Algèbre

Cours d’Algèbre
Jean-Claude Mado
2002-2003
2
Chapitre 1
Anneaux et Corps
Tous les anneaux A seront supposés commutatifs, unitaires et 1A 6= 0A .
1.1
Anneaux (rappels)
Un anneau A désigne donc un triplet (A, +, ×) c’est à dire un ensemble A,
non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et la
multiplication ‘×’ telles que :
i) (A, +) possède une structure de groupe commutatif, d’élément neutre
noté 0A .
ii) La multiplication ×, (notée également · ) est associative, commutative
et posséde un élément neutre noté 1A ; elle est distributive par rapport à
l’addition.
Produits d’anneaux :
Étant donné
Q une famille (Ai )i∈I d’anneaux, il existe sur le produit d’ensembles i∈I Ai une structure canonique d’anneau produit.
Par la suite nous nous intéresserons principalement aux anneaux :
ZZ
- ZZ, l’anneau des entiers relatifs, nZ
l’anneau des entiers modulo l’entier n,
Z
n
et aux extensions ZZ , IQ, etc. ;
-k[X], anneaux des polynômes à une indéterminée sur un corps k, vu comme
applications à support finie de IN dans k ;
-k[X1 , . . . , Xn ], l’anneau des polynômes à n indéterminées sur un corps k,
défini comme l’ensemble des applications à support fini de IN n dans k.
3
4
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
- k[[X]] anneau des séries formelles à une indéterminée sur un corps k,
l’ensemble des applications de IN dans k, utilisés en combinatoire (séries
génératrice), ou pour la résolution d’équations différentielles.
1.1.1
Divisibilité dans un anneau
Dans un anneau A on définit une relation binaire divise, de préordre (c’est à
dire réflexive et transitive) notée | , définie par :
a, b ∈ A b|a ⇐⇒ ∃c ∈ A a = bc.
Deux élément a et b seront dits associés dans A s’ils vérifient :
a|b et b|a.
Tout élément x de A divise zéro, mais on dira qu’un élément x est un diviseur de zéro s’il est non nul (x 6= 0A ) et s’il existe un élément y 6= 0A tel que
xy = 0A .
L’anneau A est dit intègre s’il ne posséde pas de diviseur de zéro.
Si un élement d est une borne inférieure d’un ensemble S pour la relation
d’ordre notée | , c’est à dire si :
-i) d divise tout élément a de S,
- ii) un élément m de A qui divise tout élément a de
S, vérifie : m divise d.
On dit alors que d est le plus grand commun diviseur (pgcd) de la
partie S, on écrit d = pgcd(S), il est défini à ”l’association” près.
Si 1 = pgcd(S) les éléments de S sont dits premiers entre eux.
On définit de même la notion de plus petit commun multiple (ppcm) comme
borne supérieure d’une partie de A.
Il découle de façon évidente des définitions que :
- Dans un anneau A si deux éléments x et y sont tels que x divise y, alors
pgcd(x, y) = x et ppcm(x, y) = y.
-Soient x, y, z des éléments de A, tel que pgcd(x, y, z) soit défini alors
pgcd(x, y, z) = pgcd(pgcd(x, y), z).
Unités de l’anneau
Un élément a de l’anneau A est dit inversible s’il divise l’élément unité 1A
de l’anneau, on dit alors que a est une unité de l’anneau A.
L’ensemble des éléments inversibles dans (A, ×) : A muni de la loi interne ×
1.2. IDÉAL D’UN ANNEAU
5
constitue un groupe multiplicatif, on le note U(A), c’est le groupe des unités
de A.
Dans un anneau A intègre deux éléments a et b sont associés si et seulement
s’il existe une unité u ∈ U (A), telle que a = ub. a = 0 alors b = 0 ; et si
a 6= 0, il existe z, t ∈ A tel que a = bz et b = at, on a donc a = (at)z et donc
a(1 − tz) = 0, zt = 1 et z inversible
Sous-anneau
Un sous-anneau B de A est une partie de A stable pour les lois ‘+’ et × tel
que (B, +, ×) soit un anneau, et tel que 1B = 1A . On dit alors que A est une
extension de B.
Une intersection de sous anneaux est encore un sous anneau.
1.2
Idéal d’un anneau
Un idéal I de A est une partie de A telle que :
i) I est un sous-groupe additif de A
ii) Pour tout x ∈ I, et tout a ∈ A on a ax appartient à I.
Les parties {0} et A sont des idéaux de A, ce sont les idéaux dits triviaux de A.
Un idéal I est dit propre s’il est différent de A .
L’idéal I est dit premier, s’il est propre, et s’il vérifie :
x, y ∈ A, xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
Si un idéal I de contient un élément unité de l’anneau A, alors I = A. En
effet, soit a un élément inversible dans I, tout y de A peut alors s’écrire
x = a(a−1 x) et donc appartient à I.
L’intersection I = ∩j∈J (Ij ) d’une famille quelconque d’idéaux de A est encore un idéal de A.
Soit S une partie non vide de A, l’intersection de tous les idéaux de A qui
contiennent S est un idéal de A, noté (S), il est appelé idéal engendré par S,
c’est l’ensemble des sommes finies de multiples d’éléments de S :
P
(S) = { li=1 xi ai | l ∈ IN, xi ∈ S, ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ l},
on écrit également :
P
(S) = { li=1 xi A | l ∈ IN, xi ∈ S, 1 ≤ i ≤ l},
si S est une partie finie S = {x1 , x2 . . . , xn } on écrit simplement :
6
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
P
(S) = (x1 , x2 , . . . , xn ) = ni=1 xi A,
et on dit que c’est l’idéal engendré par les éléments x1 , x2 , . . . , xn de A.
De même un idéal I de l’anneau A est dit de type fini s’il est de la forme
I = (x1 , . . . , xn ) où x1 , . . . , xn sont des éléments de I, c’est à dire si I est
engendré par un nombre fini d’élément de A.
Un idéal I de l’anneau A est dit principal, s’il est de la forme I = (x) où x
est un élément de I, c’est à dire si I est engendré par un élément x de A.
Les ideaux triviaux de A sont principaux : {0} = (0), et A = (1).
La relation binaire ‘|’ de l’anneau A se traduit en termes de relation d’inclusion entre idéaux principaux :
a, b ∈ A
a|b ⇐⇒ (a) ⊃ (b).
Il en résulte que les éléments a et b sont associés si et seulement si (a) = (b).
Sur l’ensemble I des idéaux d’un anneau A, on peut définir deux lois interne
d’addition et de multiplication :
Soient I et J deux idéaux de A, on appelle somme de ces deux idéaux qu’on
note I + J, l’idéal engendré par I ∪ J.
On définit de même, l’ idéal produit IJ comme l’idéal engendré par l’ensemble
S = {xy | x ∈ I, y ∈ J}.
Dans le cas d’idéaux principaux I = (a) et J = (b), on a IJ = (ab).
On a toujours l’inclusion IJ ⊂ I ∩ J, l’égalité étant en général non vérifiée
(propriété bien connue dans ZZ : ppcm(a, b) 6= ab ). Cependant dans le cas
I + J = A, on montre (c’est un exercice) l’égalité :
IJ = I ∩ J.
Muni de ces deux lois d’addition et de multiplication, I possède une structure, qui bien qu’étant intéressante n’est pas celle d’un anneau. Pour autant,
l’idéal (0) est élément neutre de l’opération +, et l’idéal (1) celui de la multiplication dans I.
Soient a et b deux éléments de l’anneau A, tels que m = ppcm(a, b) soit défini
dans A, alors (m) = (a) ∩ (b), et réciproquement.
Si I est un idéal de A, alors on peut munir le groupe quotient A/I d’une
structure supplémentaire d’anneau quotient.
Proposition 1.2.1 Soit A un anneau, et I un idéal de A. Alors I est premier
si et seulement si A/I est intègre.
Démonstration :
⇒
1.3. HOMOMORPHISME D’ANNEAUX
7
Soient x̄, ȳ quelconques dans A/I, et tels que x̄ 6= 0 et x̄ȳ = 0, soient x, y
deux répresentants respectifs, on a x ∈
/ I xy ∈ I, I étant premier on a
nécessairement y ∈ I et donc ȳ = 0.
⇐
Réciproquement soient x, y dans A tels que x ∈
/ I et xy ∈ I, ce qui se traduit
par x̄ 6= 0 et xy
¯ = 0, x̄ désignant la classe déquivalence de l’élément x de A.
Comme barxy = x̄ȳ, l’hypothèse A/I intègre se traduit par ȳ = 0 et donc
y ∈ I.
Proposition 1.2.2 Si dans un anneau A un idéal premier I contient un
produit J1 , . . . , Jn d’idéaux de A, alors I contient l’un d’eux.
Démonstration : En effet si pour tout i Ji est non inclus dans I, il existe
ai dans Ji tel que ai ∈
/ I, et tels que le produit a1 · · · an appartienne à I, ce
qui contredit I idéal premier dans A.
1.3
Homomorphisme d’anneaux
Soient A et B deux anneaux et une application f : A → B, on dit que f est
un homomorphisme d’anneau si :
i) ∀x, y ∈ A f (x + y) = f (x) + f (y),
ii) ∀x, y ∈ A f (xy) = f (x)f (y),
iii) f (1A ) = 1B .
On a en particulier l’inclusion :
f (U(A)) ⊂ U (B),
et la propriété :
∀x ∈ U(A) f (x−1 ) = (f (x))−1 .
-L’image directe f (A) est alors un sous anneau de B noté Im(f ).
-L’image réciproque d’un idéal premier de B est un idéal premier de A.
-L’image réciproque f −1 ({0}) est alors un idéal de A, noté Ker(f ).
-L’anneau quotient A/Ker(f ) = {a + Ker(f ) | a ∈ A} est alors isomorphe
A
à Im(f ) : Im(f ) ≈ Ker(f
,
)
de même tout idéal I de A est noyau d’un homomorphisme d’anneau :
A → AI .
-On a une correspondance bijective entre les idéaux de AI et les idéaux de A
8
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
qui contiennent I.
De même :
Proposition 1.3.1 Soient A un anneau, I un idéal premier de A et B un
sous anneau de A. Alors I ∩ B est un idéal premier de B.
En effet I ∩ B est le noyau de l’homorphisme composé B → A → AI de
B
sorte qu’on a un homomorphisme injectif I∩B
→ AI . Or un sous-anneau d’un
anneau intègre est encore intègre.
1.3.1
Caractéristique d’un anneau
Étant donné un anneau A, il-y a un homomorphisme canonique f de ZZ dans
A l’anneau ZZ étant principal, Ker(f ) est de la forme cZZ, c ∈ IN . L’entier c
est appelé la caractéristique de l’anneau A.
Tous les sous-anneaux de A, toute extension d’anneau de A ont même caractéristique.
Si A est un anneau fini, la caractéristique de A est un entier strictement
positif. En effet sinon, A contiendrait un sous-anneau isomorphe à ZZ.
ZZ
Comme f (ZZ) est un sous anneau de A, isomorphe à (c)
; si A est un anneau
fini, la caractéristisque c de A divise nécessairement l’ordre noté |A| de A.
Si A est un anneau intègre, en particulier si A est un corps, alors la caractéristique c de A est nécessairement un entier premier, en effet si c était
un entier composé ( c = qr avec c > q > 1, c > r > 1) on aurait f (q) 6= 0 et
f (r) 6= 0 et pourtant f (q)f (r) = f (c) = 0.
1.3.2
Théorème des restes chinois
Théorème 1.3.1 Soit un anneau A et une famille finie (I1 , . . . , In ) d’idéaux
de A deux à deux premiers entre eux, c’est à dire vérifiant Ik + Il = A pour
n
Q
A
tous k 6= l. Alors l’application f : A →
défini par f (x) = (x̄1 , . . . , x̄n )
Ik
k=1
où x̄k désigne la classe de x modulo Ik est un homomorphisme surjectif, de
n
Q
noyau Ker(f ) = ∩nk=1 Ik =
Ik , et induit donc un isomorphisme :
k=1
A
Qn
k=1 Ik
≈
n
Y
A
Ik
k=1
1.4. CORPS
9
Démonstration : laissée en exercice.
1.3.3
Endomorphisme de Frobenius
Soit A de caractéristique p un nombre premier, alors :
∀a, b ∈ A, (a + b)p = ap + bp .
En effet le coefficient binomial pour tout
1 ≤ k ≤ p, Cpk =
p!
k!(p − k)!
donc vérifie k!(p − k)!Cpk est divisible par p ; alors que le produit k!(p − k)!
est premier avec p, lorsque k varie entre 2 et p − 1, dans l’anneau ZZ.
Dès lors, nécessairement p divise Cpk pour ces valeurs de p.
L’application de A dans A défini par x 7→ xp est un homomorphisme d’anneau
appelé endomorphisme de Frobenius.
1.4
Corps
Un anneau A possède une structure de corps si on a U(A) = A \ {0}. On
désigne les corps de préférence à l’aide des lettres K, k, L.
Une intersection de sous-corps est encore un sous-corps. On appelle corps
premier d’un corps K le corps engendré par l’élément 1. Il est isomorphe soit
ZZ
au corps à IQ si K est de caractéristique 0 ; soit a un corps fini (p)
, si K est
de caractéristique l’entier premier p.
Théorème 1.4.1 Un anneau K est un corps si et seulement si les seuls
idéaux de K sont les idéaux triviaux {0} et K.
Démonstration :
Nécesité Soit K un corps et I un idéal de K, si I 6= {0}, il existe un élément
x 6= 0 dans I, donc une unité de A dans I.
Suffisance Soit x 6= 0, l’idéal principal I = (x) étant différent de {0} est par
hypothése égal á A, en particulier il existe un élément y de A tel que xy = 1.
On trouve donc U(A) = A \ {0}.
Corollaire 1.4.1 Soit K un corps et A un anneau et f : K → A un homomorphisme d’anneau, alors f est injectif.
10
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
Démonstration :
Ker(f ) est un idéal de K et on a f (1) = 1 6= 0, donc Ker(f ) 6= K est
donc égal à {0} et f est injectif. On dit que l’idéal I est maximal s’il n’est
strictement contenu dans aucun idéal propre de A, c’est à dire si pour tout
idéal J de A, l’inclusion I ⊂ J, implique J = I ou J = A.
Un corps peut, dès lors, être défini comme étant un anneau local, d’idéal
maximal unique égal à (0).
L’idéal I de A étant maximal,on peut vérifie sur l’anneau quotient A/I :
Proposition 1.4.1 Soit A un anneau, et I un idéal de A. Alors I est maximal si et seulement si A/I est un corps.
En particulier tout idéal maximal est premier.
Démonstration :
⇒
Soient dans A/I un élément x̄ 6= 0, et soit x un représentant dans A de x̄,
l’idéal I+(x) contient strictement I. Comme I est maximal, on a nécessairement
I + (x) = A, il existe donc a ∈ A et y ∈ I tels que ax + y = 1, ce qui se
traduit par x̄ā = 1, l’élément x̄ est inversible dans A/I.
⇐
Soit J ⊃ I, et x ∈ J \ I, il existe a ∈ A, y ∈ I ⊂ J tels que ax + y = 1 ∈ J,
on a nécessairement J = A.
Anneau local, Théorème de Zorn
Proposition 1.4.2 Soit I l’ensemble des éléments non inversibles de A. Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) I est un idéal de A.
(ii) L’ensemble des idéaux propres de A possède un plus grand élément.
(iii) A posséde un idéal maximal de unique M.
Définition 1.4.1 Un anneau A vérifiant les propriétes précédentes s’appelle
un anneau local. Le quotient A/M s’appelle alors le corps résiduel de A.
Démonstration : (i)⇐⇒(ii)
On remarque qu’on a I 6= A car 1 ∈
/ I, et que tout idéal propre M , et que
tout idéal propre de A est inclus dans I.
Si I est un idéal, c’est donc le plus grand idéal propre de A. Réciproquement
si M est le plus grand idéal propre on a M ⊂ I. D’autre part, si x ∈ I, alors
1.4. CORPS
11
Ax est un idéal propre dans M, d’où I ⊂ M.
(ii) ⇐⇒ (iii)
L’implication (ii)⇐⇒ (iii) est immédiate, si M est plus grand élément de
l’ensemble des idáux propres de A, c’est alors l’unique idéal maximal de A.
