Les développements en séries des grandeurs retardées de l

Les d´eveloppements en s´eries des grandeurs retard´ees de
l’´electromagn´etisme classique
´
Emile Durand
To cite this version:
´
Emile Durand. Les d´eveloppements en s´eries des grandeurs retard´ees de l’´electromagn´etisme
classique. J. Phys. Radium, 1949, 10 (2), pp.41-48. <10.1051/jphysrad:0194900100204101>.
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publics ou priv´es.

41
Le
problème
posé
par
ces
anomalies
de
l’émission [3
du M
Th,
est
analogue
à
celui
de
la
désintégration
de
l’actinium.
Ce
travail
a
été
fait
au
Laboratoire
Curie
de
l’Institut
du
Radium.
Nous remercions Mme
Joliot-Curie,
Directeur de
ce
Laboratoire
pour
le bienveillant
intérêt
qu’elle
nous
a
témoigné.
Nous
remercions aussi le
Centre
National
de la
Recherche
Scientifique
qui
nous a
permis
de
pour-
suivre
ces recherches.
Manuscrit
reçu
le
19
octobre
1948.
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LE
JOURNAL
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PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM. SÉRIE
VIII,
TOME
X,
FÉVRIER 1949.
LES DÉVELOPPEMENTS
EN
SÉRIES DES GRANDEURS
RETARDÉES
DE
L’ÉLECTROMAGNÉTISME
CLASSIQUE
Par ÉMILE
DURAND.
Faculté des Sciences de Toulouse.
Sommaire. 2014 L’un
des
problèmes
fondamentaux
de
l’électromagnétisme
classique
est
le
calcul
du
champ électromagnétique
produit
par
une distribution donnée
d’électricité
variable
dans
le
temps.
Suivant
que
l’on
se
place
dans
l’hypothèse
d’une
répartition spatio-temporelle
de
l’électricité
ou dans
l’hypothèse
des
charges
ponctuelles
la solution
du
problème
est
représentée
par
les
intégrales
des
potentiels
retardés
ou
par
les
potentiels
de
Liénard-Wiechert ;
des
potentiels
on
tire
aisément
les
champs.
Ces
expressions
ne
sont
pas,
au
fond,
directement
utilisables,
car
elles
font intervenir
le
temps
retardé
qui
ne
peut
s’exprimer
à
l’aide
des
fonctions
usuelles
de
l’analyse.
Dans
cette
étude
nous
allons donner
des
expressions
de
ces
grandeurs
en
fonction
du
temps
actuel,
à
l’aide
d’un
nouveau
type
de
dévelop-
pement
en
série
qui
peut
se rattacher
aux
séries de
Lagrange.
Introduction.
-
On
peut
concevoir
l’électricité
comme
un
fluide
et
se
donner une
répartition spatio-
temporelle
de
la
densité
de
charge
X2’
x,,
t)
et
de
la
densité
de
courant y
(x1,
x,,
x3,
t};
au lieu
du
temps t
nous
utiliserons
plutô
t
la
grandeur X4
=
ct
homogène
à
une
longueur
où c
désigne
la
vitesse
de
la
lumière;
si l’on se
donne
le
champ
des
vitesses
+
du
fluide
électrique v
(Xj,
x2,
X,,
rà
on
sait
que
l’on
Nous
désignerons
par
vl, v2,
P3
ou
plus
simplement
par
vu,
l’indice
u
pouvant
prendre
les
valeurs
I, 2, 3, les
trois
composantes
de v.
D’une
manière
plus
générale
nous ferons
usage
dans
ce
qui
suit
du
jeu
des
trois
indices
d’espace
u, v, w,
chacun d’eux
pouvant prendre
les
valeurs
i, 2,
3.
+
,
,
Les
quatre
grandeurs p
et v
ne
peuvent
être
choisies
arbitrairement
puisqu’elles
doivent
satisfaire
l’équa-
tion
de
conservation
de
l’électricité
ou
en
écrivant,
pour
abréger,
dl,
à2,
c)3
au
lieu
de
2013
dx1
-2013 ?
,-;!-(soitùupour-dd. )etù4aulieude B
*
/
+
C
dt
On convient
de
faire
une
sommation
sur
l’indice
u
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0194900100204101

