayant une propriété donnée (par exemple la continuité). Dans ce cas, plus
les fonctions test obéiront à des conditions sévères de régularité, plus les fonctionnelles, définies sur elles, seront générales.
Définition 3.1.4 (Support d’une fonction). Pour une fonction f de la variable réelle
localement sommable, le complémentaire du plus grand ouvert dans lequel f est nulle
(presque partout), est appelé le support de f et noté K = Supp f . Si K est borné,
on dit que f est à support borné (voir [Bony, p. 115]).
23
Remarque 3.1.1. Pour une fonction continue, Supp f est l’adhérence de l’ensemble
des points x ∈ IR pour lesquels f (x) 6= 0.
Notation. On note D p , p = 0, 1, . . . , ∞, l’ensemble des fonctions C p (IRn ) à support
borné. Si p = ∞, on note D ∞ = D.
Les fonctions test
Remarque 3.1.2. D est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions à
valeurs complexes définies sur IRn .
Pour une fonction ϕ ∈ D, le plus petit fermé borné K de IRn en dehors duquel ϕ est
nulle est appelé le support de ϕ. Cet ensemble K existe et est différent pour chaque
fonction ϕ.
Définition 3.1.5. Dans la théorie des distributions, l’ensemble des fonctions test
est noté D, c’est l’ensemble des fonctions ϕ(x) (x ∈ IRn ) à valeurs complexes, indéfiniment dérivables et à support borné.
Exemple. Si n = 1, la fonction ϕ définie par

 0 si |x| ≥ 1
ϕ(x) =
−1
 exp
si |x| < 1
1 − x2
appartient à D. C’est la fonction exhibée par L. Schwartz pour montrer que D n’est
pas vide.
1
0.03
0.9
0.025
0.8
0.7
0.02
0.6
0.5
0.015
0.4
0.01
0.3
0.2
0.005
0.1
0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.85
1.5
0.9
0.95
1
Figure 3.2 – Exemple de fonction test et zoom au point x = 1.
24
1.05
Propriétés de D
Nous énonçons sans démonstration
• D est un espace vectoriel de dimension infinie.
• Si ϕ appartient à D, alors toutes ses dérivées appartiennent à D.
• Si ϕ appartient à D et si α est indéfiniment dérivable (on note α ∈ C ∞ et on
dit que α est de classe C ∞ ), alors le produit αϕ appartient à D.
Notion de convergence sur D
Définition 3.1.6. Soit ϕj une suite de fonctions appartenant à D. On dit qu’elle
converge vers une fonction ϕ au sens de la topologie de D, lorsque j → ∞ si
i) les supports des ϕj sont tous contenus dans un même ensemble borné K
indépendant de j,
ii) les dérivées de chaque ordre des ϕj convergent uniformément vers les
dérivées correspondantes de ϕ.
Il s’agit là d’une convergence très forte.
D
Notation. On note cette notion de convergence dans D par ϕj −−−−→ ϕ.
j→∞
3.1.3
D′ , espace des distributions
Définition 3.1.7. On appelle distribution T, toute fonctionnelle linéaire continue
sur D.
Cela signifie qu’à toute fonction ϕ de D, T associe le nombre complexe T(ϕ), noté
aussi hT, ϕi avec les propriétés de linéarité et de continuité sur D
– Linéarité. hT, ϕ1 + ϕ2 i = hT, ϕ1 i + hT, ϕ2 i
– Linéarité. hT, λϕi = λ hT, ϕi, λ étant une constante complexe,
– Continuité. Si ϕj converge vers ϕ lorsque j → ∞ au sens de la convergence
dans D, la suite de nombres complexes hT, ϕj i converge vers le nombre complexe hT, ϕi lorsque j → ∞. On note
D
ϕj −−−−→ ϕ
j→∞
=⇒
lim |hT, ϕj − ϕi| = 0.
j→∞
Remarque 3.1.3. On peut toujours considérer une suite de fonctions ϕj convergeant
vers 0 au sens de la topologie de D (définition 3.1.6.).
25
Notation. Les distributions forment un espace vectoriel noté D ′ . C’est une partie de
l’espace dual de D, ensemble de toutes les fonctionnelles linéaires sur D, continues
ou non.
Remarque 3.1.4. En pratique, pour montrer qu’une fonctionnelle T sur D est une distribution, on peut se contenter de montrer que T est linéaire. En effet, on n’a jamais
explicité de fonctionnelles linéaires non continues sur D. On démontre seulement
théoriquement qu’elles existent.
La notion de distributions définit un nouvel objet mathématique. Celui-ci a été
introduit afin de résoudre certains problèmes pour lesquels la notion de fonction était
insuffisante. Ainsi, les distributions ne “remplacent” pas les fonctions mais étendent
plutôt leurs possibilités tout en conservant l’acquis mathématique les concernant.
Elles sont en quelque sorte une généralisation des fonctions. Nous allons voir qu’il
existe des distributions très liées à la notion de fonctions, nous les appelerons distributions régulières, puis d’autres qui sont des objets complètement nouveaux,
appelés distributions singulières dont l’objet δ.
Remarque 3.1.5. Dans un premier temps et, afin de simplifier les formules, on se
place dans IR. Si x ∈ IRn , il faut considérer des intégrales multiples, des dérivées
partielles et les ensembles bornés K sont des bornés de IRn . A la fin du chapitre,
nous travaillerons dans IR3 , ce qui permettra d’illustrer ces notions par des exemples
concrets de la physique.
Les distributions régulières
Définition 3.1.8 (Distributions régulières). A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution régulière notée Tf , définie par
Z
déf
∀ϕ ∈ D hTf , ϕi =
f (x) ϕ(x) dx
IR
Cette intégrale a bien un sens puisque l’on intègre sur K, le support de ϕ, la fonction localement sommable f ϕ. L’intégrale définit bien une fonctionnelle linéaire par
rapport à ϕ.
Exercice. Montrer que cette fonctionnelle est bien continue sur D.
Proposition 3.1.1. Deux fonctions localement sommables f et g, définissent la
même fonctionnelle Tf = Tg si et seulement si elles sont presque partout égales.
26
p.p.
Preuve. Si f = g, alors on a Tf = Tg d’après la définition et les propriétés de
l’intégrale de Lebesgue. Pour la réciproque, voir [Schwartz, p. 80].
Notation. Cela revient à ne parler que de classes de fonctions presque partout égales
et la distribution Tf est alors associée à la classe de fonctions presque partout égales
à f . On dit que c’est une distribution régulière.
Notation. Pour alléger l’écriture, on confond souvent f avec Tf et on écrit
Z
∀ϕ ∈ D, hf (x), ϕ(x)i =
f (x) ϕ(x) dx
IR
Ainsi jusqu’à présent f (x) pouvait signifier
– la valeur (réelle ou complexe) que prend la fonction f en x,
– la fonction f de la variable x,
sans aucune confusion pour les esprits. Maintenant f (x) écrit dans un crochet de
dualité, hf (x), ϕ(x)i, signifie la distribution Tf associée, x étant là pour rappeler
que c’est la variable des fonctions test ϕ.
Exemple. Considérons la fonction cosinus. Elle est continue, non sommable mais
localement sommable. On peut lui associer une distribution régulière Tcos que nous
notons cos pour simplifier, et définie par
Z
∀ϕ ∈ D, hcos(x), ϕ(x)i =
cos(x) ϕ(x) dx
IR
A l’intérieur des crochets, cos est la distribution régulière. Sous l’intégrale, il s’agit
de la fonction trigonométrique cosinus représentant la classe des fonctions presque
partout égales à cos(x).
Remarque 3.1.6. L’existence des distributions régulières montrent que la notion de
distribution généralise la notion de fonction.
Notation. Une distribution T qui n’est pas associée à une fonction localement sommable, est une distribution singulière.
Voici maintenant trois exemples de distributions singulières.
La distribution singulière Dirac
Définition 3.1.9. La distribution de Dirac au point a, est notée δa et est définie
par
déf
∀ϕ ∈ D, hδa , ϕi = ϕ(a)
27
Au point origine on note δ
∀ϕ ∈ D,
hδ, ϕi = ϕ(0)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figure 3.3 – Représentation d’un Dirac en a = 3.
Remarque 3.1.7. Pour que δa soit une fonctionnelle linéaire et continue, il suffit que
ϕ soit continue en a. Ainsi l’ensemble D des fonctions test est l’ensemble commun à
toutes les distributions mais certaines d’entres elles ont aussi un sens lorsqu’on les
applique à des fonctions test moins restrictives.
Exercice. Montrer qu’il n’existe aucune fonction sommable associée à δ, c’est une
distribution singulière.
La distribution singulière Peigne de Dirac
Toute combinaison linéaire de distributions de Dirac est aussi une distribution.
On peut citer en particulier la distribution “peigne de Dirac”, notée ∐∐, définie par
+∞
X
∐∐ =
δn , avec n entier. Cette distribution est très utilisée en traitement de
n=−∞
signal, notamment pour échantillonner un signal.
28
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−10
−5
0
5
10
Figure 3.4 – Représentation d’un Peigne de Dirac.
La distribution singulière υp
Valeur principale de Cauchy
Soit f une fonction définie pour a ≤ x ≤ b et sommable dans [a, c − ε] et dans
Z b
[c + ε, b] quel que soit ε > 0. On considère habituellement que
f (x) dx a un sens
a
si chacune des intégrales
Z
Z
c−
f (x) dx et
b
f (x) dx
c+
a
a un sens. Cela revient à dire que
Z
Z c−ε1
f (x) dx +
a
b
f (x) dx
c+ε2
a une limite lorsque ε1 et ε2 tendent vers zéro indépendamment l’un de l’autre. Il
peut arriver que cette limite n’existe pas mais existe si ε1 = ε2 = ε, ε → 0. On dit
alors que l’intégrale est convergente en valeur principale de Cauchy et on note
Z c−ε
Z b
Z b
déf
υp
f (x) dx = lim
f (x) dx +
f (x) dx
a
ε→0
a
c+ε
Pour simplifier, on se place en c = 0 (toujours possible par changement de variable).
On sait que toute fonction f est la somme d’une fonction impaire f1 et d’une fonction paire f2 . Dans un intervalle symétrique, l’intégrale de f1 sera nulle. Donc, si on
29
choisit α tel que a ≤ −α < 0 < α ≤ b, la convergence au sens de la valeur principale
dans (a, b), ou ce qui est la même chose dans (−α,
Z α) est la même pour f et pour
+α
f2 . L’intégrale de f existe en υp si et seulement si
f2 (x) dx a une limite lorsque
+ε
ε → 0 (voir [Schwartz, p. 46]).
La distribution υp
1
ne définit pas une distribution car elle n’est pas sommable au
La fonction
x
voisinage de x = 0. Considérons l’intégrale au sens de la valeur principale de Cauchy
υp
Z
+∞
−∞
ϕ(x)
déf
dx = lim
ε→0
x
Z
ϕ(x)
dx
|x|≥ε x
a un sens pour ϕ ∈ D. On définit ainsi une forme linéaire et continue sur D.
1
est définie par
x
Z +∞
ϕ(x)
1
déf
dx.
hυp , ϕ(x)i = υp
x
x
−∞
Définition 3.1.10. La distribution υp
∀ϕ ∈ D,
Par changement de variable ou introduction de ϕ(0), on obtient les deux expressions
suivantes
Z +∞
Z +∞
1
ϕ(x) − ϕ(−x)
ϕ(x) − ϕ(0)
dx =
dx
hυp , ϕ(x)i =
x
x
x
0
−∞
qui, grâce aux propriétés de ϕ montrent que cette expression définit bien une fonctionnelle sur D. La linéarité est évidente et le lecteur pourra vérifier la continuité.
1
Comme la distribution de Dirac, υp est donc une distribution singulière et est très
x
utilisée en traitement du signal et en physique.
Support d’une distribution
On ne peut pas évaluer une distribution en un point ou dire que deux distributions
T1 et T2 sont égales en un point. Pour deux distributions régulières, on a vu qu’il
suffisait que les fonctions localement sommables associées soient dans la même classe
pour la relation d’équivalence “égal presque partout”. On peut aussi définir l’égalité
de deux distributions quelconques.
30
Définition 3.1.11. On dit que deux distributions, T1 et T2 , sont identiques si
∀ϕ ∈ D,
hT1 , ϕi = hT2 , ϕi
Définition 3.1.12. Soit Ω un sous-ensemble ouvert de IR. On dit que deux distributions, T1 et T2 , sont identiques sur Ω, si
∀ϕ ∈ D ayant son support dans Ω, hT1 , ϕi = hT2 , ϕi
Considérons tous les ouverts pour lesquels T est nulle, c’est-à-dire hT, ϕi = 0, pour
toute fonction ϕ ∈ D ayant son support dans l’un de ces ouverts. La réunion de tous
ces ouverts est un ouvert sur lequel on peut montrer que T est nulle (principe du
recollement des morceaux). De plus, c’est le plus grand ouvert sur lequel T est nulle.
Définition 3.1.13. Son complémentaire, qui est fermé, est appelé support de la
distribution T. C’est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel T est nulle.
Remarque 3.1.8. Si le support de T et le support de ϕ sont sans point commun alors
hT, ϕi = 0.
Exemple. Si T est une fonction continue, son support en tant que distribution coı̈ncide avec son support en tant que fonction.
Pour la distribution de Dirac, on a hδ, ϕi = ϕ(0) = 0 pour toute fonction ϕ dont le
support ne contient pas l’origine. La réunion de ces supports est l’ouvert IR∗ , donc
le support de δ est le point 0.
3.2
Opérations sur les distributions
Les opérations que l’on cherche à définir doivent avoir un sens dans le cas où T
est une fonction. Ainsi, on définit les opérations sur les distributions à partir des résultats obtenus sur les fonctions localement sommables, c’est-à-dire les distributions
régulières.
| , et deux distribuRappelons que D′ est un espace vectoriel. Pour λ1 et λ2 dans C
tions T1 , T2 alors la distribution, λ1 T1 + λ2 T2 , combinaison linéaire de T1 et T2 est
définie par
∀ϕ ∈ D, hλ1 T1 + λ2 T2 , ϕi = λ1 hT1 , ϕi + λ2 hT2 , ϕi
Définition 3.2.1. Soit f (x) une fonction de la variable réelle x, la fonction f (x − a)
s’appelle translatée de f et est notée τa f (x).
31
Pour une fonction f (x) localement sommable, on peut écrire
Z
Z
∀ϕ ∈ D,
f (x − a) ϕ(x) dx =
f (x) ϕ(x + a) dx
IR
IR
hτa f (x), ϕ(x)i = hf (x), ϕ(x + a)i
Ainsi
Définition 3.2.2 (Translation). La translaté τa T d’une distribution T ∈ D′ est
donnée par
déf
∀ϕ ∈ D, hτa T, ϕi = hT, τ−a ϕi
Exemple. Pour δ on a, pour toute fonction ϕ ∈ D, hτa δ, ϕi = hδ, τ−a ϕi = ϕ(a)
c’est-à-dire τa δ = δa .
Comme pour les fonctions, on définit la notion de périodicité pour les distributions, ainsi que la notion de parité. Comme précédemment, on se place dans le cas
d’une fonction localement sommable, f .