L’implication réciproque, elle, découle du théorème de Zorn sur les ensembles
ordonnés que nous énoncerons ci-aprés.
En effet un corollaire de ce théorème est que tout idéal propre de A est
inclus dans au moins un idéal maximal. Dès lors s’il n’existe qu’un seul idéal
maximal M , alors M contient tous les autres idéaux propres de A, c’est donc
le plus grand idéal propre de A pour la relation d’ordre d’inclusion.
Définition 1.4.2 Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On dit qu’il est inductif
si toute partie totalement ordonné de E est majorée dans E.
On admettra l’assertion suivante
Théorème 1.4.2 Théorème de Zorn
Tout ensemble inductif non vide admet au moins un élément maximal.
Le théorème de Zorn est en fait, et on l’admettra, équivalent à l’axiome du
choix :
Soit un ensemble E 6= ∅, alors il existe une application f : E 7→ P(E) tel
que ∀x ∈ E, x ∈ f (x).
Une autre formulation du thórème de Zorn s’énonce à l’aide de la notion de
chaine.
Définition 1.4.3 Soit (E, ≤) un ensemble ordonné.On appelle chaine de E
toute partie dénombrable {a1 , a2 , . . . , an , . . .} dans E, totalement ordonné :
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . .
Le résultat suivant donne un critère pratique pour étudier si un ensemble est
inductif ou non.
Proposition 1.4.3 Un ensemble ordonné E non vide est inductif si et seulement si toute chaine de E est majorée dans E.
Démonstration :
L’ensemble E étant supposé inductif, une chaine étant une partie totalement
ordonnée, admet un majorant dans E.
Réciproquement soit un E satisfaisant aux conditions de la proposition,
démontrons, par l’absurde, qu’il admet un élément maximal. Supposons la
12
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
non existence d’un tel élément, et considérons un élément a1 de E, comme
a1 n’est pas maximal, il existe un élément a2 qui majore a1 , ainsi de suite on
aboutit à une chaine dénombrable délément de E qui n’est pas majorée, ce
qui contredit l’hypothèse de départ faite sur E.
Sur la base de ce théorème on montre que tout idéal propre est contenu
dans un idéal maximal : l’ensemble des idéaux de A est inductif pour la relation d’inclusion, si (I) = (Ij )j∈J est une famille croissante d’idéaux de A, la
réunion I = ∪j∈J Ij est encore un idéal de A qui majore la famille (I). C’est
un idéal propre de A, en effet 1 n’appartient pas à la réunion I. Sinon il
appartiendrait à au moins un Ij pour un certain indice j, ce qui entrainerait
alors Ij = A, et contredit la condition : la famille (I) est constituée d’idéaux
propres de A .
1.5
Radical d’un idéal
Définition√1.5.1 Soient A un anneau, I un idéal. On appelle radical de I
et on note I, l’ensemble des x ∈ A pour lesquels il existe un entier naturel
n ∈ N tel que xn ∈ I, c’est un idéalp
de A.
On appelle nilradical de A, l’idéal (0), on dit d’un élément x appartenant
au nilradical que c’est un nilpotent
√ de A.
Un idéal I est dit radiciel si I = I.
On dit que l’anneau A est réduit si son nilradical est nul.
√
Proposition 1.5.1 Soient A un anneau, I un idéal. Alors I = ∩J où
l’intersection est étendue à tous les idéaux premiers J qui contiennent I. En
particulier le nilradical est l’intersection de tous les idéaux premiers de A.
√
Démonstration : Soient x ∈ I, et J un idéal premier qui contient I, il
existe n ∈ IN tel que xn ∈ J, √
d’où x appartient à J.
Réciproquement soit x ∈ A \ I, et F, l’ensemble des idéaux J de A contenant I et tels que : J ∩ {xn |n ∈ IN } = ∅.
Cet ensemble est non vide, car contenant I et inductif pour la relation d’inclusion, il possède donc un élément maximal M . Montrons que M est premier.
Soient a et b dans A \ M , il existe n ∈ IN, m ∈ IN tels que xn ∈ (a) +
M, xm ∈ (b) + M , si on suppose que ab appartienne à M alors xn+m appartient à M , ce qui contredit la définition de M .
1.6. ANNEAUX ET CORPS DE FRACTIONS
1.6
1.6.1
13
Anneaux et Corps de fractions
Parties multiplicatives
Définition 1.6.1 Soit A un anneau, une partie S est dite multiplicative si
1 appartient à S et si le produit d’éléments de deux éléments de S appartient
à S.
Exemples :
- Soit I un idéal de A. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) I est premier
ii) A \ I est une partie multiplicative.
- L’ensemble U(A) des éléments inversibles de A est une partie multiplicative.
- Soit I un idéal de A, la partie 1 + I = {1 + x | x ∈ I} est multiplicative.
- Soit f ∈ A. La partie Sf = {1, f, . . . , f n , . . .} est multiplicative.
- Une intersection de parties multiplicatives est une partie multiplicative.
- Soit S une partie de A. L’intersection des parties multiplicatives contenant
S est la plus petite partie multiplicative contenant S. Elle est l’ensemble des
produits finis d’éléments de S ∪ {1}. On l’appelle la partie multiplicative
engendrée par S.
Définition 1.6.2 Une partie multiplicative S de A est dite saturée si la
condition ss0 ∈ S(s, s0 ∈ S) implique la condition s ∈ S et s0 ∈ S.
- La partie multiplicative U(A) est saturée, en effet si ss0 = u ∈ U(A) alors
s et s0 sont tous deux inversibles dans A, et s−1 = u−1 s0 .
- Soit (Pi )i∈I une famille d’idéaux premiers de A, alors S = ∩i∈I (A \ Pi ) =
A \ ∪i∈I Pi est une partie multiplicative saturée.
- Soit S une partie multiplicative, on peut l’inclure dans une partie multiplicative saturée définie par {s ∈ A | ∃t ∈ A st ∈ S}
Lemme 1.6.1 Soit A un anneau, S une partie multiplicative 0 ∈
/ S, I un
idéal avec I ∩ S = ∅. Alors il existe un idéal premier P tel que I ⊂ P et
P ∩ S = ∅.
Démonstration : L’ensemble des idéaux contenant I et disjoint de S est
une famille inductive pour la relation d’inclusion, d’après le lemme de Zorn,
elle admet donc un élément maximal.
14
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
Soit donc P un idéal contenant I, et maximal pour la non intersection avec S.
Montrons que P est premier. Soient a et b dans A \ P . On a (P + (a)) ∩ S 6= ∅
et (P + (b)) ∩ S 6= ∅, il existe donc u et v dans P , x et y dans A tels que
(u + xa) et (v + xb) appartiennent à S, on a donc (u + xa)(v + yb) ∈ S. Si
on suppose le produit ab dans P on montre alors que (u + xa)(v + yb) =
u(v + yb) + v(xa) + (ab)(xy) appartient à P ∩ S, et on aboutit ainsi, à une
contradiction.
Proposition 1.6.1 Soit S une partie de A, et (Pi )i∈I la famille des idéaux
premiers de A disjoints de S. Alors ∩i∈I (A − Pi ) est la plus petite partie
multiplicative saturée qui contienne S.
1.6.2
Anneaux de fractions
Théorème 1.6.1 Soit S une partie multiplicative de l’anneau A, et telle que
0∈
/ S. On considère sur A × S la relation binaire :
(a, s)R(a0 , s0 ) ⇐⇒ ∃u ∈ S; u(as0 − a0 s) = 0.
Alors :
i) la relation R est d’équivalence.
ii) Les lois :
(a, s) + (a0 , s0 ) = (as0 + a0 s, ss0 ),
(a, s).(a0 , s0 ) = (aa0 , ss0 ),
sont compatibles avec R et définissent sur l’ensemble quotient A×S
une strucR
−1
ture d’anneau quotient, noté S A et appelé l’anneau des fractions
¡ ¢ de A à
dénominateur dans S. La classe d’un élément (a, s) étant noté as S .
Démonstration : laissé en exercice.
¡ ¢
¡ 0¢
¡ 0 0 ¢
L’addition dans S −1 A est défini par : as S + as0 S = as ss+a0 s S ;
¡ ¢ ¡ 0¢
¡ 0¢
¡ ¢
la multiplication par as S as0 S = aa
: elle a pour élément neutre 11 S .
ss¡0 S
¢
L’application φ : A → S −1 A : x 7→ x1 S est un homomorphisme d’anneau.
Pour qu’elle soit injective il faut et il suffit que la partie multiplicative S ne
comporte aucun diviseur de zéro dans A.
Pour tout élément s ∈ S, φ(s) est inversible dans S −1 A.
Remarques : Si on permet 0 ∈ S on obtient trivialement S −1 A = {0}.
Exemples :
- On a une égalité U(A)−1 A = A, évidente.
- Dans ZZ considérons la partie multiplicative S = S10 = {1, 10, 102 . . . , 10n , . . .},
1.6. ANNEAUX ET CORPS DE FRACTIONS
15
S −1 ZZ est l’anneau des nombres décimaux. De façon générale si S = Sf est
la partie multiplicative de l’anneau A engendré par l’élément f , S −1 A est
appelé anneau des fractions à dénominateur une puissance de f .
- Si P est un idéal premier de A, la partie S = A \ P est une partie multiplicative, l’anneau S −1 A se note alors AP et s’appelle le localisé de A en P .
- Si S est l’ensemble des éléments non diviseurs de 0 dans A :
S = {x ∈ A | y ∈ A xy = 0 ⇒ y = 0},
−1
alors S A est appelé l’anneau total des fractions de A.
En particulier si A est intègre, on a alors S = A \ {0}, et S −1 A est appelé
corps des fractions de A et noté F r(A).
- IQ est le corps des fractions de ZZ.
- Étant donné un corps K, on note K(X), le corps des fractions de K[X].
Proposition 1.6.2 Soit A un anneau, P un idéal premier de A, AP le localisé de A en P et φ : A → AP , alors :
i) AP est un anneau local dont l’idéal maximal est engendré par φ(P ) et dont
le corps résiduel est isomorphe au corps des fractions de l’anneau intègre
A/P .
ii) Si A est local d’idéal maximal M, alors on a AM ' A.
Démonstration :
i) L’idéal engendré dans AP par φ(P ) = {(p/1) | p ∈ P } est, on peut le
montrer, la partie {(p/s) ∈ AP | p ∈ P, s ∈
/ P } = φ(P )AP , que nous notons
également, P AP .
L’idéal P AP est propre. En effet si on avait 1 = p/s, il existerait u ∈
/ P avec
u(p − s) = 0 ∈ P. D’où, comme P est premier, p − s ∈ P , ce qui est absurde
car p ∈ P, s ∈
/ P.
Soit maintenant I un idéal propre quelconque de AP .
Si x = a/s ∈ I, alors a ∈ P , car sinon, x est inversible dans AP et alors
I = AP ce qui contredit I un idéal propre de AP . On a donc I ⊂ P.AP . On
peut conclure AP est un anneau local d’idéal maximal P AP .
Considérons maintenant le morphisme composé de φ et de la surjection
canonique AP → (AP /P AP ). Ce morphisme induit une injection i : A/P →
AP /P AP .
Soit alors un élément s ∈ A\P , s̄ sa classe dans l’anneau quotient A/P , alors
i(s̄) = (s/1) dans AP /P AP est non nulle, donc inversible d’inverse (1/s) dans
AP /P AP .
On en déduit que l’anneau AP /P AP admet comme générateurs les éléments
16
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
de : i(A/P ) et {i(s̄)−1 | s̄ 6= 0̄}.
Le corps AP /P AP est dès lors isomorphe au corps des fractions de A/P .
ii) Dans le cas où A est local, on a (a/1) = (b/1) si et seulement s’il existe
u ∈
/ M avec u(a − b) = 0, c’est à dire a = b (puisque M est formé des
éléments non inversibles).
Il est alors immédiat que φ est un isomorphisme.
Mieux encore, on a AM = U(A)−1 A.
Plus généralement, on peut montrer :
Proposition 1.6.3 Soit A un anneau, S une partie multiplicative (0 ∈
/ S).
−1
On note φ : A → S A l’homomorphisme canonique.
Alors l’application P 7→ φ−1 (P ) est une bijection de l’ensemble des idéaux
premiers de S −1 A, dans l’ensemble des des idéaux premiers de A qui ne
rencontrent pas S, et P 0 7→ φ(P 0 )(S −1 A) est l’application réciproque.
Soit J un idéal de S −1 A, alors φ−1 (J) est un idéal saturé de A pour S, c’est
à dire qu’on a : φ−1 (J) = {a ∈ A | ∃s ∈ S, φ(sa) ∈ J}.
Démonstration : laissée en exercice.
Chapitre 2
Anneaux factoriels-Anneaux de
polynômes
2.1
Anneaux principaux
Définition 2.1.1 Un anneau A est dit principal, s’il est intègre et si tout
idéal de A est engendré par un élément.
Exemples :
L’anneau ZZ des entiers naturels est principal. De même K étant un corps,
l’anneau K[X] des polynômes à une indéterminée sur K.
Mais A étant un anneau, l’anneau A[X, Y ] des polynômes à deux indéterminées
X et Y n’est pas principal par exemple l’idéal (X, Y ) des polynômes s’annulant en zéro n’est pas principal.
Dans un anneau principal A deux élément a et b ont toujours un pgcd d et un
ppcm m, et on a la relation de Bezout : (a) +(b)=(d), Il existe deux éléments
u, v dans A tels que au + bv = d.
Équation diophantienne du premier degré
Soit à résoudre dans un anneau principal A l’équation ax + by = c, d’in
connues x et y. Soit d = pgcd(a, b), il existe une solution (x, y) si et seulement
si d divise c. Soit a = a1 d, b = b1 d c = dc1 , et soit u, v tels que au + bv = d on
a alors (x0 , y0 ) = (uc1 , vc1 ) solution de l’équation et l’ensemble des solutions
s’écrit {(x0 + zb1 , y0 − za1 ) | z ∈ A}
17
18CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Éléments irréductibles
Définition 2.1.1 Soient A un anneau intègre, un élément a ∈ A est dit
irréductible s’il est non nul et non inversibles et si a = bc avec b, c ∈ A
implique que b ou c est un inversible de A.
La notion d’élément irréductible se traduit en terme d’idéaux principaux.
Proposition 2.1.1 Soit dans un anneau A un élément x, on a les équivalences
suivantes :
i) x est irréductible.
ii) L’idéal (x) est non nul, différent de A, et une inclusion (x) ⊃ (y) implique l’égalité (x) = (y) (i.e y est associé à x) ou encore (y) = A (i.e y est
inversible dans A).
iii) L’idéal (x) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux de A non
nuls et différent de A.
Définition 2.1.2 Un élément x de A est dit premier si :
i) x est différent de 0 et non inversible,
ii) (x) est un idéal premier i.e l’anneau quotient A/(x) est intègre.
Proposition 2.1.1 Soient A un anneau intègre, a ∈ A \ {0} tel que (a) soit
un idéal premier. Alors l’élément a est irréductible.
Démonstration : Soit b ∈ A, c ∈ A tels que bc = a et appartient donc
évidemment à a = aA, on a alors b̄c̄ = 0 dans A/(aA), ce qui implique si
c̄ 6= 0 alors b̄ = 0, b est de la forme b = aβ et dès lors a(1 − βc) = 0. L’anneau
A étant intègre, on a βc = 1 et c est un unité de l’anneau.
La réciproque est en général fausse pour un anneau quelconque. Elle est vraie
pour une classe importante d’anneaux intègre : les anneaux factoriels.
Proposition 2.1.2 Soit A un anneau principal, p ∈ A \ (U(A) ∪ {0}). Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
i) L’idéal (p) est maximal,
ii) l’idéal (p) est premier,
iii) l’élément p est irréductible.
2.1. ANNEAUX PRINCIPAUX
19
Démonstration : i) implique ii) déjà vu : tout idéal maximal est principal.
ii) implique iii) soit p = ab on a alors ab ∈ (p) donc soit a soit b sont dans
(p). Supposons a dans (p) on a alors a = pλ λ ∈ A, donc p = λpb ou encore
p(1 − λb) = 0, b est alors inversible et p est irréductible.
iii) implique i) Soit I un idéal de A tel qu’on ait (p) ⊂ I soit a tel que I = (a)
on a alors p = ab on alors soit b ∈ U (A) c’est à dire (p) = (a) soit a ∈ U(A)
et alors (a) = A.
