Repre sentations p-adiques surconvergentes

Repre
Âsentations p-adiques surconvergentes
F. Cherbonnier
1
, P. Colmez
2,3
1
33, rue de Poissy, F-75005 Paris, France
(e-mail: [email protected])
2
De
Âpartement de mathe Âmatiques et informatique, E
Âcole Normale supe
Ârieure,
U.R.A. 762 du C.N.R.S., 45, rue d'Ulm, F-75005 Paris, France
(e-mail: [email protected])
3
E
Âquipe d'arithme
Âtique, Institut de mathe Âmatiques, U.M.R. 9994 du C.N.R.S.,
Tour 46-56 -5e
Áme e Âtage- Bo
^
te 247, 4, place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France
Oblatum 19-V-1997 & 14-X-1997
Table des matie
Áres
Introduction
I. Rappels sur les u;C-modules et les repre
Âsentations p-adiques . . . . . . . . . . 582
II. Repre
Âsentations surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
III. Cohomologie galoisienne et repre
Âsentations surconvergentes. . . . . . . . . . . 600
Introduction
Ce travail s'inscrit dans le cadre de la classi®cation, introduite par
Fontaine [Fo91], des repre
Âsentations p-adiques du groupe de Galois
absolu GKd'une extension ®nie Kde Qpen termes de u;C-modules.
Le point essentiel de cette classi®cation est que l'on peut reconstruire
une repre
Âsentation Va Ápartir de son u;C-module DVet que l'on
doit donc eà tre capable de de
Âcrire directement sur ce module tous les
invariants classiques attache
Âsa ÁV. On peut par exemple calculer la
cohomologie galoisienne de Va
Ápartir de DV(cf. [H95]).
Notre re
Âsultat principal (corollaire III.5.2) est que toutes les re-
pre
Âsentations p-adiques de GKsont surconvergentes, ce qui avait e
Âte Â
conjecture
Âdans [Ch96]. La notion de surconvergence, e Âtudie Âeen
de
Âtail dans [Ch96], est un peu trop technique pour eà tre explicite Âe dans
cette introduction. Signalons juste que la surconvergence ou la non
surconvergence d'une repre
Âsentation ne de Âpend que de sa restriction
au noyau HKdu caracte
Áre cyclotomique et que l'on peut trouver des
repre
Âsentations de HKqui ne sont pas surconvergentes. Les re-
pre
Âsentations de HKobtenues par restriction de repre
Âsentations de
Invent. math. 133, 581± 611 (1998)

GKve
Âri®ent des conditions de rami®cation assez spe Âciales d'apre Ásun
re
Âsultat de Sen [Sn72]; elles sont ``faiblement rami®e Âes''. Les bornes
sur la rami®cation donne
Âes par le the Âore Áme de Sen semblent eà tre
pre
Âcise Âment ce dont on a besoin pour prouver la surconvergence;
malheureusement, on peut construire un exemple de repre
Âsentation
faiblement rami®e
ÂedeHKqui n'est pas surconvergente [Ch96,
chap.7]. Cette voie d'approche se re
Âve Âlant sans issue, la de Âmonstra-
tion repose sur des techniques die
Ârentes utilisant l'action re Âsiduelle
de CKGK=HK, techniques qui sont tre
Ás largement inspire Âes de
celles utilise
Âes par Sen [Sn80] pour de Âmontrer que toute re-
pre
Âsentation p-adique de GKa une de
Âcomposition de Hodge-Tate
ge
Âne Âralise Âe. La die Ârence est que les anneaux utilise Âs dans cet article
ont une structure un peu plus complique
Âe que le corps Cp
apparaissant dans la situation conside
Âre Âe par Sen.
Le fait que toute repre
Âsentation de GKest surconvergente a un
certain nombre d'applications qui seront de
Âtaille Âes ailleurs. C'est en
particulier le point de de
Âpart pour espe Ârer pouvoir de Âcrire les invariants
d'une repre
Âsentation Vde ®nis a Ápartir des anneaux Bcris;Bst;BdR;...
comme les modules DdRV;DcrisV... ([Fo94a] et [Fo94b]) ou l'ex-
ponentielle de Bloch-Kato [B&K90], en utilisant DV. Dans cette di-
rection, signalons que l'on peut retrouver DdRVet l'ope
Ârateur de ®ni
par Sen [Sn80] ge
Âne Âralisant la notion de de Âcomposition de Hodge-Tate
a
Ápartir de DV([Ch96, ch. 6]). D'autre part, si Vest de de Rham, les
applications Logh
Vde
®nies dans [Cz96], ge Âne Âralisant l'isomorphisme
de Coleman [Cn79] et ``inverses'' de l'application exponentielle cons-
truite par Perrin-Riou [PR94] dans le cas cristallin, ont une inter-
pre
Âtation simple en termes de DV(cf [C&C97]).
Dans un autre ordre d'ide
Âe, on peut utiliser l'action in®nite Âsimal
de CKpour associer a
Áune repre Âsentation de GKun module die Ârentiel
surconvergent muni d'un Frobenius et obtenir de cette facË on une
description des repre
Âsentations de de Rham en termes d'e Âquations
die
Ârentielles p-adiques (Fontaine, travail en pre Âparation).
Les re
Âsultats e Âvoque Âs ci-dessus (du moins ceux concernant la
surconvergence) sont en fait valables dans la situation plus ge
Âne Ârale
ouÁ on remplace Qppar le corps des fractions de l'anneau des vecteurs
de Witt a
Ácoecients dans un corps parfait de caracte Âristique p. C'est
cette situation ge
Âne Ârale qui est conside Âre Âe dans l'article.
I. Rappels sur les (u,C)-modules et les repre
Âsentations p-adiques
Nous renvoyons a
Á[Fo91] pour les de Âmonstrations des faits rappele Âs
dans ce chapitre. Nous avons pris la liberte
Âde changer les notations
582 F. Cherbonnier, P. Colmez

