1.5 Figure d`interférence - Physiqueprepa.webnode.fr

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Inteférences non localisées de deux ondes totalement cohérentes
Table des matières
1 Interférence entre deux ondes lumineuses
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Superposition de deux ondes lumineuses . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Conditions d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dispositifs interférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Dispositif interférentiel par division du front d’onde . . .
1.4.2 Dispositif interférentiel par division d’amplitude . . . . .
1.5 Figure d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Ordre d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Contraste du figure d’interférence ou facteur de visibilité
1.5.4 Observation longitudinale du figure d’interférence . . . .
1.5.5 Observation transversale du figure d’interférence . . . . .
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2
2
2
3
4
4
5
5
5
6
6
6
8
2 Applications
2.1 Trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Miroirs de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
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1 Interférence entre deux ondes lumineuses
1.1 Définition
•Définition : On dit qu’il y a interférence entre deux ondes,si l’intensité lumineuse résultante
en un point M est différente de la somme des intensités de chaque onde.
I 6= I1 + I2
• la définition se généralisent à N ondes : il y a interférence si I 6= I1 + I2 + ...IN
• on se place dans le cadre de l’approximation scalaire de la lumière
1.2 Superposition de deux ondes lumineuses
M
Considérons deux sources ponctuelles monochromatiques émettant respectivement deux
ondes lumineuses de pulsation ω1 et ω2
S1
S2
Ï au niveau des sources les vibrations lumineuses s’écrivent
• S 1 (S 1 , t ) = a 10 cos(ω1 t − ϕ1 )
• S 2 (S 2 , t ) = a 20 cos(ω2 t − ϕ2 )
Ï au point M les vibrations lumineuses s’écrivent
µ
¶
µ µ
¶
¶
(S 1 M)
(S 1 M)
• S 1 (M, t ) = S 1 S 1 , t −
= a 10 cos ω1 t −
− ϕ1
c
c
µ
¶
µ µ
¶
¶
(S 2 M)
(S 2 M)
• S 2 (M, t ) = S 2 S 2 , t −
= a 20 cos ω2 t −
− ϕ2
c
c
Ï en notation complexe
µ µ
¶
¶
(S 1 M)
• S 1 (M, t ) = a 10 exp j ω1 t −
− ϕ1
c
µ µ
¶
¶
(S 2 M)
• S 2 (M, t ) = a 20 exp j ω2 t −
− ϕ2
c
Ï l’onde lumineuse résultante
¶
¶
µ µ
¶
¶
µ µ
(S 1 M)
(S 2 M)
− ϕ1 +a 20 exp j ω2 t −
− ϕ2
S(M, t ) = S 1 (M, t )+S 2 (M, t ) = a 10 exp j ω1 t −
c
c
¡
¢
¡
¢
S(M, t ) = a 10 exp j ω1 t − φ1 + a 20 exp j ω2 t − φ2
ω1
(S 1 M) + ϕ1
c
ω2
• φ2 =
(S 2 M) + ϕ2
c
• φ1 =
Ï l’intensité lumineuse
¢
k ¡
I(M, t ) = k < S 2 (M, t ) >t = < S(M, t ).S ∗ (M, t ) >t
2
£
¤
£
¤ ¢
k¡ 2
2
=
a 10 + a 20
+ a 10 .a 20 < exp − j (ω2 − ω1 )t − (φ2 − φ1 ) + a 10 .a 20 exp j (ω2 − ω1 )t − (φ2 − φ1 ) >t
2
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k 2
a
2 10
k 2
• I2 = k < S 22 (M, t ) >= a 20
2
p
¡
¢
I(M, t ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 < cos (ω2 − ω1 )t − (φ2 − φ1 ) >t
• I1 = k < S 21 (M, t ) >=
1.3 Conditions d’interférence
Ï Synchronisation des ondes
¡
¢
• < cos (ω2 − ω1 )t − (φ2 − φ1 ) >t = 0 si ω2 6= ω1
• si ω2 6= ω1 alors I(M, t ) = I1 (M, t ) + I2 (M, t ) : pas d’interférence
• si les deux ondes ne sont pas synchrones (ω2 6= ω1 ),elles ne peuvent plus interférer
• pour deux ondes synchrones on peut écrire
p
I(M, t ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 < cos(φ(M, t )) >t
• φ(M, t ) = φ2 − φ1 =
2π
2π
δ(M) + ϕ2 − ϕ1
((S 2 M) − (S 1 M)) + ϕ2 − ϕ1 =
λ0
λ0
δ(M) = (S 2 M) − (S 1 M)
δ(M) : différence de marche au point M des ondes issues de S 1 et S 2
Ï Cohérence mutuelle des deux sources
• Définition : Deux sources S 1 et S 2 émettant deux vibrations S 1 (M, t ) et S 2 (M, t ) sont
dites mutuellement cohérentes si la différence des déphasages au niveau des sources
(ϕ2 − ϕ1 )est indépendant du temps en un point M,elles sont forcément synchrones.