Si f est périodique de période a, on a
Z
Z
hf (x), ϕ(x + a)i =
f (x − a) ϕ(x) dx =
f (x) ϕ(x) dx = hf (x), ϕ(x)i
IR
IR
Soit la fonction f , considérons la fonction f (−x), on a
Z
Z
hf (−x), ϕ(x)i =
f (−x) ϕ(x) dx =
f (x) ϕ(−x) dx = hf (x), ϕ(−x)i
IR
IR
Ainsi, si f est paire on a
Z
Z
hf (x), ϕ(−x)i =
f (−x) ϕ(x) dx =
f (x) ϕ(x) dx = hf (x), ϕ(x)i
IR
IR
Si f est impaire, on a
Z
Z
hf (x), ϕ(−x)i =
f (−x) ϕ(x) dx = − f (x) ϕ(x) dx = −hf (x), ϕ(x)i
IR
IR
Ce qui permet de donner les définitions suivantes
Définition 3.2.3 (Périodicité). T est dite périodique de période a si τa T = T
c’est-à-dire si
déf
∀ϕ ∈ D, hT(x), ϕ(x + a) − ϕ(x)i = 0
32
Définition 3.2.4 (Parité d’une distribution). Une distribution T est dite paire si
∀ϕ ∈ D,
déf
hT(x), ϕ(x) − ϕ(−x)i = 0
Une distribution T est dite impaire si
∀ϕ ∈ D,
déf
hT(x), ϕ(x) + ϕ(−x)i = 0
Exercice. Pour quelles valeurs de a, δa est paire, δa′ est impaire ?
Définition 3.2.5 (Changement d’échelle). Pour une fonction f localement sommable, on a
Z
Z
x
x
hf
, ϕ(x)i =
f
ϕ(x) dx = |a|
f (x) ϕ(ax) dx
a
a
IR
IR
Ce qui conduit à
∀ϕ ∈ D,
3.2.1
hT
x
a
déf
, ϕ(x)i = |a| hT(x), ϕ(ax)i
Dérivation
On veut définir la dérivée T′ d’une distribution T, de manière que, si T est une
fonction f continue à dérivées continues, on retrouve la dérivée usuelle f ′ .
Fonctions continues
Soit f une fonction continuement dérivable
Z
′
∀ϕ ∈ D, hf (x), ϕ(x)i =
f ′ (x) ϕ(x) dx
IR
Z
+∞
= [f ϕ]−∞ −
f (x) ϕ′ (x) dx
IR
= − hf (x), ϕ′ (x)i
en intégrant par partie et en remarquant que le terme tout intégré est nul car ϕ est
à support borné.
Cela conduit à la définition suivante
Définition 3.2.6. La dérivée d’une distribution T ∈ D ′ est notée T′ et définie par
∀ϕ ∈ D,
déf
hT′ , ϕi = − hT, ϕ′ i
33
On remarque que c’est bien une distribution. En effet ϕ ∈ D donc ϕ′ aussi, les
expressions sont donc des fonctionnelles. Si (ϕn ) converge vers ϕ dans D alors (ϕ′n )
converge vers ϕ′ dans D, donc comme T continue, T’ aussi. Dérivons une seconde
fois
∀ϕ ∈ D, hT′′ , ϕi = − hT′ , ϕ′ i = + hT, ϕ′′ i
On obtient le résultat fondamental suivant
Proposition 3.2.1. Toute distribution est indéfiniment dérivable, et on a
∀ϕ ∈ D,
hT(m) , ϕi = (−1)m hT, ϕ(m) i
Remarque 3.2.1. En particulier, toute fonction continue ou même localement sommable f a des dérivées successives de tous ordres, qui ne sont pas en général des
fonctions, mais des distributions. Si f est continuement dérivable, sa dérivée distribution coı̈ncide avec sa dérivée usuelle.
Exemple. Les dérivées successives de la distribution de Dirac sont, pour tout ϕ ∈ D
hδa′ , ϕi = − hδa , ϕ′ i = −ϕ′ (a)
hδa′′ , ϕi = + hδa′′ , ϕi = +ϕ′′ (a)
et en généralisant
hδa(m) , ϕi = (−1)m ϕ(m) (a)
Fonctions discontinues
Considérons la fonction de Heaviside Y(x)


 0 si x < 0
Y(x) =
1/2 si x = 0


1 si x > 0
Cette fonction est aussi appelée échelon unité et est très utilisée dans le calcul
symbolique. Cette fonction définit une distribution régulière, dérivons-la.
Pour tout ϕ ∈ D
Z
hY (x), ϕ(x)i = − hY(x), ϕ (x)i = − Y(x) ϕ′ (x) dx
IR
Z +∞
=−
ϕ′ (x) dx = ϕ(0) = hδ, ϕi
′
′
0
34
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−10
−5
0
5
10
Figure 3.5 – Fonction Heaviside.
On a donc Y′ = δ. Ainsi, la discontinuité de Y apparaı̂t dans sa dérivée sous forme
d’une masse ponctuelle.
Pour généraliser, considérons une fonction continue et dérivable (au sens usuel des
fonctions) pour x < a et x > a. Supposons que f admette pour chacune des dérivées,
une limite à gauche, f (m) (a− ), et à droite, f (m) (a+ ), de a.
On note σm (a) = f (m) (a+ ) − f (m) (a− ), le saut en x = a pour la dérivée m-ième de
f.
Pour toute fonction ϕ ∈ D, on écrit
hTf′ , ϕi
On a
−
Z
Z
Z a−
Z +∞
′
′
= − hTf , ϕ i = − f ϕ = −
fϕ −
f ϕ′
IR
−∞
a+
′
a−
′
f (x) ϕ (x) dx =
−∞
et
−
Z
−
−[f (x)ϕ(x)]a−∞
+
a+
f (x) ϕ (x) dx =
−[f (x)ϕ(x)]+∞
a+
a−
f ′ (x) ϕ(x) dx
−∞
+∞
′
Z
+
Z
+∞
f ′ (x) ϕ(x) dx
a+
et en ajoutant, ϕ étant continue en a, on obtient
Z
′
hTf , ϕi = σ0 (a)ϕ(a) +
f ′ (x) ϕ(x) dx
IR
35
c’est-à-dire dans D ′
Tf′ = Tf ′ + σ0 (a)δa
On fait encore apparaı̂tre la discontinuité de f sous forme d’une masse ponctuelle
en a et comme le montre le calcul, le signe du saut est très important.
Proposition 3.2.2 (Formule des sauts). Soit f une fonction continue par morceaux
et dérivable sur IR \ {a}. On note σ0 (a) = f (a+ ) − f (a− ) le saut signé de f en a. La
dérivée de la distribution régulière Tf dans D ′ est égale à la distribution associée à
la dérivée usuelle de f , notée f ′ , augmentée d’un Dirac en a pondéré par la valeur
signée du saut. Elle est donnée par
T′f = Tf ′ + σ0 (a)δa .
En dérivant successivement, cette formule devient en général compliquée mais
dans le cas où on suppose que les dérivées successives de f ont toutes une
seule discontinuité située en a, on obtient :
T′′f = Tf ′′ + σ0 (a)δa′ + σ1 (a)δa
T′′′
= Tf ′′′ + σ0 (a)δa′′ + σ1 (a)δa′ + σ2 (a)δa
f
et en généralisant
(m)
Tf
= Tf (m) + σ0 (a)δa(m−1) + · · · + σm−1 (a)δa
Exemple (1). La fonction d’Heaviside à une dérivée nulle au sens des fonctions. Elle
a une discontinuité en x = 0 de saut égal à 1. Sa dérivée au sens des distributions
est (figure 3.6)
Y′ = {Y′ } + 1δ = δ
Exemple (2). La fonction Y(x) cos x est égale à cos x pour x > 0 et est nulle pour
x < 0. Elle a une discontinuité en x = 0. Sa dérivée au sens des distributions est
(Y cos)′ = −Y sin +δ
c’est-à-dire la distribution régulière associée à la fonction égale à sin x pour x > 0
et nulle pour x < 0, augmentée de δ .
36
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−5
0
5
10
Figure 3.6 – Heaviside et sa dérivée, δ, au sens des distributions.
Exemple (3). La fonction porte Π à une dérivée nulle au sens des fonctions. Elle a
deux discontinuités : une en x = −1/2 de saut égal à 1, une autre en x = 1/2 de
saut égal à -1. Sa dérivée au sens des distributions est (figure 3.7)
Π′ = {Π′ } + 1δ−1/2 − 1δ1/2 = δ−1/2 − δ1/2
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figure 3.7 – La fonction Π(x) et sa dérivée au sens des distributions.
Exemple (4). La fonction Y(x) cos x est égale à cos x pour x > 0 et est nulle pour
x < 0. Elle a une discontinuité en x = 0. Sa dérivée au sens des distributions est
(Y cos)′ = −Y sin +δ
37
c’est-à-dire la distribution régulière associée à la fonction localement sommable égale
à sin x pour x > 0 et nulle pour x < 0, augmentée de δ.
Exercice. Calculer la dérivée seconde de la distribution régulière |x|.
3.2.2
Multiplication
La multiplication de deux distributions quelconques n’est pas possible. Si on
considère deux fonctions localement sommables, leur produit ne l’est pas forcément.
1
est localement sommable alors que f 2 ne l’est pas. On
Par exemple f (x) = p
|x|
considère la multiplication de deux distributions dans le cas où une des distributions
est une fonction indéfiniment dérivable.
Proposition 3.2.3. Soit T ∈ D ′ et α une fonction indéfiniment dérivable, alors le
produit αT est une distribution définie par
∀ϕ ∈ D,
déf
hαT, ϕi = hT, αϕi
Remarque 3.2.2. αT est bien une nouvelle distribution. En effet, αϕ est une fonction
indéfiniment dérivable (formule de Leibnitz pour le produit), de support inclus dans
celui de ϕ et qui dépend linéairement de ϕ. Si une suite de fonctions ϕj converge
vers 0 au sens de D, il en est de même de αϕj et T étant continue, il en est de même
pour αT. En effet le support K indépendant de j contenant tous les supports des
ϕj , contient aussi tous les supports des αϕj , et la convergence uniforme des dérivées
de tous ordres ϕj vers 0 entraine celles des dérivées de tous ordres αϕj en vertu de
la formule de Liebnitz.
Pour une fonction f localement sommable, αf est le produit usuel.
Le choix d’une fonction indéfiniment dérivable, donc très “régulière” permet de
définir un produit avec une distribution qui est “irrégulière”. Pour certaines distributions, on peut relâcher les contraintes sur α. En effet pour δ, on peut choisir une
fonction continue au voisinage de l’origine :
∀ϕ ∈ D,
hαδ, ϕi = hδ, αϕi = α(0)ϕ(0) = hα(0)δ, ϕi
On en déduit deux formules très souvent utilisées :
αδ = α(0)δ
et
αδa = α(a)δa
Exercice. Montrer que xδ = 0, xδ ′ = −δ, et plus généralement xδ (m) = −mδ (m−1) .
38
Proposition 3.2.4. Si αT existe, la dérivée est obtenue par la formule
(αT)′ = α′ T + αT′
Exemple. Soit la distribution de Heaviside Y et les fonctions indéfiniment dérivables
cos et sin, on a
(sin(x)Y)′ = cos(x)Y + sin(x)Y′ = cos(x)Y + sin(0)δ = cos(x)Y
(sin(x)Y)′′ = (cos(x)Y)′ = − sin(x)Y + cos(x)Y′ = δ − sin(x)Y
Le support de ces distributions est dans [0, +∞[, on dit qu’elles sont causales.
Problème de la division
Considérons l’équation αT = 0, c’est-à-dire ∀ϕ ∈ D, hαT, ϕi = 0, où α est une
fonction C ∞ . Le produit peut être nul sans que ni T ni α ne soit nul. C’est le cas du
produit xδ. On énonce
Proposition 3.2.5.
xT = 0 ⇐⇒ T = Aδ
où A est une constante arbitraire.
Preuve. La condition est suffisante, xδ = 0. Il faut montrer qu’elle est nécessaire.
Soit T telle que xT = 0 alors hT, xϕi = 0, c’est-à-dire que T est nulle sur toute
fonction χ = xϕ ∈ D. Pour qu’une telle fonction χ ∈ D soit de cette forme, il faut
χ(x)
est
et il suffit que χ(0) = 0. En effet si χ(0) = 0, alors la fonction ϕ(x) =
x
indéfiniment dérivable partout (pour x=0, on utilise le développement de Taylor de
χ). Considérons θ fixée ∈ D telle que θ(0) = 1, pour toute fonction ψ ∈ D
ψ(x) = λ θ(x) + χ(x)
avec λ = ψ(0) et χ(0) = 0
hT, χi = 0 =⇒ hT, ψi = λ hT, θi = C ψ(0) = C hδ, ψi c’est-à-dire T = Cδ où C est
la constante hT, θi.
Plus généralement, si α(x) est une fonction indéfiniment dérivable telle que
l’équation α(x) = 0 n’ait que des racines réelles simples ai , toute solution de αT = 0
X
est de la forme T =
Ai δai , où les Ai sont des constantes arbitraires et I un
i∈I
39
ensemble d’indices fini ou infini dénombrable.
Pour résoudre αT = S où S est une distribution connue, on cherche T0 une
solution particulière αT0 = S. On a alors α(T − T0 ) = 0 c’est-à-dire T = T0 +
X
Ai δai , où ai sont les racines réelles simples de la fonction α(x) et les Ai des
i∈I
constantes arbitraires.
Exemple. Pour résoudre xT = δ. On remarque que xδ = 0 donc par dérivation
−xδ ′ = δ. La solution particulière cherchée est donc T = −δ ′ , et la solution générale
est T = −δ ′ + Aδ.
3.3
3.3.1
Topologie dans l’espace des distributions
Convergence dans D ′
Définition 3.3.1. Une suite de distributions Tk converge vers la distribution T
lorsque k → ∞ si, quelle que soit ϕ ∈ D, la suite de nombres complexes hTk , ϕi
converge (au sens ordinaire) vers le nombre hT, ϕi lorsque k → ∞.
Remarque 3.3.1. T étant une fonctionnelle sur D, on définit ainsi une convergence
faible.
Si hTk , ϕi a une limite hT, ϕi lorsque k → ∞ alors T est une fonctionnelle
linéaire sur D. Si on prouve sa continuité, T sera une distribution de D ′ . Or il n’est
pas commun qu’une limite simple de fonctionnelles continues soit continue. Nous
admettons la proposition suivante
Proposition 3.3.1. Si une suite de distributions Tk converge vers une fonctionnelle
T, alors T est linéaire et continue sur D. C’est une distribution de D ′ .
Cela tient à la linéarité de T et à des propriétés particulières de l’espace D.
Proposition 3.3.2. Si des fonctions localement sommables fk convergent s.p.p. vers
la fonction localement sommable f lorsque k → ∞, et si les fonctions fk sont toutes
majorées en module par une même fonction g ≥ 0 localement sommable, alors les
distributions régulières fk convergent dans D′ vers la distribution f .
40
Preuve. On applique le théorème de Lebesgue à la suite de fonctions sommables fk ϕ,
toutes majorées par la fonction sommable gϕ et convergeant s.p.p. vers la fonction
f ϕ. On en déduit que f ϕ est sommable et
Z
Z
Z
fk (x) ϕ(x) dx =
lim fk (x) ϕ(x) dx =
f (x) ϕ(x) dx
lim
k→∞ IR
IR k→∞
IR
ϕ étant continue à support borné, f est localement sommable et définit une distribution.
