Algèbre

Cours d’Alg`ebre
Jean-Claude Mado
2002-2003

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Chapitre 1
Anneaux et Corps
Tous les anneaux Aseront suppos´es commutatifs, unitaires et 1A6= 0A.
1.1 Anneaux (rappels)
Un anneau Ad´esigne donc un triplet (A, +,×) c’est `a dire un ensemble A,
non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et la
multiplication ‘×’ telles que :
i) (A, +) poss`ede une structure de groupe commutatif, d’´el´ement neutre
not´e 0A.
ii) La multiplication ×, (not´ee ´egalement ·) est associative, commutative
et poss´ede un ´el´ement neutre not´e 1A; elle est distributive par rapport `a
l’addition.
Produits d’anneaux :
´
Etant donn´e une famille (Ai)i∈Id’anneaux, il existe sur le produit d’en-
sembles Qi∈IAiune structure canonique d’anneau produit.
Par la suite nous nous int´eresserons principalement aux anneaux :
-ZZ, l’anneau des entiers relatifs, ZZ
nZZ l’anneau des entiers modulo l’entier n,
et aux extensions ZZn,IQ, etc. ;
-k[X], anneaux des polynˆomes `a une ind´etermin´ee sur un corps k, vu comme
applications `a support finie de IN dans k;
-k[X1, . . . , Xn], l’anneau des polynˆomes `a nind´etermin´ees sur un corps k,
d´efini comme l’ensemble des applications `a support fini de INndans k.
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4CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
-k[[X]] anneau des s´eries formelles `a une ind´etermin´ee sur un corps k,
l’ensemble des applications de IN dans k, utilis´es en combinatoire (s´eries
g´en´eratrice), ou pour la r´esolution d’´equations diff´erentielles.
1.1.1 Divisibilit´e dans un anneau
Dans un anneau Aon d´efinit une relation binaire divise, de pr´eordre (c’est `a
dire r´eflexive et transitive) not´ee |, d´efinie par :
a, b ∈A b|a⇐⇒ ∃c∈A a =bc.
Deux ´el´ement aet bseront dits associ´es dans As’ils v´erifient :
a|bet b|a.
Tout ´el´ement xde Adivise z´ero, mais on dira qu’un ´el´ement xest un divi-
seur de z´ero s’il est non nul (x6= 0A) et s’il existe un ´el´ement y6= 0Atel que
xy = 0A.
L’anneau Aest dit int`egre s’il ne poss´ede pas de diviseur de z´ero.
Si un ´element dest une borne inf´erieure d’un ensemble Spour la relation
d’ordre not´ee |, c’est `a dire si :
-i) d divise tout ´el´ement ade S,
- ii) un ´el´ement mde Aqui divise tout ´el´ement ade
S, v´erifie : mdivise d.
On dit alors que dest le plus grand commun diviseur (pgcd) de la
partie S, on ´ecrit d=pgcd(S), il est d´efini `a ”l’association” pr`es.
Si 1 = pgcd(S) les ´el´ements de Ssont dits premiers entre eux.
On d´efinit de mˆeme la notion de plus petit commun multiple (ppcm) comme
borne sup´erieure d’une partie de A.
Il d´ecoule de fa¸con ´evidente des d´efinitions que :
- Dans un anneau Asi deux ´el´ements xet ysont tels que xdivise y, alors
pgcd(x, y) = xet ppcm(x, y) = y.
-Soient x, y, z des ´el´ements de A, tel que pgcd(x, y, z) soit d´efini alors
pgcd(x, y, z) = pgcd(pgcd(x, y), z).
Unit´es de l’anneau
Un ´el´ement ade l’anneau Aest dit inversible s’il divise l’´el´ement unit´e 1A
de l’anneau, on dit alors que aest une unit´e de l’anneau A.
L’ensemble des ´el´ements inversibles dans (A, ×) : Amuni de la loi interne ×

1.2. ID ´ EAL D’UN ANNEAU 5
constitue un groupe multiplicatif, on le note U(A), c’est le groupe des unit´es
de A.
Dans un anneau Aint`egre deux ´el´ements aet bsont associ´es si et seulement
s’il existe une unit´e u∈ U(A), telle que a=ub.a= 0 alors b= 0 ; et si
a6= 0, il existe z, t ∈Atel que a=bz et b=at, on a donc a= (at)zet donc
a(1 −tz) = 0, zt = 1 et zinversible
Sous-anneau
Un sous-anneau Bde Aest une partie de Astable pour les lois ‘+’ et ×tel
que (B, +,×) soit un anneau, et tel que 1B= 1A. On dit alors que Aest une
extension de B.
Une intersection de sous anneaux est encore un sous anneau.
1.2 Id´eal d’un anneau
Un id´eal Ide Aest une partie de Atelle que :
i) Iest un sous-groupe additif de A
ii) Pour tout x∈I, et tout a∈Aon a ax appartient `a I.
Les parties {0}et Asont des id´eaux de A, ce sont les id´eaux dits triviaux de A.
Un id´eal Iest dit propre s’il est diff´erent de A.
L’id´eal Iest dit premier, s’il est propre, et s’il v´erifie :
x, y ∈A, xy ∈I=⇒x∈Iou y∈I.
Si un id´eal Ide contient un ´el´ement unit´e de l’anneau A, alors I=A. En
effet, soit aun ´el´ement inversible dans I, tout yde Apeut alors s’´ecrire
x=a(a−1x) et donc appartient `a I.
L’intersection I=∩j∈J(Ij) d’une famille quelconque d’id´eaux de Aest en-
core un id´eal de A.
Soit Sune partie non vide de A, l’intersection de tous les id´eaux de Aqui
contiennent Sest un id´eal de A, not´e (S), il est appel´e id´eal engendr´e par S,
c’est l’ensemble des sommes finies de multiples d’´el´ements de S:
(S) = {Pl
i=1 xiai|l∈IN, xi∈S, ai∈A, 1≤i≤l},
on ´ecrit ´egalement :
(S) = {Pl
i=1 xiA|l∈IN, xi∈S, 1≤i≤l},
si Sest une partie finie S={x1, x2. . . , xn}on ´ecrit simplement :