Repre sentations p-adiques surconvergentes

Invent. math. 133, 581± 611 (1998)
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
F. Cherbonnier1, P. Colmez2,3
1
33, rue de Poissy, F-75005 Paris, France
(e-mail: [email protected])
2
DeÂpartement de matheÂmatiques et informatique, EÂcole Normale supeÂrieure,
U.R.A. 762 du C.N.R.S., 45, rue d'Ulm, F-75005 Paris, France
(e-mail: [email protected])
3 Â
Equipe d'arithmeÂtique, Institut de matheÂmatiques, U.M.R. 9994 du C.N.R.S.,
Tour 46-56 -5eÁme eÂtage- Bo^te 247, 4, place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France
Oblatum 19-V-1997 & 14-X-1997
Table des matieÁres
Introduction
I. Rappels sur les …u; C†-modules et les repreÂsentations p-adiques . . . . . . . . . . 582
II. RepreÂsentations surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
III. Cohomologie galoisienne et repreÂsentations surconvergentes. . . . . . . . . . . 600
Introduction
Ce travail s'inscrit dans le cadre de la classi®cation, introduite par
Fontaine [Fo91], des repreÂsentations p-adiques du groupe de Galois
absolu GK d'une extension ®nie K de Qp en termes de …u; C†-modules.
Le point essentiel de cette classi®cation est que l'on peut reconstruire
une repreÂsentation V aÁ partir de son …u; C†-module D…V † et que l'on
doit donc eÃtre capable de deÂcrire directement sur ce module tous les
invariants classiques attacheÂs aÁ V . On peut par exemple calculer la
cohomologie galoisienne de V aÁ partir de D…V † (cf. [H95]).
Notre reÂsultat principal (corollaire III.5.2) est que toutes les repreÂsentations p-adiques de GK sont surconvergentes, ce qui avait eÂteÂ
conjecture dans [Ch96]. La notion de surconvergence, eÂtudieÂe en
deÂtail dans [Ch96], est un peu trop technique pour eÃtre expliciteÂe dans
cette introduction. Signalons juste que la surconvergence ou la non
surconvergence d'une repreÂsentation ne deÂpend que de sa restriction
au noyau HK du caracteÁre cyclotomique et que l'on peut trouver des
repreÂsentations de HK qui ne sont pas surconvergentes. Les repreÂsentations de HK obtenues par restriction de repreÂsentations de
582
F. Cherbonnier, P. Colmez
GK veÂri®ent des conditions de rami®cation assez speÂciales d'apreÁs un
reÂsultat de Sen [Sn72]; elles sont ``faiblement rami®eÂes''. Les bornes
sur la rami®cation donneÂes par le theÂoreÁme de Sen semblent eÃtre
preÂciseÂment ce dont on a besoin pour prouver la surconvergence;
malheureusement, on peut construire un exemple de repreÂsentation
faiblement rami®eÂe de HK qui n'est pas surconvergente [Ch96,
chap.7]. Cette voie d'approche se reÂveÂlant sans issue, la deÂmonstration repose sur des techniques di€eÂrentes utilisant l'action reÂsiduelle
de CK ˆ GK =HK , techniques qui sont treÁs largement inspireÂes de
celles utiliseÂes par Sen [Sn80] pour deÂmontrer que toute repreÂsentation p-adique de GK a une deÂcomposition de Hodge-Tate
geÂneÂraliseÂe. La di€eÂrence est que les anneaux utiliseÂs dans cet article
ont une structure un peu plus compliqueÂe que le corps Cp
apparaissant dans la situation consideÂreÂe par Sen.
Le fait que toute repreÂsentation de GK est surconvergente a un
certain nombre d'applications qui seront deÂtailleÂes ailleurs. C'est en
particulier le point de deÂpart pour espeÂrer pouvoir deÂcrire les invariants
d'une repreÂsentation V de®nis aÁ partir des anneaux Bcris ; Bst ; BdR ; . . .
comme les modules DdR …V †; Dcris …V † . . . ([Fo94a] et [Fo94b]) ou l'exponentielle de Bloch-Kato [B&K90], en utilisant D…V †. Dans cette direction, signalons que l'on peut retrouver DdR …V † et l'opeÂrateur de®ni
par Sen [Sn80] geÂneÂralisant la notion de deÂcomposition de Hodge-Tate
aÁ partir de D…V † ([Ch96, ch. 6]). D'autre part, si V est de de Rham, les
…h†
applications LogV de®nies dans [Cz96], geÂneÂralisant l'isomorphisme
de Coleman [Cn79] et ``inverses'' de l'application exponentielle construite par Perrin-Riou [PR94] dans le cas cristallin, ont une interpreÂtation simple en termes de D…V † (cf [C&C97]).
Dans un autre ordre d'ideÂe, on peut utiliser l'action in®niteÂsimal
de CK pour associer aÁ une repreÂsentation de GK un module di€eÂrentiel
surconvergent muni d'un Frobenius et obtenir de cette facËon une
description des repreÂsentations de de Rham en termes d'eÂquations
di€eÂrentielles p-adiques (Fontaine, travail en preÂparation).
Les reÂsultats eÂvoqueÂs ci-dessus (du moins ceux concernant la
surconvergence) sont en fait valables dans la situation plus geÂneÂrale
ouÁ on remplace Qp par le corps des fractions de l'anneau des vecteurs
de Witt aÁ coecients dans un corps parfait de caracteÂristique p. C'est
cette situation geÂneÂrale qui est consideÂreÂe dans l'article.
I. Rappels sur les (u, C)-modules et les repreÂsentations p-adiques
Nous renvoyons aÁ [Fo91] pour les deÂmonstrations des faits rappeleÂs
dans ce chapitre. Nous avons pris la liberte de changer les notations
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
583
pour les rendre un peu plus homogeÁnes. Par exemples, les anneaux
e A, B
e A,
e et B correspondent respectivement aux
que nous notons E,
nr
de [Fo91].
anneaux Frac…R†, W …Frac…R††, O bnr , W …Frac…R†† 1p et Ec
E
1. Notations geÂneÂrales
Soient kF un corps parfait de caracteÂristique p, OF ˆ W …kF † l'anneau
des vecteurs de Witt aÁ coecients dans kF et F ˆ OF 1p le corps des
fractions de OF . On se ®xe une cloÃture algeÂbrique F de F et toutes les
extensions ®nies de F que nous aurons aÁ consideÂrer seront supposeÂes
eÃtre des sous-corps de F . On note GF le groupe de Galois Gal…F =F † et
v : GF ! Zp le caracteÁre cyclotomique.
Si K est une extension ®nie de F et n 2 N, on pose Kn ˆ K…lpn †
F et on note K1 l'extension cyclotomique de K reÂunion des Kn . On
note aussi GK le groupe de Galois Gal…F =K† et HK le noyau de la
restriction de v aÁ GK . On a HK ˆ Gal…F =K1 † et on pose
CK ˆ GK =HK ˆ Gal…K1 =K†.
e et certains de ses sous-anneaux
2. Le corps E
e l'ensemble
Soit Fb le compleÂte de F pour la topologie p-adique. Soit E
des suites x ˆ …x…0† ; . . . ; x…n† ; . . .† d'eÂleÂments de Fb veÂri®ant …x…n‡1† †p ˆ
e des lois ‡ et de®nies par x ‡ y ˆ s ouÁ s…n† ˆ
x…n† . On ÿmunit E
p m
…n‡m†
‡ y …n‡m†
et x y ˆ t, avec t…n† ˆ x…n† y …n† , ce qui fait
limm!‡1 x
e un corps de caracteÂristique p algeÂbriquement clos et complet
de E
e ‡ l'anneau
pour la valuation vE de®nie par vE …x† ˆ vp …x…0† †. On note E
e
des entiers de E.
e tel que e…1† 6ˆ 1, ce qui
Soit e ˆ …1; e…1† ; . . . ; e…n† . . .† un eÂleÂment de E
implique que si n 1, alors e…n† est une racine primitive pn -ieÁme de
p
et on note EF le sous-corps kF ……e ÿ 1††
l'uniteÂ. On a vE …e ÿ 1† ˆ pÿ1
e
de E.
e et E‡ l'anneau de ses
On note E la cloÃture seÂparable de EF dans E
e et la theÂorie du corps des
entiers. C'est un sous-corps dense de E
normes ([F&W79] et [Wi83]) permet d'identi®er Gal…E=EF † avec HF .
Si K est une extension ®nie de F , on pose
EK ˆ EHK ;
eK ˆ E
e HK ;
E
‡ HK
E‡
K ˆ …E †
e ‡ ˆ …E
e ‡ †HK :
et E
K
Le corps EK est une extension ®nie seÂparable de EF de degreÂ
e K est le compleÂte de sa cloÃture radicielle. Les
HF =HK ˆ‡ ‰K1 : F1 Š et E
‡
e K et EK .
e
anneaux EK et EK sont les anneaux d'entiers respectifs de E
584
F. Cherbonnier, P. Colmez
e et certains de ses sous-anneaux
3. Le corps B
e hˆi W …E†
e l'anneau des vecteurs de Witt aÁ coecients dans E
e et
Soit A
1
e
e
e
e
B ˆ A p ˆ Frac…A†, ce qui fait de B un corps muni d'une valuation
e et de corps reÂsiduel E.
e Si
discreÁte complet, d'anneau de valuation A
e
e
Â
x 2 E, on note ‰xŠ son representant de TeichmuÈller dans A. Tout
e s'eÂcrit donc de manieÁre unique sous la forme
 leÂment x de A
eP
P
‡1 i
e sous la forme ‡1 pi ‰xi Š.
p
‰x
Š
et
tout
eÂleÂment de B
i P
iˆ0
iÿ1
i
e
Si x ˆ ‡1
iˆ0 p ‰xi Š 2 B et k 2 Z, soit wk …x† ˆ infik vE …xi †. La
fonction wk veÂri®e les proprieÂteÂs suivantes qui sont immeÂdiates.
e
(i) wk …x† ˆ ‡1 si et seulement si x 2 pk‡1 A,
(ii) wk …x ‡ y† inf…wk …x†; wk …y†† avec eÂgalite si wk …x† 6ˆ wk …y†.
(iii) wk …xy† infi‡jk …wi …x† ‡ wj …y††.
(iv) wk …u…x†† ˆ pwk …x†.
e j wk …x† rg et on munit A
e
Si r 2 R et k 2 N, on pose Uk;r ˆ fx 2 A
de la topologie de®nie en prenant les Uk;r comme base de voisinage de
0. C'est aussi la topologie qui fait de l'application x ! …xk †k2N un
e sur E
e N muni de la topologie produit (E
e eÂtant
homeÂomorphisme de A
muni de la topologie de®nie par la valuation vE ) et on munit
e de la topologie de la limite inductive. L'action de GF sur
e ˆ [ pÿn A
B
n2N
e et B
e se prolonge en une action continue sur A
e qui commute aÁ celle
E
du morphisme de Frobenius u.
e de OF p; 1 . C'est
A
Soit p ˆ ‰eŠ ÿ 1. Soit AF l'adheÂrence dans
p
P
n
e de la forme
l'ensemble des eÂleÂments de A
n2Z an p ouÁ an est une
suite d'eÂleÂments de OF tendant vers 0 quand n tend vers ÿ1.
L'anneau AF est un anneau de valuation discreÁte complet de corps
reÂsiduel EF . Comme
u…p† ˆ …1 ‡ p†p ÿ 1
et g…p† ˆ …1 ‡ p†v…g† ÿ 1 si g 2 GF ;
hi
l'anneau AF et son corps des fractions BF ˆ AF 1p sont stables par u
et GF .
On note B l'adheÂrence de l'extension maximale non rami®e e de BF
e de telle sorte que l'on a B ˆ A 1 , que
e et A ˆ B \ A
contenue dans B
p
A est un anneau de valuation discreÁte complet dont le corps des
fractions est B et le corps reÂsiduel est E. L'anneau A et le corps B sont
stables par u et GF .