• si ϕ = ϕ2 − ϕ1 est une fonction aléatoire du temps donc < cos φ(M, t ) >= 0 :
pas d’interférence
• si les deux sources sont physiquement différentes (les atomes constituant la
source S 1 sont différents de ceux constituant S 2 ),alors les trains d’ondes successifs émis par chacune des deux sources sont déphasés de manière aléatoire,donc ne peuvent plus interférer
• les rayons lumineux provenant d’une seule source lumineuse,et qui sont issues de deux trains d’ondes différents présentent un déphasage aléatoire
donc ne peuvent plus interférer
Pour réaliser le phénomène d’interférence,il est nécessaire d’avoir deux sources S 1 et
S 2 ponctuelles obtenues par dédoublemnt d’une source ponctuelle primaire S à l’aide
d’un système adéquat appelé dispositif interférentiel.
Ï Recouvrement des trains d’onde
• à t 1 : la source émet un train d’onde
qui se divise en deux trains,chacun des
deux trains suit un chemin différent
• à t 3 : le train d’onde (1) arrive au point
M
• à t 4 : le train d’onde (2) arrive au point
M
t3
S
t1
S1
t2
S2
• ∆t = t 4 − t 3
• τ : la durré du train d’onde
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• si τ Ê ∆t : il y a recouvrement des deux trains d’onde donc il y a interférence
• si τ < ∆t : pas de recouvrement des deux trains d’onde donc pas d’interférence
• Temps de cohérence τc : On appelle temps de coherence τc d’une source la durée
moyenne des trains d’onde en un point donné,il est de l’ordre de grandeur de τ
• Longueur de cohérence temporelle l c : On appelle longueur de coherence temporelle
l c d’une source la distance parcourue par la lumière (dans le vide) pendant τc
l c = τc .c
• la différence de marche ( des chemins optiques) des deux trajets : δ = c.∆t
• la longueur de cohérence temporelle : l c = τc .c
•Conclusion : Il y a recouvrement des deux trains d’ondes en un point M si
δ É lc
• Ordre de grandeur de l c
Laser hélium-néon (He-Ne)
l c = 30cm
Source spectrale Hg
l c = 3mm
Lumière blanche
l c = 3µm
•Conclusion : La réalisation d’interférences lumineuses à deux ondes lumineuses suppose
que les deux ondes :
• soient synchrones : ω1 = ω2
• soient mutuellement cohérentes : ϕ2 − ϕ1 = c t e
• soient issues d’um même train d’onde et se recouvrent en un point M : δ É l c
Dans ces conditions l’intensité lumineuse s’écrit :
µ
¶
p
p
2π
I(M) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(φ(M)) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos
δ(M)
λ0
1.4 Dispositifs interférentiels
1.4.1 Dispositif interférentiel par division du front d’onde
•Définition : Dans ce dispositif l’onde émise par la source est séparée géométriquement en
deux (ou plusieurs) parties,qui suivent ensuite des trajets différents pour arriver en un point
M où on observe le phénomène d’interférence.
1
S
Système
1
1
1
Système
2
2
2
2
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•Exemples
• Trous de Young
• Miroirs de Fresnel
• Biprisme de Fresnel
• Champ d’interférence : On appelle champ d’interférence,la zone de l’espace ou les faisceaux issus du système optique (1) et du système optique (2) se coupent.
1.4.2 Dispositif interférentiel par division d’amplitude
•Définition : Dans ce dispositif,un même rayon issu d’une source S est séparé en deux parties
( division énergétique),par exemple grace à l’utilisation d’une lame semi-réfléchissante.
S
S
Système
M
Optique
•Exemple : Interférométre de Michelson
1.5 Figure d’interférence
1.5.1 Définitions
• Surface d’égale intensité : est l’ensemble des points M de l’espace pour lequel : I(M) = ct e
• I(M) = c t e ⇒ δ(M) = ct e ⇒ S 2 M − S 1 M = c t e
• les surfaces d’égales intensités sont des hyperboloïdes de foyers S 1 et S 2 et de révolution S 1 S 2
I1
I2
I3
S1
S2
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• Franges d’interférence : On appelle franges d’interférence ,les lignes d’intersection des surfaces égales intensités et un écran plan.
