Variables à densité. 1

Colles en ÉCS2
Variables à densité.
1 - Lois quelconques.
Florilège
Exercice 4. Autour de l’arc-tangente.
Z
+∞
dx
π
.
4
Exercice 1. Loi de Laplace.
1
Soit f : R −→ R, x 7−→ e−|x| .
2
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. Déterminer la fonction de
répartition de X.
3. Montrer que
X admet une espérance et une variance et les calculer.
4. Soit Y = X. Déterminer une densité de Y.
5. Montrer que Y admet une espérance et une variance et les calculer.
1.a) En posant u = arctan x, établir que I =
Exercice 2. Lois de Pareto avec ou sans moment.
(
0
si x 6 1
Soit a un réel et f : R −→ R, x 7−→ a
.
sinon
x3
1. Déterminer a pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. Déterminer la fonction de
répartition de X.
3. Étudier si√X admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
4. Soit Y = X. Déterminer une densité de Y.
5. Étudier si Y admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
Exercice 5. Fléchettes.
On lance une fléchette sur une cible circulaire de rayon égal à 1 métre. La probabilité
d’atteindre une zone donnée de la cible est proportionnelle à l’aire de cette zone.
1. On note R la distance séparant le centre de la cible de la fléchette. Déterminer la loi
de R.
k
2. Pour participer au jeu, on mise 1 euro, et on gagne à chaque fois
euro(s). On note
R
G le gain algébrique. du joueur. Montrer que G admet une espérance et la calculer,
en fonction de k.
3. L’organisateur espère gagner 0,20 euro par partie en moyenne. Quelle valeur doit-il
donner à k ? Dans la suite, k prend cette valeur.
4. Quels sont les gains possibles du joueur ? Que vaut P(G > 5) ? Et P(G > 0) ?
Exercice 3. Par la loi ou par transfert.
1
1. Justifier que f : R −→ R, x 7−→
est une densité de variable aléatoire.
π(1 + x2 )
2. Soit X ayant f pour densité et Y
par :
( définie
ln X
si X 6= 0
Y=
.
0
sinon
1 + x2
b) Pour quelle valeur du réel a la fonction
par
 f définie
a

si x > 0
f : R −→ R, x 7−→ (1 + x2 )2
0
sinon
est-elle une densité de probabilité ?
2. Soit X une variable ayant f pour densité. Justifier l’existence et calculer E(X) et
V(X).
0
Exercice 6. Une densité constante par morceaux.
Pour x ∈ R, on note E(x) la partie entière
de x.
(
0
si x 6∈ ] 1 ; 4 [
Soit α un réel et f : R −→ R, x 7−→
.
αE(x) sinon
1. Déterminer α pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X une VAR de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Étudier si X admet
une espérance. Si oui, la calculer.
4. Soit Y = X − 2. Étudier si Y admet une espérance. Si oui, la calculer.
a) Déterminer la fonction de répartition de Y en fonction de celle de X.
b) Déterminer une densité continue fY de Y.
c) Étudier la parité de fY , établir que Y possède une espérance et la calculer.
Z 1
Z +∞
ln(x)
ln(x)
3. Soit I =
dx et J =
dx.
2
1
+
x
1
+ x2
0
1
a) Établir la convergence de I puis celle de J.
b) À l’aide du changement de variable u = 1/x, montrer que J = −I.
c) Retrouver, à l’aide du théorème de transfert, l’existence et la valeur de l’espérance
de Y.
 Nivôse  à :
2 existe et vaut
Exercice 7. Loi de l’arc-sinus.

0
si x 6∈ [ −1 ; 1 ]
Soit f : R −→ R, x 7−→ 2 √
.

1 − x2 si x ∈ [ −1 ; 1 ]
π
1. Vérifier que f est une densité de variable aléatoire. Soit X admettant f pour densité.
2. On définit Y par : Y ∈ [ −π/2 ; π/2 ] et sin Y = X. Déterminer une densité de Y.
3. Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
1/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
Exercice 8. Racine d’une variable
exponentielle.
(
0
si x 6 0
.
Soit λ > 0 et f : R −→ R, x 7−→
−λx
λe
si x > 0
1. Vérifier que f est une densité de variable aléatoire. Soit X admettant f pour densité.
2. Montrer que E(X) et V(X)
√ existent et les calculer.