42
de 1 à
3,
puisqu’il
est
répété
haut
et
bas
(indice
muet).
,
On
peut
tout
aussi
bien
supposer
les
charges
électriques
ponctuelles
et se
donner
la
position
de
chacune
d’elles
en
fonction
du
temps.
Soient
~’,
~¡,
~i~ (ou
Gu)
les
coordonnées
de la
charge
ei.
Les (j’
sont
des
fonctions
du
temps
f
(ou
de
xJ.
On
peut
évidemment
passer
de
l’une
à
l’autre
de
ces
conceptions;
par exemple
de
la
première
à
la
seconde
ou
inversement.
Dans
le
premier
cas
les
charges
sont
seulement
quasi ponctuelles;
dans
les
petits
volumes
qu’elles
occupent
on
imagine
une
répartition
continue
p
(xi, X2’
x3’
x4);
c’est de
cette
manière
que
l’on
évite
les
énergies
propres
infinies
pour
les
particules.
Dans
le
deuxième
cas,
au
contraire,
la
répartition
continue
n’est
qu’une
apparence macroscopique
résultant
de
l’accumu-
lation
d’un
très
grand
nombre
de
particules ponc-
tuelles dans
un très
petit
volume.
On
a
les
corres-
pondances
suivantes
entre les
grandeurs
qui
corres-
pondent
à
chacune des
conceptions
s’il
y a k
charges
dans
l’élément
de volume v.
Voici,
très
rapidement présentées,
les
formules
fondamentales.
1.
HYPOTHÈSE D’UNE RÉPARTITION
CONTINUE.
-
On
a les
équations
microscopiques
de
Maxwell-
Lorentz
qui
s’écrivent
en
unités
de
Gauss
(H
en
u.
é.
m., E
et p
en
u.
é.
s.)
-
On a
aussi
l’écriture suivante
plus explicite
u, v,
w
étant
une
permutation
circulaire
de
1, 2,
3.
*"
Dans ces
expre’ssions
les
grandeurs
P a
et
p
sont
&#x26;
-
,
données et
il
faut
calculer E
et .H. On
sait
qu’il
est
commode
de
déterminer
d’abord
le
potentiel
.
vecteur A
(ou Aw)
et
le
potentiel
scalaire
A4
satis-
faisant
la
condition de
Lorentz
()U
Les
champs
sont
ensuite calculés à
partir
des
potentiels
par
les relations
ou
En
tenant
compte
de
(3),
(4), (5)
on
trouve
que
les
potentiels
satisfont
les
équations
ou
(dj,
est
l’écriture
abrégée
de
JvÔv
et
représente
le
laplacien).
On
est
alors conduit
aux
solutions bien
connues
dites
intégrales
des
potentiels
retardés
2.
HYPOTHÈSE
DES
CHARGES PONCTUELLES.
--
On se
trouve
toujours
dans
le
vide
et
au lieu
des
équations
(3),
on
a
les
équations
de Maxwell
dans
le vide
Les
vitesses
et les
charges
des
particules
ne
figurant
pas
dans
les
équations
(8)
il
semble
difficile
de
les
introduire
dans
la solution.
Cela
est
possible
cependant
et
nous
avons
indiqué
une
méthode
[i],
[2], [3] qui
permet
d’arriver
aux
formules
bien
connues
de
Liénard-Wiechert
pour
les
potentiels,
soit
avec
dans
ce
qui
suit
les
points
surmontant
les (
désignent
la
dérivée
par
rapport
à
x~; les ),,
désignent
les
coordonnées du
point
potentiant
et les
xu
les
coordonnées du
point
potentié (fig.
i).
Ces
formules
concernent
une
charge unique
de
valeur
algébrique
e;
s’il
y
a
plusieurs
charges
le
potentiel
est
la
somme
des
potentiels.
La
condition
de Lorentz est
bien
satisfaite et les
champs
sont

43
donnés
par
les
expressions
(5);
on
trouve
ou,
d’une manière
plus
explicite
(u, v,
w)
est
toujours
une
permutation
circulaire
de
z,
2~
3. Le lecteur trouvera le
détail
des
calculs
qui
conduisent aux formules
(10)
dans
la
traduction
française
de
l’ouvrage
de
R.
Becker
«
Théorie des
électrons
s~
[4].
Toutes
les
grandeurs
figurant
dans
(9)
et
(10)
doivent
être
prises
au
temps
retardé T
défini
.par
Le
temps
retardé
T
est
donc une
fonction de
xi,
x~, X3,
X4, qui
ne
peut,
en
général,
s’exprimer
à
hig. r ,
l’aide
des
fonctions
habituelles de
l’Analyse. (Sauf
dans
le
cas
du
mouvement
rectiligne
et
uniforme.)
Les
formules
(9)
et’(10)
ne
sont
donc
pas
explicites.
Dans
ce
qui
suit nous
allons
donner les
expressions
des
potentiels
et
des
champs
en
fonction
du
temps
actuel X4
grâce
à un
nouveau
type
de
développement
en série
apparenté
aux
séries
de
Lagrange.
5 Nouveau
type
de
développement
en
série
pour
une
fonction.
-
Si
l’on
a deux variables
li-
et J
liées
entre elles
par
la
relation
_
;J. == ’j + q) (1J. ).
1 2 )
&#x3E;
où (D
(,a)
est
une
fonction
quelconque
de
u.
Nous
allons
démontrer
que
l’on
a
Pour
justifier
ce
développement
nous
allons
montrer
qu’il
est
équivalent
au
développement
en
série
de
Lagrange
[5],
[6], qui
s’écrit
En
eff et,
(13)
peut
s’ écrire
successivement
les deux
dernières sommes
qui
sont
identiques,
au
signe près,
se détruisent
et
il
reste bien
(14)
comme
nous
l’avions
annoncé;
la
validité
de
(13)
est
ainsi
établie.
Développement
en série
des
grandeurs
retardées.
-
La
formule
(13)
peut
être direc-
tement
utilisée
pour
le
développement
en
série des
grandeurs
retardées.
On
a alors
au
lieu
de
(12)
la
relation
(11)
qui
définit
le
temps
retardé
T
en
fonc-
tion
du
temps
actuel
x4;
on
doit
donc
faire
dans
(13)
d’où
Si
l’on considère
les
potentiels
(9)
de
Liénard-
.
Wiechert,
on
a
pour
A
et
pour
A4
et
d’où