2.1.1
Anneaux euclidiens
Un anneau intègre A est euclidien s’il est doté d’une division euclidienne : il
existe une application ϕ : A → IN telle que, pour tout couple (a, b) d’éléments
de A où b 6= 0, il existe q et r dans A tels que :
a = bq + r, ϕ(r) < ϕ(b)
L’application ϕ s’appelle un (pré)-algorithme euclidien. Elle atteint son minimum seulement en 0 et on peut se ramener au cas où ϕ(0) = 0.
Exemples : L’anneau ZZ[i] = {a + bi ∈ IC | a, b ∈ ZZ } est un anneau
euclidien, avec pour algorithme l’application :
ZZ[i] → IN : a + bi 7→ a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).
En effet soient a + bi et c + di 6= 0 dans ZZ[i], dans on peut écrire a + bi =
(c + di)(m + ni) avec m et n réels, il existe deux entiers k et l dans ZZ, tels
que |m − k| ≤ 21 , |n − l| <≤ 12 , on a alors N (a + bi − (c + di)(k + li)) =
N ((c + di)(m − k + (n − l)i) = N (c + di)N (m − k + (n − l)i) = N (c +
di)((m − k)2 + (n − l)2 ) ≤ 21 N (c + di), d’où dans ZZ[i] une décomposition
a + bi = (c + di)(k + li) + (r + si) avec r + si ∈ ZZ[i] et N (r + si) < N (c + di).
L’anneau ZZ[i] est donc euclidien.
Proposition 2.1.3 Tout anneau euclidien est principal.
Démonstration : Soient A un anneau euclidien, I 6= (0) un idéal de A et a
un élément de I \{0} tel que ϕ(a) soit le plus petit élément de ϕ(I) ⊂ IN . Soit
maintenant un élément b quelconque dans I effectuons la division euclidienne
de b par a, il existe (q, r) ∈ A2 , ϕ(r) < ϕ(a) tel que b = aq + r, on a dès lors
r = b − aq appartennant à I, ce qui contredit la construction de a.
20CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Algorithme d’Euclide
Dans un anneau A euclidien, la recherche du pgcd d de deux élément a et b
s’effectue par utilisation de l’algorithme d’Euclide de recherche du pgcd basé
sur la relation :
Soient a, b, q, r ∈ A tels que a = bq + r on a alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r).
De même on retrouve les coefficients u et v de A, tels que l’on a la relation
de Bezout : ua + vb = d où d = pgcd(a, b).
√
19
Un exemple d’anneau principal non euclidien : ZZ[ 1+i2
]
Proposition 2.1.4 Soit A un anneau euclidien. Il existe x ∈ A \ U(A), tel
que la restriction à U(A) ∪ {0} de la surjection canonique de A sur l’anneau
A
quotient (x)
soit surjective.
Démonstration : Si A est un corps, x = 0 convient. Sinon parmi les
éléments non nuls et non inversibles de A on choisit ceux pour lesquels ϕ(x)
est minimal. Soit donc a ∈ A, on a a = xq + r, ou encore a ≡ r mod (x),
avec ϕ(r) < ϕ(x). Si r 6= 0, alors nécessairement r est est inversible, et a est
modulo x égal à un élément de U(A).
√
√
l’anneau A
Dans le corps IQ[i 19] = {a + ib 19 ∈ IC |a, b ∈ IQ} on considère
√
des entiers de ce corps de nombres, c’est à dire des z ∈ IQ[i 19] racines des
polynômes unitaires P = xn + a1 xn−1 +
. . . + an−1 x + an , an ∈ IN ai ∈ ZZ, i =
√
1+i 19
1 . . . , n, on montre que
A = {a + b 2 | a, b ∈ ZZ}.
√
1+i 19
] n’est pas euclidien.
L’anneau A = Z[
2
√
1+i 19
Posons α = 2 , α vérifie α2 − α + 5 = 0.
On pose alors A = ZZ[α] = {z ∈ IC | z = a + bα, a, b ∈ ZZ}, A est
stable par conjugaison vu que ᾱ = 1 − α. Pour tout z ∈ A, on définit
N (z) = z z̄ = a2 + ab + 5b2 , on a N (z) ∈ IN , et U(A) = {−1, 1}.
D’aprés le lemme précédent si A est euclidien, il existe un x ∈ A tel que l’anA
neau quotient K = (x)
soit un corps à deux ou à trois éléments, on pourrait
donc trouver dans K un élément β, image de α par un homomorphisme d’anZZ
ZZ
ou (3)
, le polynôme
neau tel que β 2 − β + 5 = 0, or dans aucun des corps (2)
2
X − X + 5 ne possède de racines.
L’anneau A est principal.
2.1. ANNEAUX PRINCIPAUX
21
Proposition 2.1.5 Soient a, b ∈ A \ {0}, il existe q, r ∈ A avec :
2) a = bq + r ou 2a = bq + r,
1) r = 0 ou N (r) < N (b).
Démonstration : Soit x = ab = abb̄b̄ ∈ IC , on écrit x = u + vα, u, v ∈ IQ.Soit
n = [u] la partie entière de v, n ≤ v < n + 1.
1) Supposons v ∈]n
/ + 31 , n + 23 [ et soient alors s et t les entiers les plus proches
de u et v respectivement. On a alors |s − u| ≤ 12 , |t − u| ≤ 31 . On pose alors
q = s + tα, de sorte que q est dans A et on a :
N (x − q) = (s − u)2 + (s − u)(t − v) + 5(t − v)2 ≤ 14 + 16 + 59 = 35
< 1.
36
Si on pose r = a − bq = b(x − q), on a bien N (r) < N (b) et le résultat voulu.
2) Supposons v ∈]n + 31 , n + 23 [ on considère alors 2x = 2u + 2vα, et on a :
/ + 31 , m + 23 [, on s’est
v ∈]2n + 32 , 2n + 1 + 13 [, et donc si m = [2v] on a 2v ∈]m
ramené au cas précédent et on a 2a = bq + r avec N (r) < N (b).
A est principal
]
A
On a A ' (T 2ZZ[T
et donc en vertu du théorème d’isomorphisme (2)
'
−T +5)
ZZ[T ]
(2,T 2 −T +5)
'
Z
Z
[T ]
(2)
2
(T −T +5)
.
L’idéal (2) est maximal dans A.
ZZ
Le polynôme X 2 −X +5 étant irréductible dans le corps (2)
, l’anneau quotient
A
est un corps, ce qui prouve que l’idéal (2) est bien maximal dans A.
(2)
Soit I un idéal différent de {0} dans A et a ∈ I \ {0} tel que N (a) soit
minimal. Supposons I 6= (a), soit x ∈ I \ (a), effectuant la division de x par
a on obtient :
i) Si x = aq + r avec N (r) < N (a) ou r = 0, comme r ∈ I, on a r = 0, donc
x ∈ (a), ce qui contredit l’hypothèse de départ.
ii) Sinon on a 2x = aq + r avec N (r) < N (a) ou r = 0, pour les mêmes
raisons on a r = 0 et 2x = aq. Comme (2) est maximal et donc premier, on
a a ou q dans (2). Si q appartient à (2), q = 2q 0 on a x ∈ (a) ce qui contredit
l’hypothèse de départ sur x. On a alors q ∈
/ (2) et a = 2a0 et x = a0 q. Comme
l’idéal (2) est maximal et ne contient pas q, l’ideal (2, q) est égal à A tout
entier. On a une relation de Bezout 2λ + µq = 1, λ, µ ∈ A. On en déduit
a0 = 2λa0 + µqa0 = λa + µx appartient à I, et on a N (a0 ) < N (a) ce qui
contredit la minimalité de N (a) dans I.
22CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
2.2
Anneaux factoriels
Les anneaux factoriels sont les anneaux pour lesquels pour lesquels on a une
théorie convenable de la divisibilité ; c’est à dire dans lesquels tout élément se
factorise de manière unique en produit d’irréductibles. Ceci permet de définir
un ppcm et pgcd, comme dans les anneaux principaux ; mais la relation de
Bezout ne se généralise pas aux anneaux factoriels. Cependant, contrairement
aux anneaux principaux, la propriété d’être factoriel se transfère aux anneaux
de polynômes.
Anneaux factoriels
Définition 2.2.1 Un anneau factoriel est un anneau intègre dans lequel :
i) tout élément non nul et non inversible admet admet une factorisation
unique en irréductibles
ii) une égalité x1 . . . xn = y1 . . . ym implique n = m et l’existence d’une permutation σ de Sm tel que xi soit associé à yσ(i)
Proposition 2.2.1 Dans un anneau factoriel un élément est irréductible si
et seulement s’il est premier.
Démonstration : On a précédemment prouvé que si l’élément α d’un anneau A intègre est premier alors il est irréductible.
Réciproquement, soit un élément a irréductible. Montrons que l’anneau quotient A/(a) est intègre.
Soient b et c dans A tel que le produit b̄c̄ = 0 dans A/(a), on a il existe alors
d dans A tel que bc = ad dans A, soient b = p1 · · · pr , c = pr+1 · · · pr+s , d =
q1 · · · ql les décompositions en facteurs irréductibles des éléments considérés.
On a p1 · · · pr+s = aq1 · · · qr , et l’anneau étant factoriels, vu l’unicité de la
décomposition en facteurs irréductibles il existe i ∈ [1, r + s] ⊂ IN et un
élément unité u ∈ U (A) tel que a = upi ce qui implique que a divise pi , et
donc b ou c. L’idéal (a) est donc premier.
On a dans le même temps montré
Proposition 2.2.2 Lemme de Gauss
Soit dans un anneau factoriel A, un élement a irréductible. Si a divise un
produit de facteur bc alors a divise b ou c.
On peut donner cette caractérisation des anneaux factoriels :
2.2. ANNEAUX FACTORIELS
23
Proposition 2.2.3 Soit A un anneau intègre. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
i) A est un anneau factoriel
ii) A satisfait aux deux conditions suivantes
F1) toute chaine d’idéaux principaux de A est stationnaire.
F2) tout élément irréductible de A est premier.
Démonstration :
Condition nécessaire
On a précedemment montré i) ⇒ F2). Il reste à prouver l’implication i) ⇒
F1.
Tout élément x possédant une décomposition unique en facteurs irréductibles
x = pn1 1 · · · pnr r n’admet qu’un nombre fini de diviseurs, les éléments de la
mr
1
forme pm
avec mi ≤ n1 .Il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux princi1 · · · pr
paux de A contenant (x).
Toute chaine d’idéaux principaux de A est dés lors nécessairement stationnaire.
Condition Suffisante
Soit Φ l’ensemble des idéaux principaux, distincts de A et 0, et qui ne sont
pas produits d’idéaux principaux engendrés par des éléments irréductibles
(i.e. d’idéaux principaux maximaux dans l’ensemble des idéaux principaux
distincts de A).
Dire qu’il existe x non nul et non inversible dans A, non produit d’éléments
irréductibles c’est dire que Φ est non vide.
L’ensemble Φ admet alors un élément maximal (x) (Condition F1).
L’élément x n’est pas irréductible, il est de la forme yz où (y) et (z) contiennent
(x) strictement et sont donc des produits d’idéaux principaux engendrés par
des éléments irréductibles. Ainsi donc tout élément non nul et non inversible
de A est produit d’éléments irréductibles.
L’unicité se démontre par récurrence sur le nombre minimal n de facteurs
dans une décomposition d’un élément non nul et non inversible en produits
d’éléments irréductibles.
Supposant l’unicité vérifiée pour n − 1, soit x1 · · · xn = y1 · · · ym où les
éléments xi et yi sont irréductibles. Utilisant (F2), on voit qu’il existe i ∈
{1, . . . , n} tel que (xi ) ⊂ (yi ) et comme (xi ) est maximal (dans l’ensemble
des idéaux principaux de A), (xi ) = (yi ).
On peut supposer i = 1. Divisant par x1 , on se ramène ainsi au cas n − 1.
Or dans le cas n = 1, cela revient à montrer que si x est irréductible, et qu’il
24CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
se en un produit x = y1 · · · ym déléments yi , i = 1, . . . , m irréductibles de A,
alors m = 1
Corollaire 2.2.1 Un anneau principal est factoriel.
Démonstration : Soit A un anneau principal et une suite croissante
d’idéaux principaux de A : (x1 ) ⊂ (x2 ) ⊂ · · · ⊂ (xn ) ⊂ · · ·, l’ensemble
I = ∪(In ) est encore un idéal de A, donc de la forme I = (x). Il existe n ∈ IN
tel que x ∈ (xn ), et donc (x) = (xn ) = (xn+1 ) = (xn+2 ) = · · · la suite est
stationnaire.
Par ailleurs on a montré que tout élément irréductible est premier dans A.
Anneaux noethériens
On peut par considération des conditions de chaines d’idéaux introduire une
autre généralisation de la catégorie des anneaux principaux, constituant un
bon cadre pour les constructions de la géométrie algébrique.
Définition 2.2.2 Nous dirons qu’un anneau A est noethérien si toute suite
croissante d’idéaux d’idéaux de A est stationnaire.
Il découle du théorème vu ci dessus que tout anneau principal est noethérien,
mais cela deviendra encore plus évident sous l’énoncé qui suit, sur la démonstration
du quel nous reviendrons plus loin. :
Théorème 2.2.1 Un anneau A est noethérien si et seulement si tout idéal
de A est de type fini.
Décompositions en éléments irréductibles
Un ensemble P d’éléments irréductibles d’un anneau A est appelé un ensemble de représentants de classes d’éléments irréductibles associés de A si
tout élément irréductible de A est associé à un unique élément de P .
Proposition 2.2.4 Soit A un anneau intègre, P un ensemble d’éléments
irréductibles de A. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) L’anneau A est factoriel et P est un ensemble de représentants de classes
d’éléments irréductibles associés de A
ii) Tout élément non nul x de A s’écrit
Q de manière unique sous la forme :
x = εx p∈P pnp (x)
où εx est inversible et np (x) est nul sauf pour un nombre fini de p ∈ P .
2.2. ANNEAUX FACTORIELS
25
Proposition 2.2.5 Soient A un anneau factoriel, P un ensemble de représentant
des classes d’éléments irréductibles associés de A.
i) Pour tout couple (x, y) d’éléments non nuls de A et tout p ∈ P , np (xy) =
np (x) + np (y).
ii) Pour tout couple (x, y) d’éléments non nuls de A, on a les équivalences
a) y divise x
b) pour tout p ∈ P, np (y) ≤ np (x).
iii) Deux éléments non nuls x et y de A admettent un plus grand commun
diviseur (pgcd) et un plus petit multiple
que l’on prendra par la suite
Q commun
inf (np (x),np (y))
sous la forme :
-pgcd(x, y) = p∈P p
,
Q
max(np (x),np (y))
-ppcm(x, y) = p∈P p
.
2.2.1
Conditions suffisantes pour qu’un anneau factoriel soit principal
Proposition 2.2.6 Soit A un anneau factoriel, P un ensemble de représentant
des classes d’éléments irréductibles associés de A. On définit sur A une apλ de A dans IN défini par : λ(0) = 0, et ∀x ∈ A \ {0} λ(x) =
plication
P
n
(x).
p∈P p
Alors A est principal si et seulement si λ vérifie la condition suivante : si a
et b ne sont pas comparable par la relation | alors on peut trouver u et v dans
A tels que ua + vb 6= 0 et λ(ua + vb) < min(λ(a), λ(b))
Démonstration :
condition suffisante
Soit d le pgcd de a et b dans A, anneau principal, si pgcd(a, b) ∈
/ {a, b}, il
découle de la proposition précédente que λ(d) < min(λ(a), λ(b)), or il existe
u et v dans A tels que d s’écrive d = ua + vb. D’où la conclusion.
condition nécessaire
Soit I 6= (O) un idéal de A, et soit a un élément de I tel que λ(a) soit minimal
dans I, soit b quelconque de I, soit b est un multiple de a, soit b n’est pas
comparable avec a et alors d’après les propriétés de λ, il existe un élément
d = ua + vb ∈ I ; tels que λ(d) < λ(a), ce qui contredit la définition de a.