3. On définit Y par Y = X. Déterminer une densité de Y.
4. Montrer que E(Y) et V(Y) existent et les calculer.
Exercice 9. Sup et inf d’une famille de lois de Pareto.
Soit n un entier naturel au moins égal à 2. Soit X
1 , X2 , . . . , Xn n variables aléatoires
0
si x 6 1
.
indépendantes toutes de densité f : R −→ R, x 7−→
1

si x > 1
2
x
1. Étudier l’existence de E(Xi ) et de V(Xi ).
2. Soit Y = inf (Xi ) etZ = sup (Xi ). Déterminer une densité de Y et une densité de
16i6n
3.
1.
2.
Exercice 10. Densité polynomiale.
(
0
si x 6∈ [ 0 ; 1 ]
Soit a un réel et f : R −→ R, x 7−→
.
a(x3 − x4 ) si x ∈ [ 0 ; 1 ]
1. Déterminer a pour que f soit une densité de probabilité.
2. Soit X admettant f pour densité. Expliciter la fonction de répartition F de X.
3. Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
Donner la loi de Y.
Montrer que E(Y) existe si, et seulement si, E(X) existe. Montrer que, dans ce cas,
E(Y) 6 E(X) 6 E(Y) + 1.
Exercice 13. Loi de Weibull.
(
0
si x 6 0
.
Soit β ∈ ] 0 ; +∞ [ et f : R −→ R, x 7−→
β−1 −xβ
βx
e
sinon
Z +∞
β
1. Montrer que, pour tout k ∈ N, l’intégrale Ik =
xk βxβ−1 e−x dx existe et cal0
2.
3.
4.
5.
16i6n
Z.
Étudier l’existence, et calculer éventuellement la valeur, de E(Y), de V(Y), de E(Z)
et de V(Z).
Florilège
culer sa valeur à l’aide de la fonction Γ d’Euler, en fonction de k et β.
Montrer que f est une densité de probabilité.
Soit X une variable admettant f pour densité. Montrer que possède des moments de
tous ordres. Calculer V(X) dans le cas particulier β = 2.
On pose Y = Xβ . Déterminer la loi de Y.
À l’aide du théorème de transfert et utilisant une densité de Y, retrouver l’existence
et la valeur des moments de X.
N.B. La loi de X porte le doux nom de loi de Weibull de paramètre β.
Exercice 14. Exponentielles itérées.
−x
Soit f : R −→ R, x 7−→ e−x e−e .
1. Montrer que f est une densité de probabilité.
2. Soit X une variable admettant f pour densité. Déterminer la loi de Y = exp(−X).
3. Y possède-t-elle une espérance ?
4. Établir que X possède une espérance.
Exercice 15. Loi d’un produit.
b
e2t
dt.
Exercice 11. Inversion d’une loi γ.
2t
a A+e
Z +∞ − 1
1
e x
2. Vérifier que f : R −→ R, x 7−→
est une densité de probabilité.
Soit, pour n ∈ N, In =
dx.
n
π(1 + x2 )
x
0
1
1. Prouver, à l’aide de la fonction Γ, que In converge pour n > 2 et
 donner sa valeur.
3. Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe A et B réels tels que : ∀u ∈ R,
=
(u + 1)(e2x + u)
0
si x 6 0
1
A
B
−x
2. On suppose maintenant n > 2. Soit fn : R −→ R, x 7−→
.
+ 2x
.
λ n e
si
x
>
0
u
+
1
e
+u
xn
admettant toutes deux f pour densité.
Montrer que, pour une valeur λn que l’on calculera, fn est une densité de probabilité. 4. Soit X et Y deux variables indépendantes
a)
Déterminer
une
densité
de
ln
X
.
3. Soit Xn une v.a.r. admettant fn pour densité. Étudier l’existence, et éventuellement
calculer, E(Xn ) et V(Xn ).
b) Déterminer une densité de ln XY.
Z
1.
Pour a < b et A > 0, calculer l’intégrale
Exercice 12. Discrète vs à densité.
Soit X une v.a.r. positive à densité. Soit Y la partie entière de X.
