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I.
3ème
NOMBRES ENTIERS
Chapitre A
Diviseurs d'un nombre entier:
Soient A et B deux nombres entiers (avec B  0).
A est un diviseur de B s’il existe un nombre entier n tel que A × n = B.
Ex1: 6 est un diviseur de 18 car 18 = 6 × 3.
Rq : On dit aussi que 18 est un multiple de 6 ou que 18 est divisible par 6.
Pas entier
!
4 n’es pas un diviseur de 10 car 4 × 2,5 = 10
tio
n
Ex2 : 1536 est-il divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ?
* 1536 est divisible par 2 car il est pair.
* 1536 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est divisible par 3 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 est divisible
par 3).
* 1536 est divisible par 4 car le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (36 est divisible
par 4).
* 1536 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.
* 1536 n’est divisible par 9 car la somme de ses chiffres n’est pas divisible par 9 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 n’est
pas divisible par 9).
Ev
a
lu
a
Ex3 : 7 est-il un diviseur de 1 290 ?
1 290 : 7 = 184,2857143
Le quotient n’est pas un nombre entier donc 1290 n’est pas divisible par 7.
Méthode : Pour trouver la liste de tous des diviseurs d’un nombre N, il suffit de tester s’il est divisible par tous
les nombres entiers inférieurs ou égaux à N.
Nombre premier:
PD
II.
F
Pr
o
Ex : Pour trouver la liste de tous les diviseurs de 52, on calcule 52 ≈ 7,2
Il faut tester la divisibilité de 52 par 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7.
52 = 1 × 52 52 = 2 × 26 52 = 4 × 13
Les diviseurs de 52 sont : 1 ; 52 ; 2 ; 26 ; 4 ; 13.
Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs, 1 et lui-même.
Ex 1 : 13 est un nombre premier car 13 n’a que deux diviseurs : 1 et 13.
9 n’est pas un nombre premier car 9 a trois diviseurs : 1 ; 3 et 9.
Rq : * 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même !
* Il existe une infinité de nombres premiers.
Ex 2 : 157 est-il un nombre premier ?
157 ≈ 12,5
Il faut tester la divisibilité de 157 par tous les nombres entiers compris entre 2 et 12.
157 n’est pas divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 et par 10.
157 : 6 ≈ 26,2 donc il n’est pas divisible par 6
157 : 7 ≈ 22,4 donc il n’est pas divisible par 7.
157 : 8 ≈ 19,6 donc il n’est pas divisible par 8.
157 : 11 ≈ 14,3 donc il n’est pas divisible par 11.
157 : 12 ≈ 13,1 donc il n’est pas divisible par 12.
→ 157 n’est divisible par aucun nombre entiers compris entre 2 et 12 donc 157 est premier.
III.
Décomposition en produit de facteurs premiers :
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Rq : Pour chaque entier ( ≥ 2), il n’existe qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers.
Ex : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Méthode : Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre :
* on le divise par un nombre premier (on teste dans l’ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ….)
* on recommence avec le quotient obtenu jusqu’à obtenir un nombre premier.
lu
a
tio
n
Ex : Décomposer 2 088 en produit de facteurs premiers :
2 088 = 2 × 1 044
→ On recommence avec 1044
1 044 = 2 × 522
→ On recommence avec 522
522 = 2 × 261
→ On recommence avec 261
261 = 3 × 87
→ On recommence avec 87
87 = 3 × 29
→ On recommence avec 29
29 ≈ 5,4 et 29 n’est pas divisible par 2 ; 3 ; 4 et 5 donc 29 est un nombre premier.
La décomposition en facteurs premiers de 2 088 est 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 ou 23 × 3² × 29.
►simp enter
Pr
o
(TI-Collège Plus) 2 088 2nde
Ev
a
Sur la calculatrice, on tape :
Décomp
(Casio Spéciale Collège) 2 088 EXE SECONDE
PD
F
Intérêt de la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre : la simplification de fraction.
60
2×2×3×5
5
5
=
=
=
2088 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 2 × 3 × 29 174