Proposition 2.2.7 Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un anneau factoriel soit principal est que tous les idéaux premiers de A soient
maximaux.
26CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Démonstration :
Soit A un anneau factoriel tel que tous les idéaux premiers de A soient
maximaux. Soit M 6= (0) un idéal premier et x ∈ M \ {0}, et x = p1 · · · pn
une décomposition de x en facteurs irréductibles, il existe i ∈ [1, n] tel que
pi appartienne à I, par ailleurs l’idéal (pi ) étant premier est par hypothèse
maximal, et donc coı̈ncide avec M . Si A n’est pas principal, l’ensemble F des
idéaux non principaux de A est non vide et inductif et donc d’après le lemme
de Zorn possède un élément maximal I, cet idéal I n’est pas maximal dans
A, il existe donc un idéal maximal (p) tel que I 6⊆ (p).
Soit p−1 l’inverse de p dans le corps des fractions de A, p−1 I est un idéal propre
de A qui contient I. Comme I 6= (0) on ne peut avoir l’égalité I = p−1 I, donc
p−1 I contenant strictement I n’appartient pas à F, par suite il est principal,
ce qui entrainne I principal et contredit le choix de I.
2.2.2
√
Un anneau non factoriel : ZZ[i 5]
√
√
On considère dans IC , la partie A = ZZ[i 5] = {a + bi 5 | a, b ∈ ZZ}.
On montre que A est un sous-anneau de IC , et que U(A) = {−1, 1}. On
2
remarque
√ que 9√peut se décomposer en les produits de facteurs : 9 = 3 =
(2 + i 5)(2 − i 5). On va montrer que ce sont là, deux décompositions en
facteurs irréductibles distinctes
de 9.
√
Posons x = 3, y = 2 + i 5, Les√éléments x et
entre eux et
√ y sont premiers
√
2
non inversibles. Posons N (a + bi 5) = (a + bi 5)(a − bi 5) = a + 5b2 ∈ IN .
On a alors pour tous α, β ∈ A N (αβ) = N (α)N (β). Si on suppose x ou
y réductibles, y = αβ on a alors N (α)N (β) = 9 = N (x) = N (y) ce qui ne
laisse que trois possibilités dans IN : (N (α), N (β)) = (3, 3), ou (1.9) ou (9, 1).
Le premier cas est impossible 3 ne peut pas s’écrire dans ZZ, sous la forme
a2 + 5b2 , a, b ∈ ZZ, dans les deux derniers cas on a α = ±1 ou β = ±1, qui
sont unitaires dans A. On a ainsi démontré que x et y sont irréductibles dans
A.
On a ainsi, également montré que A n’est pas un anneau factoriel, l’élément
9 possède deux factorisations distinctes en facteurs irréductibles.
Montrons que les éléments x et y n’ont pas de ppcm
√ dans A,√i.e. que l’idéal
(x) ∩ (y) n’est pas principal. En fait 9 = 32 = (2 + i 5)(2 − i 5)√appartient
à √
(x) ∩ (y), l’ensemble des diviseurs de 9 étant {±1, ±3, 2 ± (i 5), −2 ±
(i 5), ±9}. Si√(x) ∩ (y) était principal on aurait forcément (x) ∩ (y) = (9).
Or xy = 6 + 3i 5 n’appartient pas à (9)
2.3. ANNEAU DE POLYNÔMES
27
En fait on peut√
montrer les √
égalités suivantes entre
idéaux √
de A :
√
2
(2 + i 5) = (2 + i 5, 3) √
,
(2 − i√ 5) = (2 − i 5, 3)2 ,
(3) = (2 + i 5, 3)(2 −
√i 5, 3), √
si bien que la√factorisation√9 = 32 = (2 + i 5)(2 − i 5) n’est autre que le
produit (2 + i 5, 3)2 (2 − i 5, 3)2 avec un regroupement différent de facteurs
premiers.
2.3
Anneau de polynômes
Soit A un anneau, et P ∈ A[X] est dit irréductible dans A[X] si les seuls
diviseurs de P sont les unités de l’anneau, et les éléments associés uP où
u ∈ U (A).
Exemples : Dans ZZ[X] le polynôme P = 2X + 2 n’est pas irréductible,
car 2 ∈
/ ZZ, alors que considéré dans IQ[X], P est irréductible car de degré 1
sur un corps IQ.
Réduction modulo p
Soient, A étant un anneau factoriel, P dans A[X],, p un élément de A et
A/pA, l’anneau quotient de A modulo pA. On note ā, la classe d’un élément
a de A. Soit ψ : A[X] → (A/pA)[X], défini par ψ(P ) = a¯0 X n + · · · + a¯n
lorsque P = a0 X n + · · · + an , c’est la réduction modulo p du polynôme P .
On vérifie de façon évidente que l’application ψ est un homomorphisme d’anneau.
En particulier si ψ(P ) est irréductible dans (A/pA)[X], alors P est irréductible
dans A[X].
Exemples : X 3 + X + 15 est irréductible dans IQ[X], car irréductible dans
(ZZ/2ZZ)[X]
2.3.1
Polynômes primitifs
Définition 2.3.1 Soit A un anneau factoriel et P = a0 X n + · · · + an ∈
ZZ[X], on appelle contenu de P et on note c(P ) le pgcd des coefficients de P ,
c(P ) = pgcd(a0 , . . . , an ).
On dit que P est primitif dans A[X] si c(P ) = 1.
Théorème 2.3.1 Tout polynôme P de A[X] se décompose en un produit
P = c(P )P 0 où P 0 désigne un polynôme primitif
28CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Démonstration : Soit d = pgcd(a0 , . . . , an ), donc P = d(b0 X n + . . . , bn )
où pgcd(b0 , . . . , bn ) = 1 d’où P = c(P )P 0 avec P 0 primitif.
Lemme 2.3.1 i) Le produit de deux polynômes primitifs est un polynôme
primitif.
ii) Pour tous polynômes P, Q ∈ A[X]; c(P Q) = c(P )c(Q).
Démonstration : Soit P, Q ∈ A[X], on a P Q = c(P )c(Q)P 0 Q0 , on peut
dès lors se contenter de montrer que le produit de deux polynômes primitifs
est primitif.
Raisonnons par l’absurde, supposons que l’entier p soit un diviseur premier
commun des coefficients de P Q. On considère l’application ψ : A[X] →
(A/(p))[X], on aurait alors ψ(P Q) = 0, or par hypotèse ψ(P ) 6= 0 ψ(Q) 6= 0,
et ψ est un homorphisme d’anneau.
Un polynôme primitif de degré inférieur ou égal à 3, est irréductible si et
seulement s’il ne possède pas de racines dans l’anneau A.
Théorème 2.3.2 Soit K le corps de fraction de l’anneau factoriel A, et soit
P un polynôme primitif de A[X], alors P est irréductible dans K[X] si et
seulement si P est irréductible dans A[X].
Démonstration : Soit P ∈ A[X] irréductible dans A[X] on a donc c(P ) ∈
U(A), et soit une décomposition P = QR dans K[X], il existe c, d ∈ ZZ tels
que cP = dQ0 R0 dans A[X] avec Q0 , R0 primitifs et donc Q0 R0 donc c divise
d et P = kQ0 R0 donc contredit P irréductible dans A[X].
Réciproquement, soit P primitif dans A[X] et tel que P soit irréductible dans
K[X], toute décomposition P = Q0 R0 en facteurs nécessairement primitifs
dans A[X] est une décomposition dans K[X]. Donc P est irréductible dans
A[X].
Théorème 2.3.3 Théorème de Gauss
Soit A un anneau factoriel, alors l’anneau A[X] est factoriel.
Démonstration : Soit un polynôme P quelconque de A[X], on a P =
c(P )P 0 , où c(P ) appartient à A et P 0 est primitif dans A[X].
Soit c(P ) = p1 . . . pk la décomposition de c(P ) en facteurs premiers dans A
et P 0 = P1 . . . Ph la décomposition de P 0 en facteurs premiers dans l’anneau
principal K[X], K corps de fraction de l’anneau A.
La décomposition P = p1 . . . pk P1 . . . Ph est une décomposition de P en facteurs irréductibles de A[X] unique à l’ordre près des facteurs.
2.4. POLYNÔMES SYMÉTRIQUES.
29
Théorème 2.3.4 Critère d’Eisenstein :
Soit A un anneau factoriel, K son corps de fraction, P = a0 X n + a1 X n−1 +
· · · + an inA[X].
Soit p un élément irréductible de A qui ne divise pas a0 , mais divise a1 , a2 , . . . , an ,
alors que p2 ne divise pas an .
Alors P est irréductible dans K[X].
Démonstration :
Soit Q = bm X m + · · · + b0 , m > 1 et R = cl X l + · · · + c0 , l > 1 tel que P se
décompose en produit de polynômes non inversibles P = QR.
On a a0 = b0 c0 divisible par p mais non par p2 . On a dès lors b0 ou c0 non
divisible par p, on convient que p ne divise pas c0 , et donc divise b0 .
Comme an = bm cl est non divisible par p, il existe un plus petit indice
r ∈ [1, m] tel que p ne divise pas br mais divise b0 , . . . , br−2 , br−1 .
On a ψ(P ) = ān X n , ψ(Q) = b̄m X m + · · · + b̄r X r , ψ(R) = c̄l X l + · · · + c0 .
L’application ψ étant un homomorphisme d’anneau, on a égalité ψ(P ) =
ψ(Q)ψ((R), ce qui se traduit par :
ān X n = b̄m c̄l X n + · · · + b̄r c̄0 X r , 1 ≤ r ≤ m ≤ n − 1, ou encore par dans
A/pA, par 0 = b̄r c̄0 . On aboutit à une contradiction, ni b̄r , ni c̄0 ne sont nuls
or l’anneau, A/pA est intégre.
Exemples :
Tous polynômes de IQ[X] de la forme X n − p où p désigne un entier premier
est irréductible.
Le polynôme X 4 +4 ne vérifie pas les conditions d’Eisenstein, on peut montrer
qu’il n’est pas irréductible X 4 + 4 = (X 2 + 2)2 − 4X 2 = (X 2 + 2X + 2)(X 2 −
2X + 2)
Le critère d’Eisenstein peut ne pas s’appliquer directement au polynôme P
mais s’appliquer à un polynôme P (X + a) pour un choix convenable de a.
On peut alors conclure en remarquant que les polynôme P et P (X + a) sont
irréductibles en même temps l’un que l’autre.
Par exemple posons P = X 2 + 1, alors P (X + 1) = X 2 + 2X + 2.
Posons P = X 2 − 3X + 4, alors P (X − 2) = X 2 − 7X + 14
2.4
Polynômes symétriques.
Soit A un anneau et A[X1 , . . . , Xn ] l’anneau des polynômes à n indéterminées,
Sn le groupe symétrique d’ordre n, on a une action de Sn × A[X1 , . . . , Xn ]
dans A[X1 , . . . , Xn ] défini par :
30CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
(σ, P ) ∈ Sn × A[X1 , . . . , Xn ] 7→ (σP )(X1 , . . . , Xn ) = P (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ).
On dit que P est symétrique si :
∀σ ∈ Sn
σP = P .
Exemples :
Q
n(n−1) Q
1) (Xi − Xj ) = (−1) 2
(Xi − Xj )2 est un polynôme symétrique.
i<j
i6=j
2) Pour tout k ∈ IN
Sk = X1k + X2k + · · · Xnk est un polynôme symétrique.
3) Les n polynômes suivants sont symétriques :
n
P
Xi ,
Σ1 =
i=1
P
Σ2 =
Xi Xj ,
..
.
Σk =
i<j
P
1≤i1 <i2 <··<ik ≤n
Xi1 · · · Xik ,
..
.
Σn = X1 · · · Xn ,
on les appelle polynômes symétriques élémentaires.
Soit P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] un polynôme symétrique, P a le même degré partiel
par rapport à chacune des indéterminées X1 , . . . , Xn . Ce degré partiel commun est appelé le degré partiel de P .
Un polynôme P (Σ1 , . . . , Σn ) devient symétrique dans A[X1 , . . . , Xn ] lorsqu’on remplace les Σ par leurs expressions en fonction des X.
Le terme aΣµ1 1 · · · Σµnn devient un polynôme homogène de degré µ1 + 2µ2 +
· · · + nµn .
Cette somme µ1 + 2µ2 + · · · + nµn est appelé poids du monôme aΣµ1 1 · · · Σµnn .
On appelle poids d’un polynôme P (Σ1 , . . . , Σn ), le maximum des poids des
monômes non nuls dont il est la somme.
Un polynôme P (Σ1 , . . . , Σn ) de poids k se transforme en un polynôme symétrique
dans les indéterminées X et de degré ≤ k.
Exemples :
Le poids de Σk est nk − k(k−1)
2
Théorème 2.4.1 Théorème fondamental des fonctions symétriques
Soit P un polynôme symétrique de degré k dans A[X1 , . . . , Xn ], il existe un
unique polynôme Q ∈ A[X1 , . . . , Xn ], ce polynôme Q est de poids k et de
degré égal au degré partiel de P .
2.4. POLYNÔMES SYMÉTRIQUES.
31
Démonstration :
Existence
Considérons le cas P = 0, alors Q = 0 est l’unique solution.
Dans le cas général on ordonne P suivant un ordre lexicographique, le terme
aX1α1 · · · Xnαn précédant le terme βX1β1 · · · Xnβn dans l’écriture de P si la
première différence non nulle αi − βi est positive.
On sait qu’avec le terme aX1α1 · · · Xnαn apparaissent, dans l’expresion de P , la
somme de tous les autres termes déduits du précédent par une
P permutation
sur les indices, on écrit cette somme plustôt sous la forme a X1α1 · · · Xnαn ,
dans laquelle on fait apparaitre uniquement le premier terme dans l’ordre
lexicographique.
Sur ce premier terme, on a nécessairement les inégalités α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn .
Formons le produit des polynôme symétrique élémentaire
αn−1 −αn αn
Q = aΣα1 1 −α2 Σα2 2 −α3 · · · Σn−1
Σn .
Le terme de plus haut de ce polynôme écrit dans l’ordre lexicographique est
aX1α1 −α2 (X1 X2 )α2 −α3 · · · (X1 X2 ··Xn−1 )αn−1 −αn (X1 X2 ··Xn )αn = aX1α1 · · · Xnαn .
Q est un polynôme symétrique de poids α1 − α2 + 2α2 − 2α3 + 3α3 − · · · −
(n − 1)αn + nαn = α1 + α2 + · · · + αn ≤ k. Donc de degré plus petit que k en
tant que polynôme en X1 , . . . , Xn . Finalement le degré de P − Q est inférieur
ou égalP
à k. Au bout d’un nombre fini d’itération de ce processus on aboutit
à P =
Q(Σ1 , . . . , Σn ).
Unicité
Montrons que si Q ∈ A[X1 , . . . , Xn ] vérifie Q(Σ1 , . . . , Σn ) = 0 alors Q = 0,
on procède par récurrence sur le nombre d’indéterminées n.
Pour n = 1, c’est évident Σ1 = X1 .
Supposons la propriété vraie pour n − 1.
Soit Q ∈ A[XP
1 , . . . , Xn ] avec Q(Σ1 , . . . , Σn ) = 0.
Notons Q =
Qk Xnk où Qk ∈ A[X1 , . . . , Xn−1 ]. Supposons Q 6= 0.
Il existe alors Qi 6= 0. Soit p = min{i ∈ IN | Qi 6= 0}, il vient :
P
0 = Q(Σ1 , . . . , Σn ) = Σpn
Qk (Σ1 , . . . , Σn−1 )Σk−p
n .
Donc :
P
k≥n
k≥n
= 0,
Qk (Σ1 , . . . , Σn−1 )Σk−p
n
d’où en faisant Xn = 0 :
Qp (Σ̃1 , . . . , Σ̃n−1 ) = 0,
où Σ̃j = Σj (X1 , . . . , Xn−1 , 0) est le j-ème polynôme symétrique élémentaire
de A[X1 , . . . , Xn−1 ].