Si K est une extension ®nie de F , on pose
AK ˆ AHK ;
BK ˆ BHK ;
eK ˆ A
e HK
A
eK ˆ B
e HK :
et B
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
585
Si K ˆ F , les deux de®nitions de AK et BK coincident. Les anneaux
e K sont des anneaux de valuation discreÁte complets de corps
AK et A
e K et de corps des fractions respectifs
reÂsiduels respectifs
EK et E
1
1
e K (resp. B
e
e
e K ) contient
BK ˆ AK p et BK ˆ AK p . D'autre part, A
ÿ1
ÿn
l'anneau u …AK † ˆ [n2N u …AK † (resp. le corps uÿ1 …BK † ˆ
[n2N uÿn …BK †) comme sous-anneau (resp. sous-corps) dense. Le lien
e K et AK sera analyse plus preÂciseÂment au x2 du chapitre III.
entre A
Si L est une extension ®nie de K, BL est une extension non rami®eÂe
de BK de degre ‰L1 : K1 Š. Si l'extension L=K est de plus supposeÂe
e K et BL =BK sont aussi gale L =B
galoisienne, alors les extensions B
e K † ˆ Gal…BL =BK † ˆ
e L =B
oisiennes de groupe de Galois Gal…B
Gal…EL =EK † ˆ Gal…L1 =K1 † ˆ HK =HL .
Lemme I.3.1: Soient K une extension ®nie de F et c un eÂleÂment d'ordre
est inclus dans K1 \ F nr ; en particulier, c'est
in®ni de CK , alors Bcˆ1
K
une extension ®nie de F .
DeÂmonstration. Il sut de prouver que Acˆ1
est inclus dans OF nr ou
K
encore, utilisant le fait que AK est complet pour la topologie p-adique,
cˆ1
que Ecˆ1
K k F . Supposons le contraire; il existe alors x 2 EK non nul
cˆ1
et tel que vE …x† > 0, ce qui fait que EK contient kF ……x†† et l'extension
est une extension ®nie. Comme par hypotheÁse, c est d'ordre
EK =Ecˆ1
K
in®ni, le sous-groupe ferme C de CK qu'il engendre est d'indice ®ni
dans CK et comme C agit trivialement sur Ecˆ1
K , ceci implique que CK
agit aÁ travers un quotient ®ni sur EK , ce qui est absurde eÂtant donneÂ
que r…e† ˆ ev…r† 6ˆ e si r 6ˆ 1.
4. Le …u; CK †-module associe aÁ une repreÂsentation de GK
De®nition I.4.1: (i) On appelle Zp -repreÂsentation de GK , un Zp -module
de type ®ni muni d'une action Zp -lineÂaire continue de GK .
(ii) On appelle repreÂsentation p-adique de GK tout Qp -espace
vectoriel de dimension ®nie muni d'une action lineÂaire continue de GK
De®nition I.4.2: (i) Si K est une extension ®nie de F , on appelle
…u; CK †-module sur AK (resp. BK ) tout AK -module de rang ®ni (resp. tout
BK -espace vectoriel de dimension ®nie) muni d'une action semi-lineÂaire
de CK et d'une action de semi-lineÂaire u commutant aÁ celle de CK .
(ii) On dit qu'un …u; CK †-module D sur AK (resp. BK ) est eÂtale ou de
pente 0, si D est engendre (comme AK -module) par u…D† (resp. si D
contient un sous-AK -reÂseau eÂtale).
586
F. Cherbonnier, P. Colmez
Si K est une extension ®nie de F et V est une Zp -repreÂsentation ou
une repreÂsentation p-adique de GK , on pose
HK
:
D…V † ˆ A V
Zp
L'action de u sur A commutant aÁ celle de GK , D…V † est muni d'une
action de u qui commute aÁ l'action reÂsiduelle de GK =HK ˆ CK , ce qui
fait de D…V † un …u; CK †-module eÂtale (car u…A† engendre A) sur AK
ou BK suivant que V est une Zp -repreÂsentation ou une repreÂsentation
p-adique de GK .
ReÂciproquement, si D est un …u; CK †-module sur AK ou BK , on
pose
uˆ1
:
V …D† ˆ A D
AK
C'est une repreÂsentation Zp -repreÂsentation ou une repreÂsentation padique de GK suivant que D est un AK -module ou un BK -espace
vectoriel; l'action de GK sur D…V † provenant de l'action de GK sur B.
D'autre part, si V est une Zp -repreÂsentation ou une repreÂsentation padique de GK , alors V …D…V †† est canoniquement isomorphe aÁ V en
tant que repreÂsentation de GK . En d'autres termes, V est deÂtermineÂe
par son …u; CK †-module D…V †. En particulier, si V est une repreÂsentation p-adique de GK , on a dimBK D…V † ˆ dimQp V et l'application naturelle de B BK D…V † ÿ! B Qp V est un isomorphisme. Les
coecients de la matrice de cet isomorphisme dans des bases de V sur
Qp et D…V † sur BK s'appellent les peÂriodes de la repreÂsentation V .
5. L'opeÂrateur w
Le corps B est une extension de degre p de u…B†, ce qui nous permet
de de
ÿ ®nir un opeÂrateur w : B ! B par la formule w…x† ˆ
1 ÿ1
TrB=u…B† …x† . De manieÁre explicite, on veÂri®e facilement que
u
p
1; ‰eŠ; . . . ; ‰eŠpÿ1 forment une base de B sur u…B† et que l'on a
si
x0 ; . . . ; xpÿ1 2 u…B†.
w…x0 ‡ x1 ‰eŠ ‡ ‡ xpÿ1 ‰eŠpÿ1 † ˆ uÿ1 …x0 †
L'opeÂrateur w commute aÁ l'action de GK et on a w…u…x†† ˆ x si x 2 B
et w…A† A.
Comme w commute aÁ l'action de GK , si V est une repreÂsentation padique de GK , le module D…V † heÂrite de l'action de w qui commute aÁ
celle de CK et le Zp ‰‰CK ŠŠ-module D…V †wˆ1 est treÁs lie aÁ la cohomologie
galoisienne de V (cf. [C&C97] et [H95]).
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
587
Lemme I.5.1: Si K est une extension ®nie de F , V est une repreÂsentation
p-adique de GK et c est un eÂleÂment d'ordre in®ni de CK , alors 1 ÿ c est
injectif sur D…V †wˆ0 .
DeÂmonstration. Comme BK est un corps, D…V †cˆ1 est un Bcˆ1
K -espace
vectoriel de dimension infeÂrieure ou eÂgale aÁ dimQp V . En particulier,
c'est un F -espace vectoriel de dimension ®nie (cf. lemme I.3.1). Comme cet espace est stable par u qui agit de manieÁre injective, on en
deÂduit le fait que u est une surjection de D…V †cˆ1 sur D…V †cˆ1 . On
peut donc eÂcrire tout eÂleÂment x de D…V †cˆ1 sous la forme u…y† et
w…x† ˆ 0 implique y ˆ 0 et donc x ˆ 0, ce qui permet de conclure.
Remarque I.5.2. Herr a montre [H95] que 1 ÿ c est en fait bijectif sur
D…V †wˆ0 ; nous montrerons un reÂsultat plus preÂcis au chapitre II
(cf. proposition II.6.1).
II. RepreÂsentations surconvergentes
Comme on l'a vu plus haut, on peut reconstruire une repreÂsentation
p-adique V de GK aÁ partir de son …u; CK †-module D…V †. Il est donc
naturel de se demander si on peut reconstruire directement les autres
invariants de V (comme Dcris …V † ou DdR …V †) aÁ partir de D…V † sans
passer par la repreÂsentation V qui est aÁ priori un objet beaucoup plus
compliqueÂ.
Le probleÁme est que pour comparer D…V † et DdR …V † par exemple,
il faut arriver aÁ comparer les anneaux B et B‡
dR . Or B est un souse ‡ ˆ W …E
e‡†
e qui, comme B‡ , est obtenu en localisant A
anneau de B
dR
et en compleÂtant pour une certaine topologie, mais comme les deux
topologies utiliseÂes n'ont rien aÁ voir entre elles, il n'y a aucun more On peut quand
e dans B‡ ou de B‡ dans B.
phisme naturel de B
dR
dR
meÃme dans un premier temps s'inteÂresser aux repreÂsentations dont les
peÂriodes vivent dans un anneau contenu naturellement aÁ la fois dans
B et B‡
dR (i.e. sont surconvergentes).
1. EÂleÂments surconvergents
Soit R ˆ R [ frÿ j r 2 Rg. On munit R d'une relation d'ordre total
coincidant avec l'ordre naturel sur R et tel que si r1 < r2 sont deux
eÂleÂments de R, alors r1 < r2ÿ < r2 . On note R‡ l'ensemble des eÂleÂe y l'ensemble des x 2 A
e
ments r de R veÂri®ant r 0. Si r 2 R‡ , soit A
r
pr
e yÿ l'entels que l'on ait wk …x† ‡ pÿ1 k 0 quel que soit k 2 N et A
r
588
F. Cherbonnier, P. Colmez
e y tels que wk …x† ‡ pr k tend vers ‡1
semble des eÂleÂments x de A
r
pÿ1
e ‡ . La raison de
ey ˆ A
quand k tend vers ‡1. On a en particulier A
0
p
. Soit
cette numeÂrotation bizarre est que p ˆ e ÿ 1 et vE …e ÿ 1† ˆ pÿ1
y
y
e
e
e y est
Br ˆ Qp Ar , ce qui fait que si r 2 R‡ (resp. r 2 R‡ ÿ R‡ ), B
r
e tels que la suite wk …x† ‡ pr k est
l'ensemble des eÂleÂments x de B
pÿ1
borneÂe infeÂrieurement (resp. tend vers ‡1 quand k tend vers ‡1).
e y sera dit surconvergent. Finae y . Un eÂleÂment de B
e y ˆ [r2R‡ B
Soit B
r
y
y
y
e
e
e ce qui fait que A
e y est
e
e y \ A,
lement, on pose A1 ˆ [r2R‡ Ar et A ˆ B
1
e tels qu'il existe r 2 R‡ tel que
l'ensemble des eÂleÂments x de A
pr
e y est l'ensemble des
k 0 quel que soit k 2 N alors que A
wk …x† ‡ pÿ1
e tels qu'il existe r 2 R‡ et C 2 R tels que
eÂleÂments de A
pr
e y si et
wk …x† ‡ pÿ1 k C quel que soit k 2 N. En particulier, x 2 A
n
y
e
seulement si il existe n 2 N tel que ‰pŠ x 2 A1 .
e peut s'eÂcrire de manieÁre unique
Remarque II.1.1. Tout eÂleÂment x de B
P
k
e et on
sous la forme kÿ1 p ‰xk Š; ouÁ les xk sont des eÂleÂments de E
‡
deÂmontre que la seÂrie converge dans BdR si et seulement si la seÂrie
P
k …0†
converge dans Fb c'est-aÁ-dire si et seulement si
kÿ1 p xk
k ‡ vE …xk † tend vers ‡1 quand k tend vers ‡1 ou encore si et
e yÿ avec r ˆ pÿ1. Plus geÂneÂralement, l'ensemble B
e y;n
seulement si x 2 B
r
p
‡
y
ÿn
e
e
des eÂleÂments de B tels que u …x† converge dans BdR est eÂgal aÁ Brÿ , ouÁ
ey B
e y si r s, ce qui fait que B
e y est
r ˆ …p ÿ 1†pnÿ1 . D'autre part, B
r
s
y;n
y
e
e
aussi la reÂunion des B pour n 2 N; autrement dit, B est l'ensemble
e tels qu'il existe n 2 N tel que uÿn …x† converge dans
des eÂleÂments de B
‡
e y qui est la plus utile pour faire le lien
BdR . C'est cette description de B
avec la theÂorie des repreÂsentations de de Rham [C&C97].
e y et B
e y sont des sous-anneaux
Proposition II.1.2: (i) Si r 2 R‡ , alors A
r
r
y
y
e †ˆA
e et u…B
e stables par GF et on a u…A
ey† ˆ B
ey .
de B
r
pr
r
pr
e ‡ dont la reÂduction a modulo p veÂri®e
(ii) Si a est un eÂleÂment de A
e y est complet et seÂpare pour la topologie a-adique et
vE …a† > 0, alors A
r
e si r 2 R‡ .
e y est ferme dans A
A
r
y
e est un sous-corps de B
e stable par GF et u.
