TD-PST : Corrigé des exercices sur les polygones

L3 PST- Année 2010-2011
UE67- 3 – Culture mathématique – Géométrie
Polygones : quelques éléments de réponse aux exercices
Exercice 1
La somme des angles d’un polygone à n côté est égale à (n-2) x 180°. Un polygone régulier a tous ses a ngles
égaux.
(n - 2) x 180°
On en déduit que la valeur d’un angle d’un polygone régulier ayant n côtés est
n
(6 - 2) x 180°
L’angle d’un hexagone régulier vaut
= 120° .
6
(5 - 2) x 180°
L’angle d’un pentagone régulier vaut :
= 108°
5
(8 - 2) x 180°
L’angle d’un octogone régulier vaut
= 135°
8
Attention à ne pas confondre l’angle du polygone et son angle au centre. L’angle au centre d’un polygone régulier
360°°
.
à n côtés vaut
n
Exercice 2
Un triangle équilatéral est constructible à la règle et au compas. Il est inscrit dans un cercle C. Les bissectrices des
angles au centre du triangle équilatéral sont constructibles à la règle et au compas. Elles coupent C en 3 points qui
avec les sommets du triangle constituent les sommets d’un hexagone régulier. Ce dernier est donc constructible à
la règle et au compas. Il a 3 x 2 côtés.
On peut de même construire à la règle et au compas les bissectrices des angles au centre de l’hexagone. On
obtient un dodécagone régulier. Ce dernier est donc constructible à la règle et au compas. Il a 3 x 2² côtés.
p
En réitérant le procédé, on montre de la même manière que tout polygone régulier ayant 3 x 2 côtés est
constructible à la règle et au compas.
p
A partir du carré, en faisant de même, on montre que tout polygone régulier ayant 4 x 2 côtés est constructible à la
règle et au compas.
p
A partir du pentagone régulier, en faisant de même, on montre que tout polygone régulier ayant 5 x 2 côtés est
constructible à la règle et au compas.
Remarque : à la place des bissectrices des angles au centre, on peut construire les médiatrices des côtés des
polygones concernés.
Exercice 3
L’angle d’un octogone régulier vaut 135° = 90° + 45 °.
On trace le segment [AB]. On trace la droite (d’)
perpendiculaire à (AB) en B.
On trace la bissectrice de l’angle droit de sommet B
formé par la droite (AB) et la droite (d’).
Cette bissectrice est le support d’un des côtés de
l’octogone.
Sur cette bissectrice, à partir de B et dans la partie qui se
trouve au dessus de (AB) on place le point C tel que
AB = BC.
C est un nouveau sommet de l’octogone.
On trace les médiatrices des côtés [AB] et [BC].
Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit
à l’octogone.
A partir de C, sur ce cercle, on construit les points D, E, F,
G, H tels que CD = DE = EF = FG = GH= AB = BC.
Muriel Fénichel
Mai 2011
1
Exercice 5 : Construction du décagone régulier à partir du pentagone régulier
Il suffit de construire les médiatrices des côtés du pentagone régulier. Leur intersection est le centre du cercle
circonscrit au pentagone régulier et au décagone régulier. On trace ce cercle et les médiatrices des côtés du
pentagone régulier coupent le cercle en 5 autres points que les sommets du pentagone. Avec ces derniers, on
obtient 10 points sur le cercle qui sont les sommets du décagone régulier.
360°
Angle au centre du pentagone régulier :
= 72°
5
(5 - 2) x 180°
Angle du pentagone régulier :
= 108°
5
360°
Angle au centre du décagone régulier :
= 36°
10
Angle du décagone régulier :
(10 - 2) x 180°
= 144°
10
Exercice 6 : Pentagone régulier et nombre d’or
Le pentagone régulier est une figure dorée, c'est-à-dire une figure dont les dimensions ont un rapport avec le
D
1+ 5
=ϕ=
(nombre
C
2
nombre d’or : si D est la longueur de la diagonale et si C est la longueur du côté, alors
d’or)
Plusieurs figures apparaissent et plus particulièrement des triangles et un pentagone régulier FGHIJ.
Nous allons nous intéresser à deux types de triangles dont les côtés sont soit les diagonales, soit les côtés du
pentagone ABCDE.
Les triangles isocèles du type AEB qui ont pour
côtés une diagonale du
pentagone et deux côtés du pentagone.
Leur angle au sommet vaut 108° et les angles à
(180° - 108°)
la base sont égaux et valent
= 36°
2
On remarque que le rapport entre la longueur de
la base et celle des deux côtés égaux est égal au
nombre d’or.
Ces triangles sont donc des figures dorées.
A
F
E
Muriel Fénichel
Mai 2011
B
36°
Les triangles isocèles du type ADC qui ont pour
côtés deux diagonales du pentagone et un côté
du pentagone. On remarque aussi que ces
triangles sont des figures dorées puisque le
rapport entre la longueur des côtés égaux et celle
de la base est égal au nombre d’or.
Leur angle au sommet vaut 108° - 2 x 36° = 36°
et les angles à la base sont égaux et valent
(180° - 36°)
= 72°
2
La figure fait apparaître plusieurs triangles de ces
deux types mais plus petits (ils ont la même
forme mais une taille réduite, comme AGB ou AFG).
G
36°
J
H
I
D
C
2