Proposition 3.3.3. La dérivation est une opération linéaire et continue dans D′ .
Si des distributions Tk convergent dans D ′ vers la distribution T lorsque k → ∞,
les dérivées T′k convergent dans D ′ vers la distribution T′ .
Preuve. Supposons que Tk converge vers T et montrons que T′k converge vers T′ . On
a hT′k , ϕi = −hTk , ϕ′ i qui tend vers −hT, ϕ′ i donc lim hT′k , ϕi = −hT, ϕ′ i = hT′ , ϕi
k→∞
c’est-à-dire T′k converge vers T′ .
Remarque 3.3.2. On voit ainsi, comme on l’avait annoncé, que la notion de distributions simplifie énormément les problèmes liés à l’étude des propriétés des limites
des suites de fonctions.
Proposition 3.3.4 (Convergence vers δ). On énonce
i) si fk est une fonction ≥ 0 pour |x| ≤ n, n > 0 fixé,
ii) si fk converge vers 0 pour k → ∞, uniformément dans tout ensemble
0 < a ≤ |x| ≤
iii) si lim
k→∞
Z
1
< ∞,
a
fk (x) dx = 1, ∀a > 0
|x|≤a
alors fk converge vers δ pour k → ∞.
Preuve. Voir [Schwartz, p. 104].
Exemple. La suite de distributions régulières Tn associées aux fonctions localement
sommables cos nx tend vers 0 quand n → ∞. De même lim sin nx = 0. Comme on
n→∞
l’a vu dans l’introduction, la suite de distributions régulières kΠ(kx) tend vers δ
quand k → ∞.
Exercice. En décomposant ϕ(x) = ϕ(x) − ϕ(0) + ϕ(0), montrer que
sin nx
= πδ.
n→∞
x
lim
41
3.3.2
Sur-ensembles de D
Définition 3.3.2. On définit et on note S l’espace des fonctions réelles ou complexes
sur IR indéfiniment dérivables, décroissant à l’infini, ainsi que toutes leurs dérivées,
1
.
plus vite que toutes puissances de
|x|
La notion de convergence sur S est la suivante :
Définition 3.3.3. On dit qu’une suite ϕj converge vers ϕ au sens de S, si la suite
(m)
(xp ϕj ) converge vers xp ϕ(m) uniformément sur IR, quels que soient l’ordre m ≥ 0
de dérivation et la puissance p ≥ 0 de x. On note
S
ϕj −−−−→ ϕ.
j→∞
On peut encore relâcher les contraintes sur les fonctions tests,
Définition 3.3.4. On définit et on note E l’espace des fonctions réelles ou complexes
sur IR indéfiniment dérivables à support quelconque.
La notion de convergence sur E est la suivante :
Définition 3.3.5. On dit qu’une suite ϕj converge vers ϕ au sens de E, si elle
converge vers ϕ uniformément sur tout compact, ainsi que chacune de ses dérivées.
Ces espaces contiennent l’espace D. On a D ⊂ S ⊂ E.
3.3.3
Sous-ensembles de D′
S ′ , espace des distributions tempérées
Définition 3.3.6. Une distribution de S ′ (tempérée) est une fonctionnelle linéaire
et continue sur S au sens de la définition 3.3.3.
On travaillera avec cet espace de distributions lorsqu’on définira la transformation
de Fourier.
E ′ , espace des distributions à support borné
Définition 3.3.7. Une distribution de E ′ (à support borné) est une fonctionnelle
linéaire et continue sur E au sens de la définition 3.3.5. Réciproquement, on montre
qu’une fonctionnelle linéaire et continue sur E est une distribution à support borné
(voir [Schwartz, p. 108]).
42
Lorsqu’on définit des fonctionnelles sur des ensembles de fonctions test moins restreints que D on obtient des sous-ensembles de D ′ . On a E ′ ⊂ S ′ ⊂ D ′ .
3.4
Les distributions à plusieurs dimensions
Ce paragraphe est largement inspiré des livres de Roddier et de Schwartz auxquels le lecteur pourra se référer pour plus de détails.
3.4.1
Définitions et exemples
Soit D k , l’opérateur différentiel d’ordre |k| = k1 + k2 + · · · + kn , défini par :
Dk =
∂ k1 +k2 +···+kn
.
∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xknn
Pour considérer des distributions à plusieurs dimensions, il faut travailler avec des
fonctions test ϕ(x), x = (x1 , x2 , . . . , xn ), indéfiniment dérivables et à support borné
dans IRn . Donc toutes les dérivées
D k ϕ(x) =
∂ k1 +k2 +···+kn
ϕ(x1 , x2 , . . . , xn )
∂xk11 ∂xk22 . . . ∂xknn
existent quel que soit l’ordre de dérivation |k|.
L’exemple donné en définition 3.1.5. se généralise par

 0 si |x| ≥ 1
ϕ(x) =
−1
 exp
si |x| < 1
1 − |x|2
avec |x| la norme de x dans IRn .
Remarque 3.4.1. La convergence dans D(IRn ) s’énonce de la même façon, et la définition d’une distribution reste la même : c’est une fonctionnelle linéaire et continue
sur D(IRn ).
Distributions régulières sur IR3
Définition 3.4.1. Les fonctions localement sommables f (x) (sommables sur tout
parallélépipède borné K de IR3 ) définissent des distributions régulières par :
ZZZ
déf
∀ϕ ∈ D, hTf , ϕi =
f (x) ϕ(x) dx
K
43
x = (x1 , x2 , x3 ).
Remarque 3.4.2. Deux fonctions localement sommables définissent la même distribution si, et seulement si, elles sont presque partout égales.
Distributions singulières sur IR3
Les exemples les plus fréquents de distributions singulières sont ceux liés à la
distribution de Dirac.
Exemple (Distribution ponctuelle de Dirac en a). Pour un point a de IR3 , elle se
note δa et se définit par :
∀ϕ ∈ D,
déf
hδa , ϕi = ϕ(a)
Exemple (Distribution superficielle de Dirac dans IR3 ). Soit S une surface dans IR3 ,
elle se note δS et se définit par :
ZZ
déf
ϕ dS
∀ϕ ∈ D, hδS , ϕi =
S
Exemple (Distribution linéaire de Dirac dans IR3 ). Soit l une courbe dans IR3 , elle
se note δl et se définit par :
Z
déf
∀ϕ ∈ D, hδl , ϕi =
ϕ dl
l
Remarque 3.4.3. Application physique :
– une charge ponctuelle q au point a sera représentée par la distribution q δa ,
– une densité superficielle σ sur la surface S sera représentée par la distribution
σ δS .
3.4.2
Dérivation dans D′ (IR3 )
Les différentes opérations sur les distributions vues plus haut se transposent aux
distributions à plusieurs dimensions. Le lecteur pourra s’en convaincre en démontrant
les relations données pour n = 3. En particulier, pour un changement d’échelle
α ∈ IR, on trouve la relation
x
déf
, ϕ(x)i = |α|3 hT(x), ϕ(αx)i
∀ϕ ∈ D, hT
α
Les distributions de D′ (IRn ) sont indéfiniment dérivables et la définition donnée
pour n = 1 se généralise.
44
Définition 3.4.2. Soit D k , l’opérateur différentiel d’ordre |k| = k1 + k2 + · · · + kn
défini au paragraphe 3.4.1. Toute distribution T a des dérivées successives de tous
ordres, et on peut intervertir l’ordre des dérivations. On a :
∀ϕ ∈ D,
hD k T, ϕi = (−1)|k| hT, D k ϕi.
Remarque 3.4.4. On obtient cette formule comme pour le cas n = 1, en cherchant la
∂T
d’une distribution T sur IRn par rapport à la variable x1 , de façon que,
dérivée ∂x
1
∂f
au sens usuel
si T est une fonction continue à dérivées continues, on retrouve ∂x
1
des fonctions. On peut appliquer le théorème de Fubini puisque les fonctions sont
continues et l’ensemble d’intégration borné.
Nous allons maintenant détailler la dérivation de deux distributions de IR3 ayant
des applications importantes en physique.
Dérivation de la distribution de Dirac
Appliquons la définition 3.4.2 à la distribution de Dirac dans IR3 . On peut noter,
δx′ 1 , δx′ 2 et δx′ 3 , les trois dérivées partielles d’ordre 1 dans les trois directions, définies
par :
∂ϕ
∂ϕ
i=−
(0, 0, 0)
∀ϕ ∈ D, hδx′ 1 , ϕi = −hδ,
∂x1
∂x1
Nous avons vu au début du chapitre que δ est la limite dans D′ de la suite
de fonctions ρk (x) = kΠ(kx) quand k tend vers l’infini. En dérivant au sens des
distributions
h
i
[kΠ(kx)]′ = k δ− 1 − δ 1 ,
2k
2k
et on peut donc considérer δ comme la limite dans D ′ de la distribution ci-dessus
quand k tend vers l’infini. En électrostatique, cette distribution représente une charge
+k et une charge −k espacées de k1 et lorsque k tend vers l’infini, on obtient un
doublet de moment dipolaire -1.
Ainsi, les dérivées δx′ 1 , δx′ 2 et δx′ 3 sont les représentations mathématiques correctes
de doublets de moment dipolaire −1 suivant les axes x~1 , x~2 et x~3 .
′
Dérivation d’une fonction discontinue au passage d’une surface S de IR3
Soit une fonction indéfiniment dérivable dans le complémentaire d’une surface
régulière S, telle que chaque dérivée partielle ait une limite de part et d’autre de
S, en chaque point de S. La différence entre ces limites sera le saut de la dérivée
45
partielle correspondante, qui n’est défini que pour un sens déterminé de traversée
de la surface S. Ce saut est une fonction définie sur S. On note Df une dérivée de
f au sens des distributions, et {Df } la distribution associée à la fonction dérivée
usuelle qui est, définie pour x ∈
/ S et, non définie pour x ∈ S (ensemble de mesure
3
nulle dans IR ),
ZZZ
∂ϕ
∂ϕ
∂f
, ϕi = −hf,
i=−
f
dx1 dx2 dx3
h
3
∂x1
∂x1
∂x1
IR
Z
ZZ
∂ϕ
dx1
=
dx2 dx3 −
f
IR2
IR ∂x1
En utilisant la formule des sauts (proposition 3.2.2), on trouve
Z
dx2 dx3 σ0 ϕ +
∂f
ϕ dx1
IR2
IR ∂x1
avec σ0 le saut de la fonction f lorsqu’on traverse la surface S dans le sens de l’axe
des x~1 . Ce saut est calculé au point d’intersection P de S avec la parallèle à l’axe
des x~1 passant par le point de coordonnées (0, x2 , x3 ) : ϕ est à calculer au même
point P . Le premier terme s’écrit :
ZZ
ZZ
σ0 (P ) ϕ(P ) dx2 dx3
IR2
On note ~n, le vecteur normal à S orienté dans le même sens de traversée que
pour le calcul du saut (ici x~1 croissant), et cos θ1 = ~n.x~1 .
En remarquant que dx2 dx3 est la projection de l’élément différentiel de surface dS
sur le plan x2 x3 et en introduisant θ1 , on obtient l’intégrale de surface :
ZZ
ZZ
σ0 ϕ cos θ1 dS = σ0 cos θ1
ϕ dS = hσ0 cos θ1 δS , ϕi
S
S
avec δS une distribution de Dirac superficielle sur la surface S. Finalement, on
obtient :
ZZZ
∂f
∂f
, ϕi = hσ0 cos θ1 δS , ϕi +
ϕ dx1 dx2 dx3
∀ϕ ∈ D, h
∂x1
IR3 ∂x1
On énonce
∂f
dans D′ d’une distribution régulière
Proposition 3.4.1. Les dérivées partielles, ∂x
i
associée à une fonction f localement sommable dans IR3 et discontinue au passage
d’une surface S, sont données par la distribution associée aux dérivées partielles
46
n o
∂f
, auxquelles il faut rajouter une densité superficielle
de la fonction f , notées ∂x
i
de Dirac pondérée par la discontinuité de la fonction f au passage de S dans la
direction normale :
∂f
∂f
= σ0 cos θi δS +
Pour i ∈ {1, 2, 3},
∂xi
∂xi
où σ0 est le saut fext (P ) − fint (P ) en chaque point P de S dans la direction de la
normale extérieure ~n (cos θi = ~n.x~i ).
3.4.3
Application
Soit une fonction f localement sommable dans IR3 et discontinue au passage
d’une surface S de normale
n ~no. Au sens des fonctions, on définit le vecteur gradient
~ , par le vecteur colonne
de f , noté {grad f } ou ∇f
n o ∂f ∂f ∂f T
~
∇f
=
∂x1
∂x2
∂x3
Ainsi au sens des distributions, on a
n o
~ = ∇f
~
∇f
+ σ0~n δS
Formule d’Ostrogradsky
Soit une fonction f définie et dérivable à l’intérieur d’un volume V délimité par
une surface fermée S, et nulle en dehors. Le saut σ0 est égal à −f . Pour une fonction
test ϕ, on obtient l’équation vectorielle suivante :
Dn o E
~
~
~
h∇f, ϕi =
∇f
, ϕ − hf~n δS , ϕi = −hf, ∇ϕi
L’ensemble D des fonctions test est l’ensemble commun à toutes les distributions
mais certaines d’entres elles ont aussi un sens lorsqu’on les applique à des fonctions
test moins restrictives. Ainsi, dans ce cas où la distribution régulière est associée à
une fonction nulle en dehors d’un volume V , on peut prendre ϕ = 1 sur IR3 , puisque
les intégrales auront un sens. Ainsi :
ZZZ
ZZ
~
∇f dV =
f ~n dS
V
S
47
Soit maintenant un champs de vecteurs f~ =
3
X
fi xi , représenté par trois fonc-
i=1
tions f1 , f2 , f3 . Comme précédemment les sauts respectifs valent −f1 , −f2 , −f3 .
En appliquant la formule de la proposition 3.4.1 à la fonction ϕ = 1 pour chaque
fi et en additionnant les trois expressions, on obtient :
ZZZ
V
que l’on écrit
ZZ X
3
3
X
∂fi
fi cos θi dS
dV =
∂x
i
S
i=1
i=1
ZZZ
divf~ dV =
V
48
ZZ
(f~.~n) dS
S
Chapitre 4
La convolution
Ce chapitre est fondamental en traitement du signal et en physique en général. On
va définir une “opération”entre deux fonctions, puis deux distributions qui permettra
de modéliser ce qui se passe lorsqu’on utilise un appareil de mesure et de caractériser
la relation entre l’entrée et la sortie d’un système physique (opérateur) qui possède
certaines propriétés que l’on explicitera, à savoir : la linéarité, la continuité et la
stationnarité ou invariance dans le temps.
4.1
4.1.1
Convolution des fonctions
Définition
Définition 4.1.1. On appelle produit de convolution de deux fonctions localement
sommables f (x) et g(x), la fonction h(x) définie par
Z
h(x) = (f ∗ g)(x) =
f (t) g(x − t) dt.
IR
On note souvent f (x) ∗ g(x) lorsque les fonctions sont explicitées.