(iii) B
e y et B
e y pour l'addition et le passage
DeÂmonstration. (i) La stabilite de A
r
r
aÁ l'oppose vient de ce que l'on a wk …x ‡ y† inf…wk …x†; wk …y†† si
e et wk …ÿx† ˆ wk …x† et celle pour la multiplication est une
x; y 2 A
conseÂquence de l'ineÂgalite wk …xy† infi‡jk …wi …x† ‡ wj …y††. D'autre
e et r 2 GF et donc wk …r…x†† ˆ
part, on a vE …r…x†† ˆ vE …x† si x 2 E
e y et B
e et r 2 GF , ce qui permet de montrer que A
ey
wk …x† si k 2 Z, x 2 B
r
r
sont stables par GF . Finalement, l'identite wk …u…x†† ˆ pwk …x† permet
de terminer la deÂmonstration du (i).
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
589
(ii) CommencËons par supposer que a ˆ ‰aŠ et soit s ˆ vE …a†. On a
e y quel que
alors wk …ai x† ˆ wk …x† ‡ is, ce qui implique que si x 2 ai A
r
pr
k ‡ is quel que soit i 2 N et donc
soit i 2 N, alors wk …x† ÿ pÿ1
e Comme ceci est vrai quel que soit k 2 N,
wk …x† ˆ ‡1 et x 2 pk‡1 A.
cela implique x ˆ 0. La topologie a-adique est donc seÂpareÂe. Maine y et k 2 N, la suite de
tenant, si …ai †i2N est une suite d'eÂleÂments de A
r
i
tend vers ‡1 quand i tend vers ‡1, ce qui
terme geÂneÂral wk …a ai † P
‡1 i
e
montre que la seÂrie
iˆ0 a ai converge dans A vers une limite
a veÂri®ant wk …a† infi2N wk …ai † ‡ is. Il est alors clair que si
pr
pr
wk …ai † ÿ pÿ1
k quel que soit i 2 N, alors wk …a† ÿ pÿ1
k et que si
pr
r > 0 et wk …ai † ‡ pÿ1 k tend vers ‡1 quand k tend vers ‡1 quel que
pr
soit i 2 N, alors wk …a† ‡ pÿ1
k tend vers ‡1 quand k tend vers ‡1, ce
y
e
qui montre que Ar est complet pour la topologie a-adique quel que
soit r 2 R‡ si a ˆ ‰aŠ. Maintenant, si r > 0, a est quelconque et b est
a
e y et
e ‡ veÂri®ant 0 < vE …b† < inf…r; vE …a††, on a ‰bŠ
2A
un eÂleÂment de E
r
y
e
comme Ar est seÂpare et complet pour la topologie ‰bŠ-adique d'apreÁs
ce qui preÂceÁde, il l'est a fortiori pour la topologie a-adique. Si r ˆ 0 et
ey ˆ A
e ‡ est complet pour la
a ˆ ‰aŠ ‡ pu, d'apreÁs ce qui preÂceÁde, A
0
topologie ‰aŠ-adique et comme il l'est pour la topologie p-adique, il
l'est aussi pour la topologie a-adique.
e y est de®ni comme l'intersection des Uk;rk
Finalement, si r 2 R‡ , A
r
e ce qui prouve que A
e y est ferme dans A.
e
qui sont des fermeÂs de A,
r
e veÂri®e vE …a† ˆ r > 0,
Remarque II.1.3. On peut montrer que, si a 2 E
y
y
e ) est, en tant qu'anneau, le seÂpare compleÂte de
e ÿ (resp. A
alors A
r
r
e ‡ ‰ p Š pour la topologie p-adique (resp. p -adique). Remarquons aussi
A
‰aŠ
‰aŠ
e est le seÂpare compleÂteÂ
que sous les meÃmes hypotheÁses concernant a, A
‡‰ 1 Š
e
de A ‰aŠ pour la topologie p-adique.
e stable par GF et u
e y est un sous-anneau de B
e y ˆ [r2R B
(iii) B
r
‡
d'apreÁs ce qui preÂceÁde. Pour montrer que c'est un corps, nous aurons
besoin du lemme suivant (le corollaire II.1.5 ci-dessous est inutile
pour la deÂmonstration, mais servira plus tard).
P
k
ey
Lemme II.1.4: Si r 2 R‡ , un eÂleÂment x ˆ ‡1
kˆ0 p ‰xk Š de Ar est une
y
e si et seulement si vE …x0 † ˆ 0.
unite de A
r
e y , alors vE …x† ˆ
DeÂmonstration. Si x et xÿ1 appartiennent aÁ A
r
vE …x0 † 0 et vE …xÿ1 † ˆ ÿvE …x0 † 0 et donc vE …x0 † ˆ 0. ReÂciproe y et, quitte aÁ
quement, si vE …x0 † ˆ 0, alors ‰x0 Š est inversible dans A
r
supposer x0 ˆ 1 auquel cas x ˆ 1 ÿ u avec
diviser par ‰x0 Š, on peut
P
e y puisque A
e y est un
e \A
e y et xÿ1 ˆ ‡1 un est un eÂleÂment de A
u 2 pA
r
r
r
nˆ0
e
sous-anneau ferme de A.
590
F. Cherbonnier, P. Colmez
Corollaire II.1.5: (i) Si r 1, alors
p
‰pŠ
e y.
est une unite de A
r
DeÂmonstration. On a p ˆ ‰eŠ ÿ 1 ˆ ‰pŠ ‡ p‰a1 Š ‡ p2 ‰a2 Š ‡ , ouÁ ai est
ÿi
un polynoÃme en ep ÿ 1 aÁ coecients dans Z et sans terme constant,
ÿi
1
ce qui implique vE …ai † vE …ep ÿ 1† ˆ … pÿ1†p
iÿ1 . Ceci implique que si
on eÂcrit p sous la forme ‰pŠ…1 ‡ p‰a1 Š ‡ p2 ‰a2 Š ‡ †, alors
vE …a1 † ˆ vE …a1 † ÿ vE …p† ÿ1 et vE …ai † ÿvE …p† ÿi si i 2 et
p
e ypÿ1 , ce qui permet d'utiliser le lemme preÂceÂdent pour
donc ‰pŠ
2A
p
conclure.
e y est un corps. Si
Revenons aÁ la deÂmonstration du fait que B
y
e y et donc puisse
e
x 2 B ÿ f0g, il existe n 2 Z, r 2 N tels que x 2 pÿn A
r
P
‡1
pr
k quel que
s'eÂcrire sous la forme pÿn kˆ0 pk ‰xk Š avec vE …xk † ÿ pÿ1
soit k 2 N. Soit k0 le plus petit entier tel que xk 6ˆ 0. On a alors
P
yk‡k0
k
x ˆ pk0 ÿn ‰xk0 Šu avec u ˆ 1 ‡ ‡1
kˆ1 p ‰yk Š, ouÁ yk ˆ yk0 veÂri®e vE …yk †
pr
ps
…k ‡ k0 † ÿ vE …xk0 † ÿ pÿ1
k, ouÁ l'on a pose s ˆ r ‡ k0 ‡
ÿ pÿ1
pÿ1
Â
p sup…0; vE …xk0 ††. On deduit alors du lemme II.1.4, le fait que u est
ey B
e y et, comme p et ‰xk Š sont inversibles dans B
e y (p
inversible dans A
0
s
pÿ1
p
e yt ),
l'est par construction et, si t ˆ p vE …x0 † > 0 alors ‰x1k Š ˆ 1p ‰xk Š 2 B
0
0
e y et permet de conclure.
cela montre que x est inversible dans B
ey
ey ˆ [
On munit B
r2R‡ Br de la topologie de la limite inductive,
y
e ˆ [n2N pÿn Ay de la topologie de la limite
ayant muni chaque B
r
r
e y de la topologie p-adique pour lequel il est complet
inductive et A
r
d'apreÁs le (ii) de la proposition II.1.2. On de®nit des sous-anneaux Ay ,
By , et, si r 2 R‡ [ f1g, Ayr , Byr de B en posant
e y;
Ay ˆ A \ A
ey;
By ˆ B \ B
ey
Ayr ˆ A \ A
r
ey ;
et Byr ˆ B \ B
r
anneaux que l'on munit des topologies induites par les topologies
e y et B
e ‡ \ A sera en geÂneÂral
e y; B
e y; A
e y . L'anneau Ay ˆ A
respectives de A
r
r
0
note A‡ . Si on utilise le fait que A (resp. B) est un sous-anneau (resp.
e (resp. B)
e contenant p et stable par GF et u,
un sous-corps) ferme de A
on obtient la proposition suivante.
Proposition II.1.6: (i) By est un corps stable par GF et u.
(ii) Si r 2 R‡ , les anneaux Ayr et Byr sont stables par GF et x 2 Ayr
(resp. x 2 Byr ) si et seulement si u…x† 2 Aypr (resp. u…x† 2 Bypr ),
(iii) Si r 2 R‡ , alors Ayr est seÂpare et complet pour la topologie padique.
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
591
2. L'anneau ByF
Si K est une extension ®nie de F , on pose
‡;
AyK ˆ …Ay †HK ; ByK ˆ …By †HK et; si r 2 R
Ayr;K ˆ …Ayr †HK et Byr;K ˆ …Byr †HK :
L'anneau Ay0;K sera en geÂneÂral note A‡
K . Si K est une extension non
y
Â
rami®ee de F , Les anneaux Ar;K ont une description en termes de
fonctions analytiques sur certaines couronnes, ce qui les rend assez
maniables. Si K est une extension ®nie de F , consideÂrons les anneaux
de seÂries de Laurent suivants:
‰0;1†
(i) l'algeÁbre AK des seÂries entieÁres aÁ coecients dans OK .
P
‰1;1†
(ii) l'algeÁbre AK des seÂries de Laurent de la forme n2Z an T n
dont les coecients sont dans OK et veÂri®ent lim an ˆ 0.
‰q;1†
n!ÿ1
…q;1†
(resp. AK ) des fonctions
(iii) Si 0 < q < 1, l'algeÁbre AK
analytiques sur la couronne q jT j < 1 (resp. q < jT j < 1) majoreÂes
en norme par 1 sur cette couronne.
Proposition II.2.1: Si K est une extension non rami®eÂe de F , alors
l'application qui aÁ F associe F …p† induit un isomorphisme
‰1;1†
(i) de AK sur AK ,
‰0;1†
(ii) de AK sur A‡
K
‰q…r†;1†
…q…r†;1†
ÿ1r
(iii) de AK
sur Ayrÿ et de AK
sur Ayr si r pÿ1
p et q…r† ˆ p .
DeÂmonstration. Les (i) et (ii) sont des eÂvidences et le (iii) se reformule
de la manieÁre suivante.
Lemme II.2.2: Soient K une extension ®nie non rami®eÂe de F et r 2 R‡
pÿ1
veÂri®ant
P r np . Les deux conditions suivantes sont eÂquivalentes pour
x ˆ n2Z an p 2 AK .
(i) x 2 Ayr;K ,
(ii) rvp …an † ‡ n 0 quel que soit n 2 Z (resp. rvp …an † ‡ n 0 quel
que soit n 2 Z et lim rvp …an † ‡ n ˆ ‡1) si r 2 R (resp. si
n!ÿ1
r 2 R ÿ R).
P
y
n
DeÂmonstration. Remarquons
tout
d'abord
que
x
ˆ
n2Z an p 2 Ar;K
P
y
0
n
ÿk
si
P et seulementn si x ˆ n<0 an p 2 Ar;K . Si k 2 N, soit yk ˆ p
et nk ˆ inffn < 0 j vp …an † ˆ kg. On a donc
n<0; vp …an †ˆk an p
yk ˆ ‰pŠnk u ouÁ
592
F. Cherbonnier, P. Colmez
an
u ˆ kk
p
p
‰pŠ
nk
0
@1 ‡
X
n>nk ;vp …an †ˆvp …ank
1
an nÿnk A
p
a
† nk
e pÿ1 . On en deÂduit les formules w0 …yk † ˆ
est une unite de A
p
p
vE …yP
k † ˆ nk pÿ1 et wi …yk † vE …y k † ÿ i si i 1. D'autre part, comme
i
i
x ˆ ‡1
iˆ0 p yi , on a wk …x† inf0ik wk …p yi † ˆ inf0ik wkÿi …yi † avec
eÂgalite si wk …yk † < wkÿi …yi † quel que soit 0 i k ÿ 1.