 Nivôse  à :
2/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
Exercice 16. Laplace de base 3.
Exercice 20. .
(
−x
a.3
a.3x
si x ∈ R+
soit une densité
sinon
1.
Déterminer un réel a tel que f : R −→ R, x 7−→
2.
3.
4.
5.
de probabilité.
Soit X admettant f pour densité. Déterminer la fonction de répartition de X.
Établir l’existence et déterminer la valeur de E(X).
On poseY = 3X . Déterminer la fonction de répartition de Y.
Y admet-elle une espérance ?
2 - Autour des lois usuelles.
Florilège
1.
2.
3.
4.
e2x − 1
est une bijection.
e2x + 1
−1
Déterminer f (y) pour y ∈ ] −1 ; 1 [.
1
1+X
Soit X une v.a.r. de loi uniforme U] −1 ; 1 [ . Soit Y = ln
. Déterminer une
2
1−X
densité de Y.
Montrer que Y a une espérance et la calculer.
Montrer que f : R −→ ] −1 ; 1 [ , x 7−→
Exercice 21. .
1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi γ (3). Rappeler une densité de X.
2. On pose Y = 1/X si X > 0, et Y = 0 sinon.

0
si y 6 0
a) Montrer que FY (y) =
.
1
1 − FX
sinon
y
b) En déduire une densité de Y.
3. Montrer que E(Y) existe et la calculer.
Exercice 17. .
1. Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F, de support X(Ω) =
] a ; b [ où a ∈ [ −∞ ; +∞ [, b ∈ ] −∞ ; +∞ ] et a < b. On suppose F strictement
croissante sur ] a ; b [.
Montrer que la restriction de F à ] a ; b [ est une bijection de ] a ; b [ sur un intervalle
à préciser.
2. On pose Y = F(X). Quelle est la loi de Y ?
Exercice 22. .
3. Soit λ un réel strictement positif et Y une variable suivant la loi uniforme U] 0 ; 1 [ . On dit qu’une variable X suit une loi symétrique si :
Déterminer une variable X définie en fonction de Y et suivant la loi exponentielle
∀x ∈ R, P(X < −x) = P(X > x).
E(λ).
1.a) Montrer que U (] −1 ; 1 [) et N (0; 1) sont deux lois symétriques.
4. En turbo-pascal, la fonction random renvoie un réel suivant la loi U] 0 ; 1 [ . Définir
b) Soit λ ∈ ] 0 ; +∞ [. E (λ) est-elle une loi symétrique ?
un algorithme en turbo-pascal prenant le réel λ comme argument et renvoyant un
2.a) Montrer que si X suit une loi symétrique, alors X possède une densité paire.
réel suivant la loi E(λ).
Que peut-on dire de l’espérance de X, si elle existe ?
Exercice 18. .
b) Réciproquement, montrer que si X possède une densité paire, alors X suit une loi
Soit n ∈ N∗ et X une v.a.r. de loi uniforme U[ 0 ; n [ . Soit Y la partie entière de X et
symétrique.
Z = X − Y.
3. Soit X une variable suivant une loi symétrique.
1. Déterminer la loi de Y.
a) On suppose que X2 suit la loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer une densité
Z +∞
2. Déterminer la loi de Z (on pourra utiliser le système ([Y = k])k∈[[0 ; n−1]] ).
fX de X et vérifier que
fX (x)dx = 1.
0
Exercice 19. .
b) Montrer que E(X) et V(X) existent et les calculer.
Soit X une variable suivant la loi uniforme U[ 0 ; 1 ] .
4.
On suppose que les variables indépendantes X et Y suivent toutes les deux des lois
1. Rappeler une densité et la fonction de répartition de X.
symétriques et que la loi de Z = X + Y peut être obtenue à l’aide du produit de
2. On pose Y = − ln X. Montrer que Y admet une espérance E(Y) sans déterminer sa
convolution. Montrer que la loi de Z est symétrique.
loi.
3. Déterminer la loi de Y et retrouver E(Y).
4. La fonction turbopascal random renvoie un réel suivant la loi U[ 0 ; 1 ] . Écrire une
fonction en turbopascal renvoyant un réel suivant la même loi que Y.
 Nivôse  à :
3/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
Exercice 23. Une matrice aléatoire.