pour les rendre un peu plus homoge
Ánes. Par exemples, les anneaux
que nous notons e E,e A,A,e Bet Bcorrespondent respectivement aux
anneaux FracR,WFracR,Ob
Enr ,WFracR1
pet c
Enr de [Fo91].
1. Notations ge
Âne Ârales
Soient kFun corps parfait de caracte
Âristique p,OFWkFl'anneau
des vecteurs de Witt a
Ácoecients dans kFet FOF1
ple corps des
fractions de OF. On se ®xe une cloà ture alge
Âbrique Fde Fet toutes les
extensions ®nies de Fque nous aurons a
Áconside Ârer seront suppose Âes
eà tre des sous-corps de F. On note GFle groupe de Galois GalF=Fet
v:GF!Z
ple caracte
Áre cyclotomique.
Si Kest une extension ®nie de Fet n2N, on pose KnKlpn
Fet on note K1l'extension cyclotomique de Kre
Âunion des Kn.On
note aussi GKle groupe de Galois GalF=Ket HKle noyau de la
restriction de va
ÁGK.OnaHKGalF=K1et on pose
CKGK=HKGalK1=K.
2. Le corps e Eet certains de ses sous-anneaux
Soit b
Fle comple
Âte Âde Fpour la topologie p-adique. Soit e
El'ensemble
des suites xx0;...;xn;...d'e
Âle Âments de b
Fve
Âri®ant xn1p
xn. On munit e
Edes lois et de
®nies par xysouÁ sn
limm!1 xnmynm
ÿ
pm
et xyt, avec tnxnyn, ce qui fait
de e Eun corps de caracte
Âristique palge Âbriquement clos et complet
pour la valuation vEde
®nie par vExvpx0. On note e
El'anneau
des entiers de e E.
Soit e1;e1;...;en...un e
Âle Âment de e
Etel que e16 1, ce qui
implique que si n1, alors enest une racine primitive pn-ie
Áme de
l'unite
Â.OnavEeÿ1 p
pÿ1et on note EFle sous-corps kFeÿ1
de e E.
On note Ela cloà ture se
Âparable de EFdans e
Eet El'anneau de ses
entiers. C'est un sous-corps dense de e Eet la the
Âorie du corps des
normes ([F&W79] et [Wi83]) permet d'identi®er GalE=EFavec HF.
Si Kest une extension ®nie de F, on pose
EKEHK;e
EKe EHK;E
KEHKet e
E
K
e
EHK:
Le corps EKest une extension ®nie se
Âparable de EFde degre Â
HF=HKK1:F1et e
EKest le comple
Âte Âde sa cloà ture radicielle. Les
anneaux e E
Ket E
Ksont les anneaux d'entiers respectifs de e
EKet EK.
Repre
Âsentations p-adiques surconvergentes 583