Lemme II.2.3: Soient s 0 et …uk †k2N ; …vk †k2N deux suites de nombres
reÂels veÂri®ant les conditions suivantes
a) vk inf0ik ui ‡ s…k ÿ i†
b) vk ˆ uk si uk < ui ‡ s…k ÿ i† quel que soit 0 i k ÿ 1.
Alors on a
(i) uk 0 quel que soit k 2 N , vk 0 quel que soit k 2 N.
Si de plus s > 0, alors
(ii) lim uk ˆ ‡1 , lim vk ˆ ‡1.
k!‡1
k!‡1
DeÂmonstration. (i) L'implication ) est immeÂdiate et la contraposeÂe
de l'implication reÂciproque se deÂmontre en remarquant que si i est le
plus petit entier tel que ui < 0, alors vi ˆ ui .
(ii) L'implication ) est immeÂdiate puisque vk uk . Supposons
que uk ne tend pas vers ‡1 et notons ` la limite infeÂrieure de la suite
…uk †k2N . Si ` ˆ ÿ1 et w…i† est une suite d'entiers tendant vers ‡1 tels
que uw…i† < uk quel que soit k < w…i†, on a vw…i† ˆ uw…i† , ce qui prouve
que …vk †k2N ne tend pas non plus vers ‡1. Si ` est ®ni et …uw…i† †i2N est
une suite extraite de …uk †k2N tendant vers `, un petit argument utilisant le fait que s…k ÿ i† s si k i ‡ 1 et s > 0, montre que
vw…i† ˆ uw…i† si i est assez grand, ce qui montre que …vk †k2N ne tend pas
non plus vers ‡1 et termine la deÂmonstration du lemme.
y
Corollaire II.2.4: Si r pÿ1
p et x 2 AK , alors x 2 Ar;K si et seulement si
pr
pr
i 0 quel que
vE …yi † ‡ pÿ1 i 0 quel que soit i 2 N (resp. vE …yi † ‡ pÿ1
pr
soit i 2 N et vE …yi † ‡ pÿ1 i tend vers ‡1 quand i tend vers ‡1) si r 2 R
(resp. r 2 R ÿ R).
pr
ÿ1
DeÂmonstration. Il sut d'appliquer le lemme preÂceÂdent aÁ s ˆ pÿ1
pr
pr
k et uk ˆ vE …yk † ‡ pÿ1
k.
et aux suites vk ˆ wk …x0 † ‡ pÿ1
Pour terminer la deÂmonstration du lemme II.2.2, il sut d'utiliser
p
qui implique en particulier que
la formule vE …yk † ˆ infvp …an †ˆk n pÿ1
pr
``wk …yk † ‡ pÿ1 k 0 quel que soit k 2 N'' eÂquivaut aÁ ``n ‡ rvp …an † 0
quel que soit n < 0''. D'autre part, la condition lim vE …yk †‡
k!‡1
pr
Â
Á
pÿ1 k ˆ ‡1 equivaut a infvp …an †ˆk n ‡ rvp …an † tend vers ‡1 quand k
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
593
tend vers ‡1 et donc (car il n'y a qu'un nombre ®ni de n < 0 tels
que vp …an † ˆ k) aussi aÁ la condition lim rvp …an † ‡ n ˆ ‡1, ce qui
n!ÿ1
permet de conclure.
3. GeÂneÂraliteÂs sur les repreÂsentations surconvergentes
Une repreÂsentation surconvergente est une repreÂsentation dont le
…u; C†-module est engendre par des eÂleÂments surconvergents. De
manieÁre preÂcise, on a la de®nition suivante.
De®nition II.3.1: Si V est une Zp -repreÂsentation ou une repreÂsentation
p-adique de GK , on pose
Dy …V † ˆ …Ay Zp V †HK
et Dyr …V † ˆ …Ayr Zp V †HK si r 2 R‡ :
Comme By est un corps, si V est une repreÂsentation p-adique, on a
dimBy Dy …V † dimQp V et on dit que V est surconvergente si on a
K
eÂgaliteÂ, ce qui est eÂquivalent au fait que Dyr …V † contient une base de
D…V † sur BK si r est assez grand.
Remarquons que la proprieÂte de surconvergence ne deÂpend que de
la restriction aÁ HK . Les repreÂsentations surconvergentes sont eÂtudieÂes
en deÂtails dans [Ch96] et le theÂoreÁme suivant rassemble une bonne
partie des reÂsultats obtenus dans [Ch96].
TheÂoreÁme II.3.2: (i) La cateÂgorie des repreÂsentations surconvergentes
de GK est stable par induction; autrement dit, si L est une extension ®nie
de K et V est une repreÂsentation p-adique de GK , alors V est surconvergente si et seulement si elle est surconvergente en tant que repreÂsentation de GL .
(ii) V est surconvergente si et seulement si D…V †wˆ1 est formeÂ
d'eÂleÂments surconvergents (i.e. est inclus dans Dy …V †).
(iii) Si V est surconvergente et cK est un geÂneÂrateur de CK , alors
cK ÿ 1 admet un inverse continu sur Dy …V †wˆ0 .
(iv) La cateÂgorie des repreÂsentations surconvergentes est stable par
extension et contient les repreÂsentations abeÂliennes.
Pour la commodite du lecteur, nous avons reproduit dans la suite
de ce chapitre, les deÂmonstrations (un peu modi®eÂes) des reÂsultats (i)
et (iii), reÂsultats dont nous aurons besoin dans le chapitre suivant
pour montrer que toutes les repreÂsentations de GK sont surconvergentes. Le point le plus deÂlicat est le (iii). La deÂmonstration
que nous allons en donner di€eÁre de celle de [Ch96] sur la manieÁre de
594
F. Cherbonnier, P. Colmez
deÂvisser la situation. Dans [Ch96] le deÂvissage se fait en regardant la
repreÂsentation modulo p puis mod p2 etc . . ., alors qu'ici on se rameÁne
au cas de la repreÂsentation triviale de GF , ce qui permet de raccourcir
largement la deÂmonstration.
4. Stabilite par induction
La stabilite par induction de la cateÂgorie des repreÂsentations surconvergentes se rameÁne, modulo le theÂoreÁme de Hilbert 90, aÁ la
proposition suivante.
Proposition II.4.1: Si L est une extension ®nie de K, alors ByL est une
extension de ByK de degre ‰L1 : K1 Š et si L=K est galoisienne, il en est de
meÃme de ByL =ByK et Gal…ByL =ByK † ˆ Gal…L1 =K1 †.
DeÂmonstration. Il sut de prouver que si K est une extension ®nie de
F , alors l'application naturelle de BF By ByK dans BK est bijective, ce
F
qui permettra de deÂduire la proposition de l'eÂnonce analogue pour
BL =BK . Comme TrK1 =F1 …ByK † ByF , un argument standard faisant
intervenir la forme quadratique TrK1 =F1 …x2 † permet de montrer
qu'une famille d'eÂleÂments de ByK qui est lieÂe sur BF l'est deÂjaÁ sur ByF .
On en deÂduit l'injectiviteÂ. Pour deÂmontrer la surjectiviteÂ, nous aurons
besoin du lemme suivant.
Lemme II.4.2: Si P 2 Ay ‰X Š est unitaire et a un discrimant non divisible
par p, alors les racines de P appartiennent aÁ Ay .
DeÂmonstration. L'hypotheÁse selon laquelle le discriminant de P n'est
pas divisible par p implique que l'extension de B engendreÂe par une
racine de P est non rami®eÂe et donc eÂgale aÁ B; on en deÂduit le fait que
les racines de P appartiennent aÁ A. Il sut donc de veÂri®er qu'elles
e y.
appartiennent aussi aÁ A
ÿ Soit d le degre de P . Quitte aÁ remplacer P par pNd P pXN pour N
assez grand, on peut supposer que la reÂduction P de P modulo p
e y dont la
e ‡ ‰X Š. Soit a 2 E
e ‡ une racine de P et a 2 A
appartient aÁ E
reÂduction modulo p est a (on peut prendre pour a le repreÂsentant de
TeichmuÈller ‰aŠ de a). Par hypotheÁse, on a P 0 …a† 6ˆ 0, ce qui fait que
P 0 …a†
e y . Soit r 2 R‡ tel que A
e y contienne a, tous
est inversible dans A
r
‰P 0 …a†Š
‰P 0 …a†Š
pÿ1
les coecients de P et P 0 …a† . Si n ˆ p vE …P 0 …a††, on peut eÂcrire P 0 …a†
0
p ÿn
p
e y , on a
sous la forme pn P 0 …a† …‰pŠ
† et comme ‰pŠ
est inversible dans A
1
‰P …a†Š
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
595
e y si s sup…r; 1†. On a de plus
P 0 …a† ˆ pn u, ouÁ u est inversible dans A
s
e y \ pA
e y k , on
e et comme A
e y \ pA
e est inclus dans p…pÿ1†pkÿ1 s A
P …a† 2 A
s
s
p s
y
y
e k et comme A
e k est seÂpareÂ
peut trouver k 2 tel que P …a† 2 p2n‡1 A
p s
p s
et complet pour la topologie p-adique, le lemme de Hensel implique
que l'eÂquation P …x† ˆ 0 a une unique solution appartenant aÁ
e y k . On en deÂduit le reÂsultat.
a ‡ p2n‡1 A
p s
Revenons aÁ la deÂmonstration de la surjectiviteÂ. Soit x un geÂne‡
‡
rateur de E‡
K en tant que EF -algeÁbre et soit P 2 EF ‰X Š son polynoÃme
minimal. Il reÂsulte du lemme de Hensel que si P 2 AF ‰X Š est n'importe quel polynoÃme unitaire dont la reÂduction modulo P est P , alors
P a une unique racine x dans AK dont la reÂduction modulo p est x et
AK ˆ AF ‰xŠ. Comme l'image de AyF modulo p contient E‡
F (c'est immeÂdiat), on peut choisir P appartenant aÁ AyF ‰X Š et le lemme II.4.2
montre qu'alors x 2 AyK . On en deÂduit l'ineÂgalite ‰ByK : ByF Š ‰K1 : F1 Š, ce qui permet de conclure.
5. Action de C sur Dy …V †wˆ0 : le cas de la repreÂsentation triviale
Proposition II.5.1: Si m 1, cm est un geÂneÂrateur de CFm et r ÿ
wˆ0
…p ÿ 1†pmÿ1 , alors sm ˆ cm ÿ 1 induit une bijection de u…p†a Ayr;F
mÿ1
sur u…p†a‡p …Ayr;F †wˆ0 quel que soit a 2 Z.
DeÂmonstration. L'injectivite vient de ce que le noyau de sm agissant
sur AF est OF (cf. lemme I.3.1) et donc son intersection avec …AF †wˆ0
est reÂduite aÁ f0g.
Comme cm est un geÂneÂrateur de CFm et m 1, on a vp …v…cm †
ÿ1† ˆ m et on peut eÂcrire v…cm † ÿ 1 sous la forme pm u avec u 2 Zp .
wˆ0
s'eÂcrit de manieÁre unique sous la forme
Tout
Ppÿ1 eÂlei  ment z de AF
‰eŠ
z
avec
z
2
u…A
†
i
i
F (cf. formule deÂcrivant w, chapitre I x5), ce
iˆ1
! Awˆ0
par la
qui nous permet de de®nir une application fm : Awˆ0
F
F
formule
!
pÿ1
pÿ1
X
X
zi
‰eŠi zi ˆ ÿ
‰eŠi
fm
m
1 ÿ ‰eŠp iu
iˆ1
iˆ1
et un petit calcul utilisant le fait que cm …‰eŠi † ˆ ‰eŠiv…cm † ˆ ‰eŠi ‰eŠp
montre que l'on a
fm …sm …z†† ˆ z ÿ
pÿ1
X
iˆ1
‰eŠi
‰eŠ
sm …zi †
ÿpm iu
ÿ1
:
m
iu
…II:5:1:1†
596
F. Cherbonnier, P. Colmez
La deÂmonstration de la proposition II.5.1 repose sur le fait que fm est
presque un inverse de sm . Il s'agit donc de veÂri®er que z ÿ fm …sm …z††
est petit en un sens aÁ preÂciser, ce qui neÂcessitera un certain nombre de
lemmes preÂparatoires.
pm a
Lemme II.5.2: (i) Si a 2 Zp et r …p ÿ 1†pmÿ1 , alors ‰eŠ ppmÿ1 et
sont des uniteÂs de Ayr;F .
k
m
(ii) Si r …p ÿ 1†pmÿ1 et k 2 Z, alors smp…pk † 2 pp ÿ1 Ayr;F .