Soit X une variable suivant la loi normale N(0; 4) et M =
prés, la
1. M
2. M
3. M
2X
−4
1
X
!
. Calculer, à 10−3
4.
5.
Florilège
Soit k ∈ ] 0 ; +∞ [. Calculer P(X > kY).
Z possède-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Exercice 28. Loi d’un produit.
Soit n, p ∈ N∗ , (Xi )i∈[[1 ; n]] et (Yi )i∈[[1 ; p]] 2n variables aléatoires indépendantes toutes de
loi uniforme U [ 0 ; 1 ]. On pose : Rn = max(X1 , . . . , Xn ) et Sp = max(Y1 , . . . , Yp ).
1. Déterminer les lois de Rn et de Sp .
2. Déterminer les lois de ln(Rn ) et de ln(Sp ).
3. Déterminer la loi de T = Rn Sp .
4. Montrer que T possède des moments de tous ordres.
5. Calculer E(T).
probabilité que :
possède deux valeurs propres réelles distinctes ;
possède deux valeurs propres complexes non réelles ;
possède deux valeurs propres imaginaires pures.
Exercice 24. .
Soit X une variable suivant la loi normale N(0; 1).
1. Montrer que Y = X2 possède une espérance que l’on précisera (On ne cherchera pas
à déterminer la loi de Y).
Exercice 29. Somme de lois exponentielles.
2. Montrer que Y suit une loi usuelle dont on précisera les paramètres.
1. Montrer que la fonction définie sur R par :
3. Retrouver alors E(Y) et en déduire l’existence et la valeur de V(Y).
F(x) = 1 − 2e−x/3 + e−2x/3 11] 0 ; +∞ [
4. Déterminer une valeur approchée à 0,01 prés de la médiane m de Y, définie par
est une fonction de répartition.
FY (m) = 21 .
2. Soit Z une variable ayant F pour fonction de répartition.
a) Donner une densité de Z.
Exercice 25. .
b) Justifier l’existence de E(Z) et V(Z) et les calculer.
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle E(1).
2
3.
Soit X et Y deux variables indépendantes de loi respective E (1/3) et E (2/3).
Quelle est la probabilité que le polynôme en t : t + 2(X − 2)t + 2X + 4 admette au moins
déf.
une racine réelle ?
a) Montrer que S = X + Y suit la même loi que Z.
Exercice 26. Non corrélées, non indépendantes.
Soit X de loi N (0; 1).
1. On pose Y = |X|. Montrer que Y est une variable à densité et déterminer son espérance.
2. On pose Z = XY. Montrer que Z est une variable à densité et déterminer son espérance.
3. On définit le coefficient de corrélation linéaire de X et Y par
E(XY) − E(X)E(Y)
ρ(X, Y) =
.
σ(X)σ(Y)
Calculer ρ(X, Y).
4. Étudier l’indépendance de X et Y.
Exercice 27. Loi d’un quotient.
Soit X et Y deux variables indépendantes de loi exponentielle E(1).
1. Déterminer les lois de ln X et − lnY.
X
ex
2. Montrer qu’une densité de ln
est x 7→ x
.
Y
(e + 1)2
3. En déduire la loi de Z = X/Y.
 Nivôse  à :
b) Retrouver alors E(Z) et V(Z).
Exercice 30. Une caractérisation de la loi exponentielle.
Soit (Xi )i∈N∗ une suite de variables aléatoires toutes définies sur un même espace de
probabilité (Ω, T, P), indépendantes et de même loi, telle que Xi (Ω) = R+ et FXi est
dérivable sur R+ .
On notera F la fonction de répartition commune des Xi .
Pour tout n de N∗ , on désigne par In la variable aléatoire définie par In = n×inf 16i6n (Xi ).
1. Dans cette question, on suppose que la loi commune des variables Xi est la loi exponentielle de paramètre λ. Montrer que, pour tout n de N∗ , In suit aussi la loi
exponentielle E (λ).
2. Dans cette question, on suppose que, pour tout n de N∗ , In suit la même loi que les
variables Xi .
a) Montrer que : n ln(1 − F(x/n))
∼
n→+∞
−xF0d (0), où F0d (0) désigne la dérivée à droite
de F en 0.
b) Montrer que, pour tout x de R+ et tout n de N∗ , 1 − F(x) = 1 − F
x
n
n
.
c) En déduire la loi commune des Xi .