44
Ce
sont
précisément
les
séries
que
nous avons
obtenues
directement ailleurs
[i],
sans
passer
par
les
formules
de Liénard-Wiechert. Nous
avons
déjà
donné
des
applications
de ces
formules
[7];
nous
allons
voir comment on
peut,
grâce
à
elles,
passer
aisément
des
intégrales (7)
des
potentiels
retardés
aux
formules
(9)
de Liénard-Wiechert.
Passage
des
intégrales
des
potentiels
retardés
aux
formules
de
Liénard-Wiechert.
-
Les
inté-
grales (7)
sont
étendues
à
tout le
domaine
ost
l’on
peut
rencontrer de
l’électricité
depuis t
_- o0
jusqu’à 1
= ~
oo;
r
est
une fonction
des
six
variables
(u),
mais non de
x4.
Développons
les
fonctions de
l’argument
(x4 -r)
en
série
de
Taylor;
on
obtient
r
(nous
ne considérons
que
le
potentiel
vecteur A
car
la
démonstration est
identique
pour
le
potentiel
vecteur
A4).
Dans
(16)
l’intégrale
est
étendue
au
volume
où l’on
trouve
de
l’électricité
au
temps t
considéré.
Pour
retrouver
la
formule
relative
à
une
charge
«
ponctuelle
))
il
faut
supposer
que
ce
volume
t
est très
petit;
r
et 1
sont
alors sensiblement
les
mêmes
pour
toutes
les
parties
du
volume;
on
peut
les
faire
sortir
de
l’intégrale,
mais
il faut alors bien
ce
remarquer que
r
et 1
perdent
leur caractère
respectif
de
fonctions
de
6 et
de
4
variables
pour
devenir
des fonctions
du
temps
seul;
ce
qui
reste
de
l’inté-
grale représente
alors
la
charge
e
de
la
particule.
On
a ainsi
retrouvé
la
série
(15);
comme cette
dernière
est
le
développement
de
(9)
on voit
que
l’on
est bien
passé
de
(7)
à
(9).
Il
existe
d’autres
méthodes
pour
effectuer
ce
.
passage,
mais elles
sont soit
moins
claires,
soit
plus compliquées.
Dans les
traités
classiques
(voir
R.
Becker,
par exemple)
on
utilise
souvent
l’artifice
de
la
sphère
s’évanouissant
à
la
vitesse
de
la
lumière
et
apportant
à
son centre la contribution
de toutes
les
charges
qu’elle
rencontre;
mais
au
fond cette
méthode
n’est
pas
très
claire et
l’on
ne se rend
pas
très
bien
compte
des
approximations
que
l’on
fait.
Nous avons
donné dans les
Comptes
rendus
de l’Académie
[8]
une
autre
méthode
qui
utilise
le
théorème de
Jacobi
sur
les
changements
de
variables
dans
les
intégrales
multiples,
mais elle
est
plus compliquée
que
la
méthode
que
nous
avons
donnée
ici. M. P.
Soleillet
[g]
a
aussi
indiqué
une méthode
qui paraît
assez
voisine
de celle
que
nous avons
donnée
aux
Comptes
rendus,
mais
elle
est en
fait
d’un
esprit
assez
différent.
Expressions
des
potentiels
en
fonction
du
temps
retardé central.
-
Quand
les
trajectoires
de
toutes les
charges
restent à
l’intérieur
d’un
domaine
spatial
limité
il
y
a
intérêt
à
choisir
l’origine
des
coordonnées
à
l’intérieur
de ce
domaine
et
à
introduire
le
temps
retardé
central
R
=
=
v,x2
1
+ X2 2
+ x~’ .1 )
au
lieu
du
temps
retardé
vrai x4
- r ~
( fig.
2).
Fig.2.
Le
développement
(13)
est
encore celui
qui
se
prête
le
mieux à
cette
transformation.
On
a,
au
lieu
de
(12)
avec
dans
(13)
il
faut
donc
faire
ce
qui
donne
En
utilisant
l’expression
avec
il
vient
Pour
développer
en
série
l’expression
(17)
de
r,
il
faut avoir
et
le
cas le
plus
défavorable
se
présente
pour
et
d’où la
condition