3. Le corps e Bet certains de ses sous-anneaux
Soit e AWe El'anneau des vecteurs de Witt a
Ácoecients dans e
Eet
e
Be A1
p
hiFrace
A, ce qui fait de e Bun corps muni d'une valuation
discre
Áte complet, d'anneau de valuation e
Aet de corps re
Âsiduel e
E.Si
x2e E, on note xson repre
Âsentant de Teichmu
Èller dans e
A. Tout
e
Âle Âment xde e
As'e
Âcrit donc de manie Áre unique sous la forme
P1
i0pixiet tout e
Âle Âment de e
Bsous la forme P1
iÿ1 pixi.
Si xP1
i0pixi2e
Bet k2Z, soit wkxinfikvExi.La
fonction wkve
Âri®e les proprie Âte Âs suivantes qui sont imme Âdiates.
(i) wkx1si et seulement si x2pk1e
A,
(ii) wkxyinfwkx;wky avec e
Âgalite Âsi wkx6wky.
(iii) wkxyinfijkwixwjy.
(iv) wkux  pwkx.
Si r2Ret k2N, on pose Uk;rfx2e
Ajwkxrget on munit e A
de la topologie de
®nie en prenant les Uk;rcomme base de voisinage de
0. C'est aussi la topologie qui fait de l'application x!xkk2Nun
home
Âomorphisme de e
Asur e ENmuni de la topologie produit (e
Ee
Âtant
muni de la topologie de
®nie par la valuation vE) et on munit
e
B[
n2Npÿne
Ade la topologie de la limite inductive. L'action de GFsur
e
Ese prolonge en une action continue sur e Aet e Bqui commute a
Ácelle
du morphisme de Frobenius u.
Soit peÿ1. Soit AFl'adhe
Ârence dans e
Ade OFp;1
p
. C'est
l'ensemble des e
Âle Âments de e
Ade la forme Pn2ZanpnouÁ anest une
suite d'e
Âle Âments de OFtendant vers 0 quand ntend vers ÿ1.
L'anneau AFest un anneau de valuation discre
Áte complet de corps
re
Âsiduel EF. Comme
up1ppÿ1etgp1pvgÿ1sig2GF;
l'anneau AFet son corps des fractions BFAF1
p
hisont stables par u
et GF.
On note Bl'adhe
Ârence de l'extension maximale non rami®e ÂedeBF
contenue dans e Bet AB\e Ade telle sorte que l'on a BA1
p, que
Aest un anneau de valuation discre
Áte complet dont le corps des
fractions est Bet le corps re
Âsiduel est E. L'anneau Aet le corps Bsont
stables par uet GF.
Si Kest une extension ®nie de F, on pose
AKAHK;BKBHK;e
AKe AHKet e BKe BHK:
584 F. Cherbonnier, P. Colmez

Si KF, les deux de
®nitions de AKet BKcoincident. Les anneaux
AKet e
AKsont des anneaux de valuation discre
Áte complets de corps
re
Âsiduels respectifs EKet e
EKet de corps des fractions respectifs
BKAK1
pet e
BKe
AK1
p. D'autre part, e
AK(resp. e
BK) contient
l'anneau uÿ1AK[n2NuÿnAK(resp. le corps uÿ1BK
[n2NuÿnBK) comme sous-anneau (resp. sous-corps) dense. Le lien
entre e AKet AKsera analyse
Âplus pre Âcise Âment au x2 du chapitre III.
Si Lest une extension ®nie de K,BLest une extension non rami®e
Âe
de BKde degre
ÂL1:K1. Si l'extension L=Kest de plus suppose Âe
galoisienne, alors les extensions e BL=e
BKet BL=BKsont aussi gal-
oisiennes de groupe de Galois Gale BL=e
BKGalBL=BK
GalEL=EKGalL1=K1HK=HL.
Lemme I.3.1: Soient Kune extension ®nie de Fet cun e
Âle Âment d'ordre
in®ni de CK,alors Bc1
Kest inclus dans K1\Fnr;en particulier,c'est
une extension ®nie de F.
De
Âmonstration. Il sut de prouver que Ac1
Kest inclus dans OFnr ou
encore, utilisant le fait que AKest complet pour la topologie p-adique,
que Ec1
KkF. Supposons le contraire; il existe alors x2Ec1 Knon nul
et tel que vEx>0, ce qui fait que Ec1
Kcontient kFx et l'extension
EK=Ec1
Kest une extension ®nie. Comme par hypothe
Áse, cest d'ordre
in®ni, le sous-groupe ferme
ÂCde CKqu'il engendre est d'indice ®ni
dans CKet comme Cagit trivialement sur Ec1
K, ceci implique que CK
agit a
Átravers un quotient ®ni sur EK, ce qui est absurde e Âtant donne Â
que reevr6 esi r6 1.
4. Le u;CK-module associe
Âa Áune repre Âsentation de GK
De
®nition I.4.1: (i) On appelle Zp-repre Âsentation de GK,un Zp-module
de type ®ni muni d'une action Zp-line
Âaire continue de GK.
(ii) On appelle repre
Âsentation p-adique de GKtout Qp-espace
vectoriel de dimension ®nie muni d'une action line
Âaire continue de GK
De
®nition I.4.2: (i) Si Kest une extension ®nie de F,on appelle
u;CK-module sur AK(resp.BK)tout AK-module de rang ®ni (resp.tout
BK-espace vectoriel de dimension ®nie)muni d'une action semi-line
Âaire
de CKet d'une action de semi-line
Âaire ucommutant a Ácelle de CK.
(ii) On dit qu'un u;CK-module Dsur AK(resp.BK)est e
Âtale ou de
pente 0, si Dest engendre
Â(comme AK-module)par uD(resp.si D
contient un sous-AK-re
Âseau e Âtale).
Repre
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