Ce produit n’est pas toujours défini. En général, une des fonctions est à support
borné ou très rapidement décroissante de sorte que le produit de convolution a un
sens. On étudiera les cas pour lesquels il est toujours défini.
On remarque que le nom de produit est bien choisi, puisque le produit de convolution
est commutatif (on pose θ = x − t) et distributif par rapport à l’addition de deux
fonctions.
49
4.1.2
Interprétation physique
Le produit de convolution peut être décomposé schématiquement par la suite
d’opérations suivantes :
1. retournement de g(t) donnant g(−t)
2. translation de g(−t) donnant g(x − t)
3. multiplication par f (t)
4. intégration
Exercice. Calculer le produit de convolution Π(x/T )∗Π(x/T ), où Π(y) est la fonction
porte de largeur 1 (Définition 3.1.1.).
Le produit de convolution de f par g a des fluctuations moins rapides que f si la
fonction g est suffisamment régulière. Par exemple, f est le vrai signal à mesurer et
g représente l’effet de l’appareil de mesure qui a une résolution limitée. On n’obtient
pas la mesure de f mais celle de f ∗ g.
1 x
, a > 0, et Π la fonction porte. Pour une fonction f ,
Exemple. Soit g(x) = Π
a
a
on a
Z
Z
1 x 1
x−t
1 x+a/2
h(x) = f (x) ∗ Π
=
f (t) Π
dt =
f (t) dt
a
a
a IR
a
a x−a/2
qui représente la moyenne de f sur un voisinage de x. Si a est assez petit, alors sur
l’intervalle d’intégration, h(x) tend vers f (x). D’autre part, si on fait tendre a vers
0, on a vu que g(x) tendait vers δ. Ainsi par passage à la limite on a, f = f ∗ δ.
δ serait donc l’unité du produit de convolution. Pour le montrer rigoureusement, il
faut définir le produit de convolution de deux distributions. Avant cela, donnons un
résultat important.
4.1.3
Fonctions causales
Définition 4.1.2. On dit qu’une fonction f (x) est causale s’il existe un réel a, tel
que f (x) = 0, pour tout x < a. En général a = 0, on parle aussi de fonctions à
support dans IR+ .
50
Proposition 4.1.1. Soient f et g deux fonctions localement sommables à support
dans IR+ , alors le produit de convolution, h(x), existe toujours.
Il est à support dans IR+ et défini par
 Z x

f (t) g(x − t) dt
h(x) = (f ∗ g)(x) =
0

0
si x > 0
si x < 0
Preuve. A faire en exercice.
4.2
4.2.1
Convolution dans D ′
Produit tensoriel
Définition 4.2.1. Soit une fonction h(x, y) de deux variables. S’il existe deux fonctions d’une variable f (x) et g(y) telles que h(x, y) = f (x).g(y) définisse une fonction
de deux variables, on dit que h est le produit tensoriel ou produit direct des fonctions
f et g.
Cela permet de construire des fonctions de plusieurs variables à partir de fonctions d’une variable. Par exemple, pour décrire les points d’une surface, on peut
travailler avec deux fonctions de IR qui parcourent la surface dans deux directions
orthogonales.
Proposition 4.2.1. De plus, si f et g sont deux fonctions localement sommables,
x et y étant des variables indépendantes, la fonction f (x).g(y) est une fonction
localement sommable dans IR2 , et définit donc une distribution régulière. Pour toute
fonction ϕ(x, y) ∈ D x,y indéfiniment dérivable à support borné dans IR2 , on a
hh(x, y), ϕ(x, y)i = hf (x), hg(y), ϕ(x, y)ii = hg(y), hf (x), ϕ(x, y)ii.
Preuve. Si ϕ(x, y) = u(x).v(y), avec u(x) ∈ D x et u(y) ∈ D y , alors
ZZ
hh(x, y), ϕ(x, y)i =
f (x) g(y) u(x) v(y) dxdy = hf (x), u(x)ihg(y), v(y)i.
Si ϕ n’est plus de cette forme, f (x).g(y) étant localement sommable dans IR2 ,
f (x)g(y)ϕ(x, y) est sommable dans IR2 et d’après le théorème de Fubini, l’intégrale
51
existe et on peut intégrer dans l’ordre que l’on veut :
ZZ
hh(x, y), ϕ(x, y)i =
f (x) g(y) ϕ(x, y) dxdy
Z
f (x)
d’où le résultat.
Z
g(y) ϕ(x, y) dxdy =
Z
g(y)
Z
f (x) ϕ(x, y) dxdy
Par généralisation, on montre que pour deux distributions Sx ∈ D ′x et Ty ∈ D ′y ,
il existe une distribution Wx,y ∈ D ′x,y , bien déterminée et unique que l’on calcule
de la façon suivante. On fixe x et ϕ(x, y) ∈ D x,y comme fonction de y seul est dans
D y , on peut calculer θ(x) = hTy , ϕ(x, y)i. Ce nombre qui dépend de x, donne une
fonction de D x , et on calcule hSx , θ(x)i :
hW, ϕi = hS, θi = hSx , hTy , ϕ(x, y)ii = hTy , hSx , ϕ(x, y)ii.
Le support de W est le produit des supports de S et T, c’est-à-dire l’ensemble des
points (x, y) tels que x ∈ supp(S) et y ∈ supp(T) (voir [Schwartz, p. 121]).
Exemple. Considérons le produit tensoriel δ(x).1(y). Soit ϕ(x, y) ∈ D(IR2 )
Z
hδ(x).1(y), ϕ(x, y)i = h1(y), hδ(x), ϕ(x, y)ii = h1(y), ϕ(0, y)i =
ϕ(0, y) dy
IR
c’est-à-dire une distribution linéaire de Dirac sur l’axe 0y.
De même hδ(x).δ(y), ϕ(x, y)i = ϕ(0, 0), c’est-à-dire une distribution ponctuelle de
Dirac au point origine du plan.
4.2.2
Convolution de distributions
Définition 4.2.2. Soient deux distributions S et T. On appelle produit de convolution S∗T, une nouvelle distribution définie par
∀ϕ ∈ D(IR),
déf
hS ∗ T, ϕi = hSx .Ty , ϕ(x + y)i
avec Sx .Ty le produit tensoriel et ϕ(x + y), la valeur de ϕ(X) pour X = x + y.
Le produit tensoriel S(x).T(y) existe toujours. Son support est le produit A × B
des supports de S et T, c’est-à-dire l’ensemble des points (x, y) tels que x ∈ A et
y ∈ B. Or, ϕ(X) est à support borné dans IR, et non à support borné dans IR2 ,
comme supposé pour définir le produit tensoriel de deux distributions. En fait, si le
52
support de ϕ est l’intervalle [a, b] alors ϕ(x + y) a un support E compris entre les
deux droites d’équation x + y = a et x + y = b, parallèles à la deuxième bissectrice.
Ainsi le produit de convolution de deux distributions n’est pas toujours défini. On
énonce
Proposition 4.2.2. Le produit de convolution S ∗ T existe si l’intersection entre
A × B et l’ensemble E est bornée. Alors T ∗ S existe aussi et les deux expressions
sont égales. Lorsqu’il existe, le produit de convolution est commutatif.
On énonce les conditions d’existence suffisantes suivantes :
– les distributions S et T sont toutes deux à support borné,
– une des deux distributions est à support borné,
– les deux distributions ont leur support borné du même côté.
Ces conditions ne sont pas nécessaires.
Remarque 4.2.1. On note D ′+ , l’ensemble des distributions à support borné à gauche
(dites aussi causales). Dans E ′ et D ′+ , la convolution a toujours un sens.
Exemple. La distribution de Dirac est à support borné. Le produit de convolution
existe quelle que soit T∈ D ′ .
∀ϕ ∈ D,
hδ ∗ T, ϕi = hδ(x).T(y), ϕ(x + y)i
= hT(y), hδ(x), ϕ(x + y)ii
= hT(y), ϕ(y)i
= hT, ϕi
Ainsi pour toute distribution de D ′ , on a T ∗ δ = T.
Proposition 4.2.3. La distribution δ est l’unité du produit de convolution.
Propriétés de la convolution
Le produit de convolution est commutatif et distributif par rapport à l’addition
de deux distributions. Il n’est pas associatif en général. Pour trois distributions R,
S, et T, si les trois produits deux à deux existent, alors le produit
R ∗ S ∗ T = (R ∗ S) ∗ T = R ∗ (S ∗ T).
53
Si A est le support de S(x) et B le support de T(y), on montre que le support de
S ∗ T est contenu dans l’ensemble A + B = {X = x + y, x ∈ A et y ∈ B}. Ainsi
le produit de convolution de deux distributions de D′+ existe toujours et est une
distribution de D′+ .
Convolution de distributions régulières
Si f et g sont localement sommables, elles définissent deux distributions régulières
Sf et Tg . Leur produit de convolution Sf ∗ Tg , s’il existe, est la distribution régulière
Wh = Wf ∗g associée à la fonction localement sommable
Z
h(x) = (f ∗ g)(x) = f (t) g(x − t) dt.
Preuve. Soit ϕ ∈ D, on écrit
hSf (x).Tg (y), ϕ(x + y)i =
ZZ
f (x)g(y)ϕ(x + y) dx dy.
Si les supports de f et g sont telles que ϕ reste bornée dans IR2 , alors l’intégrale
est convergente et on peut faire un changement de variable u = x + y et t = x. Le
jacobien de la transformation vaut 1 et on obtient
ZZ
f (t)g(u − t)ϕ(u) dt du.
R
Le théorème de Fubini assure que f (t)g(u−t)ϕ(u) dt a un sens pour presque toutes
R
les valeurs de u. Donc f (t)g(u − t) dt est une fonction h(u) définie pour presque
tout u tel que ϕ(u) 6= 0. Comme ceci est vrai pour toute ϕ(u) à support borné, alors
h(u) est une fonction définie presque partout. Toujours d’après Fubini hϕ est une
fonction sommable, donc h est une fonction localement sommable et définie par f ∗ g
(définition 4.1.1.).
Convolution par une constante
Soient f et g deux fonctions sommables,
les produits de convolution
1 ∗ f et 1 ∗ g
Z
Z
existent et sont égaux à (1 ∗ f )(t) =
f (x) dx et (1 ∗ g)(t) =
g(x) dx respective-
ment, qui sont des fonctions constantes.
Si f ∗ g existe, alors 1 ∗ f ∗ g existe et est associatif, on a
Z
Z
Z
1 ∗ [f ∗ g] = (f ∗ g)(x) dx
[1 ∗ f ] ∗ g = f (x) dx
g(x) dx,
54
ainsi
Z
(f ∗ g)(x) dx =
Z
f (x) dx
Z
g(x) dx.
Convolution par δa
Pour tout ϕ ∈ D et T ∈ D ′ , on écrit
hδa ∗ T, ϕi = hδ(x − a).T(y), ϕ(x + y)i
= hT(y), hδ(x − a), ϕ(x + y)ii
= hT(y), ϕ(a + y)i
= hT(y − a), ϕ(y)i
Ainsi pour tout T ∈ D ′ , δa ∗ T = τa T.
Convolution par δ ′
Pour tout ϕ ∈ D et T ∈ D ′ , on écrit
hδ ′ ∗ T, ϕi = hδ ′ (x).T(y), ϕ(x + y)i
= hT(y), hδ ′(x), ϕ(x + y)ii
= hT(y), −ϕ′ (y)i
= hT′ , ϕi
Ainsi pour tout T ∈ D ′ , δ ′ ∗ T = T′ .
Translation d’un produit de convolution
Pour translater un produit de convolution, il suffit de translater une des distributions. Soit T = R ∗ S, on a
τa T = δa ∗ (R ∗ S) = τa R ∗ S = R ∗ τa S.
En effet, si T existe, le produit est associatif. Il est toujours commutatif.
Dérivation d’un produit de convolution
Pour dériver un produit de convolution, il suffit de dériver une des distributions.
Soit T = R ∗ S, on a
T′ = δ ′ ∗ (R ∗ S) = R′ ∗ S = R ∗ S′ .
55
4.3
Régularisation
Les fluctuations rapides d’une fonction sont atténuées par convolution avec une
fonction suffisamment régulière. On a le théorème dit de régularisation suivant
Théorème 4.3.1 (Régularisation). Soit T une distribution et α une fonction indéfiniment dérivable. Alors T ∗ α est une fonction indéfiniment dérivable définie
par :
(T ∗ α)(x) = h(x) = hT(t), α(x − t)i
sa dérivée m-ième étant donnée par h(m) (x) = hT(t), α(m) (x − t)i.
On dit que la convolution avec α est une régularisation de T par α. La fonction α
est dite régularisante et h appelée régularisée de T par la fonction α.
On remarque que pour x fixé, α(x − t) comme fonction de t seul est une fonction
de D t . Pour obtenir h on lui applique la distribution T. Ainsi h est une fonction
de x et est indéfiniment dérivable comme composée de deux objets indéfiniment
dérivables. Il faut ensuite identifier h et T ∗ α dans D ′ (voir [Schwartz, p. 128]).
Remarque 4.3.1. Si T est une fonction f , on retrouve
Z l’expression du produit de
convolution de deux fonctions f et α : (f ∗ α)(x) = f (t) α(x − t) dt.
4.3.1
Continuité de la convolution
On admet le résultat partiel suivant. Si S ∈ D′ fixée, et (Tα ) est une famille de
distributions de D′ dépendant du paramètre α et ayant une limite T quand α tend
vers α0 ou +∞, alors Tα ∗ S tend vers T ∗ S dans chacun des cas suivants :
– les Tα ont leur support contenu dans un ensemble borné fixe,
– S est à support borné,
– les supports des Tα et de S sont tous contenus dans IR+ .
4.3.2
Notions de densité des ensembles
A l’aide des deux résultats précédents (régularisation et continuité), on démontre
les deux résultats suivants
Proposition 4.3.2. Toute distribution est limite dans D ′ de fonctions indéfiniment
dérivables. On dit que E est dense dans D ′ .
56
Proposition 4.3.3. Toute distribution est limite dans D ′ de fonctions indéfiniment
dérivables à support borné. On dit que D est dense dans D ′ .
Ainsi une limite de fonctions tests peut être une distribution. Si on remarque
qu’une fonction de D est une distribution en tant que fonction localement sommable,
on comprend mieux ce résultat.
4.4
Convolution en physique
On considère un système physique décrit par un opérateur qui à tout signal
d’entrée ou d’excitation S fait correspondre une réponse unique R. Les signaux
d’entrée et sortie peuvent être des fonctions du temps, de l’espace, elle peuvent ne
pas être de même nature.
4.4.1
Propriétés de l’opérateur
Linéarité
L’opérateur est dit linéaire si à l’entrée λ1 S1 + λ2 S2 correspond la sortie λ1 R1 +
λ2 R2 , où Ri est la sortie correspondant à Si
L(λ1 S1 + λ2 S2 ) = λ1 L(S1 ) + λ2 L(S2 ) = λ1 R1 + λ2 R2 .
Continuité
L’opérateur L est dit continu si des excitations peu différentes conduisent à des
sorties peu différentes. Soit Sk une suite de signaux convergeant vers S et Rk les
sorties correspondantes qui convergent vers R, l’opérateur est continu s’il commute
avec la limite
L(S) = L( lim Sk ) = lim L(Sk ) = lim Rk = R.
k→∞
k→∞
k→∞
Stationnarité
L’opérateur est dit stationnaire s’il commute avec les translations, c’est-à-dire
que la réponse ne dépend pas de l’instant où le signal a été envoyé
L(S(x)) = L(S(x − a)) = R.
