Correction - Faculté Polydisciplinaire Ouarzazate

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Université Ibn Zohr
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Faculté Polydisciplinaire
Ouarzazate, Maroc
Correction de
l’Épreuve de Thermodynamique II ∗
Prof. : H. Chaib
Filière : TEER, Semestre : 2, Année : 2010/2011
Date : 04-06-2011 à 08:00, Durée : 60 min
Problème 1
1. Pour un gaz parfait, on a :
γ=
Cp
CV
Cp − CV = nR
et
(1)
soit :
Cp = γCV = CV + nR
Il en découle :
CV =
nR
γ−1
et
Cp =
(2)
γnR
γ−1
(3)
2. Représentation du cycle sur le diagramme de Clapeyron (voir figure).
p
(2)
(3)
(1)
V
3. À partir de la définition du travail utile, on peut écrire :
X
X
Wu =
Wi = −
Qi
i
(4)
i
soit :
Wu = −(Q12 + Q31 )
(5)
∗. L’énoncé et la correction de cette épreuve seront publiés en ligne, quelques heures après la date
affichée en haut, sur le site Web : http://hchaib.chez.com/teaching/
1
Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib
2
car la quantité de chaleur Q23 échangée au cours de la transformation isentrope (2)(3) est nulle (c.-à-d. Q23 = 0). Cependant, pour la transformation isochore (1)-(2),
on peut écrire :
δQ = dU = CV dT
(6)
car le travail mis en jeux est nul (c.-à-d. δW = −pdV = 0). Alors :
Q12 = CV (T2 − T1 )
(7)
Pour la transformation isobare (3)-(1), la variation de l’enthalpie s’écrit :
dH = dU + d(pV )
(8)
dH = δQ + δW + pdV + V dp
(9)
c.-à-d. :
Or δW = −pdV et dp = 0, alors la dernière équation permet d’écrire :
δQ = dH = Cp dT
(10)
Q31 = Cp (T1 − T3 )
(11)
Wu = −(CV (T2 − T1 ) + Cp (T1 − T3 ))
(12)
et par conséquent :
d’où :
ou encore :
nR
γnR
(T1 − T2 ) +
(T3 − T1 )
γ−1
γ−1
4. L’efficacité thermique de ce cycle est donné par :
Wu =
η=
|Wutile |
|Qfournie |
(13)
(14)
Selon le diagramme ci-dessus, on peut constater que T1 < T2 (car T1 = pp12 T2 et
p2 > p1 ) et que T1 < T3 (car T1 = VV13 T3 et V3 > V1 ). Il en résulte que Q12 > 0 et
Q23 < 0 c’est à dire Qfournie = Q12 et par conséquent :
Wu η = (15)
Q12 soit :
ou aussi :
CV (T2 − T1 ) + Cp (T1 − T3 ) η = CV (T2 − T1 )
(16)
T3 − T1 η = 1 − γ
T2 − T1 (17)
5. Pour la transformation isobare (1)-(3), on a
T1 =
T1
V1
=
T3
V3
d’où :
V1
T3 = a−1 T3
V3
Pour la transformation isentrope (2)-(3), on a T2 V2γ−1 = T3 V3γ−1 d’où :
γ−1
V3
T3 = aγ−1 T3
T2 =
V2
car V2 = V1 .
(18)
(19)
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Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib
6. La nouvelle expression de l’efficacité thermique du cycle s’ecrit :
−1
(1
−
a
)T
3
η = 1 − γ γ−1
−1
(a
− a )T3 1 − a−1 η = 1 − γ γ−1
a
− a−1 a
−
1
η = 1 − γ γ
a − 1
soit :
ou encore :
(20)
(21)
(22)
7. Le rendement ρ du cycle s’écrit :
ρ=
avec ηCarnot = 1 −
T1
T2
η
(23)
ηCarnot
= 1 − a−γ . Alors :
1
a
−
1
1 − γ
ρ=
−γ
γ
1−a
a − 1
soit aussi :
ou encore :
a a − 1 ρ=
1−γ γ
a−1
a − 1
a
γa
ρ = − γ
a − 1 a − 1
(24)
(25)
(26)
Problème 2
1. La transformation (1)-(2) est une transformation isentrope, alors on peut écrire :
T1 V1γ−1 = T2 V2γ−1
d’où le volume V2 s’écrit :
V2 =
T1
T2
et la pression p2 s’écrit :
p2 =
(27)
1
γ−1
nRT2
V2
V1
(28)
(29)
1 V1
avec n = pRT
.
1
La transformation (2)-(3) est une transformation isotherme, alors T3 = T2 et on a
V3 = V1 . Enfin, la pression p3 est donnée par :
p3 =
nRT3
V3
(30)
A.N. : p2 = 12,7 bar, V2 = 157,49 cm2 , T2 = 300 K, p3 = 4 bar, V3 = 500 cm2 et
T3 = 300 K.
Correction de l’Épreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib
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2. La variation d’entropie de la transformation isentrope (1)-(2) est nulle (c.-à-d.
∆S12 = 0). Pour la transformation isotherme (2)-(3), on a δQ = −δW = pdV .
Alors :
δQ
pdV
dV
dS =
=
= nR
(31)
T
T
V
d’où :
V3
∆S23 = nR ln
(32)
V2
Pour la transformation isochore (3)-(1), on a δW = 0 et par conséquent δQ = dU =
CV dT . Alors :
δQ
dT
dS =
= CV
(33)
T
T
d’où :
T1
∆S31 = CV ln
(34)
T3
nR
avec CV = γ−1
.
A.N. : ∆S12 = 0, ∆S23 = 0,77 J K−1 et ∆S31 = −0,77 J K−1 .
3. La quantité de chaleur Q31 échangée par le gaz au cours de la transformation (3)-(1)
s’écrit :
Z T1
Q31 =
CV dT = CV (T1 − T3 )
(35)
T3
Alors, la chaleur echangée par le milieu extérieur (c.-à-d. avec la source froide de
température T1 ) au cours de cette transformation est Q∗31 = −Q31 et la variation de
son entropie est :
Q∗
CV (T1 − T3 )
∗
∆S31
= 31 = −
(36)
T1
T1
soit :
T3 − T1
∗
(37)
∆S31
= CV
T1
Alors, l’entropie créée Sc s’écrit :
∗
Sc = ∆S31 + ∆S31
d’où :
Sc = CV ln
A.N. : Sc = 0,341 J K−1 .
T3 − T1
T1
+ CV
T3
T1
(38)
(39)