‰eŠp
ma
u…p†p
ÿ1
mÿ1
y
p
p
Á
DeÂmonstration. u…p†
pp ˆ 1 ‡ p ‡ ‡ ppÿ1 appartient a Apÿ1;F comme
on le voit en utilisant le lemme II.2.2 et comme son image dans EF est
eÂgale aÁ 1, c'est une unite de Aypÿ1;F d'apreÁs le lemme II.1.4. On en
deÂduit le fait que
m
p mÿ1
‰eŠp ÿ 1 um …p†
u…p† p
mÿ1 u…p†
mÿ2 u…p†
ˆ pm ˆ u
...
u
ppm
p
pp
pp
pp
est une unite de de Ay…pÿ1†pmÿ1 ;F ce qui permet de deÂmontrer le (i),
pm a
P a pm
i
compte-tenu du fait que ‰eŠ pm ÿ1 ˆ a ‡ ‡1
iˆ1 i‡1 …‰eŠ ÿ 1† est une
‰eŠ ÿ1
y
y
unite de A‡
F ˆ A0;F et donc, a fortiori, de Ar;F , si a 2 Zp . m
(ii) Si k ˆ 1, on a sm …p† ˆ cm …‰eŠ ÿ 1† ÿ …‰eŠ ÿ 1† ˆ ‰eŠ…‰eŠp u ÿ 1† et
le reÂsultat suit du (i). D'autre part,
sm …pk †
ˆ
pk
j X
‡1 ‡1 X
cm …p† k
k cm …p†
k sm …p† j
ÿ1 ˆ
ÿ1 ˆ
;
p
j
p
j
p
jˆ1
jˆ1
ce qui permet de ramener le cas k quelconque au cas k ˆ 1 puisque Ayr
est complet pour la topologie p-adique.
Corollaire II.5.3: Si r …p ÿ 1†pmÿ1 et a 2 Z, l'image de pa Ayr;F par sm
m
est incluse dans pa‡p ÿ1 Ayr;F .
DeÂmonstration. Comme sm est continue, que pa‡p ÿ1 Ayr;F est complet
et X ˆ pa Ayr;F \ OF ‰p; pÿ1 Š est dense dans pa Ayr;F , il sut de veÂri®er
m
Ayr;F . Or
que l'image de tout eÂleÂment de X par sm est dans pa‡p ÿ1
ÿ
j
p
p
X ˆ pa OF ‰p; …pÿ1†pnÿ1 Š est engendre sur OF par les ei;j ˆ pa‡i …pÿ1†p
nÿ1
p
p
m
et le lemme preÂceÂdent montre que l'on a sm …ei;j † ˆ pp ÿ1 ei;j xi;j , avec
xi;j 2 Ayr;F . Ceci permet de conclure.
m
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
Corollaire II.5.4: Si r …p ÿ 1†pmÿ1 et z 2 u…p†a Ayr;F
z ÿ fm …sm …z†† 2 u…p†a‡…pÿ1†p
mÿ1
ÿ1
Ayr;F
wˆ0
wˆ0
597
, alors
:
P
i
DeÂmonstration. On peut eÂcrire z sous la forme z ˆ pÿ1
iˆ1 ‰eŠ u…zi † avec
a y
a‡pm ÿ1 y
Apÿ1 r;F . Or on a, d'apreÁs la
zi 2 p Apÿ1 r;F et donc sm …zi † 2 p
formule (II.5.1.1),
pÿ1
pÿ1
X
X
sm …zi †
i u…sm …zi ††
i
‰eŠ ÿpm iu
‰eŠ u
ˆ
z ÿ fm …sm …z†† ˆ
mÿ1
ÿ 1 iˆ1
‰eŠ
‰eŠÿp iu ÿ 1
iˆ1
et le reÂsultat suit du fait que ‰eŠ
le lemme II.5.2.
ÿpmÿ1 iu
ppmÿ1
ÿ1
est une unite de Aypÿ1 r;F d'apreÁs
Revenons aÁ la deÂmonstration de la proposition II.5.1. Il s'agit de
mÿ1 ÿ y wˆ0
montrer que si x 2 u…p†a‡p
Ar;F
, l'eÂquation sm …y† ˆ x a une
ÿ
wˆ0
solution dans u…p†a Ayr;F
ou encore, utilisant le fait que fm est
injective, que l'application
qui aÁ y associe gx …y† ˆ y ÿ fm …sm …y† ÿ x† a
m
y
‰eŠp iu ÿ1
un point ®xe. Comme
mÿ1 est une unite de Ar;F (lemme II.5.2), on a
u…p†p
ÿ
fm …x† 2 u…p†a Ayr;F wˆ0
lemme preÂceÂdent montre que gx est une
ÿ et lewˆ0
dans lui-meÃme contractante pour la
application de u…p†a Ayr;F
topologie u…p†-adique, topologie pour laquelle ce module est complet, ce qui permet de conclure.
6. Action de CK sur Dy …V †wˆ0 : le cas geÂneÂral
Proposition II.6.1: Si cK est un geÂneÂrateur de CK et V est une repreÂsentation surconvergente de GK , alors sK ˆ cK ÿ 1 admet un inverse
wˆ0
y
ÿ!
continu sur Dy …V †wˆ0 , inverse qui sera note sÿ1
K : D …V †
wˆ0
Dy …V † . Plus preÂciseÂment, si T est un reÂseau de V stable par GK , il
existe c…K; T † 2 N et r…K; T † 2 R‡ tels que, quels que soient
r r…K; T † et a 2 Z, on ait
ÿÿ a y wˆ0 ÿ aÿc…K;T † y wˆ0
sÿ1
p Dr …T †
p
Dr …T †
:
K
Ce theÂoreÁme admet le corollaire suivant que nous utiliserons de
manieÁre intensive dans le chapitre III.
598
F. Cherbonnier, P. Colmez
Corollaire II.6.2: Si K est une extension ®nie de F , il existe c…K† 2 N et
r…K† 2 R‡ tels que, quels que soient r r…K† et a 2 Z, on ait
ÿÿ a y wˆ0 ÿ aÿc…K† y wˆ0
p Ar;K
p
Ar;K
:
sÿ1
K
DeÂmonstration. Il sut d'appliquer le theÂoreÁme preÂceÂdent aÁ la repreÂsentation triviale de GK .
Revenons aÁ la deÂmonstration de la proposition II.6.1. On se
rameÁne graÃce aÁ la proposition II.4.1 au cas ouÁ K ˆ F en remplacËant V
par IndFK V ; nous supposerons donc dans tout ce qui suit que KˆF.
Soit T un reÂseau de V stable par GK . Comme on a suppose V surconvergente, on peut trouver une base e1 ; . . . ; ed de D…T † sur AF
constitueÂe d'eÂleÂments surconvergents. Il existe alors r0 2 R‡ , que l'on
y
peut supposer supeÂrieur ou eÂgal aÁ pÿ1
p , tel que ei 2 Dr0 …V † quel que soit
1 i d.
Si c 2 CK , soit Uc la matrice de c dans la base e1 ; . . . ; ed , ce qui fait
que c ! Uc est un cocycle continu sur CK aÁ valeurs dans GLd …Ayr0 ;F †.
La continuite implique qu'il existe m 2 N tel que l'on ait
Uc 2 1 ‡ pMd …Ayr0 ;F † si c 2 CKm . Remarquons que si f ˆ ‰Km : KŠ, on
peut prendre cKm ˆ cfK comme geÂneÂrateur de CKm et comme on a
ÿ
ÿ1
ˆ 1 ‡ cK ‡ ‡ cfKÿ1 sÿ1
sÿ1
K ˆ …cK ÿ 1†
Km ;
on voit que l'on peut deÂduire l'eÂnonce de la proposition II.6.1 pour V
consideÂreÂe comme repreÂsentation de GK de l'eÂnonce obtenu en
consideÂrant V comme une repreÂsentation de GKm . Ceci permet, quitte
aÁ remplacer K par Km , de supposer que U ˆ UcK 2 1 ‡ pMd …Ayr0 ;F † et
v…cK † 2 1 ‡ pZp .
Soit m ˆ vp …v…cK † ÿ 1† de telle sorte que K ˆ Fm et cK est un
kÿ1
Â
geneÂrateur de CFm et soit c ˆ pmÿ1 . Comme uk …pAyr;F † u…p†p Aypk r;F
ÿ pp pkÿ1
k
k
si r 1 car u …p†
ˆ u p…p†
est une unite de Aypk r;F d'apreÁs le
k
pkÿ1
u…p†
p
u…p†
lemme II.5.2, on peut, quitte aÁ remplacer r0 par pm r0 et e1 ; . . . ; ed par
um …e1 †; . . . ; um …ed †, ce qui change U en um …U †, supposer que
e1 ; . . . ; ed 2 u…D…T †† et U 2 1 ‡ u…p†c‡1 Md …Ayr0 ;F †. Comme on avait
mÿ1
Â
, ce qui
suppose r0 pÿ1
p au debut, on a maintenant r0 …p ÿ 1†p
nous permettra d'utiliser la proposition II.5.1.
On s'est donc ramene aÁ deÂmontrer la proposition II.6.1 en supposant de plus qu'il existe une base e1 ; . . . ; ed de D…T † sur AF formeÂe
d'eÂleÂments de Dyr0 …T † \ u…D…T †† telle que si l'on note D le sous-Ayr0 ;F module de D…T † engendre par e1 ; . . . ; ed , alors sK …ei † 2 u…p†c‡1 D quel
que soit 1 i d, ouÁ c ˆ pmÿ1 et m ˆ vp …v…cK † ÿ 1† 1.
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
599
PlacËons nous donc sous les hypotheÁses ci-dessus et, si r r0 ,
notons Dr le sous-Ayr;F -module de D…T † engendre par e1 ; . . . ; ed .
Pd
wˆ0
Lemme II.6.3: L'eÂleÂment
si et
ÿ y wˆ0x ˆ iˆ1 xi ei de Dr appartient aÁ Dr
quel que soit 1 i d.
seulement si xi 2 Ar;F
DeÂmonstration. On a w…x† ˆ 0P
, u…w…x†† ˆ 0 et comme on a supposeÂ
ei 2 u…D…T ††, on a u…w…x†† ˆ diˆ1 u…w…xi ††ei , ce qui, compte-tenu du
fait que les ei forment une famille libre sur BF , permet de conclure.
Proposition II.6.4: sK induit une bijection de u…p†a Dwˆ0
r
quels
que
soient
r
r
et
a
2
Z.
u…p†a‡c Dwˆ0
0
r
DeÂmonstration. CommencËons par remarquer que l'on a
!
d
d
d
X
X
X
sK
zi ei ˆ
sK …zi †ei ‡
c…zi †sK …ei † ;
iˆ1
iˆ1
sur
…II:6:3:1†
iˆ1
et comme sK …ei † 2 u…p†c‡1 Dr , ceci implique, compte-tenu de la
par sK est incluse dans
proposition II.5.1, que l'image de u…p†a Dwˆ0
r
et
ce,
quels
que
soient
r
r
et
a 2 Z. D'autre part, le
u…p†a‡c Dwˆ0
0
r
dans
lemme I.5.1 montre que sK induit une injection de u…p†a Dwˆ0
r
.
u…p†a‡c Dwˆ0
r
P
,
Il reste aÁ veÂri®er la surjectiviteÂ. Si z ˆ ÿ diˆ1 zi ei 2 u…p†a‡c Dwˆ0
r
wˆ0
. Ceci permet,
d'apreÁs le lemme preÂceÂdent, on a zi 2 u…p†a‡c Ayr;F
utilisant la proposition II.5.1, de de®nir uneP application
! u…p†a Dwˆ0
par la formule f …z† ˆ diˆ1 sÿ1
f : u…p†a‡c Dwˆ0
r
r
K …zi †ei .