D’aprés l’hypothèse de récurrence Qp (X1 , . . . , Xn−1 ) = 0, et on aboutit à une
32CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
contradiction sur la définition de p.
Corollaire 2.4.1 Soit P = X n + · · · + an , a0 6= 0, un polynôme de degré n
dans A[X], de n racines x1 , . . . , xn dans A, chacune comptée autant de fois
que sa multiplicité, et soit T ∈ A[X1 , . . . , Xn ] un polynôme symétrique.
Alors il existe Q ∈ A[X1 , . . . , Xn ] tel que T (x1 , . . . , xn ) = Q(a1 , . . . , an ).
Démonstration : Dans A[X] on a :
P = (X − x1 ) · · · (X − xn )
= X n − (x1 + x2 + · · · + xn )X n−1 + (x1 x2 + · · · + xn−1 xn )X n−2 +
· · · + (−1)n x1 x2 · · · xn
= X n − Σ1 (x1 , x2 , . . . , xn )X n−1 + Σ2 (x1 , x2 , . . . , xn )X n−2 +
+ · · · + (−1)n Σn (x1 , x2 , . . . , xn ).
D’où,
Σ1 (x1 , x2 , . . . , xn ) = −a1 ,
Σ2 (x1 , x2 , . . . , xn ) = a2 ,
Σi (x1 , x2 , . . . , xn ) = (−1)i ai ,
i = 3, . . . , n.
Et soit Q̃ ∈ A[X1 , . . . , Xn ], tel que T = Q̃(Σ1 , . . . , Σn ), posons
Q = Q̃(−X1 , X2 , .., (−1)i Xi , .., (−1)n Xn ).
On a T (x1 , . . . , xn ) = Q(a1 , . . . , an ).
2.5
Résultants de polynômes
Lemme 2.5.1 Soit k un corps et A et B deux polynômes sur k de degrés
respectifs l > 0 et m > 0 respectivement. Alors A et B ont un facteurs
irréductible en commun dans k[X] si et seulement si il existe deux polyômes
P, Q ∈ k[X] non tous deux nuls, tels que :
i) AP + BQ = 0.
ii) P est de degré au plus égal à m − 1, Q de degré égal à l − 1.
Démonstration : Supposons que A et B aient un facteur C irréductible
en commun. Alors on a deg(C) ≥ 1, et il existe A1 , deg(A1 ) ≤ m −
1 B1 deg(B1 ) ≤ l − 1 dans k[X] tels que A = CA1 et B = CB1 . On a
alors :
B1 A + (−A1 )B = 0.
2.5. RÉSULTANTS DE POLYNÔMES
33
Posant P = B1 , Q = −A1 , on vérifie i) et ii) Réciproquement soit P et Q
vérifiant les conditions du lemme, supposons A et B sans facteur irréductible
commun. Alors ils sont premiers entre eux, et d’après Bezout il existe U
et V dans k[X] tels que U A + V B = 1, on a alors en supposant B 6= 0,
P = (U A + V B)P = U AP + V BP = (V P − U Q)B d’où P est de degré plus
grand ou égal à m, ce qui contredit ii). Ainsi sous les conditions du lemme
A et B ne sont pas premiers entre eux, ils ont des facteurs irréductibles en
commun.
Posons alors :
A = a0 X l + · · · + al
a0 6= 0,
m
B = b0 X + · · · + bm
b0 6= 0,
m−1
P = c0 X
+ · · · + cm−1 ,
Q = d0 X l−1 + · · · + dl−1 .
On a AP + BQ = (a0 c0 + b0 d0 )X l+m−1 + (a1 c0 + a0 c1 + b1 d0 + b0 d1 )X l+m−2 +
(a2 c0 + a1 c1 + +a0 c2 + b2 d0 + b1 d1 + b0 d2 )X l+m−3 + (ai c0 + ai−1 c1 + · · · + a0 ci +
bi d0 + · · · + b0 di )X l+m−i + · · · al cm−1 + bm dl−1 .
On se ramène à un système linéaire de m + l équations à m + l inconnues
c0 , . . . , cm−1 , d0 , . . . , dl−1 :
a0 c0
a1 c0 +a0 c1
a2 c0 +a1 c1 +a0 c2
..
..
..
.
.
.
+b0 d0
+b1 d0 +b0 d1
+b2 d0 +b1 d1 +b0 d2
..
..
..
.
.
.
al cm−1
= 0
= 0
= 0
..
.
+bm dl−1
= 0
Pour que ce système ait des solutions non identiquement nulles il faut et il
suffit que son déterminant soit nul.
Définition 2.5.1 On appelle résultant des polynômes A et B de k[X] où
A = a0 X l + · · · + al
B = b0 X m + · · · + bm
a0 6= 0
b0 6= 0
34CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
et on note Res(A, B, X) le déterminant du système linéaire
¯
¯ a0 0 · · · 0 b0 0 · · ·
¯
¯
.
..
..
.
. .. b1 b0
¯ a1 a0
¯
...
¯ a a ... 0 b
b1
¯ 2
1
2
¯ .
.
.
.. . .
.
..
. . a0 ..
¯ ..
.
.
¯
¯ ..
.
.
.
..
..
Res(A, B, X) = ¯ .
a1 ..
¯
.
..
.
¯
. bm ..
¯ al ..
¯
¯ 0 a . . . ... 0 b
l
m
¯
¯ .. . . . .
..
.. . . . .
¯ .
.
. .
.
.
.
¯
¯ 0 · · · 0 al 0 · · · 0
précédent :
¯
0 ¯¯
.. ¯
. ¯
¯
0 ¯¯
¯
b0 ¯¯
¯
b1 ¯¯ ,
.. ¯
. ¯
.. ¯¯
. ¯
.. ¯¯
. ¯
bm ¯
où les cœfficients ai du polynôme A occupent les m = deg(B) premières colonnes
et les cœfficients bj du polynôme B les l = deg(A) dernières colonnes.
De par la définition ci-dessus, connaissant les propriétés du déterminant on
établit immédiatement la propriété suivante des résultants :
Res(A, B, X) = (−1)lm Res(B, A, X).
Remarques :
Notons pour tout entier j dans IN, kj [X] le k-espace vectoriel des polynômes
de degré inférieur ou égal à j,il est de dimension j + 1.
On peut également voir le Res(A, B, X) comme le déterminant de la matrice
de l’application linéaire Φ : km−1 [X] × kl−1 [X] → kl+m−1 [X] tel que :
Φ(P, Q) = AP + BQ,
l’espace vectoriel de départ km−1 [X] × kl−1 [X] étant rapporté à la base :
((X m−1 , 0), (X m−2 , 0), . . . , (1, 0), (0, X l−1 ), . . . , (0, 1)),
et l’espace d’arrivée à la base :
(X l+m−1 , X l+m−2 , . . . , 1).
Posons C = pgcd(A, B), A1 = CA , B1 = B
, on sait que,
C
si deg(C) ≥ 1 ker(Φ) est égal à :
{ (P B1 , −P A1 ) ∈ km−1 [X] × kl−1 [X] | P ∈ k[X], ∃n ∈ IN, deg(P ) ≤ n }.
et alors ker(Φ) est différent de {0} ;
mais que si deg(C) = 0, alors :
ker(Φ) = {0}.
Proposition 2.5.1 A et B étant donnés dans k[X], le résultant Res(A, B, X)
est un polynôme à coefficients dans l’anneau Z[a0 , . . . , am , b0 , . . . , bl ]. En outre
2.5. RÉSULTANTS DE POLYNÔMES
35
A et B ont des facteurs irréductibles communs si et seulement si Res(A, B, X) =
0.
Exemples :
Considérons dans IQ[X] les polynômes A = a0 X + a1 et B = b0 X + b1 ,
a0 6= 0, b0 6= 0.
¯
¯
¯ a0 b0 ¯
¯ = a0 b1 − a1 b0 .
¯
Res(A, B, X) = ¯
a1 b1 ¯
Exemples :
Toujours dans IQ[X], les polynômes A = 2X 2 + 3X + 1 et B = 7X 2 + X + 3.
Pour savoir s’ils ont des facteurs communs dans IQ[X] on calcule
¯
¯
¯ 2 0 7 0 ¯
¯
¯
¯ 3 2 1 7 ¯
¯
¯ = 153 6= 0.
Res(A, B, X) = ¯
¯
1
3
3
1
¯
¯
¯ 0 1 0 3 ¯
Les deux polynômes sont sans facteurs communs dans IQ[X].
Exemples :
Calculons le résultant des polynômes XY − 1 et g = X 2 + Y 2 − 4, en
considérant A et B comme des polynômes de IQ(Y )[X] on a alors , pour
Y 6= 0 :
¯
¯
¯ Y
¯
0
1
¯
¯
¯ = Y 4 − 4Y 2 + 1.
0
Res(A, B, X) = ¯¯ −1 Y
¯
¯ 0 −1 Y 2 − 4 ¯
Le polynôme Res(A, B, X) ne possède pas de racine dans IQ, on en déduit en
particulier que les courbes d’équations A(x, y) = 0 et B(x, y) = 0 considérés
dans le plan affine IQ2 n’ont pas de points communs, elles ne se coupent pas.
Soit maintenant p
ȳ 6= 0 une racine
quelconque
de Res(A, B, X),
p réelle
√
√ p
√ p
√
ȳ ∈ {− 2 + 3, − 2 − 3, 2 − 3, 2 + 3} ⊂ IR,
alors A(X, ȳ) et B(X, ȳ) ont des facteurs irréductibles communs dans IR[X],
et nécessairement donc, vu que A est de degré 1, une racine communes
x̄ = ȳ −1 . Les courbes déquation A(x, y) = 0 et B(x, y) = 0 se coupent
en 4 points dans le plan affine IR2 .
36CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
On peut aussi dire que le système de deux équations polynomiales d’inconnues x, y :
½
xy − 1 = 0
,
x2 + y 2 − 4 = 0
ne possède pas de solutions rationelles, mais posséde 4 solutions réelles.
Plus généralement A et B étant quelconques dans k[X, Y ] on peut calculer
Res(A, B, X), c’est d’après la proposition précédente un polynôme de k[Y ].
Peut-on s’en servir pour éliminer X c’est à dire : A -t-on Res(A, B, X) dans
l’idéal (A, B) ∩ k[y] ?
Proposition 2.5.2 Soient A et B dans k[X] \ k, il existe des polynômes P
et Q dans k[x] tels que
AP + BQ = Res(A, B, X).
En outre les coefficients de P et Q sont des expressions entières des coefficients de f et g, , c’est à dire que Res(A, B, X) appartient en fait à l’anneau
des polynômes ZZ[a0 , . . . , al , b0 , . . . , bm ].
Démonstration : La proposition étant trivialement vraie lorsque Res(A, B, X) =
0, il suffit alors de prendre A = B = 0.
On suppose Res(A, B, X) 6= 0. Cherchons cette fois à résoudre l’équation
P̃ A + Q̃B = 1, on pose, comme précédemment
A = a0 xl + · · · + al
a0 6= 0
m
B = b0 x + · · · + bm
b0 6= 0
m−1
P̃ = c0 x
+ · · · + cm−1
l−1
Q̃ = d0 x + · · · + dl−1 ,
et on se ramène à un système linéaire de m + l équations à m + l inconnues
c0 , . . . , cm−1 , d0 , . . . , dl−1 :
a0 c0
a1 c0 +a0 c1
a2 c0 +a1 c1 +a0 c2
..
..
..
.
.
.
+b0 d0
+b1 d0 +b0 d1
+b2 d0 +b1 d1 +b0 d2
..
..
..
.
.
.
al cm−1
= 0
= 0
= 0
..
.
+bm dl−1
= 1
2.5. RÉSULTANTS DE POLYNÔMES
37
C’est un système de Cramer, de déterminant Res(A, B, X) 6= 0. On sait le
résoudre par application des rêgles de Cramer ; on a par exemple
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
¯
c0 =
¯
Res(A, B, X) ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0
0 a0
..
b0
b1
b0
.
.
0 a1
b2 b1 . .
..
.
...
...
.
a0 ..
b0
0
bm
..
..
0 al
.
bm
.
...
...
0
1
al
bm
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
On trouve P̃ = Res(A,B,X)
P, Q̃ = Res(A,B,X)
Q,
où P et Q sont des polynômes de ZZ[a0 , .., al , b0 , .., bm ][x], les indéterminées
ai , bj désignant les coefficients respectifs de A et B.
D’où en multipliant par Res(A, B, X) on trouve bien :
∃P, ∃Q ∈ k[x] AP + BQ = Res(A, B, X).
Plus généralement on a montré que tout polynôme U dans kl+m−1 [X], il existe
un couple (P, Q) unique dans km−1 [X] × kl−1 [X] tels que :
AP + BQ = U
On a également montré que U appartient à l’idéal ZZ[a0 , .., al , b0 , .., bm ][X] si
et seulement U est un multiple de Res(A, B, X), c’est à dire si chacun de ses
coefficients est divisible par Res(A, B, X) dans ZZ[a0 , .., al , b0 , .., bm ].
Nous sommes dès lors en mesure d’écrire cette identité portant sur les idéaux
de k[X, Y ], anneau des polynômes à deux indéterminées X et Y , à cœfficients
dans k :
(A, B) ∩ k[Y ] = (Res(A, B, X)) ,
A et B designant deux polynômes de k[X, Y ],
et (A, B) = {P A + QB | P, Q ∈ k[X, Y ]}, l’idéal engendré.
Proposition 2.5.3 Soient A et B deux polynômes se décomposant sur k[X]
en facteurs linéaires :
A = a0 (X − α1 ) · · · (X − αl )
B = b0 (X − β1 ) · · · (X − βm ).
38CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Alors on a :
Res(A, B, X) = am
0
l
Y
B(αi ) = (−1)lm bl0
i=1
m
Y
l
A(βj ) = am
0 b0
j=1
Y
(αi − βj )
i,j
Démonstration :
Pour établir la proposition il suffit de démontrer
la première égalité :
Ql
Res(A, B, X) = am
B(α
i ).
0
i=1
On va supposer tous les B(αi ) deux à deux distincts, et introduire une nouvelle indéterminée Y , et sur l’anneau k(Y )[X] considérer les polynômes A(X)
et B(X) − Y .
Pour calculer Res(A(X), B(X) − Y, X), il suffit de remplacer le coefficient
bm de Res(A, B, X) par bm − Y . On en déduit que Res(A, B − Y, X) s’écrit
comme un polyôme de degré m de k[Y ] de la forme :
Res((A, B − Y, X)) = (−1)m al0 Y m + · · · + Res(A, B, X).
Les polynômes A et B − B(αi ) sont tous deux divisibles par (X − αi ), et
donc Res(A, B − B(αi ), X) = 0 et on a donc Res(A, B − Y, X) divisible par
(Y − B(αi )).
Comme on a supposé les B(αi ) deux à deuxQ
distincts on peut écrire :
m l
Res(A, B − Y, X) = (−1) a0 li=1 (Y − B(αi ))
ce Q
qui en donnant à Y la valeur 0 permet bien d’écrire Res(A, B, X) =
al0 li=1 B(αi )
Remarques : A tout corps k, on peut associer, sa clôture algébrique, c’est
à dire un corps K, unique à un isomorphisme près, tel que tout polynôme
P de k[X] se décomposent en produits de facteurs du premier degrés, c’est
à dire que tout polynôme de degré m ∈ IN possède m racines chacune étant
comptée avec sa multiplicité.
La proposition précédente s’applique alors à A et B quelconques dans k[X],
mais considérés comme polynômes de K[X).
2.6
Discriminant de polynômes
Définition 2.6.1 Discriminant d’un polynôme de k[A]
On appelle discriminant d’un polynôme A = a0 X n +a1 X n−1 +. . .+an , a0 6= 0
de degré n dans k[X] l’expression
Y
D(A) = a2n−2
(xi − xj )2 ,
0
1≤i<j≤n
2.6. DISCRIMINANT DE POLYNÔMES
39
où les xi , i = 1, . . . n désignent les racines de A dans la clôture algébrique K
de k
Il est assez immédiat que d’une part D(A) = 0 si et seulement si A possède
des racines multiples dans K, clôture algébrique de k ; ou encore si dans k[X],
A est divisible par des polynômes irréductibles élevés au carré.
