Correction - Faculté Polydisciplinaire Ouarzazate

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Ouarzazate, Maroc H
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Correction de
l’´ Epreuve de Thermodynamique II ∗
Prof. : H. Chaib
Fili`ere : TEER, Semestre : 2, Ann´ee : 2010/2011
Date : 04-06-2011 `a 08:00, Dur´ee : 60 min
Probl`eme 1
1. Pour un gaz parfait, on a :
γ=Cp
CV
et Cp−CV=nR (1)
soit :
Cp=γCV=CV+nR (2)
Il en d´ecoule :
CV=nR
γ−1et Cp=γnR γ−1(3)
2. Repr´esentation du cycle sur le diagramme de Clapeyron (voir figure).
p
V
(3)
(1)
(2)
3. ` A partir de la d´efinition du travail utile, on peut ´ecrire :
Wu=X
i
Wi=−X
i
Qi(4)
soit :
Wu=−(Q12 +Q31) (5)
∗. L’´enonc´e et la correction de cette ´epreuve seront publi´es en ligne, quelques heures apr`es la date
affich´ee en haut, sur le site Web : http://hchaib.chez.com/teaching/
1

Correction de l’ ´ Epreuve de Thermodynamique II (04-06-2011) - Prof. H. Chaib 2
car la quantit´e de chaleur Q23 ´echang´ee au cours de la transformation isentrope (2)-
(3) est nulle (c.-`a-d. Q23 = 0). Cependant, pour la transformation isochore (1)-(2),
on peut ´ecrire :
δQ = dU=CVdT(6)
car le travail mis en jeux est nul (c.-`a-d. δW =−pdV= 0). Alors :
Q12 =CV(T2−T1) (7)
Pour la transformation isobare (3)-(1), la variation de l’enthalpie s’´ecrit :
dH= dU+ d(pV ) (8)
c.-`a-d. :
dH=δQ +δW +pdV+Vdp(9)
Or δW =−pdVet dp= 0, alors la derni`ere ´equation permet d’´ecrire :
δQ = dH=CpdT(10)
et par cons´equent :
Q31 =Cp(T1−T3) (11)
d’o`u :
Wu=−(CV(T2−T1) + Cp(T1−T3)) (12)
ou encore :
Wu=nR
γ−1(T1−T2) + γnR γ−1(T3−T1) (13)
4. L’efficacit´e thermique de ce cycle est donn´e par :
η=|Wutile|
|Qfournie|(14)
Selon le diagramme ci-dessus, on peut constater que T1< T2(car T1=p1
p2T2et
p2> p1) et que T1< T3(car T1=V1
V3T3et V3> V1). Il en r´esulte que Q12 >0 et
Q23 <0 c’est `a dire Qfournie =Q12 et par cons´equent :
η=
Wu
Q12 
(15)
soit :
η=
CV(T2−T1) + Cp(T1−T3)
CV(T2−T1)
(16)
ou aussi :
η= 1−γT3−T1
T2−T1
(17)
5. Pour la transformation isobare (1)-(3), on a T1
V1=T3 V3d’o`u :
T1=V1
V3
T3=a−1T3(18)
Pour la transformation isentrope (2)-(3), on a T2Vγ−1
2=T3Vγ−1 3d’o`u :
T2=V3
V2γ−1
T3=aγ−1T3(19)
car V2=V1.

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6. La nouvelle expression de l’efficacit´e thermique du cycle s’ecrit :
η= 1−γ(1 −a−1)T3
(aγ−1−a−1)T3
(20)
soit :
η= 1−γ1−a−1
aγ−1−a−1
(21)
ou encore :
η= 1−γa−1
aγ−1
(22)
7. Le rendement ρdu cycle s’´ecrit :
ρ=η
ηCarnot
(23)
avec ηCarnot = 1 −T1
T2= 1 −a−γ. Alors :
ρ=1
1−a−γ
1−γa−1
aγ−1
(24)
soit aussi :
ρ=a
a−1
1−γa−1
aγ−1
(25)
ou encore :
ρ=
a
a−1−γa aγ−1
(26)
Probl`eme 2
1. La transformation (1)-(2) est une transformation isentrope, alors on peut ´ecrire :
T1Vγ−1
1=T2Vγ−1 2(27)
d’o`u le volume V2s’´ecrit :
V2=T1
T21
γ−1
V1(28)
et la pression p2s’´ecrit :
p2=nRT2
V2
(29)
avec n=p1V1
RT1.
La transformation (2)-(3) est une transformation isotherme, alors T3=T2et on a
V3=V1. Enfin, la pression p3est donn´ee par :
p3=nRT3
V3
(30)
A.N. :p2= 12,7 bar, V2= 157,49 cm2,T2= 300 K, p3= 4 bar, V3= 500 cm2et
T3= 300 K.

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2. La variation d’entropie de la transformation isentrope (1)-(2) est nulle (c.-`a-d.
∆S12 = 0). Pour la transformation isotherme (2)-(3), on a δQ =−δW =pdV.
Alors :
dS=δQ
T=pdV T=nRdV V(31)
d’o`u :
∆S23 =nR ln V3
V2
(32)
Pour la transformation isochore (3)-(1), on a δW = 0 et par cons´equent δQ = dU=
CVdT. Alors :
dS=δQ
T=CV
dT
T(33)
d’o`u :
∆S31 =CVln T1
T3
(34)
avec CV=nR
γ−1.
A.N. : ∆S12 = 0, ∆S23 = 0,77 J K−1et ∆S31 =−0,77 J K−1.
3. La quantit´e de chaleur Q31 ´echang´ee par le gaz au cours de la transformation (3)-(1)
s’´ecrit :
Q31 =ZT1
T3
CVdT=CV(T1−T3) (35)
Alors, la chaleur echang´ee par le milieu ext´erieur (c.-`a-d. avec la source froide de
temp´erature T1) au cours de cette transformation est Q∗
31 =−Q31 et la variation de
son entropie est :
∆S∗
31 =Q∗
31
T1
=−CV(T1−T3)
T1
(36)
soit :
∆S∗
31 =CV
T3−T1
T1
(37)
Alors, l’entropie cr´e´ee Scs’´ecrit :
Sc= ∆S31 + ∆S∗
31 (38)
d’o`u :
Sc=CVln T1
T3
+CV
T3−T1
T1
(39)
A.N. :Sc= 0,341 J K−1.