Variables à densité. 1

Colles en ÉCS2 Variables à densité. Florilège
1 - Lois quelconques.
Exercice 1. Loi de Laplace.
Soit f:R−→ R, x 7−→ 1
2e−|x|.
1. Montrer que fest une densité de probabilité.
2. Soit Xune variable aléatoire admettant fpour densité. Déterminer la fonction de
répartition de X.
3. Montrer que Xadmet une espérance et une variance et les calculer.
4. Soit Y = X. Déterminer une densité de Y.
5. Montrer que Yadmet une espérance et une variance et les calculer.
Exercice 2. Lois de Pareto avec ou sans moment.
Soit aun réel et f:R−→ R, x 7−→ (0si x61
a
x3sinon .
1. Déterminer apour que fsoit une densité de probabilité.
2. Soit Xune variable aléatoire admettant fpour densité. Déterminer la fonction de
répartition de X.
3. Étudier si Xadmet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
4. Soit Y = √X. Déterminer une densité de Y.
5. Étudier si Yadmet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
Exercice 3. Par la loi ou par transfert.
1. Justifier que f:R−→ R, x 7−→ 1
π(1 + x2)est une densité de variable aléatoire.
2. Soit Xayant fpour densité et Ydéfinie par :
Y = (ln Xsi X6= 0
0sinon .
a) Déterminer la fonction de répartition de Yen fonction de celle de X.
b) Déterminer une densité continue fYde Y.
c) Étudier la parité de fY, établir que Ypossède une espérance et la calculer.
3. Soit I = Z1
0
ln(x)
1 + x2dxet J = Z+∞
1
ln(x)
1 + x2dx.
a) Établir la convergence de Ipuis celle de J.
b) À l’aide du changement de variable u= 1/x, montrer que J = −I.
c) Retrouver, à l’aide du théorème de transfert, l’existence et la valeur de l’espérance
de Y.
Exercice 4. Autour de l’arc-tangente.
1.a) En posant u= arctan x, établir que I = Z+∞
0
dx
1 + x22existe et vaut π
4.
b) Pour quelle valeur du réel ala fonction fdéfinie par
f:R−→ R, x 7−→ 
a
(1 + x2)2si x>0
0sinon
est-elle une densité de probabilité ?
2. Soit Xune variable ayant fpour densité. Justifier l’existence et calculer E(X) et
V(X).
Exercice 5. Fléchettes.
On lance une fléchette sur une cible circulaire de rayon égal à 1 métre. La probabilité
d’atteindre une zone donnée de la cible est proportionnelle à l’aire de cette zone.
1. On note Rla distance séparant le centre de la cible de la fléchette. Déterminer la loi
de R.
2. Pour participer au jeu, on mise 1 euro, et on gagne à chaque fois k
Reuro(s). On note
Gle gain algébrique. du joueur. Montrer que Gadmet une espérance et la calculer,
en fonction de k.
3. L’organisateur espère gagner 0,20 euro par partie en moyenne. Quelle valeur doit-il
donner à k? Dans la suite, kprend cette valeur.
4. Quels sont les gains possibles du joueur ? Que vaut P(G >5) ? Et P(G >0) ?
Exercice 6. Une densité constante par morceaux.
Pour x∈R, on note E(x)la partie entière de x.
Soit αun réel et f:R−→ R, x 7−→ (0si x6∈ ] 1 ; 4 [
αE(x)sinon .
1. Déterminer αpour que fsoit une densité de probabilité.
2. Soit Xune VAR de densité f. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Étudier si Xadmet une espérance. Si oui, la calculer.
4. Soit Y = X−2. Étudier si Yadmet une espérance. Si oui, la calculer.
Exercice 7. Loi de l’arc-sinus.
Soit f:R−→ R, x 7−→ 
0si x6∈ [−1 ; 1 ]
2
π√1−x2si x∈[−1 ; 1 ] .
1. Vérifier que fest une densité de variable aléatoire. Soit Xadmettant fpour densité.
2. On définit Ypar : Y∈[−π/2 ; π/2 ] et sin Y = X. Déterminer une densité de Y.
3. Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
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Exercice 8. Racine d’une variable exponentielle.
Soit λ > 0et f:R−→ R, x 7−→ (0si x60
λe−λx si x > 0.