D’autre part D(A) est invariant par toute permutation σ ∈ Sn des racines
{x1 , . . . , xn } de A ; on peut en conclure que D(A) appartient au corps k. Par
ailleurs on a
Y
D(A) = a2n−2
0
(xi − xj )2 = (−1)
n(n−1)
2
Y
a2n−2
0
1≤i<j≤n
(xi − xj ).
1≤i6=j≤n
Dans K[X], on peut encore écrire A = a0
suivante pour le polynôme dérivé :
n
P
A0 (x) = a0
i=1
Q
et, A0 (xi ) = a0
(xi − xj ).
n
Q
(X − xi ), on en tire l’écriture
i=1
Q
(X − xj ),
1≤j≤n, j6=i
j=1,j≤n, j6=i
On a donc
D(A) = (−1)
n(n−1)
2
an−2
0
n
Y
A0 (xi ) = (−1)
n(n−1)
2
0
a−1
0 Res(A, A , X)
i=1
On a ainsi montré
D(A) = (−1)
n(n−1)
2
0
a−1
0 Res(A, A , X).
Exemples : Soit A = aX 2 + bX + c a 6= 0, alors A0 = 2aX + b, et
¯
¯
¯ a 2a 0 ¯
¯
¯
D(A) = −a−1 ¯¯ b b 2a ¯¯ = (b2 − 4ac).
¯ c 0 b ¯
40CHAPITRE 2. ANNEAUX FACTORIELS-ANNEAUX DE POLYNÔMES
Exemples : Soit
¯
¯ 1 0
¯
¯ 0 1
¯
D(A) = − ¯¯ p 0
¯ q p
¯
¯ 0 q
A = X 3 + pX + q ;
¯
¯
¯ 1
3 0 0 ¯¯
¯
¯ 0
0 3 0 ¯¯
¯
¯
p 0 3 ¯ = − ¯¯ p
¯ q
0 p 0 ¯¯
¯
¯ 0
0 0 p ¯
= −(4p3 + 27q 2 ).
alors A0 = 3X 2 + p, et
¯
0 0
0 0 ¯¯
¯
¯ −2p 0 3
1 0
0 0 ¯¯
¯
¯
0 −2p 0 3 ¯ = − ¯¯ −3q −2p 0
¯ 0 −3q p
p −3q −2p 0 ¯¯
q
0 −3q p ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Chapitre 3
Extension d’anneaux.
Soit B un anneau, A un sous-anneau de B.
L’anneau A opère sur B de la même façon qu’un corps k sur un k-espace vectoriel, on dit que B est un A-module. On peut également dire en considérant
dans le même temps sur B les deux structures d’anneau et de A-module que
B est une A-algèbre.
Exemples :
Soit sur I, un ensemble quelconque d’indices, une famille (Xi )i∈I d’indéterminées,
et pour chaque famille α = (αi )i∈I ∈ I I d’éléments de I, on considère deux
applications :
α 7→ aα ∈ A et α 7→ να ∈ N I .
On dit que ces applications sont à support fini lorsque sauf pour un nombre
fini d’éléments de la famille on a :
aα = 0 dans A et να = 0 dans IN .
L’ensemble des polynômes A[Xi ]i∈I à cœfficients dans A et d’indéterminés
Xi , i ∈ I P est à support fini si est P
l’ensemble des expressions formelles :
P =
aα X να ,
α∈I I
telles que les familles aα et να soient à support fini.
Cet ensemble muniPdes lois d’addition
+ etP
de multiplication × définies par :
P
aα X να + bα X να = (aα + bα )X να
Pα
Pα
Pα
aα X να × bβ X νβ = (aα bβ )X (να +νβ ) ,
α
α,β
β
possède une structure évidente de A-algèbre.
41
42
3.1
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
Dépendance algébrique et intégrale.
Soit (xi )i∈I une famille d’éléments de B, (Xi )i∈I une famille d’indéterminées,
indexées sur le même ensemble I, L’application homomorphisme d’anneau de
φ de A[Xi ]i∈I dans B, tel que φ(a) = a et φ(Xi ) = xi est un homomorphisme
d’anneau.
Plus précisément, φ est un homomorphisme de A-algèbre.
Définition 3.1.1 On dit que la famille (xi )i∈I est algébriquement indépendante
si l’homomorphisme φ est injectif, sinon elle est dite algébriqement dépendante.
Un élement x de B est dit algébrique si la famille {x} est algébrique, sinon
on dit que x est transcendant.
Dire que x est algébrique c’est dire que l’idéal annulateur de x
I = {P ∈ A[X] | P (x) = 0} = Ker(φ),
est non nul. Tout polynôme de I \ {0} est appelé polynôme annulateur de x.
La surjection canonique de A[X] sur A[x] fournit par passage au quotient,
un isomorphisme de A-algèbre de A[X]/I sur A[x].
Exemples :
√
Sur le corps√IQ les√ réels π et e sont transcendants, alors que 2 racine de
X 2 − 2 ; et 2 + 3 racine de X 4 − 10X 2 + 1 sont algébriques.
Définition 3.1.2 Un élément x de B est dit entier sur A s’ il existe sur A,
un polynôme unitaire P = X n + a1 X n−1 + · · · + an ∈ A[X] tel que P (x) = 0 ;
la relation xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0 est alors appelé équation de
dépendance intégrale de x sur A.
Exemples :
Tout élément a de A est entier sur A, car racine de X − a.
Tout x de√IQ entier
√ sur
√ ZZ appartient à ZZ.
Les réels 2 et 2 + 3 sont entiers sur ZZ. Tout entier sur A est algébrique
sur A.
Remarques :
Si A est un corps les notions d’entiers et d’algébriques sont indépendants :
un élément x est entier si et seulement s’il est algébrique.
Proposition 3.1.1 Soient B un anneau, k un sous-corps de B, x un élément
de B. Les conditions suivantes sont équivalentes :
i) x est entier sur k
ii) x est algébrique sur k.
Si elles sont satisfaites, et si B est intègre, l’anneau k[x] est un corps
3.2. ANNEAUX DES ENTIERS D’UNE EXTENSION.
3.2
43
Anneaux des entiers d’une extension.
Théorème 3.2.1 Soit B un anneau et A un sous-anneau de B, x un élément
de B. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) L’élément x est entier sur A.
ii) L’anneau A[x] est un A-module de type fini (c’est à dire possédant un
système fini de générateurs ).
iii) Il existe un sous-anneau C de B contenant x, et qui est un A-module de
type fini.
Démonstration :
i)=⇒ ii) :
Soit P un polynôme unitaire annulateur de x de degré n, et y quelconque
dans A[x], il existe Q ∈ A[X] tel que y = Q(x), soit R le reste de la division
de Q par P , on a y = R(x), ce qui signifie que le systême (1, x, . . . , xn−1 )
engendre A[x] qui est donc un A-module de type fini.
ii)=⇒ iii) : évidente.
iii)=⇒ i) :
Soit (e1 , . . . , en ) un système fini de générateurs du A-module C et x un élḿent
quelconque de C, pour tout i compris entre 1 et n + 1 on a : xei appartient
encore à C et :
n
P
aij ej aij ∈ A j = 1, . . . , n
xei =
j=1
qui peut encore s’écrire :
n
P
(δij x − aij )ej = 0 ,
j=1
où
½
δij =
1
0
si j = i
si j =
6 i
Soit sur l’anneau C la matrice n × n notée D = (δij x − aij )1≤i,j≤n et dij le
cofacteur du terme d’indice (i, j) de D, d’aprés la théorie des déterminants,
on sait que
½
n
X
det(D)
si j = k
((δij x − aij )dkj =
,
0
si j 6= k
j=1
en effet, c’est le développement du déterminant suivant la ième ligne d’une
matrice n × n construite à partir de D par remplacement de la ième par la
44
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
k ème , donc si k diffère de i, c’est le dèterminant d’une matrice comportant
deux lignes identiques, les lignes ième et k ème , donc de déterminant nul. Pour
k = i, le déterminant est égal à det(D).
Posons M = (dij )1≤i,j≤n la matrice des cofacteurs de D, et M T la matrice
transposée de M , le produit matriciel M T D est dès lors, égal à det(D)I où
I = (δij )1≤i,j≤n ; est matrice unité.
Reécrivons le système de départ sous la forme matricielle :

  
0
e1
 e2   0 

  
D  ..  =  ..  .
 .   . 
0
en
Ce qui entrainne par multiplication à gauche par la matrice M T :
∀i ∈ [1, n] det(D)ei = 0.
Et comme (e1 , . . . , en ) engendre l’anneau C, l’unité 1 peut également s’écrire
comme une A-combinaison linéaire des (e1 , . . . , en ), on a nécessairement det(D) =
det(D)1 = 0.
Or posons P (x) = det(D) = det ((xδij − aij )1≤i,j≤n ) est une fonction polynomiale en x de pour cœfficient dominant, le cœfficient dominant du produit
(x−a11) · · · (x−ann ) ; P est un polynôme unitaire de A[X], on a ainsi trouvé
une relation intégrale sur x dans A.
Théorème 3.2.2 Soit B un anneau, A un sous-anneau de B, et (xi )1≤i≤n
une famille finie d’éléments de B. Si, pour tout i xi est entier sur A[x1 , . . . , xi−1 ]
alors A[x1 , . . . , xn ] est un A-module de type fini.
Démonstration :
Par récurrence sur n. C’est évident pour n=1, d’aprés le théorème prćédent,
on le suppose vrai jusquà k < n, alors d’après l’hypothèse de récurrence
A[x1 , . . . , xk ] est un A-module de type fini de système générateur (e1 , . . . , el ),
et xk+1 est entier sur A[x1 , . . . , xk ], et donc A[x1 , . . . , xk+1 est un A[x1 , . . . , xk ]module de type fini de système gé‘nérateur (f1 , . . . , fm ). On remarque aisément
que le système de lm éléments (ei fj )1≤i≤l,1≤j≤m engendre alors le A-module
A[x1 , . . . , xk+1 .
Corollaire 3.2.1 Soit B une extension d’anneau de A, l’ensemble des éléments
de B qui sont entiers sur A est un sous-anneau de B qui contient A.
3.2. ANNEAUX DES ENTIERS D’UNE EXTENSION.
45
Démonstration : Soit x et y deux éléments de B entiers sur A, alors A[x, y]
est un A-module de type fini d’áprès le théorème précédent, il contient les
sommes x−y et produits xy des éléments x et y. On en conclut que l’ensemble
C des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B qui contient A.
Définition 3.2.1 Soit B une extension d’anneau de A, l’ensemble, C des
éléments de B qui sont entiers sur A s’appelle la fermeture intégrale de A
dans B. On dit que B est entier sur A si on a C = B
Si A est un anneau intègre et K le corps de fractions de A, la fermeture de
A dans K s’appelle la fermeture intégrale de A.
Soit L une extension finie de K, la fermeture intégrale de A dans L s’appelle
l’anneau des entiers de K.
Proposition 3.2.1 Soit C un anneau, B un sous-anneau de C, et A un
sous-anneau de B. Si B est entier sur A, et si C est entier sur B, alors C
est entier sur A.
Démonstration : Soit x dans C, il existe une famille finie bi dans B telle
que :
xn + b1 xn−1 + · · · + bn = 0.
L’anneau A[b1 , . . . , bn ] est un A-module de type fini qui contient x, donc x
es algébrique sur A.
Proposition 3.2.2 Soient B un anneau intègre et A un sous-anneau de B,
tel que B soit entier sur A. Pour que B soit un corps, il faut et il suffit que
A soit un corps
Démonstration : Soit A un corps et B une extension entière de A, tout x
de B{0} est racine d’un polynôme unitaire de A[X] :
∃(a1 , . . . , an ) ∈ An | xn + a1 xn−1 + · · · + an = 0,
quitte à mettre en facteur une puissance convenable de x, et en utilisant
l’intégrité de l’anneau B, on peut toujours supposer an 6= 0 donc inversible
dans A, et alors la relation :
n−1
+ · · · + an−1 a−1
x(a−1
n ) = 1,
n x
entrainne que x est inversible dans B.
Réciproquement supposons que B est un corps, soit a ∈ A{0}, x = a−1 est
défini dans B et entier sur A,
il existe (a1 , . . . , an ) ∈ An tel que xn + a1 xn−1 + · · · + an = 0,
46
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
on multiplie par an et on obtient :
1 + a1 a + · · · + an an = 0,
ce qui implique :
1 = −a(a1 + · · · + an an−1 ),
et entrainne que a est inversible dans A d’inverse :
−(a1 + · · · + an an−1 ).
3.3
3.3.1
Extension de corps.
Extension finie
Soit F un corps et E une extension de F , on peut munir E d’une structure
évidente de F -espace vectoriel.
Si E est un corps, on dit que E est une extension de corps de F ce qu’on écrit,
l’extension E/F . Et on note [E : F ], la dimension éventuellement infinie du
F -espace vectoriel E, et on l’appelle degré de l’extension E/F .
Exemples :
- IC est une extension de degré 2, on dit aussi extension quadratique de IR,
de base (e, i). - L’ensemble IQ(i) = {a + bi|a, b ∈ IQ}, est une extension
quadratique de IQ.
- Le corps des fractions rationelles F (X), c’est à dire le corps des fractions
de l’anneau F [X] est une extension infinie (il contient le F -espace vectoriel
de F [X]) de F .
Théorème 3.3.1 Soit F ⊂ E ⊂ L, telles que L/E et E/F soient des extensions de corps. Si l’extension L/F est de degré fini, alors E/F et L/E sont
de degré fini et [L : F ] = [L : E] × [E : F ].
Démonstration : Si L est un F espace vectoriel de dimension finie, E étant
un sous-espace de L, est lui même de dimension finie sur F . Donc [E : F ] est
un entier naturel.
Soit (li ) une base de L/F , c’est encore un système générateur de L/E donc
[L : E] est finie.
Soit (ei )i∈I une base de l’extension L/E,
et (fj )j∈J une base de l’extension E/F .
P
Pour tout γ dans L, il existe αi ∈ E, i ∈ I tels que γ = i∈I αi ei , de même
pour chacun des αi , i ∈ E, on peut trouver une famille βij ∈ F tels que
3.3. EXTENSION DE CORPS.
47
P
αi = j∈J βij fP
j . Donc pour tout γ ∈ L on peut trouver une famille βij ∈ F
telle que γ = (i,j)∈I×J βij ei fj . La famille (ei fj )(i,j)∈I×J constitue donc un
système générateur du F espace vectoriel L.
Montrons que c’est un système libre.
On considère une relation
P :
βij ∈ F .
(i,j)∈I×J βij ei fj = 0
On a :
P P
P
β
e
f
=
ij
i
j
j∈J βij fj )ei = 0,
i∈I (
(i,j)∈I×J
ce qui implique, vu que (ei )i∈I est une base du E-espace L , que pour tout i
dans I, on a dans E,
P
j∈J βij fj = 0.
Ce qui implique, vu que (fj )j∈J est une base du F -espace vectoriel E qu’on a :
∀i ∈ I, ∀j ∈ J βij = 0.
Ainsi donc une base de l’extension L/F est (ei fj )(i,j)∈I×J .
On a bien [L : F ] = [L : E][E : F ].
3.3.2
Éléments algébriques et transcendants
Soit E/F une extension de corps, et α quelconque dans E. On considère
l’homomorphisme F [X] → E : P 7→ P (α).
Deux possibilités se produisent :
a) α est trancendant sur F , le noyau de cet homomorphisme est l’idéal (0).
L’isomorphisme d’anneaux F [X] → F [α] s’étend à un isomorphisme de corps
F (X) → F (α).
b) α est algébrique sur F , le noyau I de l’homomorphisme est alors différent
de (0), et comme F [X] est principal, il existe Q ∈ F [X] \ { 0 } tel que
Q(α) = 0.
Soit P le polynôme unitaire qui engendre l’idéal principal I, on dit que P est
le polynôme minimal de α sur le corps F , c’est nécessairement un polynôme
irréductible de F [X].
On a :
F [α] isomorphe à F(P[X]
,
)
l’idéal (P ) est premier dans F [X], et donc maximal dans F [X], ce qui implique que F [α] est un corps, on le note F (α).