• si l’écran est perpendiculaire à S 1 S 2 (vision transversale) : les franges sont des anneaux
• si l’écran est parallèle à S 1 S 2 (vision longitudinale) : les franges sont des arcs d’hyperboles,pratiquement rectilignes au voisinage du plan bissecteur de S 1 S 2
1.5.2 Ordre d’interférence
•Définition : On appelle ordre d’interférence p(M) la quantité
p(M) =
I = I1 + I2 + 2
p
φ(M) δ(M)
=
2π
λ0
(I1 I2 ) cos(2πp(M))
• Franges brillantesp: les lignes
p d’intensité
p 2 maximale : I = Imax
Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 = ( I1 + I2 ) ⇒ cos(2πp(M)) = 1 ⇒ 2πp(M) = 2πn avec
n∈N
franges brillantes : p(M) = n
• Franges sombres
minimale : I = Imi n
p d’intensité
p 2
p : les lignes
Imi n = I1 + I2 − I1 I2 = ( I1 − I2 ) ⇒ cos(2πp(M)) = (2n + 1)π
franges sombres : p(M) = n +
1
2
• Frange centrale : correspond à δ(M) = 0
1.5.3 Contraste du figure d’interférence ou facteur de visibilité
•Définition : On appelle contraste d’une figure d’interférence C (ou facteur de visibilité) la
quantité suivante
C=
Imax − Imi n
Imax + Imi n
• le contraste est toujours compris entre 0 et 1
• pour avoir un meilleur contraste il faut : C = Cmax = 1 ⇒ Imi n = 0 ⇒ I1 = I2
• Conclusion : Pour obtenir des figures d’interférences bien contrastés,il faut faire interférer
deux rayons de même intensité.
1.5.4 Observation longitudinale du figure d’interférence
• On place l’écran parallèle à l’axe S 1 S 2
• a : la distance qui sépare les deux sources
• D : la distance entre les sources et l’écran
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Y
y
M
x
X
S1
YM
XM
a/2
O
z
O0
−a/2
D
S2
Ï Calcul de la différence de marche
³a
´
³ a
´
• dans le système (Ox y z) on a : S 1 , 0, 0 et S 2 − , 0, 0
2
2
2
S 2 M − S 1 M2
• δ(M) = (S 2 M) − (S 1 M) = S 2 M − S 1 M =
S2M + S1M
• S2M ≈ S1M ≈ D
S 2 M2 − S 2M
• donc δ(M) =
2D
0
³a
³ a
´
, 0, −D , S 2 − , 0, −D
2
2
´
• dans le système de coordonnées (O XYZ) :M (X M , YM , 0) , S 1
³
a ´2
2
2
• S 1 M = XM −
+ YM
+ D2
2
³
a ´2
2
2
• S 2 M = XM +
+ YM
+ D2
2
• en posant X M = x
ax
δ(M) =
D
• les franges correspondent à δ = c t e ⇒ x = c t e : les franges d’interférence
sont des droites parallèles à Oy
δ(M)
• l’ordre d’interférence : p(M) =
λ
ax p
• franges brillantes (F.B) :
=p
λD
µ
¶
λD
xp = p
a
ax p
1
• franges sombres (F.S) :
=p+
λD
2
µ
¶
1
λD
xp =
p+
a
2
Ï Interfrange
•Définition : On appelle interfrange (i ),la distance entre deux franges successives de
même nature
• i = x p+1 − x p =
λD
a
interfrange : i =
λD
a
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1.5.5 Observation transversale du figure d’interférence
• on place l’écran parallèle à l’axe S 1 S 2
• a = S1S2
• D = OO0 : la distance séparant entre entre O et l’écran
x
x
M
z
S2
O
O’
S1
y
y
•
•
•
•
•
•
•
•
³
³
¡
¢
a´
a´
S 1 0, 0, −D +
; S 2 0, 0, −D −
; M x, y, 0
2
2
³
´2
a
S 1 M2 = x 2 + y 2 + D −
2
³
´2
a
2
2
2
S2M = x + y + D +
2
2
2
S2M − S1M
δ(M) =
S1M + S2M
2
S 2 M − S 1 M2 = 2Da
·
¸
·
¸1/2
³
a ´2 2
x2 + y 2
2
2
S2M x + y + D +
≈ D 1+
2
D2
·
¸
·
¸1/2
³
x2 + y 2
a ´2 2
2
2
≈ D 1+
S2M x + y + D −
2
D2
µ
¶
2Da
x2 + y 2
δ(M) =
≈ a 1−
·
2
2 ¸1/2
2D2
x +y
2D 1 +
D2
µ
¶
x2 + y 2
δ(M) = a 1 −
2D2
•Remarque : On retrouve la même résultat si le point M est à l’infini
M
H
α
S2
O
z
S1
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• δ(M) = (S 2 M) − (S 1 M) = (S 2 H) + (HM) − (S 1 H)
• théorème de Malus : (HM) = (S 1 M)
• donc δ(M) = (S 2 H) = S 2 H
α2
• α << 1r ad donc cos α = 1 −
2
µ
2¶
α
• δ(M) = a cos α = a 1 −
2
x2 + y 2
• α ≈ tan α =
D2
2
2
µ
¶
x2 + y 2
δ(M) = a 1 −
2D2
Ï Nature des franges
x
franges correspondent à δ(M) = c t e ⇒
x 2 + y 2 = c t e : les franges sont des anneaux concentriques (de centre O’)
y
Ï Ordre d’interférence
µ
¶
δ(M)
a
x2 + y 2
• p(M) =
=
1−
λ0
λ0
2D2
• au centre x = y = 0 donc x 2 + y 2 = 0 ⇒ p 0 =
a
λ0
• donc l’ordre d’interférence
µ
p(M) = p 0
x2 + y 2
1−
2D2
¶
l’ordre d’interférence est maximal au centre
Ï Rayon R p de l’anneau de l’ordre p
q
• Rp = x 2 + y 2
R2p
p(M)
•
= 1−
p0
2D2
s µ
¶
p(M)
Rp = D 2 1 −
p0
Ï différence de deux rayons de deux anneaux successives de même nature
s µ
s µ
Ãs
!