1. Vérifier que fest une densité de variable aléatoire. Soit Xadmettant fpour densité.
2. Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
3. On définit Ypar Y = √X. Déterminer une densité de Y.
4. Montrer que E(Y) et V(Y) existent et les calculer.
Exercice 9. Sup et inf d’une famille de lois de Pareto.
Soit nun entier naturel au moins égal à 2. Soit X1,X2,...,Xnnvariables aléatoires
indépendantes toutes de densité f:R−→ R, x 7−→ 
0si x61
1
x2si x > 1.
1. Étudier l’existence de E(Xi)et de V(Xi).
2. Soit Y = inf
16i6n(Xi)etZ = sup
16i6n
(Xi). Déterminer une densité de Yet une densité de
Z.
3. Étudier l’existence, et calculer éventuellement la valeur, de E(Y), de V(Y), de E(Z)
et de V(Z).
Exercice 10. Densité polynomiale.
Soit aun réel et f:R−→ R, x 7−→ (0si x6∈ [ 0 ; 1 ]
a(x3−x4)si x∈[ 0 ; 1 ] .
1. Déterminer apour que fsoit une densité de probabilité.
2. Soit Xadmettant fpour densité. Expliciter la fonction de répartition Fde X.
3. Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
Exercice 11. Inversion d’une loi γ.
Soit, pour n∈N,In=Z+∞
0
e−1
x
xndx.
1. Prouver, à l’aide de la fonction Γ, que Inconverge pour n>2et donner sa valeur.
2. On suppose maintenant n>2. Soit fn:R−→ R, x 7−→ 
0si x60
λn
e−1
x
xnsi x > 0.
Montrer que, pour une valeur λnque l’on calculera, fnest une densité de probabilité.
3. Soit Xnune v.a.r. admettant fnpour densité. Étudier l’existence, et éventuellement
calculer, E(Xn)et V(Xn).
Exercice 12. Discrète vs à densité.
Soit Xune v.a.r. positive à densité. Soit Yla partie entière de X.
1. Donner la loi de Y.
2. Montrer que E(Y) existe si, et seulement si, E(X) existe. Montrer que, dans ce cas,
E(Y) 6E(X) 6E(Y) + 1.
Exercice 13. Loi de Weibull.
Soit β∈] 0 ; +∞[et f:R−→ R, x 7−→ (0si x60
βxβ−1e−xβsinon .
1. Montrer que, pour tout k∈N, l’intégrale Ik=Z+∞
0
xkβxβ−1e−xβdxexiste et cal-
culer sa valeur à l’aide de la fonction Γd’Euler, en fonction de ket β.
2. Montrer que fest une densité de probabilité.
3. Soit Xune variable admettant fpour densité. Montrer que possède des moments de
tous ordres. Calculer V(X) dans le cas particulier β= 2.
4. On pose Y = Xβ. Déterminer la loi de Y.
5. À l’aide du théorème de transfert et utilisant une densité de Y, retrouver l’existence
et la valeur des moments de X.
N.B. La loi de Xporte le doux nom de loi de Weibull de paramètre β.
Exercice 14. Exponentielles itérées.
Soit f:R−→ R, x 7−→ e−xe−e−x.
1. Montrer que fest une densité de probabilité.
2. Soit Xune variable admettant fpour densité. Déterminer la loi de Y = exp(−X).
3. Ypossède-t-elle une espérance ?
4. Établir que Xpossède une espérance.
Exercice 15. Loi d’un produit.
1. Pour a<bet A>0, calculer l’intégrale Zb
a
e2t
A + e2tdt.
2. Vérifier que f:R−→ R, x 7−→ 1
π(1 + x2)est une densité de probabilité.
3. Soit x∈R. Montrer qu’il existe Aet Bréels tels que : ∀u∈R,1
(u+ 1)(e2x+u)=
A
u+ 1 +B e2x+u.
4. Soit Xet Ydeux variables indépendantes admettant toutes deux fpour densité.
a) Déterminer une densité de ln X.
b) Déterminer une densité de ln XY.
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Exercice 16. Laplace de base 3.
1. Déterminer un réel atel que f:R−→ R, x 7−→ (a.3−xsi x∈R+
a.3xsinon soit une densité
de probabilité.