4/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
Florilège
4. Y(Ω) = R+ , FY (y) = 11[ 0 ; +∞ [ (y)(FX (y) − FX (−y)) = (1 − e−y )11[ 0 ; +∞ [ (y), fY (y) =
Exercice 31. Quotient d’inf et sup.
e−y 11[ 0 ; +∞ [ (y) ... Y ,→ E (1).
Soit a ∈ ] 0 ; +∞ [. Soit X et Y deux variables indépendantes de même loi uniforme sur
5. E(Y) = 1, V(Y) = 1.
] 0 ; a [.
I
On pose I = inf(X, Y) et S = sup(X, Y) et on s’intéresse à la loi de Z = .
Exercice 2. Lois de Pareto avec ou sans moment.
S
Z +∞
1. Montrer que ln Z = − |ln X − ln Y|.
1
dx
= donc a = 2 et f vérifie toutes les propriétés d’une densité.
1.
2. Déterminer des densités de U = ln X et V = − ln Y.
3
x 2
1
3. Déterminer une densité de W = U + V.
1
2.
F
(x)
=
1
−
11] 1 ; +∞ [ (x).
X
4. En déduire la loi de Z.
x2
Z +∞
Z +∞
2
Exercice 32. Lois limites.
3.
dx existe et vaut 2 : E(X) existe et vaut 2.
xf (x)dx =
x2
Soit (Xn )n>1 est une suite de variables de fonction de répartition respective FXn et X une
Z1 +∞
Z1 +∞
2
variable de fonction de répartition FX .
dx n’existe pas : E(X2 ) et V(X) n’existent pas.
x2 f (x)dx =
x
Lorsque, en tout x de R où FX est continue, on a : lim FXn (x) = FX (x), on dit que Xn
1
1
n→+∞
1
4
converge en loi vers X.
4. FY (y) = 1 − 4 11] 1 ; +∞ [ (y), FY (y) = 5 11] 1 ; +∞ [ (y).
x
x
1. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn ) lorsque, pour tout n de N∗ , Xn suit
4
2
U ([ −1/n ; 1/n ]).
5. E(Y) = , E(Y2 ) = E(X) = 2, V(Y) = .
3
9
2. Étudier la convergence en loi de la suite (Xn ) lorsque, pour tout n de N∗ , Xn suit
U ([ −n ; n ]).
Exercice 3. Par la loi ou par transfert.
∗
+∞
Z +∞
3. Étudier
la
convergence
en
loi
de
la
suite
(X
)
lorsque,
pour
tout
n
de
N
,
X
suit
n
n
1 2
arctan x
n−1
= 1.
1. f est manifestement continue et positive sur R et
f (x)dx =
U n, n, . . . , n , 1 .
π
−∞
−∞
2.a) Pour y ∈ R, FY (y) = FX (ey ) − FX (−ey ).
2ey
b) Pour y ∈ R, fY (y) =
.
π(1 + e2y )
3 - Indications de réponses.
Exercice 1. Loi de Laplace..
Z
1.
f est continue, positive et paire sur R.
Z +∞
Par parité,
f (x)dx = 1.
0
+∞
1
f (x)dx =
2
Z
0
+∞
e−x dx =
1
1
Γ(1) = .
2
2
−∞
2.
3.
2ey
2e−y
=
= fY (y), fY est paire.
π(1 + e−2y )
π(e2y + 1)
Z
+∞
2ye−y
yfY (y) ∼
et comme
ye−y dy existe (c’est Γ(2) ! ! ! !), par équivalence
y→+∞
π
0
Z +∞
yfY (y)dy existe. y 7→ yfY (y) étant impaire, E(Y) existe et vaut 0.
c) fY (−y) =
1
1
Si x < 0, FX (x) = ex et si x > 0, FX (x) = 1 − e−x .