Définition 3.3.1 Une extension de corps E/F est dite algébrique si tout
élément de E est algébrique sur F , autrement, elle est dite transcendante.
Une extension E/F est dite de type finie s’il existe (αi , . . . , αn ) dans E n
48
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
tels que E = F (α1 , . . . , αn ) c’est à dire corps des fractions du sous-anneau
F [α1 , . . . , αn ] de E. On peut aussi voir F (α1 , . . . , αn ) comme le plus petit
sous-corps de E qui contienne F et les αi , i = 1, . . . , n .
Soit E/F une extension transcendante de corps, une famille déléments xi i =
1, . . . , n est appelée base de transcendance de E sur F si :
i)le système (xi ) est algébriquement indépendant sur F ,
ii) E est algébrique sur F (x1 , . . . , xn ).
Si E = F (x1 , . . . , xn ), où x1 , . . . , xn sont algébriquement indépendants, alors
on dit que E est dite transcendante pure sur F .
On admettra :
Théorème 3.3.2 Si E/F est de type fini, alors deux bases de transcendance
de E sur F ont même nombre déléments.
On appelle degré de transcendance de E sur F , ce nombre déléments d’une
base de transcendance et on note deg tr(L/K)
Proposition 3.3.1
i) Si l’extension E/F est de degré fini alors elle est algébrique.
ii) Si l’extension E/F est algébrique et E = F [x1 , . . . , xn ], alors elle est de
degré fini.
Démonstration :
i) Soit α quelconque dans E, la famille des puissances de α : (1, α, α2 , . . . , αn , . . .)
est vu la dimension finie de l’extension nécessairement liée sur F ; il existe
un n ∈ IN et une famille finie (a0 , . . . , an ) d’éléments de F tels qu’on ait la
relation :
a0 + a1 α + · · · + an αn = 0.
ii) Si x1 appartient à E, l’extension E/F étant algébrique, le degré [F [x1 ] : F ]
est nécessairement finie. De même, x2 étant algb́rique sur F , l’est à fortiori
sur F [x1 ] et donc le degré [F [x1 , x2 ] : F [x1 ]] est finie. Vu la propriété de
multiplicativité des degrés, on a encore [F [x1 , x2 ] : F ] finie ; et ansi de suite.
S’agissant de l’ensemble K des éléments α algébriques sur un corps F , on
montre
Théorème 3.3.3 Soit E/F une extension de corps, l’ensemble K des éléments
de E qui sont algébriques sur F , est un sous-corps de E qui contient F
3.3. EXTENSION DE CORPS.
49
Lorsque K = F on dit que F est algébriquement fermé dans E.
Démonstration :
K est l’ensemble des éléments de E entiers sur F , c’est donc un sous-anneau
de E qui contient F , et comme K est entier sur le corps K c’est un sous-corps
de E, qui contient F .
Proposition 3.3.2 Soit k un corps, X une indéterminée, K = k(X), et
α = P (X)/Q(X), où P et Q sont premiers entre eux dans k[X], un élément
non constant de K.
Alors, K est algébrique sur k(α) de degré égal à sup(deg(P ), deg(Q)) et α
est transcendant sur k.
Démonstration :
Soit T une indéterminée, l’élément X est racine du polynôme Φ = αQ(T ) −
P (T ) de k(α)[T ]. Montrons que Φ est irréductible.
Φ est non nul, en effet soit ai le coefficient de X i dans P , et bi le coefficient
de X i dans Q, on aurait α = bi /ai et appartiendrait donc à k contrairement
à l’hypotèse α non constant.
Donc X est algébrique sur k(α), il en résulte que α est transcendant sur k
sinon X serait alors algébrique sur k, et que K est algébrique sur k(α).
Supposons Φ réductible dans k(α)[T ], on a une égalité :
C(α)(αQ(T ) − P (T )) = R(T )S(T ),
avec deg(R) ≥ 1 et deg(S) ≥ 1, R et S appartenant à k[α, T ] et C à k[α],
tout facteur irréductible de C divise R ou S, on peut donc supposer C = 1.
Alors degα (αQ(T ) − P (T )) = 1 = degα (R) + degα (S), donc l’un des degrés
ent 0, par exemple degα (R) = 0, et R appartient à k[X] comme P et Q
sont premiers entre eux, R est nécessairement une constante non nulle, ce
qui contredit deg(R) ≥ 1.
Théorème 3.3.4 Soit k un corps, et K = k(X) une extension transcendante
pure de k, L un sous-corps de K contenant strictement k.
Il existe alors y ∈ L transcendant sur k tel que L = k(y).
Démonstration :
K est algébrique sur L en effet soit α ∈ L \ k, alors K est algébrique sur
k(α).
Montrons l’existence d’un élément y tel que K : L] = [K : k(y)].
50
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
Comme K = k(X), [K : L] est le degré d’un polynôme dı́ndéterminé T
irréductible dans L[T ] :
Φ = T n + a1 (X)T n−1 + · · · + An (X), où ai (X) appartient à L.
Écrivons ai (X) sous la forme bi (X)/b0 (X) où bi (X) appartient à k[X] et b0
de degré minimal.
Le polynôme
P = b0 (X)T n + b1 (X)T n−1 + · · · + bn (X) ∈ k[X, T ]
est irréductible en tant que polynôme en T primitif, en tant que polynôme
en X et
P (X, X) = 0.
Soit m le degré de P en X. Il existe un i tel que ai (X) 6= 0 sinon X est nul,
soit y cet élément y = Q(X)/R(X) où Q et R sont premiers entre eux et
dans k[X] et deg(Q) ≤ m, deg(R) ≤ m,
le polynôme Q(T ) − yR(T ) ∈ L[T ] admet X pour racine. Il est donc divisible
par Φ dans L[T ].
Comme Q(T ) − yR(T ) = Q(T ) − (Q(X)/R(X))R(T ), on a un égalité
U (X)(Q(T )R(X) − Q(X)R(T )) = S(X, T )P (X, T ),
où U (X) ∈ k[X] et S(X, T ) ∈ k[X, T ].
Comme Q(T )R(X)−Q(X)R(T ) et P (X, T ) sont primitifs en X, U (X) divise
S(X, T ), on peut donc supposer Q(T )R(X)−Q(X)R(T ) = S(X, T )P (X, T ).
Montrons que S(X, T ) appartient à k, c’est à dire de degré 0 en X et T .
On remarque que le degré en X de Q(T )R(X) − Q(X)R(T ) est inférieur
à m, celui de S(X, T )P (X, T ) est égal à degX (S) + m d’où degX (S) =
0 et degX (Q(T )R(X) − Q(X)R(T )) = m, pour des raisons de symétrie
degT (Q(T )R(X) − Q(X)R(T )) = m.
D’autre part, il découle de la proposition précédente que :
n = sup(deg(Q), deg(R)) est égal à [K : k(y)].
Comme [K : k(y)] ≥ [K : L], on a n ≥ m, ce qui implique que S est constant
en T et que m = n.
3.3.3
Construction d’extension d’un corps F
Soit P un polynôme de degré n de F [X], et (P ) l’idéal principal de F [X]
engendré par P .
3.3. EXTENSION DE CORPS.
Considérons l’anneau quotient
F [X]
,
(P )
51
et soit s l’homomorphisme surjectif ca-
nonique s : F [X] → F(P[X]
., Notons x, l’image de l’ l’indéterminée X par la
)
surjection canonique s.
Tout élément de F(P[X]
est représentable de manière unique par un polynôme
)
possède
de degré plus petit que n − 1 (division euclidienne dans F [X]). F(P[X]
)
2
n−1
une structure de F -algèbre de dimension n et (1, x, x , . . . , x ) en est une
base.On peut écrire F(P[X]
= F [x].
)
L’homomorphisme s réalise également une injection de F dans
neau
F [X]
.
(P )
L’an-
F [X]
(P )
peut donc être considéré comme un extension d’anneau de F .
³
´
Considéré comme appartenant à l’anneau F(P[X]
[X],tout polynôme Q de
)
F [X] vérifie donc :
s(Q) = Q(x).
Le polynôme P , lui, admet comme racine x, on a P (x) = 0 = s(P ). On dit
que F [x] est une extension d’anneau de F obtenu par adjonction á F , d’une
racine x du polynôme P .
Supposons maintenant que P soit irréductible dans F [X].
Pour tout polynôme Q ∈ F [X] \ (P ), il existe alors, d ’après la relation de
Bezout dans F [X], deux polynômes U et V tels que :
U P + V Q = 1.
F [X]
D’où dans (P ) , les images V (x) et Q(x) vérifient V (x)Q(x) = 1.
On en déduit :
Proposition 3.3.3 Le polynôme P étant irréductible dans F [X], l’anneau
quotient F(P[X]
est un corps.
)
Sous cette hypothèse on a F [x] = F (x).
Exemples :
Posons F = IR et P = X 2 +1, F(P[X]
= {a+bx| a, b ∈ IR} = F [x], x2 +1 = 0.
)
-La loi d’addition se définit de façon évidente.
-Pour la multiplication on montre :
∀(a + bx), (c + dx) ∈ F [x] (a + bx)(c + dx) = (ac − bd) + (ad + bc)x.
On reconnait le corps IC des nombres complexes.
Exemples :
On considère le polynôme P = X 3 +X 2 +1 dans IQ[X]. Comme P ne possède
= IQ[x] est un corps. Soit
pas de racines dans IQ, il est irréductible et IQ(P[X]
)
52
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
β = x4 + x + 2 dans IQ[x], exprimons β −1 dans la base (1, x, x2 ).
Par utilisation de l’algorithme d’Euclide de recherche de pgcd, on trouve la
relation suivante dans IQ[X] :
1 = (X 4 + X + 2)(−X 2 − X + 1) − (X 3 + X 2 + 1)(X 3 + 2X 2 − X + 1),
et donc β −1 = −x2 − x + 1.
De façon générale, s’agissant des extensions d’anneau on a le résultat :
Proposition 3.3.4 Soit une extension d’anneau A ⊃ F où F est un corps.
Si la F -algèbre A est de dimension finie, alors l’extension A/F est une extension de corps.
Démonstration : On considère un élément α quelconque de A \ {0} et
l’application : A → A : x 7→ αx, c’est une application F -linéaire et injective.
Si A est de dimension finie alors cette application est surjective, il existe donc
un élément β ∈ A tel que αβ = 1, et U(A) = A \ {0}.
3.3.4
Corps de décomposition d’un polynôme
Définition 3.3.2 K-homomorphisme
Soient E et F deux extensions d’un même corps K, on appelle K-homomorphisme
de E dans F tout homomorphisme de corps de E dans F qui laisse invariant
tout élément de K.
Définition 3.3.3 Corps de décomposition
Soit K un corps, L une extension de K, un polynôme P de K[X] est dit
scindé sur L si P s’écrit comme un produit de facteurs linéaires sur L, c’est
à Q
dire se décompose sur L[X] en produit de facteurs du premier degré : P =
λ ni=1 (X − αi ) αi ∈ L.
Si de plus, L = F [α1 , . . . , αn ], on dit alors que L est le corps de décomposition
du polynôme P .
Théorème 3.3.5 Tout polynôme P possède un corps de décomposition.
Démonstration : Soit P ∈ K[X] de degré n, et P1 un facteur irréductible
dans K[X], on considère le corps L1 = K[X]
, c’est une extension de K, et P
(P1 )
possède des racines dans ce corps.
Soit L1 est corps de décomposition de P , ou sinon il existe un facteur P2
3.3. EXTENSION DE CORPS.
53
irréductible dans L1 [X] de degré supérieur ou égal à 2 ; on recommence alors
sur le corps L2 = L(P1 [X]
. Au bout d’au plus n itérations, on obtient une
2)
extension L/K sur lequel P se décompose en produit de facteurs du premier
degré.
Remarques :
On a [L1 : K] = deg(P1 ) ≤ n,
[L2 : L1 ] = deg(P2 ) ≤ n − 1, . . ., d’où
l’inégalité [L : K] ≤ n!.
Corps algébriquement clos
Un corps Ω est dit algébriquement clos s’il vérifie les propriétés équivalentes
suivantes :
Tout polynôme non constant de Ω[X] à au moins une racine dans Ω.
Tout polynôme irréductible de Ω[X] est de degré 1.
Toute extension algébrique de Ω est égale à Ω.
Sous ces conditions on dit alors que Ω est algébriquement clos.
Exemples :
Un corps fini F n’est pas algébriquement clos ; en effet posons F = {x1 , . . . , xn }
et considérons le polynôme P = (X − x1 ) · · · (X − xn ) + 1. Il ne possède pas
de racines dans F .
Le corps IC des nombres complexes est algébriquement clos.
Définition 3.3.4 On appelle clôture algébrique d’un corps F , une extension
Ω/F algébrique telle que Ω soit algébriquement clos.
On montre que d’une part une telle extension Ω existe pour tout corps
F , et que d’autre part elle est unique à un isomorphisme près ; c’est le
Théorème de Steinitz, dont la démonstration repose sur le lemme de Zorn.
F -homomorphismes de corps
Lemme 3.3.1 Soit α ∈ E algébrique sur F , de polynôme minimal P , et soit
F [α], l’extension de F engendrée par α. Soit Ω/F une nouvelle extension de
corps, et f : F [α] → Ω un F -homomorphisme d’anneau.
i) Alors f (α) est une racine de P contenu dans Ω.
ii) Il y a autant de F -homomorphisme de F [α] dans Ω, qu’il y a de racines
distinctes de P contenues dans Ω.
54
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
Démonstration : Soit P = X n + a1 X n−1 + · · · + An , le polynôme minimal
de α, on a P (α) = 0, et 0 = f (P (α)) = a0 (f (α))n + · · · + an = P (f (α)), d’où
f (α) est encore une racine de P contenue dans Ω.
Soient {γ1 , . . . , γr }, l’ensemble des racines de P contenues dans Ω, l’application F [α] → Ω α 7→ γ est alors un F -homomorphisme par composition des
homomorphismes :
F [X]
F [α] →
→ F [γ]
(P )
Théorème 3.3.6 Soit F un corps , un polynôme P ∈ F [X], et L un corps
de décomposition de P , et Ω une extension de corps de F sur lequel P est
scindé.
Alors i) il existe des F -homomorphismes de L dans Ω, en nombre inférieur
ou égal au degré [L : F ]. Ce nombre étant égal si P possède des racines deux
à deux distinctes.
ii) Si Ω est lui aussi corps de décomposition de P , alors Ω et L sont F isomorphes.
Démonstration : le ii) découle du i), en effet tout F -homomorphisme de
corps f : L → Ω étant injectif, implique l’inégalité [L : F ] ≤ [Ω : F ], et
comme sous les conditions de ii) il existe également un F -homomorphisme
de corps g : Ω → L on aboutit à l’égalité :
[L : F ] = [Ω : F ].
Les dimensions des F -espaces vectoriels étant égales l’homomorphisme linéaire
injectif f : L → Ω est bijectif.
i) On fait la démonstration dans le cas L = F [α1 , α2 ], la généralisation étant
évidente.
Q
Posons L = F [α1 , α2 ], et P = λ ni=1 (X − αi ). Soit P1 le polynôme minimal
de α1 , P1 divise P , et il existe des F homomorphismes de F [α1 ] dans Ω en
nombre inférieur ou égal à [F [α1 ] : F ] avec égalité si P1 , donc à fortiori P
possède des racines deux à deux distinctes.
Soit P2 le polynôme minimal de α2 sur le corps F [α1 ], P2 divise le polynôme
P et il existe des F [α1 ]-homomorphismes de F [α1 , α2 ] dans Ω en nombre
inférieur ou égal à [F [α1 , αn ] : F [α1 ]], avec égalité si P2 , et à fortiori P
possède des racines deux à deux distinctes dans Ω.
En combinant ces deux arguments on prouve qu’il existe des F -homomorphismes
de F [α1 , α2 ] dans Ω en nombre inférieur ou égal à [F [α1 , αn ] : F ], avec égalité
si P possède des racines deux à deux distinctes dans Ω.