57
Définition 4.4.1. Un système physique décrit par un opérateur linéaire stationnaire
et continu est appelé filtre.
Définition 4.4.2. Un système physique est décrit par un opérateur de convolution
s’il existe une distribution U, caractéristique du système telle que la réponse R à un
signal S quelconque soit donnée par R = U ∗ S.
La réponse à l’impulsion δ est alors U ∗ δ = U, on l’appelle la réponse impulsionnelle
du système.
Théorème 4.4.1 (des filtres). Un système physique est décrit par un filtre si et
seulement s’il est régi par un opérateur de convolution.
Soit L, une application de D′+ dans D ′+ , elle est linéaire, stationnaire et continue si
et seulement s’il existe une distribution fixée U de D ′+ , telle que L(T) = U ∗ T, avec
U = L(δ).
4.5
Algèbre de convolution
On vient de voir que de nombreux problèmes physiques sont régis par des équations de convolution. Il s’agit maintenant de savoir les résoudre.
Définition 4.5.1. Une algèbre de convolution A est un sous-espace vectoriel de
distributions de D′ contenant δ (élément neutre) et sur lequel on peut définir le
produit de convolution d’un nombre fini quelconque de distributions.
Exemple. L’ensemble des distributions à support borné, E ′ , et l’ensemble des distributions à support contenu dans IR+ , D′+ , sont des algèbres de convolution.
4.5.1
Equation de convolution
Soit l’équation de convolution A ∗ X = B, où A et B sont dans l’algèbre A. Le
problème est de trouver X et savoir s’il est unique.
Supposons qu’il existe dans l’algèbre A une distribution notée A∗−1 , ou simplement A−1 , appelée inverse de convolution de A vérifiant A ∗ A−1 = δ.
Pour obtenir X il suffit alors de convoluer les deux membres de l’équation A∗X = B
par l’inverse A−1 , c’est-à-dire X = B ∗ A−1 .
58
Si X existe, il est unique. En effet, soit Y vérifiant A ∗ Y = B alors
X = A−1 ∗ B = A−1 ∗ A ∗ Y = Y,
et en particulier A−1 est unique. Il est appelé solution élémentaire de l’équation de
convolution.
Remarque 4.5.1. Si A−1 existe, il est unique. Mais il peut ne pas exister par exemple
si A est une fonction de D à support dans IR+ . Alors pour toute distribution T de
D ′+ , T ∗ A existe mais est une fonction indéfiniment dérivable qui ne sera jamais
égale à δ (Théorème 4.3.1.).
Exemple. Soit une équation différentielle linéaire à coefficients constants
a0 X(t) + a1
dn X(t)
dX(t)
+ · · · + an
= B(t).
dt
dtn
On peut l’écrire
a0 δ(t) + a1 δ ′ (t) + · · · + an δ (n) (t) ∗ X(t) = B(t)
et on peut noter Dδ ∗X = B, où D est l’opérateur différentiel à coefficients constants
a0 , · · · , an .
L’inverse cherché est alors (Dδ)−1 .
Proposition 4.5.1. Si D est un opérateur différentiel d’ordre n à coefficients constants, de coefficient de plus grand ordre égal à 1, alors Dδ est inversible dans D′+
et son inverse est le produit Y Z de la distribution d’Heaviside Y par la fonction Z,
solution de l’équation homogène DZ = 0 vérifiant les conditions initiales
Z (n−1) (0) = 1
Preuve. On veut
et Z étant n-fois









et
Z (n−2) (0) = · · · = Z ′ (0) = Z(0) = 0.
montrer que (Dδ)−1 = Y Z. Or, Y Z a des discontinuités à l’origine
dérivable, on dérive comme suit :
(Y Z)′ = Y Z ′ + Z(0)δ
(Y Z)′′ = Y Z ′′ + Z ′ (0)δ + Z(0)δ ′





(Y Z)(n−1) = Y Z (n−1) + Z (n−2) (0)δ + · · · + Z(0)δ (n−2)



(Y Z)(n) = Y Z (n) + Z (n−1) (0)δ + · · · + Z(0)δ (n−1)
On en déduit (Y Z)(k) = Y Z (k) pour k ≤ n − 1 et (Y Z)(n) = Y Z (n) + δ.
Ainsi (Dδ) ∗ Y Z = D(Y Z) = Y (DZ) + δ = δ puisque DZ = 0.
59
d
| . On cherche l’inverse de Dδ = δ ′ − λδ. On
−λ , λ ∈ C
Exemple. Soit D =
dx
résout l’équation homogène g ′ − λg = 0 qui a pour solution générale
g(x) = Ceλx
avec g(0) = C = 1.
Ainsi
(δ ′ − λδ)−1 = Y (x)eλx .
La solution de DX = B, B distribution fixée, est alors B ∗ Y (x)eλx .
Proposition 4.5.2. Si A1 et A2 sont inversibles dans l’algèbre D ′+ , A1 ∗ A2 est
inversible, et son inverse est (A1 ∗ A2 )−1 = A1 −1 ∗ A2 −1 .
Preuve. (A1 ∗ A2 ) ∗ (A1 −1 ∗ A2 −1 ) = (A1 ∗ A1 −1 ) ∗ (A2 ∗ A2 −1 ) = δ ∗ δ = δ.
4.5.2
Calcul symbolique
On peut faire une analogie entre le produit usuel et la convolution de la manière
suivante. On identifie Dδ à un polynôme symbolique en δ, où les dérivations correspondent à des puissances de r avec la convention δ (0) = r 0 = 1. En d’autres termes,
on identifie
Dδ = δ (n) + an−1 δ (n−1) + · · · + a1 δ ′ + a0 δ
à l’expression
P (r) = r n + an−1 r n−1 + · · · + a1 r + a0
| (théorème de d’Alembert). Ainsi,
qui est un polynôme admettant n racines λi dans C
on peut factoriser ce polynôme en r, et par analogie écrire
Dδ = (δ ′ − λn δ) ∗ (δ ′ − λn−1 δ) ∗ · · · ∗ (δ ′ − λ1 δ).
On a alors
(Dδ)−1 = (δ ′ − λn δ)−1 ∗ (δ ′ − λn−1 δ)−1 ∗ · · · ∗ (δ ′ − λ1 δ)−1
et d’après ce qu’on a vu précédemment
(Dδ)−1 = Y(x)eλn x ∗ Y(x)eλn−1 x ∗ · · · ∗ Y (x)eλ1 x .
60
Exemple. On cherche à résoudre l’équation X ′′ + ω 2X = B dans D ′+ . Le polynôme
symbolique en δ est
δ ′′ + ω 2 δ = (δ ′ + iωδ) ∗ (δ ′ − iωδ).
Il s’inverse dans D′+ par
(δ ′′ + ω 2 δ)−1 = Y (t)e−iωt ∗ Y (t)eiωt = Y(t)
et la solution cherchée est X = B ∗ Y(t)
sin(ωt)
.
ω
61
sin(ωt)
ω
62
Chapitre 5
Transformation de Fourier des
fonctions
La transformée de Fourier (TF) est un outil mathématique très puissant qui
permet d’analyser un signal, par exemple temporel ou spatial, dans le domaine fréquentiel. On verra que cette représentation est particulièrement bien adaptée aux
signaux physiques dont une grande partie ont une nature sinusoı̈dale.
Dans ce chapitre, on s’intéresse d’abord à la définition de la transformée de Fourier
ainsi qu’à ses propriétés. On verra que peu de fonctions possèdent une transformée de Fourier, ce qui nous obligera à définir la transformée de Fourier au sens des
distributions.
5.1
Définition et exemples
Définition 5.1.1. Soit f une fonction complexe de la variable réelle x. On appelle
transformée de Fourier de f (x), la fonction complexe de la variable réelle ν définie
par :
Z
b
F[f (x)](ν) = f (ν) =
f (x) e−2iπνx dx.
IR
On remarque que si ni f , ni son support ne sont bornés, l’intégrale n’a pas toujours
un sens.
Proposition 5.1.1 (Conditions suffisantes d’existence). Soit f une fonction sommable. Alors
Z
b |f (x)| dx
f (ν) ≤
IR
63
et fb existe et est bornée. Le théorème de Lebesgue appliqué à la continuité des
intégrales dépendant d’un paramètre permet de montrer que fb est continue en ν si f
est sommable. De plus, on montre que |fb(ν)| tend vers 0 quand |ν| tend vers l’infini
(se souvenir du comportement des coefficients de Fourier à l’infini).
Dans tout le chapitre, on considère des fonctions sommables, ce qui est très
restrictif.
5.1.1
Exemples
Exemple (1). Soit Π(x) la fonction porte de largeur 1 centrée,
(
1 si |x| ≤ 21
Π(x) =
0 si |x| > 21
2.5
1.5
2
1
1.5
0.5
1
0
0.5
−0.5
0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−4
1.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figure 5.1 – Graphe de la fonction porte de largeur 1 et de sa TF.
Elle est sommable puisqu’à support borné
Z 1
2
sin(πν) déf
Π̂(ν) =
e−2iπνx dx =
= sinc (πν).
πν
− 12
Cette fonction n’est que localement sommable, en effet la TF n’est pas une application de L1 dans L1 . On remarque qu’elle appartient à L2 , tout comme la fonction
porte.
Exemple (2). Soit f (x) = e−a|x| , sommable si a > 0, sa transformée de Fourier est
alors :
Z 0
Z +∞
2a
(a−2iπν)x
b
.
f (ν) =
e
dx +
e−(a+2iπν)x dx = 2
a + 4π 2 ν 2
−∞
0
On remarque que la TF est sommable.
64
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
0
−4
4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figure 5.2 – Graphe de la fonction e−3|x| et de sa TF.
2
Exemple (3). Soit la fonction f (x) = e−πx , sommable, on admet que sa transformée
de Fourier est
Z
2
2
fb(ν) =
e−π(x +2iνx) dx = e−πν
IR
La transformé de Fourier d’une gaussienne est donc une gaussienne.
Ces fonctions gaussiennes interviennent en particulier pour modéliser un faisceau
gaussien ou une densité de probabilité gaussienne.
1.5
3
2.5
1
2
1.5
0.5
1
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
0
−3
3
−2
Figure 5.3 – Graphe de la gaussienne e−x
−1
2 /2
0
1
2
3
et de sa TF.
2
Preuve. Soit la fonction f (x) = e−πx , sommable, on écrit :
Z +∞+iν
2
−πν 2
b
f (ν) = e
e−πz dz
−∞+iν
2
où z = x + iν. Pour ν fixé, on doit intégrer la fonction holomorphe g(z) = e−πz sur
une parallèle à l’axe Ox du plan complexe. On utilise le théorème de Cauchy sur
65
un rectangle fermé de longueur 2R et de largeur ν. Quand R tend vers l’infini, on
obtient :
Z +∞+iν
Z +∞
2
−πz 2
e
dz =
e−πx dx
−∞+iν
2
c’est-à-dire fb(ν) = e−πν , puisque
5.2
Z
−∞
+∞
2
e−πx dx = 1.
−∞
Transformation de Fourier inverse
Définition 5.2.1. On peut définir une transformée de Fourier inverse pour une
fonction g sommable par
Z
F[g(ν)](x) =
g(ν) e2iπνx dν.
IR
−1
On note aussi F .
5.2.1
Problème d’inversion
Si g = fb, et f sommable, le théorème de Fubini permet de retrouver f par
transformée inverse de g. Cependant ce n’est qu’une égalité presque partout puisque
l’on considère l’intégrale de Lebesgue. Ainsi, le théorème d’inversion n’est exact en
tout point que si f et fb existent et sont continues. On a vu qu’elles existent si elles
sont sommables et cela implique fb et f continues. Cependant, ces conditions de
sommabilité sur f et fb sont très restrictives.
5.2.2
Interprétation physique
Lorsqu’on écrit
Z
fb(ν) e2iπνt dν,
IR
où t est le temps , f (t) est la superposition d’une infinité de signaux sinusoı̈daux.
Les dimensions de ν sont inverses de celles de t, c’est une fréquence.
f (t) =
5.3
Propriétés des transformées de Fourier
La transformée de Fourier est linéaire et en particulier la TF d’une somme est la
somme des TF.
On note fb la transformée de Fourier de f (x).
66
5.3.1
Translation, modulation, changement d’échelle
Transformée de Fourier de f (−x)
F[f (−x)](ν) =
Z
IR
f (−x) e
−2iπνx
dx =
Z
f (x) e2iπνx dx = fb(−ν)
IR
Si f est paire alors f (−x) = f (x) et fb(−ν) = fb(ν), c’est-à-dire fb est paire. De
même, si f est impaire alors fb est impaire. La transformée de Fourier conserve la
parité.
Transformée de Fourier de f (x − a)
F[f (x − a)](ν) =
Z
IR
−2iπνx
f (x − a) e
−2iπνa
dx = e
Z
IR
f (x) e−2iπνx dx = e−2iπνa fb(ν)
La transformée de Fourier transforme la translation en modulation.
Transformée de Fourier de e2iπν0 x f (x)
F[e
2iπν0 x
f (x)](ν) =
Z
f (x) e−2iπ(ν−ν0 )x dx = fb(ν − ν0 )
IR
La transformée de Fourier transforme la modulation en translation.
Transformée de Fourier de f (ax)
F [f (ax)](ν) =
Z
IR
f (ax) e
−2iπνx
Z
ν
1 bν
1
f (x) e−2iπ a x dx =
f( )
dx =
|a| IR
|a| a
Transformée de Fourier de f ∗ (x), conjugué complexe de f
F [f ∗ (x)](ν) = (fb)∗ (−ν)
Z
∗
En effet, soit g(x) = f (x), on a b
g (ν) =
f ∗ (x) e−2iπνx dx, donc
IR
Z
(b
g )∗ (ν) =
f (x) e2iπνx dx = fb(−ν)
IR
67
5.3.2
Dérivées et majorations
Transformée de Fourier de la dérivée f ′ (x)
F[f ′ (x)](ν) = 2iπν fb(ν).
Preuve. En effet, on suppose f sommable, continue et dérivable et g = f ′ sommable.
Z
g (ν) =
b
f ′ (x) e−2iπνx dx
IR
En intégrant par parties , on trouve
g (ν) =
b
Or f (x) = f (0) +
Z
x
+∞
f (x) e−2iπνx −∞
Z
+
IR
2iπνf (x) e−2iπνx dx
f ′ (u) du. f ′ étant sommable, f tend donc vers une limite
0
finie quand x tend vers ±∞. Mais comme f est sommable cette limite ne peut être
non nulle. Ainsi f (−∞) = f (+∞) = 0. D’où le résultat, b
g (ν) = 2iπν fb(ν), avec
g = f ′.
La transformée de Fourier transforme l’opération de dérivation par rapport à x en
une multiplication par 2iπν. On verra comment résoudre des équations différentielles
en utilisant cette propriété.