Comme pour la proposition II.5.1, le point de deÂpart de la
deÂmonstration est que f est presque un inverse de sK . En e€et,
utilisant la formule (II.6.3.1), on obtient
!
d
X
c…zi † sK …ei † ;
z ÿ f …sK …z†† ˆ ÿf
iˆ1
ce qui, utilisant le fait que sK …ei † 2 u…p†c‡1 Dr permet de montrer que
l'application g de®nie par g…y† ˆ y ÿ f …sK …y† ÿ x† est contractante
pour la topologie u…p†-adique et comme u…p†a Drwˆ0 est
sur u…p†a Dwˆ0
r
complet pour cette topologie, cela montre qu'elle y a un (unique)
point ®xe y solution de l'eÂquation sK …y† ˆ x et permet de conclure.
Revenons aÁ la deÂmonstration de la proposition II.6.1. Soit
v1 ; . . . ; vd une base de T sur Zp . Si M est la matrice de e1 ; . . . ; ed dans
la base v1 ; . . . ; vd , alors M 2 Md …Ayr0 † \ GLd …A† puisque l'on a sup-
600
F. Cherbonnier, P. Colmez
pose que e1 ; . . . ; ed est une base de D…T † sur AF constitueÂe d'eÂleÂments
de Dyr0 …T †. Comme By est un corps, cela implique que
M ÿ1 2 GLd …By † \ GLd …A† ˆ GLd …Ay † et il existe b 2 N et r1 r0 tels
que P
M ÿ1 2 pÿb Md …Ayr1 †. On en deÂduit le fait que si r r1 et
x ˆ diˆ1 xi ei 2 Dyr …T †, alors xi 2 pÿb Ayr;F u…p†ÿb Ayr;F . On obtient
donc les inclusions u…p†b Ayr;F Dr Ayr;F si r r1 . La proposition
II.6.4 montre qu'alors l'image de u…p†a Dyr …T †wˆ0 par sÿ1
K est incluse
Â
est
une
unite
de
Ayr d'apreÁs le
dans u…p†a‡c‡b Dyr …T †wˆ0 et comme u…p†
p
p
lemme II.5.2, on peut prendre r…K; T † ˆ r1 et c…K; T † ˆ p…c ‡ b ‡ 1†.
III. Cohomologie galoisienne et repreÂsentations surconvergentes.
EÂnonce des reÂsultats
~ y:
Soit uÿ1 …By † ˆ [n2N a uÿn …By †; c'est un sous-anneau dense de B
TheÂoreÁme III.1.1: Si K est une extension ®nie de F et d un entier 1,
les applications naturelles
i1
i2
~ y ††!
~ y ††;
H 1 …GK ; GLd …B
H 1 …CK ; GLd …u1 …ByK †††! H 1 …CK ; GLd …B
K
induites par l'in¯ation de CK aÁ GK et les inclusions uÿ1 …ByK † ~y B
~ y , sont des bijections.
B
K
Les techniques de deÂmonstration sont treÁs analogues aÁ celles employeÂes par Sen [Sn80] pour deÂmontrer le reÂsultat suivant.
Proposition III.1.2: (Sen) Si d 1, les applications naturelles
H 1 …CK ; GLd …K1 †† ! H 1 …CK ; GLd …K^1 †† ! H 1 …GK ; GLd …F^ ††;
induites par l'in¯ation de CK aÁ GK et les inclusions K1 K^1 F^ , sont
des bijections.
La deÂmonstration de Sen repose en particulier sur la deÂcomposition (due aÁ Tate [Ta67]) de K^1 sous la forme K X ouÁ X est un sousK- espace vectoriel ferme de K^1 sur lequel cK ÿ 1 a un inverse continu, ouÁ cK est un geÂneÂrateur topologique de CK . Dans la situation du
theÂoreÂme III.1.1, les r^
oles de K; K1 ; K^1 et F^ sont joueÂs respectivey
y
ÿ1
e y et B
e y et le point crucial de la deÂmonsment par BK ; u …Bk †; B
K
e
tration est la deÂcomposition de ByK sous la forme ByK X ; ouÁ X est un
e y sur lequel cK ÿ 1 admet un
sous ByK -espace vectoriel ferme de B
K
inverse continu. L'existence de la deÂcomposition est obtenue en utilisant les techniques de [Cz96] introduites pour deÂcomposer de
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
601
HK
K
manieÁre analogue les modules BH
dR ; Bcris ; etc . . . et 1' existence de
1'inverse continu de cK ÿ 1 est une conseÂquence des reÂsultats de
[Ch96] rappeleÂs au chapitre preÂceÂdent.
ey
eK; A
2. DeÂcomposition des anneaux A
K
Soit I ˆ pÿ1 Z \ ‰0; 1‰. Si m 2 N (resp. m 1), soit Im ˆ fi 2 I j vp …i†
ÿmg (resp. Im ˆ fi 2 I j vp …i† ˆ ÿmg), ce qui fait que I est la reÂunion croissante pour m 2 N des Im et la reÂunion disjointe de I0 ˆ f0g
et des Im pour m 1.
Lemme
III.2.1:
Si K ˆ F , les ei pour i 2 I forment une base de
‡
‡
e =…e ÿ 1†E
e sur kF .
E
F
F
e F eÂtant le compleÂte de la cloÃture radicielle
DeÂmonstration. E
e ‡ s'eÂcrit de manieÁre unique
ÿ 1††: tout eÂleÂment de E
de EF ˆ kF ……e P
F
sous la forme i2pÿ1 N …e ÿ 1†i ai , ouÁ ai est une suite d'eÂleÂments de kF
telle que l'ensemble fi C; ai 6ˆ 0g soit ®ni quel que soit C 2 R. On
en‡ deÂduit le‡ fait que les …e ÿ 1†i pour i 2 I forment une base de
e =…e ÿ 1†E
e sur kF et la matrice faisant passer de …e ÿ 1†i aux ei
E
F
F
eÂtant triangulaire avec des 1 sur la diagonale. on en deÂduit le reÂsultat.
e F s'eÂcrit de manieÁre unique sous la
Corollaire III.2.2: Tout eÂleÂment de E
forme
X
ei ai …x† ;
i2I
ouÁ la suite des ai …x† est une suite d'eÂleÂments de EF tendant vers 0 suivant
le ®ltre des compleÂmentaires des parties ®nies.
e F s'eÂcrit de manieÁre unique sous
Proposition III.2.3: Tout eÂleÂment x de E
la forme
‡1
X
Rm …x† ;
x ˆ R0 …x† ‡
mˆ1
ouÁ R0 …x† 2 EF et, si m 1; Rm …x† 2 uÿm …Ewˆ0
F †.
DeÂmonstration. 1; e; . . . ; epÿ1 est une base de EF sur u…EF † dans laquelle w est donne par la formule w…a0 ‡ a1 e ‡ ‡ apÿ1 epÿ1 †
ˆ uÿ1 …a0 †. On en deÂduit le fait que si m 1. on a
i
pour i 2 I et
uÿm …EF † ˆ u1ÿm …EF † uÿm …Ewˆ0
F † et que les e
vp …i† 1 ÿ m (resp. vp …i† ˆ ÿm) forment une base de u1ÿm …EF † (resp.
uÿm …Ewˆ0
F †) sur EF . On doit donc poser
602
F. Cherbonnier, P. Colmez
et Rm …x† ˆ
R0 …x† ˆ a0 …x†
X
i2Im
ei ai …x† :
Proposition III.2.4: Si K est une extension ®nie de F , tout eÂleÂment x de
e K peut s'eÂcrire de manieÁre unique sous la forme
A
x ˆ R0 …x† ‡
‡1
X
mˆ1
Rm …x† ;
…III:2:4:1†
ouÁ R0 …x† 2 AK et, si m 1, Rm …x† 2 uÿm …Awˆ0
K †.
DeÂmonstration. CommencËons par supposer K ˆ
une
PF et choisissons
n
sur
k
.
Si
F
ˆ
a
…e
ÿ
1†
2
EF ,
section s de la projection
de
O
F
F
nn0 n
P
n
e
posons s…F † ˆ nn0 s…an †p 2 AF . Si y 2 AF , son image y modulo p
e F et on peut lui appliquer le corollaire III.2.2. Ceci nous
appartient aÁ E
e F de de®nir par reÂcurrence une suite d'eÂleÂments xn de
permet, si x 2 A
e F en posant x0 ˆ x et, si n 1,
A
!
X
1
xn ˆ
‰ei Šs…ai …xnÿ1 †† :
xnÿ1 ÿ
p
i2I
On a alors x ˆ
P
i2I ‰e
i
Šai …x†, ouÁ l'on a poseÂ
ai …x† ˆ
‡1
X
pn s…ai …xn †† 2 AF ;
nˆ0
ce qui nous permet de de®nir R0 …x† et Rm …x† par les formules
R0 …x† ˆ a0 …x†
et Rm …x† ˆ
X
‰ei Šai …x†
i2Im
et comme ‰ei Š 2 uÿm …Awˆ0
F † si et seulement si i 2 Im , la deÂcomposition
obtenue ci-dessus
convient, ce qui montre l'existence.
P
ÿm
a
…Awˆ0
Si on a ‡1
F †,
mˆ0 m ˆ 0 avec a0 2 AF et, si m 1, am 2 u
alors reÂduisant modulo p et utilisant la proposition III.2.3, on en
deÂduit le fait que tous les am sont divisibles par p, puis par une
reÂcurrence immeÂdiate, qu'ils sont tous nuls; d'ouÁ l'unicite d'une telle
deÂcomposition.
Supposons maintenant que K est une extension ®nie quelconque
de F et soit e1 ; . . . ; ed une base de AK sur AF qui est donc aussi une
e F . On peut eÂcrire un eÂleÂment x de A
e K de manieÁre
e K sur A
base de A
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
603
P
m
unique sous la forme diˆ1 xi ei et comme um …e1 †; . . . ; u
…ed † est aussi
P
d
m
une base de AK sur AF , on en deÂduit le fait que u … iˆ1 xi ei † 2 AK
si
seulement si um …xi † 2 AF pour 1 i d. En particulier,
Pet
d
ÿm
…Awˆ0
K † si et seulement si
iˆ1 xi ei 2 u
w u
m
d
X
!!
xi ei
ˆ
iˆ1
d
X
w…um …xi †um …ei †† ˆ
iˆ1
d
X
w…um …xi ††umÿ1 …ei †
iˆ1
est nul, ce qui, compte-tenu du fait que umÿ1 …e1 †; . . . ; umÿ1 …ed † est une
base de AK sur AF , est eÂquivalent aÁ ce que xi 2 uÿm …Awˆ0
F † si
1 i d. Tout ceci montre que l'on doit (et peut) poser
R0 …x† ˆ
d
X
R0 …xi †ei
et
iˆ1
Rm …x† ˆ
d
X
iˆ1
Rm …xi †ei :
Remarque III.2.5. On pourrait eÃtre tente de deÂduire de la proposition
e K par A
e et AK par A,
preÂceÂdente le meÃme eÂnonce en remplacËant A
e K est dense dans A.
e Ce n'est pas possible car en
e ˆ [A
puisque A
K
K
reÂduisant modulo p, on aurait un eÂnonce analogue aÁ la proposition
e et EF par E, or ce dernier corps est
e F par E
III.2.3 en remplacËant E
e
e
dense dans E. Le probleÁme est que les applications R0 et Rm sur A
K
sont continues pour la topologie p-adique mais pas pour la topologie
e
naturelle de A.
P
Si m 2 N, on pose Rm ˆ R0 ‡ m
iˆ1 Ri .
Proposition III.2.6: Si m 2 N, alors
(i) R0 um ˆ um Rm .
(ii) Rm et les Rk pour k m ‡ 1 sont uÿm …BK †-lineÂaires.
e K , alors x ˆ lim Rm …x†.
(iii) Si x 2 A
m!‡1
DeÂmonstration. Le (i) reÂsulte immeÂdiatement de l'unicite de la
deÂcomposition donneÂe dans la proposition III.2.4 et le (ii) reÂsulte de
si x 2 AK et y 2 Awˆ0
cette unicite et du fait que u…x†y 2 Awˆ0
K
K .
Quant au (iii), c'est une conseÂquence de la convergence de la seÂrie
(III.2.4.1).