2. Soit Xadmettant fpour densité. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Établir l’existence et déterminer la valeur de E(X).
4. On poseY = 3X. Déterminer la fonction de répartition de Y.
5. Yadmet-elle une espérance ?
2 - Autour des lois usuelles.
Exercice 17. .
1. Soit Xune variable aléatoire réelle de fonction de répartition F, de support X(Ω) =
]a;b[où a∈[−∞; +∞[,b∈]−∞; +∞]et a<b. On suppose Fstrictement
croissante sur ]a;b[.
Montrer que la restriction de Fà]a;b[est une bijection de ]a;b[sur un intervalle
à préciser.
2. On pose Y = F(X). Quelle est la loi de Y?
3. Soit λun réel strictement positif et Yune variable suivant la loi uniforme U]0;1[.
Déterminer une variable Xdéfinie en fonction de Yet suivant la loi exponentielle
E(λ).
4. En turbo-pascal, la fonction random renvoie un réel suivant la loi U]0;1[. Définir
un algorithme en turbo-pascal prenant le réel λcomme argument et renvoyant un
réel suivant la loi E(λ).
Exercice 18. .
Soit n∈N∗et Xune v.a.r. de loi uniforme U[0;n[. Soit Yla partie entière de Xet
Z=X−Y.
1. Déterminer la loi de Y.
2. Déterminer la loi de Z(on pourra utiliser le système ([Y = k])k∈[[0 ; n−1]]).
Exercice 19. .
Soit Xune variable suivant la loi uniforme U[0;1].
1. Rappeler une densité et la fonction de répartition de X.
2. On pose Y = −ln X. Montrer que Yadmet une espérance E(Y) sans déterminer sa
loi.
3. Déterminer la loi de Yet retrouver E(Y).
4. La fonction turbopascal random renvoie un réel suivant la loi U[0;1]. Écrire une
fonction en turbopascal renvoyant un réel suivant la même loi que Y.
Exercice 20. .
1. Montrer que f:R−→ ]−1 ; 1 [ , x 7−→ e2x−1
e2x+ 1 est une bijection.
2. Déterminer f−1(y)pour y∈]−1 ; 1 [.
3. Soit Xune v.a.r. de loi uniforme U]−1;1[. Soit Y = 1
2ln 1+X 1−X. Déterminer une
densité de Y.
4. Montrer que Ya une espérance et la calculer.
Exercice 21. .
1. Soit Xune variable aléatoire suivant la loi γ(3). Rappeler une densité de X.
2. On pose Y=1/Xsi X>0, et Y=0sinon.
a) Montrer que FY(y) = 
0si y60
1−FX1
ysinon .
b) En déduire une densité de Y.
3. Montrer que E(Y) existe et la calculer.
Exercice 22. .
On dit qu’une variable Xsuit une loi symétrique si :
∀x∈R,P(X <−x) = P(X > x).
1.a) Montrer que U(] −1 ; 1 [) et N(0; 1) sont deux lois symétriques.
b) Soit λ∈] 0 ; +∞[.E(λ)est-elle une loi symétrique ?
2.a) Montrer que si Xsuit une loi symétrique, alors Xpossède une densité paire.
Que peut-on dire de l’espérance de X, si elle existe ?
b) Réciproquement, montrer que si Xpossède une densité paire, alors Xsuit une loi
symétrique.
3. Soit Xune variable suivant une loi symétrique.
a) On suppose que X2suit la loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer une densité
fXde Xet vérifier que Z+∞
0
fX(x)dx= 1.
b) Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
4. On suppose que les variables indépendantes Xet Ysuivent toutes les deux des lois
symétriques et que la loi de Z = X + Y peut être obtenue à l’aide du produit de
convolution. Montrer que la loi de Zest symétrique.
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Exercice 23. Une matrice aléatoire.
Soit Xune variable suivant la loi normale N(0; 4) et M = 2X 1
−4 X !. Calculer, à 10−3
prés, la probabilité que :
1. Mpossède deux valeurs propres réelles distinctes ;
2. Mpossède deux valeurs propres complexes non réelles ;
3. Mpossède deux valeurs propres imaginaires pures.
Exercice 24. .
