cours ( PDF - 124.4 ko)

Chapitre ANOMBRES ENTIERS 3ème
I. Diviseurs d'un nombre entier:
Soient A et B deux nombres entiers (avec B 0).
Aest un diviseur de B s’il existe un nombre entier ntel que A × n= B.
Ex1: 6est un diviseur de 18 car 18 = 6 × 3.
Rq : On dit aussi que 18 est un multiple de 6 ou que 18 est divisible par 6.
! 4 n’es pas un diviseur de 10 car 4 × 2,5 = 10
Ex2 : 1536 est-il divisible par 2? par 3? par 4? par 5? par 9?
* 1536 est divisible par 2 car il est pair.
* 1536 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est divisible par 3 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 est divisible
par 3).
* 1536 est divisible par 4 car le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (36 est divisible
par 4).
* 1536 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.
* 1536 n’est divisible par 9 car la somme de ses chiffres n’est pas divisible par 9 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 n’est
pas divisible par 9).
Ex3 : 7 est-il un diviseur de 1 290 ?
1 290 : 7 = 184,2857143
Le quotient n’est pas un nombre entier donc 1290 n’est pas divisible par 7.
Méthode : Pour trouver la liste de tous des diviseurs d’un nombre N, il suffit de tester s’il est divisible par tous
les nombres entiers inférieurs ou égaux à N.
Ex : Pour trouver la liste de tous lesdiviseurs de 52, on calcule 52 ≈ 7,2
Il faut tester la divisibilité de 52 par 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
52 = 1 × 52 52 = 2 × 26 52 = 4 × 13
Les diviseurs de 52 sont : 1; 52 ; 2; 26 ; 4; 13.
II. Nombre premier:
Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs, 1 et lui-même.
Ex 1: 13 est un nombre premier car 13 n’a que deux diviseurs : 1 et 13.
9 n’est pas un nombre premier car 9 a trois diviseurs : 1; 3 et 9.
Rq : * 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même !
* Il existe une infinité de nombres premiers.
Ex 2: 157 est-il un nombre premier ?
157 ≈ 12,5
Il faut tester la divisibilité de 157 par tous les nombres entiers compris entre 2et 12.
157 n’est pas divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9et par 10.
157 : 6 ≈ 26,2 donc il n’est pas divisible par 6
157 : 7 ≈ 22,4 donc il n’est pas divisible par 7.
157 : 8 ≈ 19,6 donc il n’est pas divisible par 8.
157 : 11 ≈ 14,3 donc il n’est pas divisible par 11.
157 : 12 ≈ 13,1 donc il n’est pas divisible par 12.
→ 157 n’est divisible par aucun nombre entiers compris entre 2 et 12 donc 157 est premier.
Pas entie
r
PDF Pro Evaluation

III. Décomposition en produit de facteurs premiers :
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Rq : Pour chaque entier ( ≥ 2), il n’existe qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers.
Ex : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Méthode : Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre :
* on le divise par un nombre premier (on teste dans l’ordre croissant : 2; 3; 5; 7; 11 ; 13 ….)
* on recommence avec le quotient obtenu jusqu’à obtenir un nombre premier.
Ex : Décomposer 2 088 en produit de facteurs premiers :
2 088 = 2 × 1 044
→ On recommence avec 1044
1 044 = 2 × 522
→ On recommence avec 522
522 = 2 × 261
→ On recommence avec 261
261 = 3 × 87
→ On recommence avec 87
87 = 3 × 29
→ On recommence avec 29
29 ≈ 5,4 et 29 n’est pas divisible par 2; 3; 4 et 5 donc 29 est un nombre premier.
La décomposition en facteurs premiers de 2 088 est 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 ou 23× 3² × 29.
Sur la calculatrice, on tape :
(Casio Spéciale Collège) 2 088 EXE SECONDE
(TI-Collège Plus) 2 088 2nde ►simp enter
Intérêt de la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre : la simplification de fraction.
60
2088 = 2 × 2 × 3 × 5 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 = 5 2 × 3 × 29 = 5 174
Décomp
PDF Pro Evaluation