Proposition III.2.7: Si K est une extension ®nie de F , il existe
e y et m 2 N,
n0 …K† 2 N tel que si n 2 N et n n0 …K†, a 2 Z, x 2 pa A
r;K
alors
R0 …x† 2 pa Ayn;K et Rm …x† 2 pa uÿm ……Aypm n;K †wˆ0 † :
604
F. Cherbonnier, P. Colmez
DeÂmonstration. On deÂduit le cas a 2 Z quelconque du cas a ˆ 0 et de
la BK -lineÂarite des applications R0 et Rm . Supposons donc a ˆ 0.
Dans le cas K ˆ F , si on reprend la deÂmonstration de la propoe ‡ , alors ai …x† 2 A‡ quel que soit
sition III.2.4, on voit que si x 2 A
F
F
‡
e y par les applications R0 et R
e ˆA
i 2 I et donc que l'image de A
m
F
0;F
e ‡ . D'autre part, si n 2 N, A
e y est l'intersection des
est incluse dans A
n;F
F
e ‡ ‡ pk‡1 A
e F pour k 2 N et comme p est une unite de A
e y si
‰pŠÿkn A
n;F
F
‰pŠ
e‡
e y comme l'intersection des pÿkn A
n 1, on peut aussi voir A
n;F
F
k‡1 e
ÿkn
‡p AF pour k 2 N. Comme p
2 AF et les applications R0 et Rm
e ‡ et A
e F dans eux-meÃmes, elles aussi
sont AF -lineÂaires et envoient A
F
y
ÿkn e ‡
k‡1 e
e
ey †
p AF ‡ p AF et An;F dans eux-meÃmes. On a donc R0 …A
n;F
e y \ AF ˆ Ay et, si m 1,
A
n;F
n;F
e y † uÿm …Awˆ0 † \ A
e y ˆ uÿm …Awˆ0 † \ A
e ym †
Rm …A
n;F
F
n;F
F
p n;F
ˆ uÿm ……Aypm n;K †wˆ0 † ;
ce qui montre que l'on peut prendre n0 …F † ˆ 0.
e y Š ˆ ‰B
eK : B
e F Š. On peut donc
ey : B
Dans le cas geÂneÂral, on a ‰B
K
F
prendre la base e1 ; . . . ; ed de u…BK † sur u…BF † utiliseÂe dans la
deÂmonstration de la proposition III.2.4, de telle sorte que les ei forment une base de u…AyK † sur AyF et il sut de prendre pour n0 …K† le
plus petit n tel que les ei forment une base de Ayn;K sur Ayn;F .
Corollaire III.2.8: Soient K une extension ®nie de F , cK un geÂneÂrateur
de CK et c…K† l'entier de®ni au corollaire II.6.2. Il existe n…K† 2 N tel
e y peut s'eÂcrire
que si n 2 N, n n…K† et a 2 Z, tout eÂleÂment x de pa A
r;K
y
ey .
sous la forme x ˆ x0 ‡ …1 ÿ cK †…y† avec x0 2 pa An;K et y 2 paÿc…K† A
n;K
DeÂmonstration. D'apreÁs le corollaire II.6.2, sK ˆ cK ÿ 1 est inversible
sur …AyK †wˆ0 et il existe r…K† 2 R‡ tel que, pour tout r r…K† et tout
a 2 Z,
wˆ0
a y
† paÿc…K† Ayr;K :
sÿ1
K ……p Ar;K †
Montrons que l'on peut prendre pour n…K† n'importe quel entier
supeÂrieur ou eÂgal aÁ r…K† et n0 …K† et
x0 ˆ R0 …x†
et y ˆ
‡1
X
mˆ1
ÿ ÿ m ÿ uÿm sÿ1
:
K u Rm …x†
D'apreÁs la proposition III.2.7, on a x0 2 pa Ayn;K et si m 1,
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
605
y
wˆ0
m
ÿm
m a
uÿm …sÿ1
……sÿ1
††
K …u …Rm …x†††† 2u
K ……u …p †Apm n;K †
uÿm …pÿc…K† um …pa †Aypm n;K †
ey ;
uÿm …um …paÿc…K† †Aypm n;K † paÿc…K† A
n;K
ce qui permet de conclure.
ey
e y aÁ B
3. Descente de B
K
e y †† ˆ f1g.
Proposition III.3.1: (i) H 1 …K1 ; GLd …B
(ii) L'application d'in¯ation de CK aÁ GK induit une bijection de
e y †† sur H 1 …GK ; GLd …B
e y ††.
H 1 …CK ; GLd …B
K
DeÂmonstration. Le (ii) est une conseÂquence immeÂdiate du (i) puisque
celui-ci implique que le terme suivant dans la suite d'in¯ation-restriction est trivial. Pour deÂmontrer le (i), nous aurons besoin d'un
certain nombre de lemmes preÂliminaires.
e ‡ (i.e. l'ensemble des
Lemme III.3.2: Soit me
E l'ideÂal maximal de E
e veÂri®ant vE …x† > 0). Alors
x2E
(i) H 1 …K1 ; me
E † ˆ 0.
(ii) Si d 1, alors H 1 …K1 ; 1 ‡ Md …me
E † ˆ 1.
DeÂmonstration cf. [Cz96, chap. IV].
Le (i) de ce lemme admet le corollaire immeÂdiat suivant dont nous
aurons besoin dans la suite. Si s 2 R, soit as l'ensemble des eÂleÂments x
e veÂri®ant vE …x† ps .
de E
pÿ1
Corollaire III.3.3: Si K est une extension ®nie de F et r ! cr est un
cocycle continu de GK1 dans as , alors quel que soit g > 0, il existe
c 2 asÿg tel que l'on ait cr ˆ …r ÿ 1†c, quel que soit r 2 HK .
e on note vE …M† l'inf. des images des coecients de
Si M 2 Md …E†,
e la matrice dont les coecients sont les
M par vE et ‰MŠ 2 Md …A†
repreÂsentants de TeichmuÈller des coecients de M.
Lemme III.3.4: Soient r 2 R‡ , k 1 et r ! Ur un 1-cocycle continu
e y † \ 1 ‡ pk Md …A†.
e Alors quel que soit g > 0, il
de HK dans GLd …A
r
e veÂri®ant vE …V † ÿ p…r‡g† k tel que le cocycle
existe V 2 Md …E†
pÿ1
e yr‡g †
r ! …1 ‡ pk ‰V Š†ÿ1 Ur r…1 ‡ pk ‰V Š† soit aÁ valeurs dans GLd …A
e
\1 ‡ pk‡1 Md …A†
606
F. Cherbonnier, P. Colmez
e des eÂleÂments
DeÂmonstration. Si s 2 R, soit as l'ideÂal fractionnaire de E
e
x veÂri®ant vE …x† s. L'image r ! Vr de r ! Ur ÿ 1 dans pk Md …A†=
k‡1
e
e
p Md …A† ˆ Md …E† est un cocycle aÁ valeurs dans Md …aÿkr † et le
e
veÂri®ant
corollaire III.3.3 implique qu'il existe V 2 Md …E†
p…r‡g†
vE …V † ÿ pÿ1 k tel que l'on ait Vr ˆ …r ÿ 1†V quel que soit
r 2 HK . Le cocycle r ! …1 ‡ pk ‰V Š†ÿ1 Ur r…1 ‡ pk ‰V Š† est par conse et comme 1 ‡ pk ‰V Š et
truction aÁ valeurs dans 1 ‡ pk‡1 Md …A†
ÿ1
2
k
k
k
e yr‡g †,
…1 ‡ p ‰V Š† ˆ 1 ÿ p ‰V Š ‡ p …‰V Š † ÿ . . . appartiennent aÁ Md …A
on en deÂduit le fait que le cocycle r ! Vr est aussi aÁ valeurs dans
e yr‡g †, ce qui permet de conclure.
GLd …A
Corollaire III.3.5: Soient r 2 R‡ , et r ! Ur un 1-cocycle continu de
e y † \ 1 ‡ pMd …A†.
e Alors quel que soit g > 0, il existe
HK dans GLd …A
r
y
k
e
e
M 2 GLd …Ar‡g † \ 1 ‡ p Md …A† tel que le cocycle r ! M ÿ1 Ur r…M†
soit trivial.
DeÂmonstration. Soit gk une suite strictement croissante d'eÂleÂments de
Š0; g‰. Utilisant le lemme preÂceÂdent, on construit par reÂcurrence pour
e veÂri®ant vE …Vk † ÿk…r ‡ gk †
k 1 une suite de matrices Vk 2 Md …E†
k
telle que,si on pose Mk ˆ 1 ‡ p ‰Vk Š, le cocycle
r ! …M1 Mk †ÿ1 Ur r…M1 Mk †
k‡1
ey
e
soit
Q‡1aÁ valeurs dans GLd …Ar‡gk † \e1 ‡ p Md …A†. Le produit in®ni
kˆ1 Mk converge dans 1 ‡ pMd …A† vers une matrice M telle que le
cocycle r ! M ÿ1 Ur r…M† soit trivial. D'autre part, chacun des termes
e yr‡g † qui est ferme dans GLd …A†
e et
du produit appartient aÁ GLd …A
y
e
donc M 2 GLd …Ar‡g †, ce qui permet de conclure.
Revenons aÁ la deÂmonstration de la proposition III.3.1. Soit
e y †. Comme HK est
r ! Ur un cocycle continu de HK dans GLd …B
e y † quel que soit
compact, il existe r 2 R‡ tel que l'on ait Ur 2 GLd …B
r
r 2 HK et il existe une extension ®nie galoisienne L de K telle que Ur
e y † si r 2 HL . D'apreÁs le (ii) du lemme
appartienne aÁ 1 ‡ pMd …A
r
e ‡ †† telle que le cocycle
III.3.2, il existe une matrice M0 2 GLd …W …E
e et donc aÁ valeurs
r ! M0ÿ1 Ur r…M0 † soit aÁ valeurs dans 1 ‡ pMd …A†
y
e
e
dans GLd …Ar † \ 1 ‡ pMd …A† si r 2 HL . Le corollaire preÂceÂdent
e y † tel que l'on ait M ÿ1 M ÿ1 Ur r
montre qu'il existe M 2 GLd …A
0
r‡1
…M0 M† ˆ 1 quel que soit r 2 HL et donc que la restriction de r ! Ur
aÁ HL est cohomologue au cocycle trivial. On en deÂduit le fait que
r ! Ur est cohomologue aÁ un cocycle provenant par in¯ation d'un
e y =B
e y † aÁ valeurs dans GLd …B
e y †HL ˆ
cocycle sur HK =HL ˆ Gal…B
L
K
y
e †. On termine la deÂmonstration en utilisant la trivialite de
GLd …B
L
1
e y =B
e y †; GLd …B
e y ††, trivialite qui deÂcoule du theÂoreÁme de
H …Gal…B
L
K
L
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
607
e y =B
e y (cf. propoHilbert 90 applique aÁ l'extension galoisienne ®nie B
L
K
sition II.4.1).
e y aÁ uÿ1 …By †
4. La deÂcompleÂtion ou le passage de B
K
K
Ce paragraphe est consacre aÁ la deÂmonstration de la bijectivite de i1 ,
c'est-aÁ-dire aÁ la deÂmonstration de la proposition suivante.
e y induit un isoProposition III.4.1: L'inclusion de uÿ1 …ByK † dans B
K
y
1
ÿ1
1
e y ††.
morphisme de H …CK ; GLd …u …BK ††† sur H …CK ; GLd …B
K
Lemme III.4.2: Soient K une extension ®nie de F et c un geÂneÂrateur de
CK . Si A 2 GLd …AK † veÂri®e vE …A ÿ 1† > 0, ouÁ A deÂsigne l'image de A
dans GLd …EK †, si i 2 N est tel que pi vE …A ÿ 1† > c…K†, ouÁ c…K† est
e K † veÂri®e Ri …B† ˆ 1
l'entier de®ni au corollaire II.6.2 et si B 2 GLd …A
et Ac…B† ˆ BA, alors B ˆ 1.
DeÂmonstration. Quitte aÁ remplacer A par ui …A† et B par ui …B†, on peut
supposer vE …A ÿ 1† > c…K† et R0 …B† ˆ 1. Supposons B 6ˆ 1 et soit k le
e K †. On peut alors eÂcrire
plus petit entier tel que B21
j ‡ pk‡1 Md …A
k
B ˆ 1 ‡ p B1 ouÁ B1 est telle que sa reÂduction B1 modulo p est non
nulle et veÂri®e R0 …B1 † ˆ 0.