Remarque 5.3.1. On obtient une majoration intéressante :
Z
Z
′
−2iπνx
b
|f ′ (x)| dx
dx ≤
|2πν f (ν)| = f (x) e
IR
IR
Plus généralement, si f admet des dérivées sommables jusqu’à l’ordre m, alors :
et
F [f (m) (x)](ν) = (2iπν)m fb(ν),
|2πν| |fb(ν)| ≤
m
Z
IR
|f (m) (x)| dx
Proposition 5.3.1. Plus f (x) est dérivable, avec des dérivées sommables, plus fb
A
décroı̂t rapidement à l’infini. Pour ν suffisamment grand, |fb(ν)| ≤
. Si f est
|ν|m
1
quand ν tend vers l’infini.
C ∞ , fb décroı̂t plus vite que toute puissance de
|ν|
68
Transformée de Fourier de xf (x)
F [−2iπxf (x)](ν) =
Preuve.
fb(ν) =
Z
dfb(ν)
.
dν
f (x) e−2iπνx dx
IR
Il est possible de dériver sous le signe somme si l’intégrale obtenue est uniformément
convergente par rapport à ν lorsque ν parcourt un intervalle fini. Cela est le cas si
xf (x) est sommable.
Z
dfb(ν)
=
− 2iπxf (x) e−2iπνx dx.
dν
IR
Remarque 5.3.2. Plus généralement, si xm f (x) est sommable, alors fb(ν) est m-fois
dérivable :
dm fb(ν)
,
F[(−2iπx)m f (x)](ν) =
dν m
et
Z
(m)
b
|f (ν)| ≤
|2πx|m |f (x)| dx
IR
Proposition 5.3.2. Plus f (x) décroı̂t rapidement quand |x| tend vers l’infini, plus
fb est dérivable (avec des dérivées bornées). Si f décroı̂t plus vite que toute puissance
1
quand x tend vers l’infini alors fb est C ∞ .
de
|x|
5.4
Transformée en cosinus et sinus
Soit f (t) = fp + fi la décomposition de f en partie paire et impaire
f (t) + f (−t)
2
fp (t) =
et
fi (t) =
f (t) − f (−t)
2
Si la TF existe, elle est linéaire et on a
fb(ν) = 2
Z
+∞
fp (t) cos(2πνt) dt − 2i
0
Z
0
= F cos [fp (t)](ν) − iF sin [fi (t)](ν)
69
+∞
fi (t) sin(2πνt) dt
Définition 5.4.1. On appelle transformées en cosinus et en sinus d’une fonction f ,
les intégrales suivantes
Z +∞
F cos [f (t)](ν) = 2
f (t) cos(2πνt) dt
0
F sin [f (t)](ν) = 2
Z
+∞
f (t) sin(2πνt) dt
0
Remarque 5.4.1. Soit fb la TF d’une fonction f
– Si f est paire alors fi = 0 et fb est paire,
– Si f est impaire alors fp = 0 et fb est impaire,
– Si f est réelle et paire alors fb est réelle et paire,
– Si f est réelle et impaire alors fb est imaginaire et impaire,
– Si f est réelle, les parties réelles et imaginaires de fb peuvent être calculées
séparément.
5.5
Convolution et transformation de Fourier
Proposition 5.5.1. Soient f et g deux fonctions sommables telles que f ∗ g existe
et est sommable, alors
F (f ∗ g) = F(f )F(g)
Preuve. On écrit
F(f ∗ g)(ν) =
Z Z
f (x)g(t − x) dx e−2iπνt dt,
les fonctions étant sommables, on peut appliquer Fubini
Z
Z
= f (x) g(t − x)e−2iπνt dx dt
on change t − x en y
=
Z
f (x)e
−2iπνx
dx
Z
g(y)e−2iπνy dy
Exemple. On a vu que la convolution d’une fonction porte ΠT de largeur T , par
elle-même donnait la fonction
(
1 − |t|
si |t| ≤ T
T
ΠT ∗ ΠT (t) = ∧T (t) =
0 sinon
70
En appliquant la proposition précédente, la TF de ∧T est
2
sin(πT ν)
2
,
F [∧T ](ν) = (F[ΠT ](ν)) =
πν
évitant ainsi le calcul direct.
5.6
Transformée de Fourier dans IR3
En optique et en électromagnétisme, les phénomènes sont décrits dans IR3 . Ainsi
la transformée de Fourier se généralise à une fonction de plusieurs variables.
Définition 5.6.1. Soit x = (x1 , x2 , x3 ) et ν = (ν1 , ν2 , ν3 ) deux points de IR3 . Pour
une fonction f (x) sommable dans IR3 , on définit la transformée de Fourier de f
notée, fb(ν) par
ZZZ
b
f (ν) =
f (x1 , x2 , x3 ) e−2iπhν,xi dx1 dx2 dx3
avec hν, xi = ν1 x1 + ν2 x2 + ν3 x3 .
Les propriétés sont du même type que celles qui correspondent au cas d’une
variable.
Exercice. Démontrer les propriétés 5.3.1 pour n = 3.
Remarque 5.6.1. En particulier, si f (x1 , x2 , x3 ) = f1 (x1 )f2 (x2 )f3 (x3 ), on a
puisque
fb(ν) = fb1 (ν1 )fb2 (ν2 )fb3 (ν3 )
e−2iπhν,xi =
3
Y
i=1
71
e−2iπνi xi
72
Chapitre 6
Transformation de Fourier des
distributions
6.1
Introduction
Remarque 6.1.1 (préliminaire). Si ϕ ∈ D, elle admet une transformée de Fourier. Si
une fonction f , supposée sommable a une transformée de Fourier fb, f définit une
distribution régulière et on a
hfb(ν), ϕ(ν)i =
Z
ϕ(ν)
Z
f (x) e−2iπνx dx dν
on applique Fubini
Z
Z
= f (x) ϕ(ν) e−2iπνx dν dx
= hf (x), ϕ(x)i
b
D’après la remarque précédente, on est tenté de généraliser à une distribution quelconque la définition obtenue pour une distribution régulière f .
b sa transformée de Fourier, de manière formelle, nous avons
Soit T ∈ D′ et T,
obtenu
b ϕi déf
hT,
= hT, ϕi.
b
Or cette définition n’est pas acceptable pour n’importe quelle distribution de D ′ . En
effet, elle impose que ϕ
b soit dans D, or si ϕ ∈ D x , ϕ
b n’a aucune raison d’appartenir
à D ν . On verra même le résultat suivant : la transformée de Fourier d’une fonction
73
à support borné n’est jamais à support borné.
Cette définition conviendrait pour définir la TF de fonctionnelles linéaires et continues sur un espace fonctionnel ayant la propriété de contenir la TF (au sens des
fonctions) de tous ces éléments. On va montrer que cet espace existe. Les distributions agissant sur cet espace seront les distributions dites tempérées.
L’espace de Schwartz, S
6.2
Définition 6.2.1. L’espace S est l’espace vectoriel des fonctions de la variable réelle,
indéfiniment dérivables à décroissance rapide, c’est-à-dire que ϕ ∈ S si
i) ϕ(m) (x) existe pour tout entier m > 0,
ii) xp ϕ(m) (x) est bornée pour tout entier m et p :
∀(p, m) ∈ IN2 , ∃M > 0 / |xp ϕ(m) (x)| < M, pour x assez grand
On dit aussi que ϕ et chaque dérivée de ϕ décroissent plus vite que toute
puissance de 1/|x| quand |x| tend vers l’infini.
Exemple.
2
• e−x , 1/chx, sont des fonctions de S.
• e|x| n’appartient pas à S car elle n’est pas C ∞ .
1
n’appartient pas à S car elle n’est pas à décroissance rapide.
• 2
x +1
6.2.1
Convergence dans S
Comme dans D on définit dans S une notion de convergence. Une suite ϕk ∈ S
converge vers ϕ dans S, si
∀p, m ∈ IN,
(m)
C.U.
xp ϕk (x) −→ xp ϕ(m) (x)
c’est-à-dire
∀p, m ∈ IN, ∀ε > 0, ∃N(ε, p, m),
(m)
k ≥ N ⇒ |xp ϕk (x) − xp ϕ(m) (x)| ≤ ε ∀x
Remarque 6.2.1. On aura remarqué que D ⊂ S ⊂ C ∞ . Toute fonction de D appartient à S et la convergence dans D est un cas particulier de la convergence dans
S.
74
6.2.2
Propriétés des fonctions de S
Nous allons montrer que si ϕ ∈ S alors ϕ
b ∈ S.
1. Si ϕ ∈ S alors ϕ′ ∈ S (définition).
2. Si ϕ ∈ S alors ∀p, m ∈ IN, xp ϕ(m) (x) est sommable. En effet, il n’y a pas
de problème sur [−B, B], B > 0. Pour x ∈ [B, +∞[, comme xp+2 ϕ(m) (x) est
A
bornée, il existe un réel A > 0 tel que |xp ϕ(m) (x)| < 2 , fonction sommable
x
sur [B, +∞[.
3. Si ϕ ∈ S alors (xp ϕ(x))(m) est sommable. Il suffit d’appliquer la formule de
Leibnitz pour trouver une somme de fonctions vérifiant 2).
4. Si ϕ ∈ S alors sa transformée de Fourier ϕ
b existe et ϕ
b ∈ S. En effet, ϕ
b
existe puisque ϕ est sommable d’après 2). De plus, ϕ
b est indéfiniment dérivable
puisque ϕ est à décroissance rapide
Z
(m)
|ϕ
b (ν)| ≤ |2πx|m |ϕ(x)| dx.
On a de même, ϕ
b est à décroissance rapide puisque ϕ est indéfiniment dérivable
Z
m
|(2πν) ϕ(ν)|
b
≤ |ϕ(m) (x)| dx.
5. Soit ϕn une suite de S qui converge vers 0 quand n tend vers l’infini, alors la
suite ϕ
bn des transformées de Fourier de chaque ϕn tend aussi vers 0 quand n
tend vers l’infini. En effet, en combinant les deux inégalités de 4), on obtient
|(2πν)m ϕ
bn(l) (ν)| ≤ k[(2iπx)l ϕn (x)](m) kL1
le deuxième membre étant une suite de nombres qui tend vers 0.
6. On vient de montrer que ϕ
b ∈ S, elle est donc sommable. Comme il en est de
même pour ϕ, la formule d’inversion s’applique. On note F −1 la transformée
de Fourier inverse de ϕ
∀ϕ ∈ S,
F F −1 ϕ = F −1 Fϕ = ϕ
Cette égalité est vrai pour presque tout x. Elle a lieu partout si ϕ est continue.
Compte-tenu de ce qui précède, on énonce :
Théorème 6.2.1. La transformation de Fourier est une application linéaire et continue de S x dans S ν . Elle établit une correspondance biunivoque entre les éléments de
S x et ceux de S ν .
75
6.3
L’espace S ′ des distributions tempérées
Définition 6.3.1. On appelle distribution tempérée une distribution (forme linéaire
continue sur D) prolongeable par une forme linéaire continue sur S.
Si une distribution T est tempérée, hT, ϕi a un sens si ϕ ∈ D mais aussi si ϕ ∈ S.
Si pour T ∈ D ′ , le prolongement existe, alors il est unique (admis). Les distributions
tempérées forment un sous-espace de D′ , noté S ′ .
6.3.1
Exemples de distributions tempérées
Fonction sommable
Proposition 6.3.1. A toute fonction f sommable, on peut associer une distribution
régulière tempérée. On dit aussi que c’est une fonction tempérée.
Preuve. En effet, si ϕ ∈ S alors il existe M > 0 tel que |ϕ(x)| < M et
Z
f (x)ϕ(x) dx ≤ Mkf kL1
Fonction localement sommable à croissance lente
Définition 6.3.2. On dit que f est une fonction à croissance lente si pour x suffisament grand, il existe un réel positif A et un entier k tel que |f (x)| ≤ A|x|k .
Autrement dit, f (x) peut devenir infiniment grand quand |x| tend vers l’infini, mais
“à la manière” d’un polynôme.
Proposition 6.3.2. Une fonction localement sommable à croissance lente définit
une distribution régulière tempérée.
Preuve. ϕ ∈ S, donc il existe un réel positif B tel que |ϕ(x)| ≤
Pour x suffisament grand, on a donc |f (x)ϕ(x)| ≤
intervalle [c, +∞], c > 0.
76
B
.
|x|k+2
AB
qui est sommable sur tout
|x|2
Fonction de carré sommable
Proposition 6.3.3. Une fonction de carré sommable définit une distribution tempérée.
Preuve. Voir proposition 6.8.3.
Distribution à support borné
Proposition 6.3.4. Une distribution à support borné est une distribution tempérée.
Preuve. Une telle distribution est une fonctionnelle linéaire et continue sur E, ensemble des fonctions indéfiniment dérivables, donc en particulier sur S ⊂ E.
Dérivée d’une distribution tempérée
Proposition 6.3.5. La dérivée d’une distribution tempérée est tempérée.
Preuve. En effet, d’après la définition de la dérivée d’une distribution
hT′ , ϕi = −hT, ϕ′ i
on peut prolonger T′ sur S car ϕ ∈ S ⇒ ϕ′ ∈ S et si T est tempérée alors hT, ϕ′ i a
un sens.
Produit d’une distribution tempérée par un polynôme
Proposition 6.3.6. Si T est une distribution tempérée alors P (x)T où P (x) est un
polynôme, est aussi une distribution tempérée.
Preuve. Soit T ∈ S ′ et P un polynôme (fonction indéfiniment dérivable). On a
∀ϕ ∈ D,
hP T, ϕi = hT, P ϕi
et on peut prolonger P T sur S car si ϕ ∈ S alors P ϕ aussi et hT, P ϕi a un sens
puisque T ∈ S ′ .
Remarque 6.3.1. La plupart des fonctions rencontrées en physique sont tempérées.
Tous les polynômes sont des distributions régulières tempérées, la distribution de
Dirac et ses dérivées sont tempérées car à support borné.
Exemple. Comme exemple de distributions non tempérées, on peut donner ex , Y(x)ex ,
2
ex , . . .
77
6.4
Transformée de Fourier dans S ′
Définition 6.4.1. Si T ∈ S ′ , sa transformée de Fourier est la distribution notée
b définie par
F T, ou encore T
∀ϕ ∈ S,
déf
b ϕi = hT, ϕi
hT,
b
b est linéaire. Si ϕn est une suite
Remarque 6.4.1. hT, ϕi
b existe car ϕ
b ∈ S, de plus T
de fonctions tendant vers 0 au sens de S, alors ϕ
bn est aussi une suite de fonctions
b est continue.
tendant vers 0 au sens de S (voir le 5) du paragraphe 6.2.2), donc T
Proposition 6.4.1. La transformée de Fourier d’une distribution tempérée est une
fonctionnelle linéaire et continue sur S, c’est une distribution tempérée. La transformation de Fourier est une application linéaire continue de S ′ dans S ′ .
Preuve. La linéarité est évidente. Pour la continuité, on veut montrer que si une
suite Tn de distributions tempérées convergent vers la distribution T alors la suite
b n converge vers T,
b transformée de Fourier de T.