2
2
0
Z +∞
Z
1 +∞ −x
1
Z 1
xfX (x)dx =
xe dx = Γ(2) donc existe ! ! ! Par "imparité" de x →
7
ln(x)
2
2
3.a)
∼
ln(x)
et
ln(x)dx existe (utiliser la primitive x 7→ x ln(x) − x et la
0
0
Z +∞
1 + x2 x→0
0
limite lim x ln(x) = 0), ce qui assure la convergence de I.
xfX (x),
xfX (x)dx = 0 et E(X) = 0.
x→0
Z +∞
−∞
Z +∞
Z +∞
1
dx
ln(x)
1
1
= o
et
existe (Riemann) donc convergence de J.
x2 fX (x)dx =
x2 e−x dx = Γ(3) donc existe ! ! ! Par parité de x →
7
2
3/2
x→+∞ x3/2
1
+
x
x
1
2 0
2
0
Z +∞
Z +∞
Z 0
Z 1
ln(x)
ln(1/u) −1
ln(u)
x2 fX (x),
x2 fX (x)dx = Γ(3) = 2! = 2, E(X2 ) = 2, V(X) = 2.
b) J =
dx
=
du
=
−
du = −I :-)
2
2
2
2
1+x
−∞
1
1 1 + 1/u u
0 u +1
 Nivôse  à :
5/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
Z
+∞
c) E(Y) = E(ln |X|) =
−∞
ln |x|
parité 2
dx =
π(1 + x2 )
π
Z
0
+∞
ln |x|
2
dx = (I + J) = 0.
1 + x2
π
3.
Exercice 4. Autour de l’arc-tangente.
Z π/2
Z π/2
Z π/2
du
π
1 + cos(2u)
2
1.a) I =
du = .
=
cos udu =
2
2
4
1
+
tan
u
0
0
0
1
4
b) a = = .
I
π
Z +∞
4
dx
2. xf (x) ∼
et
existe ... E(X) existe.
x→+∞ πx3
x3
Z1 +∞
4
dx
x2 f (x) ∼
et
existe ... E(X2 ) et V(X) existent.
x→+∞ πx2
x2
1
+∞
Z +∞
2
2
4x
dx
=
−
= .
E(X) =
2
2
2
π(1 + x )
π(1 + x ) 0
π
0
Z +∞
Z +∞
Z +∞
2
2
4x
4
1
+
x
−
1
4
dx
2
E(X ) =
dx =
dx =
−J =
π(1 + x2 )2
π 0
(1 + x2 )2
π
1 + x2
0
0
π
4
π2 − 4
4
+∞
[arctan x]0 −
= 2 − 1 = 1. V(X) = 1 − 2 =
.
π
4
π
π2
E(X) =
Florilège
17
, E(Y) = 1.
6
Exercice 7. Loi de l’arc-sinus.
1. En posant x = cos y :
Z 1
Z
Z
2 π/2
2 π/2 cos(2y) + 1
f (x)dx =
cos2 (y)dy =
dy = 1.
π −π/2
π −π/2
2
−1
2.
3.
Exercice 8. Racine d’une loi exponentielle.
1. En posant u = λx, on se ramène à la fonction Γ d’Euler, ou on reconnaît la loi
exponentielle de paramètre λ.
2. E(X) = 1/λ et V(X) = 1/λ2 .
2
3. FY (y) = FX (y 2 )11] 0 ; +∞ [ (y), fY (y) = 2λye−λy 11] 0 ; +∞ [ (y).
Z +∞
Z +∞
√ −u
2
1
4. E(Y) = 2λ
ue du (j’ai posé u = λy 2 ), E(Y) =
y 2 e−λy dy = √
λ 0
0 r
1
3
1 π
1
4−π
√ Γ
=
, E(Y2 ) = E(X) = , V(Y) =
.
2
2 λ
λ
4λ
λ
Exercice 9. Sup et inf d’une famille de lois de Pareto.
Z +∞
Z +∞
1
dx diverge, ni E(Xi ) ni V(Xi ) n’existent.
1.
f
(x)dx
=
πr2
x
2
−∞
0
=
r
.
Par
dérivation,
1. R(Ω) = [ 0 ; 1 ]. Pour r ∈ [ 0 ; 1 ], FR (r) = P(R 6 r) =
2. • Y(Ω) = ] 1 ; +∞ [ et pour y ∈ ] 1 ; +∞ [, FY (y) = P(Y 6 y) = 1 − P(Y > y) =
π × 12
Q
Q
indép.
fR (r) = 2r11[ 0 ; 1 ] (r).