La relation Ac…B† ˆ BA implique, en regardant modulo pk‡1 , la
ÿ1
relation c…B1 † ˆ A B1 A. Si on applique um Rm aÁ cette relation, que
l'on pose Cm ˆ um Rm …B1 † et Dm ˆ um …A†, utilisant la BK -lineÂariteÂ
de Rm et le fait que A 2 GLd …AK †, on obtient la relation
c…Cm † ÿ Cm ˆ Dÿ1
m Cm Dm ÿ Cm . Or vE …c…Cm † ÿ Cm † c…K† ‡ vE …Cm †
puisque Cm est tue par w (cf. corollaire II.6.2) et comme
vE …Dÿ1
m Cm Dm ÿ Cm † vE …Cm † ‡ vE …Dm ÿ 1†
ˆ vE …Cm † ‡ pm vE …A ÿ 1† > vE …Cm † ‡ c…K† ;
ceci implique vE …Cm † ˆ ‡1 et donc Cm ˆ 0 quel que soit m 2 N et
par conseÂquent B1 ˆ 0, ce qui conduit aÁ une contradiction et permet
de conclure.
Proposition III.4.3: Soit r ! Vr un cocycle continu sur CK aÁ valeurs
e K † tel que le cocycle r ! Wr ˆ
dans GLd …BK † et C 2 GLd …B
C ÿ1 Vr r…C† soit aÁ valeurs dans GLd …uÿ1 …BK ††; alors C 2
GLd …uÿ1 …BK ††.
608
F. Cherbonnier, P. Colmez
DeÂmonstration. CK eÂtant compact, Il existe k 2 N tel que Wr soit aÁ
coecients dans uÿk …BK † quel que soit r 2 CK . Appliquant Rm pour
m k aÁ l'identite Vr r…C† ˆ CWr et utilisant la uÿm …BK †-lineÂarite de
Rm , on obtient la relation Vr r…Cm † ˆ Cm Wr , ouÁ l'on a poseÂ
Cm ˆ Rm …C†. Comme Cm tend vers C quand m tend vers ‡1, il existe
e K † si m m0 .
m0 2 N tel que Cm soit inversible et CCmÿ1 2 GLd …A
Utilisant alors les deux relations obtenues pour eÂliminer Wr , on obtient la relation CCmÿ1 Vr ˆ Vr r…CCmÿ1 †. Le cocycle r ! Vr eÂtant cone K † et veÂri®e
tinu, il existe n 2 N tel que Vcn appartienne aÁ GLd …A
vE …V cn ÿ 1† > 0. Comme d'autre part, on a Rm …CCmÿ1 † ˆ 1 par
construction (cela reÂsulte de la uÿm …BK †-lineÂarite de Rm ), on peut
appliquer le lemme III.4.2 au corps Kn et aÁ A ˆ Vcn et B ˆ CCmÿ1 pour
conclure au fait que C ˆ Cm si m est assez grand et donc
C 2 GLd …uÿm …BK ††, ce qu'il fallait deÂmontrer.
Passons aÁ la deÂmonstration de l'injectivite de i1 . Soient r ! Ur et
r ! Ur0 des cocycles sur CK aÁ valeurs dans GLd …uÿ1 …ByK †† cohoe y †, c'est-aÁ-dire tels qu'il existe A 2 GLd …B
e y † tel
mologues dans GLd …B
K
K
que l'on ait Aÿ1 Ur r…A† ˆ Ur0 quel que soit r 2 CK . Comme CK est
topologiquement engendre par un nombre ®ni d'eÂleÂments (il est en
fait topologiquement cyclique), il existe k 2 N tel que nos deux cocycles soient aÁ valeurs dans GLd …uÿk …ByK ††. Quitte aÁ remplacer Ur et
Ur0 par uk …Ur † et uk …Ur0 †, on peut supposer que les deux cocycles sont
aÁ valeurs dans GLd …ByK † et on deÂduit de la proposition III.4.3 le fait
e y †, ceci implique que
que A 2 GLd …uÿ1 …BK †† et comme A 2 GLd …B
K
y
A 2 GLd …uÿ1 …BK †† et donc que nos deux cocycles sont cohomologues dans GLd …uÿ1 …ByK ††; on en deÂduit l'injectiviteÂ.
Pour deÂmontrer la surjectivite de i1 , nous aurons besoin du lemme
suivant.
Lemme III.4.4: Soient K une extension ®nie de F , cK une geÂneÂrateur de
CK , c…K† et n…K† les entiers de®nis au corollaire III.2.8, n 2 N veÂri®ant
n n…K† et k 3. Si
ey † ;
U 2 1 ‡ p2c…K† Md …Ayn;K † ‡ pkc…K† Md …A
n;K
e y † telle que
il existe M 2 1 ‡ p…kÿ1†c…K† Md …A
n;K
ey † :
M ÿ1 UcK …M† 2 1 ‡ p2c…K† Md …Ayn;K † ‡ p…k‡1†c…K† Md …A
n;K
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
609
DeÂmonstration. Supposons que la matrice U veÂri®e la condition du
lemme. On peut donc l'eÂcrire sous la forme d'une somme
U ˆ 1 ‡ U1 ‡ U2 ouÁ U1 et U2 appartiennent aux ensembles
mentionneÂs. D'apreÁs le corollaire III.2.8, on peut eÂcrire U2 sous la
forme
U2 ˆ R0 …U2 † ‡ …1 ÿ cK †…V †
avec
ey † :
R0 …U2 † 2 pkc…K† Md …Ayn;K † et V 2 p…kÿ1†c…K† Md …A
n;K
Un calcul brutal, utilisant le fait que 2…k ÿ 1† k ‡ 1 puisque l'on a
suppose k 3, montre que
…1 ‡ V †ÿ1 U cK …1 ‡ V † ˆ …1 ÿ V ‡ V 2 †…1 ‡ U1 ‡ U2 †…1 ‡ cK …V ††
e y †, ce qui
est congru aÁ 1 ‡ U1 ‡ R0 …U2 † modulo p…k‡1†c…K† Md …A
n;K
montre que M ˆ 1 ‡ V convient.
Corollaire III.4.5: Si n 2 N veÂri®e n n…K† et U 2 1 ‡ p3c…K†
e y †, il existe M 2 GLd …A
e y † telle que
Md …A
n;K
n;K
M ÿ1 UcK …M† 2 GLd …Ayn;K † :
DeÂmonstration. Le lemme preÂceÂdent permet de construire par reÂcurrence une suite de matrices Mk pour k 3 telle que
e y † et si l'on pose Uk ˆ …M3 Mk †ÿ1
Mk 2 1 ‡ p…kÿ1†c…K† Md …A
n;K
e y †.
U cK …M3 Mk †, alors Uk 2 1 ‡ p2c…K† Md …Ayn;K † ‡ p…k‡1†c…K† Md …A
n;K
Q‡1
ey †
Le produit in®ni kˆ3 Mm converge donc dans 1 ‡ p2c…K† Md …A
n;K
vers une matrice qui reÂpond aÁ la question.
Revenons aÁ la deÂmonstration de la surjectivite de i1 . Soit r ! Ur
e y †. Par continuiteÂ, il existe
un cocycle continu de CK dans GLd …B
K
e y † si
m 2 N et n 2 N veÂri®ant n n…K† tel que Ur 2 1 ‡ p3c…K† Md …A
n;K
r 2 CKm . Soit cm un geÂneÂrateur de CKm . D'apreÁs le corollaire preÂceÂe y † telle que si U 0 ˆ Aÿ1 Uc cm …A†, alors
dent, il existe A 2 GLd …A
K
m
y
0
U 2 GLd …AK †. Soit r ! Vr le cocycle sur CK de®ni par
Vr ˆ Aÿ1 Ur r…A†. On s'est deÂbrouille pour que Vcm 2 GLd …AyK † et donc
Vr 2 GLd …AyK † quel que soit r 2 CKm aÁ cause de la relation de cocycle
et de la continuiteÂ.
Soit c un geÂneÂrateur de CK . La relation de cocycle et la commutativite de CK impliquent les relations
610
F. Cherbonnier, P. Colmez
Urc ˆ Ur r…Uc † ˆ Uc c…Ur † et Ucÿ1 Ur r…Uc † ˆ c…Ur † ;
si r 2 CK . On tire alors de la proposition III.4.3 appliqueÂe au cocycle
r ! Vr sur CKm et C ˆ Vc , le fait que Vc a ses coecients dans
e y , ceci
uÿ1 …BK † et comme ses coecients appartiennent aussi aÁ B
y
ÿ1
implique que Vc 2 GLd …u …BK ††, puis, comme c est un geÂneÂrateur
de CK , que r ! Vr est un cocycle sur CK aÁ valeurs dans
GLd …uÿ1 …ByK †† et comme r ! Vr est cohomologue aÁ r ! Ur par
construction, ceci permet de deÂmontrer la surjectivite de i1 et termine
la deÂmonstration de la proposition III.4.1.
5. Application aux repr
esentations p-adiques
Proposition III.5.1: Si K est une extension ®nie de F et r ! Ur est un
cocycle continu sur GK a valeurs dans GLd …Qp †, alors il existe
M 2 GLd …By † tel que le cocycle r ! M ÿ1 Ur r…M† soit trivial sur HK
et donc a valeurs dans GLd …ByK †.
e y et l'application naDeÂmonstration. Qp eÂtant un sous-corps de B
y
~ y †† eÂtant une
turelle de H 1 …CK ; GLd …uÿ1 …BK ††† dans H 1 …GK , GLd …B
~ y † tel que le
bijection d'apreÁs le theÂoreÁme III.1.1, il existe M0 2 GLd …B
cocycle r ! M0ÿ1 Ur r…M0 † soit trivial sur HK et aÁ valeurs dans
GLd …uÿ1 …ByK †† et quitte aÁ remplacer M0 par uk …M0 †, on peut supposer que le cocycle r ! M0ÿ1 Ur r…M0 † est aÁ valeurs dans GLd …ByK †.
Comme d'autre part l'image de H 1 …HK , GLd …Qp †† dans H 1 …HK ,
GLd …B†† est triviale (c'est une autre manieÁre d'exprimer le fait que
V …D…V †† ˆ V si V est une repreÂsentation p-adique de HK †, il existe
N 2 GLd …B† tel que le cocycle r ! N ÿ1 Ur r…N † soit trivial sur HK .
e K et la proposition III.4.3 appliqueÂe
On en tire le fait que N ÿ1 M0 2 B
ÿ1
ÿ1
aÁ C ˆ N M0 et Vr ˆ N Ur r…N† permet de montrer que N ÿ1 M0 2
GLd …uÿ1 …BK ††. Il existe donc k 2 N tel que M ˆ uk …M0 † 2 GLd …B† et
e y † \ GLd …B† ˆ GLd …By † tel que le cocycle
M est un eÂleÂment de GLd …B
ÿ1
r ! M Ur r…M† soit trivial sur HK , ce qui permet de conclure.
Corollaire III.5.2: Si K est une extension ®nie de F, toute repr
esentation p-adique de GK est surconvergente.
DeÂmonstration: Soit V une repreÂsentation p-adique de GK . Soit
e1 ; . . . ; ed une base de V sur Qp et Us 2 GLd …Qp † la matrice de l'action
de s dans cette base. Comme Gk agit trivialement sur GLd …Qp †, les
matrices Ur veÂri®ent la relation de cocycle Urs ˆ Ur Us ˆ Ur r…Us † et
RepreÂsentations p-adiques surconvergentes
611
ey†
on peut utiliser la proposition precedente pour exhiber M 2 GLd …B
telle que le cocycle M ÿ1 Us s…M† soit trivial sur HK , ce qui fait que les
colonnes de M forment une base de D(V) constitueÂe d'eÂleÂments surconvergents et permet de conclure.
Remarque III.5.3. Dans une version preÂceÂdente de cet article, nous
avions eÂnonce une version plus forte du theÂoreÂme III.1.1 incluant le
fait que l'in¯ation induit une bijection de H 1 …CK ; GLd …uÿ1 …ByK ††† sur
H 1 …GK ; GLd …uÿ1 …By †††. La deÂmonstration eÂtait une variante de celle
de la proposition III.5.1 exposeÂe ci-dessus reposant sur la trivialite de
H 1 …HK ; GLd …B††, trivialite qui a de grandes chances d'^etre fausse.
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