En effet on obtient des F -homomorphismes de F [α1 , αn ] vers Ω en considérant
3.3. EXTENSION DE CORPS.
55
des F -homomorphismes g de [F [α1 ] vers Ω, avec des F [α1 ]-homomorphismes
f de F [α1 , α2 ] vers Ω, de la manière suivantes :
f × g : F [α1 , α2 ]
→ Ω,
P
P
j
j
i ai (α1 )α2 7→
i g(ai (α))f (α2 ) .
3.3.5
Groupe de Galois d’une extension
Définition 3.3.5 Soit une extension de corps E/K, on appelle groupe de
Galois de l’extension, et on note Gal(E/K), l’ensemble des K-automorphismes
de E. C’est un groupe pour la loi de composition des applications
Exemples : On montre que Gal(IC
/IR) est isomorphe à ZZ/(2).
√
3
On montre que par contre Gal(IQ[ 2]/IQ) = {id}, de même Gal(IR/IQ) =
{id}.
√ √
On montre de même que Gal( 3, 2/IQ) est isomorphe au groupe de Klein V ≈
ZZ/(2) × ZZ/(2).
2iπ
Désignons par IUn = {e n | i = 0, 1, . . . , n} le sous-groupe multiplicatif de
IC des racines n-ièmes de l’unité ; Gal(IQ[IUn ]/IQ) est isomorphe au groupe
U(ZZ/(n) des unités de l’anneau quotient ZZ/(n).
Ordre du groupe de Galois
Lemme 3.3.2 (Dedekind)
Soient G un groupe, K un corps et (σi )i∈I une famille d’homomorphismes
deux à deux distincts, de G dans le groupe multiplicatif K ∗ = K \ {0}.
Alors la famille desP
Θ = (σi )i∈I est libre sur K, c’est à dire :
λi σi = 0, λi ∈ K implique l’égalité λi = 0, ∀i ∈ I.
toute relation finie
i
Démonstration :
On fait un raisonnement par récurrence.
Soit σ1 : G → K ∗ , pour tout g ∈ G, σ(g) 6= 0, donc λσ(g) = 0 ∈ K, implique
λ = 0.
Soit P (n) la propriété :
Pn
∀λi ∈ K, ∀σi ∈ Θ i = 1, . . . , n
i=1 λi σi (g) = 0 =⇒ λi = 0 i = 1, . . . , n.
Soit maintenant n + 1 homomorphismes deux à deux
Pn distincts σ0 , . . . , σn de
∗
G dans K , et n + 1 scalaires λ0 , . . . , λn tels que i=0 λi σi = 0.
56
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
Soient g1 , g2 quelconques
:
Pn dans G ; on a P
0 = i=0 λi σi (g1 g2 ) = ni=0 λi σi (g1 )σi (g2 ),
et d’autre part :
P
0 = σ0 (g1 )( ni=0 λi σi (g2 )).
Effectuant la différence
il vient :
Pn
0 = i=1 λi (σi (g1 ) − σ0 (g1 )σi (g2 ), pour tout g2 ∈ G.
Il découle de l’hypothèse de récurrence que que pour tout i = 0, . . . , n on a
λ1 (σi (g1 ) − σ0 (g1 )) = 0, avec g1 quelcongue dans G.
Il découle de l’hypothèse que les σi sont deux à deux distincts, et que l’on
peut toujours trouver, pour chaque i compris entre 0 et n un g1 tel que
σi (g1 ) − σ0 (g1 ) 6= 0, on en déduit nécessairement λi = 0, i = 0, . . . , n.
Théorème 3.3.7 Soit E/K une extension de corps de degré fini. Alors
l’ordre |Gal(E/K)| du groupe de Galois de l’extension vérifie :
|Gal(E/K)| ≤ [E : K].
Démonstration :
Supposons vraie l’inégalité contraire |Gal(E/K)| > [E : K].
Soit (e1 , . . . , en ), (n = [E : K]) une base du K-espace vectoriel E. Il existe
n + 1 K-automorphismes de E deux à deux distincts. Considérons la matrice
M = (σi (ej ))
1≤i≤n+1
1≤j≤n
.
Les vecteurs lignes sont nécessairement liés :
P
il existe λ1 , . . . , λn+1 ∈ K n+1 \ {0} tel que n+1
i=1 λ1 σi = 0.
Or les σi sont des homomorphismes du groupe multiplicatif E ∗ dans le groupe
multiplicatif E ∗ , et sont supposés deux à deux distincts, cela contredit le
lemme précédent.
On a nécessairement :
|Gal(E/K)| ≤ [E : K].
Définition 3.3.6 Une extension de corps E/K finie est dite galoisienne si
on a l’égalité : |Gal(E/K)| = [E : K].
Exemples :
√ √
Les extensions IQ[i]/IQ, IC /IR IQ[ 2, 3]/IQ, IQ[ξ]/IQ où ξ désigne une
racine n-ième de
l’unité, sont des extensions galoisiennes.
√
3
L’extension IQ[ 2]/IQ n’est pas galoisienne.
3.3. EXTENSION DE CORPS.
57
Définition 3.3.7 Soit L un corps et G un groupe d’automorphismes de L,
on note LG , l’ensemble des éléments de L invariants sous l’action de G :
LG = {x ∈ L | ∀g ∈ G g(x) = x},
c’est un sous-corps de L, appelé le corps invariant de G.
Théorème 3.3.8 L’extension de corps finie E/K est galoisienne si et seulement si notant G = Gal(E/K) on a l’égalité :
K = E G.
Démonstration : On a bien entendu, vu la définition de G, K ⊆ E G , et
également G = Gal(E/E G ).
Montrons que la condition est nécessaire, ou encore que l’égalité : K = E G
implique que l’extension E/K est galoisienne.
Supposons |G| < [E : K], soient (x1 , . . . , xn ) un base du K-espace vectoriel
E, G = {g1 , . . . , gq } et M la matrice (gj (xi ))(1≤i≤n,1≤j≤q) .
Notons V le L-espace vectoriel engendré par les lignes (L1 , . . . , Ln ) de la matrice M , et r la dimension de V . On a l’inégalité 1 ≤ r ≤ q < n,
on peut toujours supposer les r vecteurs L1 , . . . , Lr linéairement indépendants,
ils constituent alors une base de V .
Il existe alors un système de scalairesP(λ1 , . . . , λr ) ∈ Lr , tels que :
Lr+1 = ri=1 λi Li ,
c’est à dire :
P
∀j ∈ [1, q] gj (xr+1 ) = ri=1 λi gj (xi ),
ou encore :
P
∀g ∈ Gal(E/K) g(xr+1 ) = ri=1 λi gj (xi ).
Soit f , un K-automorphisme quelconque
P de E (f ∈ Gal(E/F )), on a :
f (g(xr+1 )) = ri=1 f (λi )f (g(xi ))
ou encore :
P
(f ◦ g)(xr+1 )) = ri=1 f (λi )(f ◦ g)(xi )).
Or à f fixé l’application g 7→ f ◦ g : G → G est une permutation de G.
La dernière égalité peut donc se réécrire :
P
∀g ∈ G, ∀f ∈ G
g(xr+1 ) = ri=1 f (λi )g(xi ),
en particulier :
P
∀f ∈ G gj (xr+1 ) = ri=1 f (λi )gj (xi ),
ou encore :
P
P
∀f ∈ G Lr+1 = ri=1 f (λi )Li = ri=1 λi Li .
Ce qui implique vu que le système (L1 , . . . , Lr ) constitue une base de V ,
l’identité :
58
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
∀f ∈ G, f (λi ) = λi
ou encore :
λi ∈ LG = K.
P
Pour tout g dans G g(xr+1 ) = ri=1 λi g(xi ) avec λi appartenant à K.
En particulier pour g = idE , on obtient
P:
xr+1 = ri=1 λi xi .
Le système (x1 , . . . , xn ) étant linéairement dépendant sur K, ceci contredit
qu’il soit une base du K-espace vectoriel E.
Montrons que la condition est suffisante : que E/K galoisienne implique
K = LG
On suppose donc G d’ordre égal au degré [L : K]. Posons F = LG , F est
une extension de K et on a Gal(L/F ) = Gal(L/K). Comme Gal(L/F ) =
Gal(L/K) ≤ [L : F ] ≤ [L : K]. On en déduit [L : F ] = [L : K]. Or d’après
les propriétés de multiplicativité des degrés :
[L : K] = [L : F ][F : K]
cela implique l’égalité [F : K] = 1 ce qui équivaut à K = F .
Théorème 3.3.9 Soit G un groupe fini d’automorphisme d’un corps L, alors
l’extension de corps L/LG est galoisienne et G = Gal(L/LG )
Démonstration : On a de façon évidente l’inclusion G ⊂ Gal(L/LG ),
d’autre part on a les inégalités : [L : LG ] ≤ |G|, et Gal(L/LG ) ≤ [L : LG ],
qui impliquent d’une part l’identité G = Gal(L/LG ), d’autre part l’égalité
Gal(L/LG ) = [L : LG ].
Théorème fondamental de la théorie de Galois
Théorème 3.3.10 On considère une extension de corps L/K finie et galoisienne, et on pose G = Gal(L/K).
Les applications H 7→ LH et E 7→ Gal(L/E) sont des bijections réciproques
entre les sous-groupes H de G et l’ensembles des sous-extensions de L/K.
En outre on a :
i) H1 et H2 étant des sous-groupes de G, on a :
H1 ⊃ H2 ⇐⇒ LH1 ⊂ LH2
.
ii) On a d’autre part égalité entre L’indice du sous-groupe H2 relativement à H1 et le degré de l’extension LH2 /LH1 :
|H1 |
= [LH2 : LH1 ]
|H2 |
3.3. EXTENSION DE CORPS.
59
iii) Pour tout automorphisme σ ∈ G, sous-groupe H de G sousextension M de L/K on a les identités :
−1
LσHσ = σ(LH ) Gal(L/σ(M )) = σGal(L/M )σ −1
iv) À tout sous-groupe H distingué de G correspond une sousH
extension L de L/K, telle que LH /K soit galoisienne et on a alors Gal(LH /K)
G
isomorphe au groupe quotient H
.
Démonstration : Soit H un sous-groupe de G, et LH , le corps invariant
de H, d’après les théorèmes précédents, l’extension L/LH est galoisinne et
donc H = Gal(L/LH ).
i) H1 ⊂ H2 ⇒ LH1 ⊃ LH2 évident.
D’autre par l’inclusion LH1 ⊃ LH2 implique de façon évidente l’inclusion
Gal(L/LH1 ) ⊂ Gal(L/LH2 ), et vu l’égalité H = Gal(L/LH , implique :
H1 ⊂ H2 .
ii)On a alors [L : LH1 ] = [L : LH2 ][LH2 : LH1 ], d’où [LH2 : LH1 ] =
[L:LH1 ]
[L:LH2 ]
=
|H1 |
.
|H2 |
iii) Pour tout sous-groupe H de G, pour tout automorphisme σ dans G, on
−1
a Lσ Hσ = {x ∈ L | ∀h ∈ Hσ −1 hσ(x) = x} = {x ∈ L |∀h ∈ H hσ(x) =
σ(x)} = σ −1 LH . D’où l’égalité : Gal(L/σ(LH )) = σHσ−1 .
iv) Soit H / G, quel que soit σ dans G, on a alors σHσ−1 = H, et donc
σ(LH ) = LH .
Considérons l’application : σ 7→ σ|LH , G → Gal(LH /K), c’est un homomorG
phisme de noyau H, soit G0 l’image de cet homomorphisme, on a G0 ≈ H
0
et de façon évidente K = (LH )G , d’où l’extension LH /K est galoisienne de
G
.
groupe de Galois H
3.3.6
Corps cyclotomiques
k2iπ
Le polynôme X n − 1 possède dans IC , n racines distinctes zk = e n , k =
0, . . . , n − 1 dont l’ensemble constitue un groupe multiplicatif : le groupe IUn
des racines n-ième de l’unité.
Le groupe IUn est cyclique et on a un isomorphisme naturel :
ZZ
(n)
−→
k̄
7→
IUn
e
k2iπ
n
60
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
ZZ
L’ensemble des générateurs de (n)
est de cardinal ϕ(n), (ϕ désignant la foncZZ
| pgcd(k, n) = 1}.
tion d’Euler), c’est l’ensemble {k̄ ∈ (n)
On appelle racine n-ième primitive de l’unité, tout générateur de IUn .
Soit Pn (IC ) l’ensemble de ces racines primitives, on a découlant de l’isomorphisme précédent :
k2iπ
Pn (IC ) = {e n | 1 ≤ k ≤ n − 1, pgcd(k, n) = 1}
Définition
Q 3.3.8 On appelle n-ième polynôme cyclotomique, le polynôme
Φn (X) = ξ∈Pn (IC ) (X − ξ) ∈ IC [X].
Lemme 3.3.3 Les ensembles Pd (IC ), lorsque d décrit l’ensemble des diviseurs de n, forment une partition de IUn
application
P
ϕ(d) = n (Relation d’Euler).
d|n
Démonstration :
Si d divise n dans IN , n = dk, alors :
X n − 1 = (X d )k − 1 = (X d − 1)(X d(k−1) + · · · + X d + 1),
et X d − 1 divise X n − 1 dans IQ[X].
On a donc les inclusions Pd (IC ) ⊂ IUd ⊂ IUn .
Chaque racine n-ième de l’unité est d’un ordre d qui divise n, donc chaque
élément de IUn appartient à un et un seul des ensembles Pd (IC ), d divisant n.
D’où la décomposition en produit de facteurs
Proposition 3.3.5
Xn − 1 =
Y
Φd
d|n
On peut montrer
Proposition 3.3.6 Le polynôme Φn appartient en fait à ZZ[X]
Démonstration :
Par récurrence sur n.
n = 1 : on a Φ1 = X − 1, donc irréductible.
Q
Supposons la propriété vérifiée jusqu’à n − 1. Et posons F =
d|n
d 6= n
Φd .
D’après l’hypothèse de récurrence, F appartient à ZZ[X], est unitaire, et
3.3. EXTENSION DE CORPS.
61
donc nécessairement primitif.
On a dans ZZ[X] :
X n − 1 = F Φn ,
donc Φn est le quotient dans l’anneau ZZ[X] de la division euclidienne de
X n − 1 par le polynôme unitaire F .
Théorème 3.3.11 Le polynôme Φn est irréductible dans IQ[X].
Démonstration : On considère z une racine primitive n-ième de l’unité, et
R son polynôme minimal sur le corps IQ, R divise Φn dans ZZ[X], Φn = RS.
Soit p un entier premier qui ne divise pas n, z p est encore une racine primitive
de l’unité, on a donc Φn (z p ) = 0.
Supposons que R ne soit pas polynôme minimal de z p , on a alors R(z p ) 6= 0,
et donc S(z p ) = 0, R polynôme minimal de z, divise donc S(X p ).
On a S(X p ) = RQ.
ZZ
Plaçons nous modulo l’entier premier p, dans (p)
[X].
Vu l’endomorphisme de Frobenius, cette égalité se traduit par
(S̄(X))p = R̄(X)Q̄(X),
en effet d’après la relation de Fermat :
ZZ
∀a ∈ (p)
ap = a,
lorsque p est entier premier.
ZZ
Soit Θ un facteur irréductible de R̄ dans (p)
, Θ divisant S̄ p , divise S̄.
Donc Θ2 divise Φ̄n = R̄S̄, on aboutit à une contradiction.
En effet Φ̄n est premier avec son polynôme dérivé Φ̄0n = nX n−1 d”après Bezout et la relation :
1 0
Φ̄ − Φ̄n = 1,
n n
et ne saurait posséder des facteurs carrés.
On a donc nécessairement R(z p ) = 0.
Comme toute racine primitive de l’unité peut être obtenu par élévation successive de z à des puissance p-ième avec p entier premier, ne divisant pas n.
On montre que R possède ϕ(n) racines distinctes, et qu’il est de degré ϕ(n),
c’est à dire de même degrè que Φn . Comme ils sont tous deux unitaire, il en
découle l’égalité Φn = R.
62
CHAPITRE 3. EXTENSION D’ANNEAUX.
Bibliographie
[1] Jean FRESNEL, Anneaux. Hermann, 2001.
[2] Serge LANG, Algebra. Addison-Wesley, 1993.
[3] Daniel PERRIN, Cours d’algèbre. Ellipses , 1996.
63

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