s
¶
¶
p
p −1
p
p −1
p
• R p−1 − R p = D 2 1 −
−D 2 1−
= 2D
1−
− 1−
p0
p0
p0
p0
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





d (R p−1 − R p )
D 
1
1

•
= p r
−s

p
dp
p0 2 
p −1 
 1−

1−
p0
p
0
d (R p−1 − R p )
Ê 0 : lorsque p diminue (R p−1 − R p ) diminue aussi
dp
• R p−1 − R p n’est plus constante,donc on peut plus parler de l’interfrange
•
• Conclusion : Les anneaux se resserent lorsqu’on s’éloigne du centre
2 Applications
2.1 Trous de Young
• D : la distance entre l’axe des sources S 1 et S 2 et l’écran
• d : distance entre la source primaire S et l’axe des sources S 1 S 2
• x 0 : l’abscisse de la source S
x
x
M
S1
S
x’
z
O
S2
d
y
D
y
Ï Différence de marche δ(M)
• δ(M) = (SS 2 M) − (SS 1 M)
• δ(M) = (SS 2 ) + (S 2 M) − (SS 1 ) − (S 1 M) = (SS 2 − SS 1 ) + (S 2 M − S 1 M)
ax
• S2M − S1M =
D
ax 0
• SS 2 − SS 1 =
d
ax 0 ax
+
δ(M) =
d
D
•Remarque : dans le cas particulier ou la source S est située sur l’axe Oz : SS 2 = SS 1
donc
ax
δ(M) =
D
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• les franges : δ(M) = ct e ⇒ x = c t e les franges sont des droites parallèles à Oy
Dx 0
• la frange centrale : δ(M) = 0 ⇒ x f c = −
d
• dans le cas particulier ou la source est situé sur l’axe OZ : x f c = 0
•Conclusion : lorsqu’on déplace la source S avec une distance x 0 en haut (perpendiculaire à l’axe Oz),la frange centrale se déplace en bas (sens contraire) avec
Dx 0
une distance x = −
d
µ
¶
δ(M) 1 ax 0 ax
• l’ordre d’interférence p(M) =
=
+
λ
λ d
D
µ 0
¶
ax p
1 ax
+
• les franges brillantes : p =
λ d
D
µ
¶
λD
x 0D
xp = p
−
a
d
µ 0
¶
ax
1 1 ax
+
• les franges sombres : p + =
2 λ d
D
µ
¶
Dλ
1
Dx 0
xp =
p+ −
a
2
d
• ’interfrange : i = x (p+1) − x p =
λD
a
i=
λD
a
2.2 Miroirs de Fresnel
champ d’interférence
S
S
M1
M1
α
α
M2
S1
M
I
J
M2
O
D
S1
S2
S2
d
• les deux miroirs d’arrêt commun font entre eux un angle α << 1r ad
• D : la distance entre l’arrêt des miroirs et l’écran
• d : distance entre l’axe des sources S 1 S 2 et l’arrêt des miroirs
• a = S 1 S 2 et x : l’abscisse du point M
λ
λ
• δ(M) = (SJM) − (SIM) = (SJ + JM + ) − (SI + IM + )
2
2
• SI = S 1 I et SJ = S 2 J
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ax
d +D
• on montre facilement que a ≈ 2αd
• δ(M) = S 2 M − S 1 M =
δ(M) =
2αd x
d +D
• les franges : δ(M) = ct e ⇒ x = ct e : droites parallèles à Oy
δ(M)
2αd .x
• l’ordre d’interférence : p(M) =
=
λ
λ(D + d )
2αd .i
• δP = 1 ⇒ 1 =
λ(D + d )
µ
¶
λ
D
i=
1+
2α
d
12 / 12