T
b n , ϕi = hTn , ϕi
hT
b
or Tn est continue dans S ′ donc
∀ψ ∈ S,
On prend ψ = ϕ
b ∈ S et on écrit
lim hTn , ψi = hT, ψi
n→+∞
b n , ϕi = lim hTn , ϕi
b ϕi
lim hT
b = hT, ϕi
b = hT,
n→+∞
n→+∞
Inversion
Proposition 6.4.2. Dans S ′ , les transformations F et F −1 sont toujours des transformations inverses. On a
∀T ∈ S ′ ,
F F −1 T = F −1 F T = T
Preuve. D’après le 6) du paragraphe 6.2.2, on a vu que pour presque tout x, on avait
∀ϕ ∈ S,
F F −1 ϕ = F −1 Fϕ = ϕ (1)
78
Pour tout T ∈ D ′ , et tout ϕ ∈ S, on a
hFF −1 T, ϕi = hT, F −1 Fϕi = hT, ϕi
d’après (1), on a aussi
hT, F −1 Fϕi = hT, FF −1 ϕi = hF −1 FT, ϕi
b on a T = F −1 T,
b on dit que T est l’original de T.
b
Remarque 6.4.2. Si on connaı̂t T,
b = 0) =⇒ (T = 0).
Corollaire 6.4.3. (T
b = T et F −1 T
b = F −1 (0) = 0. Si T
b est une fonction, on a une
Preuve. En effet F −1 T
égalité presque partout.
6.5
Transformée de Fourier dans E ′
Rappellons que E ′ est l’ensemble des distributions à support borné qui contient
en particulier δa ainsi que ses dérivées successives et les distributions régulières
associées à une fonction localement sommable à support borné. Soit d’une part une
distribution Tx ∈ E ′ ⊂ S ′ . Soit d’autre part, e−2iπxν qui est une fonction indéfiniment
dérivable en x et ν. Pour ν fixé, on peut donc calculer
V (ν) = hTx , e−2iπxν i
qui donne une fonction de la variable ν, indéfiniment dérivable (voir proposition
4.2.1.). Si ν est complexe fixé, on a encore e−2iπxν ∈ E x ; V (ν) existe donc pour ν
complexe et est une fonction holomorphe dans tout le plan complexe. Montrons que
V (ν), considérée pour ν réel, est bien la transformée de Fourier de Tx .
b ϕi = hT, ϕi
Pour ϕ(ν) ∈ S ν , hT,
bZ
= hTx ,
par Fubini
=
=
=
ϕ(ν)e−2iπxν dνi
Z
hTx ϕ(ν), e−2iπxν i dν
Z
ϕ(ν)V (ν) dν
Z
ϕ(ν)hTx , e−2iπxν i dν
= hV, ϕi
79
D’après ce qui précède, on obtient la définition et le théorème suivant.
b
Définition 6.5.1. Si T ∈ E ′ , sa transformée de Fourier est la distribution notée T
définie par
b
∀ν ∈ IR, T(ν)
= hTx , e−2iπνx i
Théorème 6.5.1. La transformée de Fourier d’une distribution T à support borné
b
est une fonction T(ν)
indéfiniment dérivable et prolongeable pour les valeurs complexes de ν en une fonction V (ν) holomorphe dans tout le plan complexe :
∀T ∈ E ′ ,
b
V (ν) = T(ν)
= hTx , e−2iπνx i
Dans le cas particulier très important où f est une fonction, on a le résultat
suivant
Corollaire 6.5.2. Soit f une fonction à support borné, alors sa transformée de
Fourier n’est pas à support borné.
Preuve. Si f est à support borné alors sa transformée de Fourier fb est la restriction
à la droite réelle d’une fonction holomorphe entière. Supposons que fb soit à support
borné il existe alors un intervalle sur lequel fb s’annule, c’est-à-dire que l’ensemble
des points z tels que fb(z) = 0 admet au moins un point d’accumulation. Comme fb
est une fonction analytique, le théorème des zéros isolés implique que fb(z) = 0 pour
p.p.
| . On a vu qu’alors f = 0.
tout z ∈ C
Ainsi, (f ∈ Dx et f 6= 0) =⇒ fb ∈
/ Dν .
Exemple. La distribution de Dirac est à support borné, sa TF existe et est une
fonction indéfiniment dérivable, prolongeable pour les valeurs complexes de ν en
une fonction holomorphe entière définie par
hδ(x), e−2iπνx i = 1(ν).
La TF de δ est la fonction constante égale à 1.
6.6
Convolution et transformation de Fourier
La propriété fondamentale de la transformée de Fourier – transformer les produits
de convolution en produits simples – reste valable pour les distributions tempérées.
80
Proposition 6.6.1. Si R et S sont à support borné alors T = R ∗ S existe et est à
support borné. T admet une transformée de Fourier F(R ∗ S) = F (R).F (S)
Preuve.
F(T)(ν) = hR ∗ S, e−2iπνx i
= hRx .Sy , e−2iπν(x+y) i
= hRx , e−2iπνx i · hSy , e−2iπνy i
= F (R)(ν) · F(S)(ν)
Cela généralise le résultat obtenu pour les fonctions. Il reste vrai si R ∈ S ′ et
S ∈ E ′ , alors R ∗ S ∈ S ′ . F (R) est peut-être une distribution singulière mais comme
F (S) est indéfiniment dérivable, le produit F(R).F (S) a bien un sens.
On a aussi, chaque fois que cela a un sens
F (R ∗ S) = F(R) · F(S)
F (R · S) = F(R) ∗ F(S)
F (R · S) = F(R) ∗ F(S)
en notant F , la transformée de Fourier inverse.
Remarque 6.6.1. On peut remarquer que δ et 1 sont les transformées inverses l’une
de l’autre et que δ est l’élément neutre de la convolution tandis que 1 est celui de la
multiplication.
Remarque 6.6.2 (Régularisation). On a vu qu’il était possible de régulariser une
fonction par convolution. D’une manière générale, les discontinuités s’estompent et
le degré de dérivabilité augmente par convolution. Si f est p-fois dérivable et g, q-fois
dérivable alors f ∗ g est (p + q)-fois dérivable.
6.7
6.7.1
Recherche des transformées de Fourier
Propriétés
Les propriétés données pour les fonctions sommables se transposent aux distributions tempérées. En utilisant des notations abusives qui permettent de faire
81
b
apparaı̂tre la variable, si T(ν)
est la transformée de Fourier de T(x), on a
1)
T(−x)
2)
T(x − a)
3)
T(x)e2iπν0 x
4)
T(ax)
5)
T(n) (x)
6) (−2iπx)n T(x)
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
b
T(−ν)
b
e−2iπνa T(ν)
b − ν0 )
T(ν
1 b ν
T( a )
|a|
a 6= 0
b
(2iπν)n T(ν)
b (n) (ν)
T
Exercice. Faire la démonstration des résultats précédents.
Remarque 6.7.1. La transformée de Fourier d’une fonction (prise au sens des distributions) coı̈ncide avec la transformée de Fourier des fonctions, si elle existe.
6.7.2
Exemples de transformées
Transformée de la fonction constante égale à 1
Soit la fonction f (x) = 1, c’est une distribution tempérée car localement sommable à croissance lente. Considérons la TF de sa dérivée.
F(f ′ )(ν) = 2iπνF (f )(ν) = F(0) = 0
On obtient 2iπν fb = 0 ⇒ fb = Aδ(ν), avec A une constante à déterminer.
∀ϕ ∈ S,
hfb, ϕi = hAδ, ϕi = Aϕ(0) = hf, ϕi
b
2
2
En particulier pour ϕ(x) = e−πx ∈ S, ϕ(ν)
b
= e−πν , on a
−πx2
A = hf (x), e
i=
Z
2
IR
e−πx dx = 1.
Ainsi la transformée de Fourier de la fonction constante égale à 1 n’existe pas au sens
des fonctions. C’est la distribution singulière δ. Le théorème d’inversion est vérifié.
82
Transformée de δ
A partir de F (δ) = 1, F(1) = δ, et en utilisant les propriétés des transformées
de Fourier des distributions on a les résultats suivants :
1(x)
e2iπν0 x
cos(2πν0 x)
sin(2πν0 x)
δ(x)
δx0
δ ′ (x)
δ (n) (x)
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
F
−→
δ(ν)
δν0
1
2
1
2i
(δν0 + δ−ν0 )
(δν0 − δ−ν0 )
1(ν)
e−2iπνx0
2iπν
(2iπν)n
Transformée de distributions de S ′
Voici une liste de transformées de Fourier de distributions tempérées les plus
utilisées.
xk
F
−→
Y(x)
F
−→
sign(x)
F
−→
υp
pf
1
x
F
−→
−iπsign(ν)
|x|
F
−→
1
ν2
−1
1
pf 2
2
2π
ν
F
−→
−2π 2 |ν|
F
−→
F
−→
e−πν
e−πx
2
eiπx
2
+∞
X
n=−∞
1
δ (k)
(−2iπ)k
1
1
1
δ+
υp
2
2iπ
ν
1
1
υp
iπ
ν
δnT
F
−→
2
π
ei 4 e−iπν
+∞
1 X
T
83
n=−∞
2
δ Tn
k≥0
6.8
Transformation de Fourier dans L2
Cet espace joue un rôle important en physique puisqu’il correspond à des signaux
d’énergie finie.
6.8.1
L’espace L2
On rappelle que L2 est l’espace des fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes de carré sommable, quotienté par la relation d’équivalence “égale presque
partout” afin d’obtenir une norme définie par
kf kL2 =
Z
21
|f (x)| dx .
2
Proposition 6.8.1. Soient deux fonctions f et g appartenant à L2 , alors leur produit
f g est sommable, c’est-à-dire appartient à L1 .
Preuve. A faire en exercice en écrivant (|f | − |g|)2 ≥ 0.
1
∗
Remarque 6.8.1. Si f g ∈ L alors f g aussi et la quantité (f, g) =
Z
f (x)g ∗ (x) dx
existe. Ainsi, à tout couple de fonctions (classe de fonctions), f et g, on peut associer
le nombre complexe (f, g). On montre qu’il définit une forme hermitienne définie
positive c’est-à-dire un produit scalaire sur L2 .
Définition 6.8.1. L’espace L2 est dit préhilbertien. Il est complet pour la norme
correspondant au produit scalaire hermitien, on dit que c’est un espace de Hilbert.
Remarque 6.8.2. On sait que les espaces Lp (p ≥ 1) sont des espaces vectoriels
normés complets (Banach) pour la norme
kf kLp =
Z
p1
|f (x)| dx .
p
Pour L2 , cette norme provient du produit scalaire ci-dessus. Parmi les espaces Lp ,
seul L2 est un Hilbert.
La norme euclidienne de IRn est une norme L2 , elle est définie à partir du produit
scalaire de IRn comme ci-dessus.
84
6.8.2
Relation de Parseval-Plancherel
Proposition 6.8.2. Soient f et g, deux fonctions de L2 (IR), on a la relation suivante entre les domaines temporel et fréquentiel :
Z
Z
∗
f (x)g (x) dx = F(f )(ν)F ∗ (g)(ν) dν.
Si f = g, alors
l’énergie.
Preuve.
R
d’où le résultat.
6.8.3
Z
2
|f (x)| dx =
Z
|F(f )(ν)|2 dν On dit qu’il y a conservation de
f (x)g ∗ (x) dx = [F (f g ∗)(ν)]ν=0
=
[F (f )(ν) ∗ F ∗ (g)(−ν)]ν=0 Z
F(f )(t)F ∗ (g)(t − ν) dt
=
Z
ν=0
∗
= F (f )(t)F (g)(t) dt
Transformation de Fourier dans L2(IR)
Proposition 6.8.3. Toute fonction de L2 définit une distribution tempérée de S ′ .
Preuve. Soit f (x) ∈ L2 , on écrit f (x) =
g(x) =
f (x)
(x + i), x ∈ IR.
x+i
1
est dans L2 , il suffit d’écrire
x+i
1
1
=
= g(x)g ∗(x)
x2 + 1
(x + i)(x − i)
f (x)
∈ L1
x+i
c’est-à-dire est tempérée. Comme (x + i) est un polynôme, alors f est tempérée.
donc gg ∗ ∈ L1 , c’est-à-dire g ∈ L2 . Comme f est aussi dans L2 , on a
Proposition 6.8.4. Si une fonction f est dans L2 alors sa transformée de Fourier
fb est aussi dans L2 .
Preuve. Si on admet que fb est une fonction alors l’égalité de Parseval permet de
conclure. (Pour une preuve plus détaillée voir [Choquet-Bruhat, p. 74].)
85
Proposition 6.8.5. On montre que la transformation de Fourier est un opérateur
linéaire et continu de L2 dans L2 .
Remarque 6.8.3. Attention, si f est une fonction continue de L2 admettant une
transformée de Fourier, celle-ci n’est pas continue sur IR a priori (exemple du sinus
cardinal).
Dans L2 , la transformée de Fourier au sens des fonctions n’existe pas forcément car
f ∈ L2 mais peut-être que f ∈
/ L1 .
Par contre, pour les espaces locaux, on a l’inclusion L2 ([a, b]) ⊂ L1 ([a, b]).
6.8.4
Transformation de Fourier dans L2([a, b])
Cet espace est utilisé pour étudier les fonctions de carré localement sommable à
support borné, ou périodiques de période T = b − a. Le produit scalaire de f et g
dans L2 ([a, b]) est défini par
1
(f, g) =
T
Z
a+T
f (x)g ∗ (x) dx
a
Les fonctions en (x) = e2iπxn/T forment une base orthonormale de L2 ([a, b]) :
(
1 si n = m
(en , em ) =
0 si n 6= m
Si f (x) ∈ L2 ([a, b]) alors f (x) =
P
fn en (x) =
1
fn = (f, en ) =
T
On a
6.9
P
Z
a+T
P
fn e2iπxn/T où
f (x)e−2iπxn/T dx.
a
|fn |2 = (f, f ) = kf k2 (Bessel-Parseval).
Transformée de Fourier de distributions périodiques
Dans ce paragraphe, on va définir la transformée de Fourier d’un Peigne de Dirac, qui est une distribution périodique et qui est à la base de l’échantilonnage et du
signal numérique.
86
6.9.1
Peigne de Dirac de période 1
Définition 6.9.1. On appelle Peigne de Dirac, la distribution, notée ∐∐ et définie
par
+∞
X
∐∐(x) =
δn
n ∈ ZZ
n=−∞
c’est-à-dire
∀ϕ ∈ D,
h∐∐, ϕi =
+∞
X
ϕ(n).
n=−∞
Remarque 6.9.1. Le support de ϕ est borné donc la somme est finie. On montre aussi
que ∐∐ est linéaire et continue sur D. Donc ∐∐ ∈ D′ .
Proposition 6.9.1. Le Peigne de Dirac est une distribution tempérée, ∐∐ ∈ S ′ .
Considérons la fonction en escalier E(x).
Figure 6.1 – E(x) et sa dérivée Peigne de Dirac.
Preuve. E ∈ S ′ , en effet ∀x ∈ IR, E(x) < x + 1, c’est-à-dire que E est à croissance
lente, et elle est localement sommable car continue par morceaux. De plus E ′ =
∐∐ donc, ∐∐ est une distribution tempérée en tant que dérivée d’une distribution
tempérée.
Proposition 6.9.2. La transformée de Fourier de ∐∐ est aussi un peigne de Dirac
de période 1.
+∞
+∞
X
X
F
δn −→
δn
n=−∞
n=−∞
87
Preuve. La preuve se base sur la périodicité de cette distribution. Elle est assez
longue et s’effectue en sept étapes. Les voici.