1 − P(∩i [Xi > y]) = 1 − i P(Xi > y) = 1 − i (1 − F(y)) = 1 − (1 − F(y))n =
Z 1
k
lin.
1
k
k transf.
2. G = R
− 1. E R
=
2rdr = 2k. E(G) = 2k − 1.
1 − n car F est la fonction de répartition des Xi , définie par primitivation par
r
y 0
3. E(G) = 0, 2 pour k = 0, 6, G(Ω) = [ −0, 40 ; +∞ [ (le joueur peut faire exploser la
n
1
11] 1 ; +∞ [ (y). fY (y) = n+1 11] 1 ; +∞ [ (y).
F(y) = 1 −
banque ...) y
y
k
k
•
Z(Ω)
=
]
1
;
+∞
[
et
pour
z
∈
]
1
;
+∞
[, FZ (z) = P(Z 6
2
z) = n
P(G > 5) = P
−1>5 =P R6
= P(R 6 0, 1) = 0, 1 = 1%
Q
Q
R
6
1
indép.
n
.
P(∩i [Xi 6 z]) =
i P(Xi 6 z) =
i F(z) = (F(z)) = 1 −
k
k
z
P(G > 0) = P
−1>0 = P R6
= P(R 6 0, 6) = 0, 62 = 36%, et donc
n−1
R
1
n
1
fZ (z) = 2 1 −
11] 1 ; +∞ [ (z).
64% de chance d’être perdant ...
z
z
Z +∞
dy
n
Exercice 6. Une densité constante par morceaux.
3. • E(Y) = n
existe et vaut
si n > 2.
n
y
n
−
1
Z 4
Z 2
Z 3
Z 4
1
Z
1
+∞
dy
n
1. α = car
E(x)dx =
1dx +
2dx +
3dx = 6.
2
E(Y
)
=
n
existe et vaut
si n > 3.
6
n−1
1
1
2
3
y
n
−
2
1
2. Si x ∈ [ 1 ; 2 ], F(x) = (x − 1)/6, si x ∈ [ 2 ; 3 ], F(x) = (2x − 3)/6 et si x ∈ [ 3 ; 4 ],
n
V(Y) existe et vaut
si n > 3.
F(x) = (x − 2)/2.
(n − 2)(n − 1)2
Exercice 5. Fléchettes.
 Nivôse  à :
6/8
Fichier : rec_var_a_densite
Variables à densité.
Colles en ÉCS2
• zfZ (z)
∼
z→+∞
n
donc
z
mais.
Z
+∞
zfZ (z)dz diverge et E(Z), donc V(Z), n’existent ja1
Exercice 10. Densité polynomiale.
Z 1
1.
x3 − x4 dx = 20 donc a = 20, f (x) = x3 − x4 = x3 (1 − x) > 0.
5.
Florilège
Pour y > 0, FY (y) = P(Y 6 y) = P(X 6 y 1/β ) = FX (y 1/β ),
1−β
1
fY (y) = y β f (y 1/β ) = e−y , Y ,→ E (1).
β
Z +∞
k
transf.
k
E(X ) = E(Yk/β ) =
y k/β e−y dy = Γ
+1 .
β
0
0
2.
3.
F(x) = (5x4 − 4x5 )11[ 0 ; 1 ] (x) + 11] 1 ; +∞ [ (x).
2
10
, V(X) =
.
E(X) =
21
63
Exercice 14. Exponentielles itérées.
+∞
Z +∞
−x
−x
−x −e
−e
1.
e e
dx = e
= 1 − 0 = 1.
−∞
2.
Exercice 11. Inversion d’une loi γ.
1. En posant u = 1/x, In = Γ(n − 1) = (n − 2)! pour n > 2.
1
1
.
2. λn =
=
In
(n − 2)!
1
3. E(Xn ) existe si n > 3 et E(Xn ) = λn In−1 =
.
n−2
1
E(X2n ) existe si n > 4 et E(X2n ) = λn In−2 =
.
(n − 3)(n − 2)
1
V(Xn ) existe si n > 4 et V(Xn ) =
.