Soit Xune variable suivant la loi normale N(0; 1).
1. Montrer que Y=X2possède une espérance que l’on précisera (On ne cherchera pas
à déterminer la loi de Y).
2. Montrer que Ysuit une loi usuelle dont on précisera les paramètres.
3. Retrouver alors E(Y) et en déduire l’existence et la valeur de V(Y).
4. Déterminer une valeur approchée à 0,01 prés de la médiane mde Y, définie par
FY(m) = 1
2.
Exercice 25. .
Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle E(1).
Quelle est la probabilité que le polynôme en t:t2+ 2(X −2)t+ 2X + 4 admette au moins
une racine réelle ?
Exercice 26. Non corrélées, non indépendantes.
Soit Xde loi N(0; 1).
1. On pose Y = |X|. Montrer que Yest une variable à densité et déterminer son espé-
rance.
2. On pose Z = XY. Montrer que Zest une variable à densité et déterminer son espé-
rance.
3. On définit le coefficient de corrélation linéaire de Xet Ypar
ρ(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y)
σ(X)σ(Y) .
Calculer ρ(X,Y).
4. Étudier l’indépendance de Xet Y.
Exercice 27. Loi d’un quotient.
Soit Xet Ydeux variables indépendantes de loi exponentielle E(1).
1. Déterminer les lois de ln X et −ln Y.
2. Montrer qu’une densité de ln X
Yest x7→ ex (ex+ 1)2.
3. En déduire la loi de Z=X/Y.
4. Soit k∈] 0 ; +∞[. Calculer P(X > kY).
5. Zpossède-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 28. Loi d’un produit.
Soit n, p ∈N∗,(Xi)i∈[[1 ; n]] et (Yi)i∈[[1 ; p]] 2nvariables aléatoires indépendantes toutes de
loi uniforme U[ 0 ; 1 ]. On pose : Rn= max(X1,...,Xn)et Sp= max(Y1,...,Yp).
1. Déterminer les lois de Rnet de Sp.
2. Déterminer les lois de ln(Rn)et de ln(Sp).
3. Déterminer la loi de T=RnSp.
4. Montrer que Tpossède des moments de tous ordres.
5. Calculer E(T).
Exercice 29. Somme de lois exponentielles.
1. Montrer que la fonction définie sur Rpar :
F(x) = 1−2e−x/3+e−2x/311]0;+∞[
est une fonction de répartition.
2. Soit Zune variable ayant Fpour fonction de répartition.
a) Donner une densité de Z.
b) Justifier l’existence de E(Z) et V(Z) et les calculer.
3. Soit Xet Ydeux variables indépendantes de loi respective E(1/3) et E(2/3).
a) Montrer que Sdéf. = X + Y suit la même loi que Z.
b) Retrouver alors E(Z) et V(Z).
Exercice 30. Une caractérisation de la loi exponentielle.
Soit (Xi)i∈N∗une suite de variables aléatoires toutes définies sur un même espace de
probabilité (Ω,T,P), indépendantes et de même loi, telle que Xi(Ω) = R+et FXiest
dérivable sur R+.
On notera Fla fonction de répartition commune des Xi.
Pour tout nde N∗, on désigne par Inla variable aléatoire définie par In=n×inf16i6n(Xi).
1. Dans cette question, on suppose que la loi commune des variables Xiest la loi ex-
ponentielle de paramètre λ. Montrer que, pour tout nde N∗,Insuit aussi la loi
exponentielle E(λ).
2. Dans cette question, on suppose que, pour tout nde N∗,Insuit la même loi que les
variables Xi.
a) Montrer que : nln(1 −F(x/n)) ∼
n→+∞−xF0
d(0), où F0 d(0) désigne la dérivée à droite
de Fen 0.
b) Montrer que, pour tout xde R+et tout nde N∗,1−F(x) = 1−Fx
nn.
c) En déduire la loi commune des Xi.
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Exercice 31. Quotient d’inf et sup.
Soit a∈] 0 ; +∞[. Soit Xet Ydeux variables indépendantes de même loi uniforme sur
] 0 ; a[.
On pose I = inf(X,Y) et S = sup(X,Y) et on s’intéresse à la loi de Z = I
S.