1. ∐∐ est périodique de période 1.
X
∀ϕ ∈ D,
h∐∐(x), ϕ(x)i = h
δn , ϕ(x)i
n
X
=
ϕ(n)
n
X
=
ϕ(n + 1)
n
X
=h
δn , ϕ(x + 1)i
n
= h∐∐(x), ϕ(x + 1)i
2. La distribution ∐∐ est tempérée donc, puisque S ′ est stable par transformée
c
c
de Fourier, on sait que ∐
∐ est aussi tempérée. ∐
∐ ∈ S ′ et on a
" +∞
#
+∞
X
X
c
∐∐(ν) = F
δn (ν) =
e−2iπnν
n=−∞
n=−∞
c
3. ∐
∐ est périodique de période 1.
∀ϕ ∈ D,
c
h∐
∐(ν), ϕ(ν)i = h
=h
=h
X
n
X
n
X
e−2iπnν , ϕ(ν)i
e−2iπn(ν+1) , ϕ(ν + 1)i
e−2iπnν , ϕ(ν + 1)i
n
c
4. Calculons e2iπν ∐
∐(ν). On a
c
e2iπν ∐
∐(ν) = e2iπν
c
= h∐
∐(ν), ϕ(ν + 1)i
+∞
X
e−2iπnν =
n=−∞
+∞
X
n=−∞
c
5. Ainsi ∐
∐ vérifie l’équation dans D ′
c
e−2iπν(n−1) = ∐
∐(ν).
c
(e2iπν − 1) ∐
∐(ν) = 0
Or les racines de e2iπν = 1 sont les entiers relatifs ν = n ∈ ZZ, donc d’après la
proposition 3.2.5, on a
+∞
X
c
∐
∐(ν) =
an δn .
n=−∞
88
c
6. Comme ∐
∐ est périodique de période 1, on a
∀ϕ ∈ D,
c
c
h∐
∐(ν), ϕ(ν)i = h∐
∐(ν), ϕ(ν + 1)i
X
X
an ϕ(n) =
an ϕ(n + 1)
n
n
X
X
an ϕ(n) =
an−1 ϕ(n)
n
n
Pour une fonction ϕ ne contenant que l’entier n, on obtient donc an = an−1 = a,
c’est-à-dire
+∞
X
c
aδn .
∐∐(ν) =
n=−∞
7. Pour trouver a, utilisons la définition de la transformée de Fourier des distributions
c
∀ϕ ∈ S,
h∐
∐(ν), ϕ(ν)i = h∐∐(x), ϕ(x)i
b
2
2
avec ϕ(ν) = e−πν , ϕ(x)
b
= e−πx
* +∞
+ * +∞
+
X
X
2
2
a
δn , e−πν
=
δn , e−πx
n=−∞
n=−∞
c’est-à-dire a = 1 et
c
∐
∐(ν) =
Ainsi s’achève cette longue preuve.
6.9.2
+∞
X
δn .
n=−∞
Peigne de Dirac de période T
Définition 6.9.2. On appelle Peigne de Dirac de période T , la distribution, notée
+∞
X
δnT et définie par
n=−∞
∀ϕ ∈ D,
h
+∞
X
δnT , ϕi =
n=−∞
δnT
ϕ(nT ).
n=−∞
Par changement d’échelle, on obtient
+∞
X
+∞
X
F
−→
n=−∞
+∞
1 X
δn
T n=−∞ T
Proposition 6.9.3. Un peigne de Dirac de période T a pour transformée de Fourier
un peigne de Dirac de période T1 et de “hauteur” de dent T1 .
89
6.9.3
Distribution périodique régulière
Considérons une fonction, p(x), T -périodique et sommable sur la période T > 0.
Elle définit une distribution régulière périodique. On peut l’écrire à partir de la
fonction génératrice à support borné de largeur T , notée p0 , et de translatées de p0
en tout point nT , n ∈ ZZ :
X
p(x) = p0 (x) ∗
δnT
n
avec
(
p(x) pour a ≤ x < a + T
p0 (x) =
0 ailleurs
et les graphes suivants
p0
T
p(x)
a
a+T
Figure 6.2 – Fonction génératrice p0 et fonction périodisée p.
Calculons la transformée de Fourier de cette fonction périodique p(x) = p0 (x) ∗
n δnT .
P
pb(ν) = pb0 (ν) ·
1 X n
1X
δ Tn =
pb
δ Tn
T n
T n 0 T
et la transformée de Fourier pb0 existe et est indéfiniment dérivable car p0 (x) est
à support borné.
Proposition 6.9.4. La transformée de Fourier d’une fonction T -périodique p(x),
sommable sur une période T , est formée d’impulsions de Dirac situées aux points
d’abscisses multiples de T1 . On parle de spectre de raies.
On avait
pb(ν) =
1 X n
pb
δ Tn
T n 0 T
90
On travaille dans S ′ , on peut donc prendre la transformée de Fourier inverse de cette
relation. On obtient
n
1 X n 2iπ n x X
pb0
e T =
cn e2iπ T x
p(x) =
T n
T
n
Ainsi, on retrouve la décomposition en série de Fourier de la fonction périodique
p(x) et les cn sont les coefficients de cette série de Fourier.
En effet, la transformée de Fourier de p0 donne une fonction continue et on a les
graphes suivants :
p0
p(x)
T
a
a+T
n/T
Figure 6.3 – TF continue d’une fonction à support borné p0 et spectre de raies de
sa fonction périodisée p.
De plus,
1 n
pb
T 0 T
Z
n
1
=
p0 (x)e−2iπ T x dx
T IR
cn =
1
=
T
Z
a+T
n
p(x)e−2iπ T x dx
a
Les coefficients de Fourier cn de la fonction périodique p sont donc des “échantillons”
de la TF continue de p0 . C’est en raisonnant à l’inverse que l’on voit qu’il est possible
d’échantillonner un signal sans perte d’information si l’on respecte certaines conditions appelées conditions de Shannon. La figure ci-dessus correspond à la situation
limite. Si l’on prend des échantillons plus rapprochés, les graphes des différentes
périodes seront plus espacés. Si l’on prend des échantillons plus espacés alors les
graphes des différentes périodes vont se superposer, il ne sera plus possible de re91
trouver la période p0 . En signal, on appelle ce phénomème le repliement de spectres.
Remarque 6.9.2. Le développement en série de Fourier d’une fonction périodique
converge toujours. C’est une convergence au sens des distributions.
Proposition 6.9.5. Toute fonction périodique p(x), sommable sur une période,
admet un développement en série de Fourier. Ce développement converge toujours
dans S ′ vers la distribution tempérée associée à p(x).
6.10
Transformation de Laplace de distributions
Remarque 6.10.1. La transformée de Laplace étant définie à l’aide de l’intégrale de
Lebesgue, L[f ](p) est en réalité attachée à la classe des fonctions presque partout
égales à f , c’est-à-dire la distribution associée à la fonction localement sommable f .
De manière plus générale, définissons la transformation de Laplace pour une distribution de D ′+ .
6.10.1
Définition
Définition 6.10.1. Soit T une distribution de D′+ , supposons qu’il existe un réel a,
tel que pour σ > a, on ait e−σt T ∈ S ′ (ensemble des distributions tempérées), alors
la distribution T admet une transformée de Laplace
L[T](p) = hT, e−pt i
définie pour σ > a où p = σ + iω.
En effet, soit α(t) une fonction indéfiniment dérivable à support limité à gauche
et égale à 1 sur un voisinage du support de T. Pour σ > a, il existe σ1 tel que σ >
σ1 > a. D’après les hypothèses sur T, on a e−σ1 t T ∈ S ′ . De plus, α(t)e−(p−σ1 )t ∈ S
donc la quantité he−σ1 t T, α(t)e−(p−σ1 )t i existe et est indépendante de σ1 . C’est ce
que nous avons défini comme étant la transformée de Laplace de T.
Remarque 6.10.2. Il faut faire des restrictions sur T car e−pt est indéfiniment dérivable mais pas à support borné et l’expression hT, e−pt i peut ne pas avoir de sens
pour une distribution quelconque de D ′ .
92
6.10.2
Exemples
Toutes les transformées de fonctions du paragraphe 2.2. peuvent être vues comme
celles des distributions associées. Pour la distribution Dirac, on a
6.10.3
Originale
❂
Transformée
δ
❂
1
δa
❂
e−ap
δ (m)
❂
pm
Propriétés
Transformée de Laplace et dérivée
Comme pour les fonctions causales, on montre que L[T](p) est une fonction
holomorphe de la variable complexe p = σ + iω, pour σ > a et que le théorème 5.2.5.
est encore valable dans le cas des distributions, à savoir
L[(−t)m T](p) =
dm
L[T](p),
dpm
σ>a
En ce qui concerne la Transformée de Laplace d’une distribution dérivée, la
proposition 2.3.1. se simplifie en
L[T′ ](p) = pL[T ](p).
Preuve. En effet, considérons la fonction localement sommable, f , définissant une
distribution Tf et dérivons-la au sens des distributions f ′ = {f ′ } + f (0+ )δ0 .
La Transformée de Laplace étant linéaire
L[f ′ ](p) = L[{f ′ }](p) + f (0+ )L[δ0 ](p)
= pL[f ](p) − f (0+ ) + f (0+ )
= pL[f ](p)
Autres propriétés
En règle générale, les propriétés des transformées de Laplace des distributions
sont les mêmes que celles des fonctions sauf pour la transformée d’une dérivée comme
on vient de le voir,
93
Originale
❂
Transformée
(−t) T
❂
T(m)
❂
dm
L[T](p)
dpm
pm L[T](p)
ep0 t T
❂
L[T](p − p0 )
T(t − t0 )
❂
e−t0 p L[T](p)
m
Transformation de Laplace et convolution
Dans l’espace des distributions, la transformée de Laplace échange le produit de
convolution en produit simple.
Remarque 6.10.3. On peut utiliser les transformées de Laplace de distributions pour
calculer des transformées de Laplace de fonctions de manière élégante. Soit T, la
distribution associée à la fonction L1loc , f (t) = Y(t) sin(ωt). Dérivons au sens des
distributions T′ = ω cos(ωt)Y, puis
T′′ = ωδ − ω 2 sin(ωt)Y = ωδ − ω 2T
En prenant la transformée de Laplace des deux membres on obtient
p2 L[T](p) = ω − ω 2L[T](p)
c’est-à-dire
T ❂
p2
ω
+ ω2
et de même pour la fonction f associée.
6.10.4
Application de la transformation de Laplace au calcul
symbolique
La propriété de transformation du produit de convolution en produit simple de la
transformée de Laplace et l’utilisation des tables dans un sens et dans l’autre, confère
à cette transformation, une grande utilité dans de nombreux problèmes. L’ensemble
de ces opérations porte le nom de calcul symbolique.
94
Soit à résoudre une équation de convolution dans D′+ , A ∗ X = B. Si A et B ont
des transformées de Laplace, L[A](p) et L[B](p), s’il existe une solution dans D′+ et
si elle admet une transformée de Laplace, L[X](p) alors
L[X](p) =
L[B](p)
.
L[A](p)
Cette méthode ne donne pas toujours de résultat. En effet, si L[A](p) et L[B](p)
existent et si L[X](p) admet un original, alors X est une solution et c’est la seule
car dans D′+ , il n’y a pas plus d’une solution. En revanche, si L[A](p) et L[B](p)
L[B](p)
n’existent pas, la méthode ne s’applique pas. Dans le cas où le rapport
n’est
L[A](p)
pas une transformée de Laplace, alors l’équation n’a pas de solution ayant une TL ;
elle peut cependant avoir une solution dans un autre espace qu’il n’a pas été possible
de trouver par cette méthode.
Exemple (Résolution d’équation différentielle). Résoudre dans D′+ ,
X ′′ − 3X ′ + 2X = δ
Exemple (Résolution d’équation intégrale). Soit f (t) nulle pour t < 0. Trouver f
vérifiant
Z t
f (θ) sin(t − θ) dθ = t2
pour t ≥ 0
0
Remarque 6.10.4. Certaines fonctions ont une transformée de Laplace, mais pas de
transformée de Fourier, comme (Yekt , k > 0), ainsi avant l’introduction des distributions et de l’espace S′ , la transformée de Laplace était très utilisée. Cependant
en physique, les signaux rencontrés sont souvent associés à des fonctions causales et
tempérées qui admettent une transformée de Fourier. Ainsi aujourd’hui, la transformée de Laplace est utilisée en traitement du signal pour étudier les systèmes plutôt
que les signaux. En particulier, vous verrez dans le cours de signal, que la stabilité
d’un système dépend de la position des pôles de la transformée de Laplace de la
réponse impulsionnelle qui le caractérise. Cette transformée est appelée fonction de
transfert du système.
Remarque 6.10.5. La résolution d’équations différentielles peut se faire au moyen des
transformées de Fourier ou de Laplace. Considérons l’équation
−f ′′ + f = δ
95
Par transformée de Laplace, on obtient L[f ](p) = −
p2
1
, c’est-à-dire
−1
f (t) = −Y(t) sinh(t).
Par transformée de Fourier, on obtient fˆ(ν) =
f (t) =
1
4π 2 ν 2
+1
, c’est-à-dire
1 −|t|
e .
2
En dépit des apparences, les résultats sont cohérents car il s’agit de deux solutions
particulières de l’équation avec second membre : une solution admettant une transformée de Laplace, l’autre solution étant dans S′ .
La solution générale de l’équation différentielle est obtenue en additionnant la solution générale de l’équation sans second membre, c’est-à-dire f = A e−t + B et , A et
B constantes, et une solution particulière de l’équation avec second membre. Ainsi,
on peut trouver A et B telles que
−Y(t) sinh(t) =
1 −|t|
e + A e−t + B et
2
1
(A = 0 et B = − ).
2
96
Chapitre 7
Références
SCHWARTZ Laurent, “Méthodes mathématiques pour les sciences physiques”, Editions Hermann, Paris, 1965, 392 pages.
PETIT Roger, “L’outil mathématique”, Editions Masson, Paris, 1987, 262 pages.
PASTOR Dominique, “Notes de cours sur l’intégrale de Lebesgue des fonctions numériques”, Polycopié de Télécom Bretagne, 2010, 31 pages.
RODDIER François, “Distributions et transformation de Fourier”, Editions Mac
Graw Hill, 1978, 323 pages.
GHORBANZADEH Dariush et al., “Eléments de mathématiques du signal - Exercices résolus”, Editions Sciences Sup - Dunod, Paris, 2008, 334 pages.
YGER Alain, “Analyse complexe et distributions”, Editions Ellipses, Paris, 2001,
388 pages.
CHOQUET-BRUHAT Yvonne, “Distributions : théorie et problèmes”, Editions Masson, Paris, 1973, 232 pages.
BONY Jean-Michel, “Cours d’analyse : Théorie des distributions et analyse de Fourier”, Les éditions de l’Ecole Polytechnique, Paris, 2001, 268 pages.
RUDIN Walter, “Analyse réelle et complexe”, Editions Masson, Paris, 1995, 398
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pages.
PETIT Bernard, “Introduction aux fonctions d’une variable complexe”, Polycopié
de Télécom Bretagne, 2008, 18 pages.
SPIEGEL Murray R. , “Variables complexes - Cours et problèmes”, Série Schaum,
Editions McGraw-Hill, 1973.
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