(n − 3)(n − 2)2
3.
4.
Exercice 12. Discrète vs à densité.
Z
1.
2.
k+1
P(Y = k) = P(k > X > k + 1) = FX (k + 1) − FX (k) =
fX (x)dx.
k
xfX (x),
Tout repose sur : ∀k ∈ N, ∀x ∈ [ k ; k + 1 ] , kfX (x) 6
donc
Z k+1
Z k+1
Z k+1
déf.
déf.
kfX (x)dx 6
xfX (x)dx, 0 6 uk = kP(Y = k) 6
xfX (x)dx = vk .
k
k
k
P
P
Si E(X) existe, k vkP
converge donc k uP
k converge, E(Y) existe.
Si E(Y) n’existe pas, k uk diverge donc k vk diverge, E(X) n’existe pas.
Y 6 X < Y + 1 et la croissance de l’espérance fait le reste...
Exercice 13. Loi de Weibull.
1.
u = xβ , du = βxβ−1 dx conduit à Ik =
2.
I0 = Γ(1) = 1... Z
0
3.
E(Xk ) = Ik = Γ
√
k
+1 .
β
π/2, E(X2 ) = Γ(2) = 1 et V(X) =
X(Ω) = ] 0 ; +∞ [, Y(Ω) = ] 0 ; +∞ [.
 Nivôse  à :
uk/β e−u du = Γ
k
+1 .
β
Pour β = 2 : E(X) = Γ(3/2) =
4.
+∞
4−π
.
4
−∞
X(Ω) = R, Y(Ω) = ] 0 ; +∞ [, pour y > 0 : FY (y) = P(Y 6 y) = P(X > − ln(y)) =
1 − FX (− ln(y)).
1
fY (y) = f (− ln(y)) = e−y , Y ,→ E (1).
y
E(Y) = 1.
Z +∞
transf.
E(X) = E(− ln(Y)) =
− ln(y)e−y dy.
0Z
1
1
• − ln(y)e−y ∼ ln(y) et
− ln(y)dy existe (vaut [−y ln(y) + y]0 = 1). Par équiy→0
0
Z 1
valence,
− ln(y)e−y dy existe.
0
Z +∞
• |− ln(y)e−y | = o (ye−y ) et
ye−y dy existe (c’est Γ(2)). Par comparaison,
y→+∞
0
Z +∞
− ln(y)e−y dy converge absolument donc existe.
1
E(X) existe...
Exercice 15. Loi d’un produit.
b
Z b
e2t
1
1
A + e2b
2t
1.
dt =
ln(A + e ) = ln
.
A + e2t
2
2
A + e2a
a
Za+∞
1
dx
+∞
= [arctan(t)]−∞ = 1.
2.
2)
π(1
+
x
π
−∞
(
A+B=0
A
B
(A + B)u + (e2x A + B)
3.
+ 2x
=
. A et B solutions de
u+1
e +u
(u + 1)(e2x + u)
e2x A + B = 1
1
conviennent : A = 2x
= −B.
e −1
4.a) Soit Z = ln |X|. Z(Ω) = R. FZ (x) = P(−ex 6 X 6 ex ) = FX (ex ) − FX (−ex ).
2ex
, et Z0 = ln |Y| a la même densité.
fZ (x) = ex (f (ex ) + f (−ex )) =
π(1 + e2x )
7/8
Fichier : rec_var_a_densite
Colles en ÉCS2
Variables à densité.
Florilège
b) ln XY = ln |X| + ln |Y| = Z + Z0 .
Z +∞
Z +∞
4
et
ex−t
fZ (t)fZ0 (x − t)dt = 2
Soit h(x) =
dt
2t
π −∞ 1 + e 1 + e2x−2t
−∞
Z
4ex +∞
e2t
h(x) = 2
dt.
2t
2t
2x
π
−∞ (e + 1)(e + e )
Pour éviter de couper cette intégrale convergente en deux intégrales divergentes,
avançons prudemment : soit a < b.
Z b
e2t
dt
(e2t + 1)(e2t + e2x )
Za+∞
e2t
dt =
2t
2t
2x
−∞ (e + 1)(e + e )
 Nivôse  à :
8/8
Fichier : rec_var_a_densite