1. Montrer que ln Z = −|ln X −ln Y|.
2. Déterminer des densités de U = ln X et V = −ln Y.
3. Déterminer une densité de W = U + V.
4. En déduire la loi de Z.
Exercice 32. Lois limites.
Soit (Xn)n>1est une suite de variables de fonction de répartition respective FXnet Xune
variable de fonction de répartition FX.
Lorsque, en tout xde Roù FXest continue, on a : lim
n→+∞FXn(x)=FX(x), on dit que Xn
converge en loi vers X.
1. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn)lorsque, pour tout nde N∗,Xnsuit
U([ −1/n ; 1/n ]).
2. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn)lorsque, pour tout nde N∗,Xnsuit
U([ −n;n]).
3. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn)lorsque, pour tout nde N∗,Xnsuit
U1
n,2 n,...,n−1 n,1.
3 - Indications de réponses.
Exercice 1. Loi de Laplace..
1. fest continue, positive et paire sur R.Z+∞
0
f(x)dx=1
2Z+∞
0
e−xdx=1
2Γ(1) = 1 2.
Par parité, Z+∞
−∞
f(x)dx= 1.
2. Si x < 0,FX(x) = 1
2exet si x>0,FX(x) = 1 −1 2e−x.
3. Z+∞
0
xfX(x)dx=1
2Z+∞
0
xe−xdx=1
2Γ(2) donc existe ! ! ! Par "imparité" de x7→
xfX(x),Z+∞
−∞
xfX(x)dx= 0 et E(X) = 0.
Z+∞
0
x2fX(x)dx=1
2Z+∞
0
x2e−xdx=1
2Γ(3) donc existe ! ! ! Par parité de x7→
x2fX(x),Z+∞
−∞
x2fX(x)dx= Γ(3) = 2! = 2,E(X2) = 2,V(X) = 2.
4. Y(Ω) = R+,FY(y) = 11[0;+∞[(y)(FX(y)−FX(−y)) = (1 −e−y)11[0;+∞[(y),fY(y) =
e−y11[0;+∞[(y)... Y→E(1).
5. E(Y) = 1,V(Y) = 1.
Exercice 2. Lois de Pareto avec ou sans moment.
1. Z+∞
1
dx
x3=1 2donc a= 2 et fvérifie toutes les propriétés d’une densité.
2. FX(x) = 1−1
x211]1;+∞[(x).
3. Z+∞
1
xf(x)dx=Z+∞
1
2
x2dxexiste et vaut 2:E(X) existe et vaut 2.
Z+∞
1
x2f(x)dx=Z+∞
1
2
xdxn’existe pas : E(X2)et V(X) n’existent pas.
4. FY(y) = 1−1
x411]1;+∞[(y),FY(y) = 4 x511]1;+∞[(y).
5. E(Y) = 4
3,E(Y2) = E(X) = 2,V(Y) = 2 9.
Exercice 3. Par la loi ou par transfert.
1. fest manifestement continue et positive sur Ret Z+∞
−∞
f(x)dx=arctan x
π+∞
−∞
= 1.
2.a) Pour y∈R,FY(y)=FX(ey)−FX(−ey).
b) Pour y∈R,fY(y) = 2ey
π(1 + e2y).
c) fY(−y) = 2e−y
π(1 + e−2y)=2ey π(e2y+ 1) =fY(y),fYest paire.
yfY(y)∼
y→+∞
2ye−y
πet comme Z+∞
0
ye−ydyexiste (c’est Γ(2) ! ! ! !), par équivalence
Z+∞
0
yfY(y)dyexiste. y7→ yfY(y)étant impaire, E(Y) existe et vaut 0.
3.a) ln(x)
1 + x2∼
x→0ln(x)et Z1
0
ln(x)dxexiste (utiliser la primitive x7→ xln(x)−xet la
limite lim
x→0xln(x) = 0), ce qui assure la convergence de I.
ln(x)
1 + x2=o
x→+∞1
x3/2et Z+∞
1
dx
x3/2existe (Riemann) donc convergence de J.
b) J = Z+∞
1
ln(x)
1 + x2dx=Z0
1
ln(1/u)
1+1/u2−1 u2du=−Z1
0
ln(u)
u2+ 1du=−I:-)
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