Cours Magnétostatique

Cours Magnétostatique
On rappelle que les items en vert ne sont pas exigibles
Introduction :
Le champ magnétique a été découvert en même temps que les forces qu’il génère. Historiquement l’effet des forces
magnétiques a été découvert sur la pierre de magnésie qui est naturellement aimantée. Son orientation dans le
champ magnétique terrestre conséquence d’une interaction à distance entre l’aimant qu’est la terre et l’aimant
qu’est la pierre n’a pu recevoir d’explication que très tardivement au 19ième siècle ; Il aura fallu comprendre qu’une
spire parcourue par un courant est un aimant qui génère un champ magnétique et est sensible dans son orientation
et sa position au champ magnétique créé par les autres aimants. Puis il aura fallu imaginer qu’un matériau aimanté
se comporte comme une boucle de courant macroscopique à cause des boucles de courants microscopiques
cohérentes (dans le même plan et dans le même sens) que décrivent les électrons dans les matériaux aimantables.
La découverte des phénomènes magnétiques et leurs applications a eu des conséquences énormes dans notre
quotidien, qui dépasse la fermeture de l’étui de votre portable ou des portes de vos placards.
Elle a généré toute l’électrotechnique.
Pour la création du champ, on peut citer les électroaimants qui maintiennent un train en suspension ou ceux
supraconducteurs qui créent des champs intenses au LHC assurant la courbure des trajectoires des particules ou
ceux qui aimantent les atomes d’hydrogènes dans les dispositifs RMN d’imagerie médicale.
Elle a participe au développement de l’informatique : N’oublions pas le stockage dans les mémoires de masse qui
met en jeu des micro-aimants sur couche mince (prix Nobel Albert Fert)
Pour la soumission au champ, on pense aux moteurs électriques à courant continu.
On verra dans la troisième leçon, la leçon sur l’induction qu’un nouveau phénomène lié au magnétisme, la loi de
Faraday énonce que toute variation du champ induit une f.e.m, cette f.e.m tendant à créer un courant qui s’oppose
à l’effet qui lui a donné naissance. C’est alors les transformateurs, alternateurs et moteurs électriques synchrones ou
asynchrones qui sont décrits. Les hauts parleurs et les micros relèvent aussi de cette physique.
Mais c’est encore la transmission des ondes Hertziennes qui met en jeu des champs électriques et magnétiques
couplés variables dans le temps et dans l’espace.
Formules de soumission au champ magnétique
Il existe une force qui s’applique à une particule chargée en mouvement, la force de Lorentz. F
qv
B
Il existe aussi une autre force qui s’applique à un conducteur parcouru par un courant, la force de Laplace.
F
I dl
B . L’existence de cette deuxième force est une conséquence de l’existence de la force de Lorentz.
Nous étudierons la force de Laplace dans le deuxième chapitre, la force de Lorentz ayant déjà été étudiée dans un
chapitre précédent.
Unité
L’unité du champ magnétique est le Tesla (T), si on considère la formule de Laplace nos pouvons montrer par
raisonnement aux dimensions que cette unité s’exprime en fonction des unités fondamentales SI.
F
I dl
F
qv
B
B
F
F
IL B
ITLT
MLT
1
B
2
MLT
IL B
2
IL B
B
MT 2 I
B
1
MT 2 I
1
Donc 1 Tesla = 1ms-2A-1
Les ordres de grandeur du champ magnétique sont les suivants :
Champ terrestre 4.7 10-5T
Aimant usuel 0.1 à1 T
Aimant d’IRM 3T
Une étoile en fin de vie a tendance à se contracter, laissant à l'issue de la phase où elle est le siège de réactions nucléaires un résidu plus ou moins compact.
Cette phase de contraction augmente considérablement le champ magnétique à la surface de l'astre compact. Ainsi, une naine blanche possède un champ
magnétique pouvant aller jusqu'à 104 teslas, alors qu'une étoile à neutrons jeune, bien plus compacte qu'une naine blanche a un champ mesuré à 108 voire 109
teslas. Certaines étoiles à neutrons appelées pulsars X anormaux et magnétars semblent être dotées d'un champ magnétique jusqu'à 100 fois plus élevé.
La mesure du champ magnétique s’opère en général grâce à une sonde à effet Hall dont le principe a été donné dans un exercice du TD mouvement de
particules dans un champ magnétique
Formules de création du champ
Par exemple le champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I est: B
I
u
2 r
0
Champ créé par deux fils rectilignes infinis parcourus par des courants opposés ; ligne bifilaire
Champ dans un coaxial, il est nul à l’extérieur (Pour H on ira B)
La dimension de la constante fondamentale μ 0 dite perméabilité du vide peut être calculée en utilisant la formule
qui donne le champ autour d’un fil rectiligne infini ou celle qui donne le champ dans un solénoïde infini ou tout autre
formule de création du champ.
I
u
2 r
0
B
B
0
nIu z
B
B
0
I
L
0
MT 2 I
1
0
L
I
0
ML T
2
I
2
I
L
On a approximativement : μ0 = 4π10-7
A noter que la constante de la magnétostatique μ0 se trouve être reliée à celle de l’électrostatique ε0 ( rappel
1
4
9 109 ) par la relation ε0 μ0c0² = 1 où c0 est la vitesse de la lumière dans le vide.
0
Examen d’autres cartes de champ :
Ligne de champ ; c’est une courbe qui en tout point est tangente au champ du lieu
Les lignes du champ magnétique sont fermées.
Là où les lignes de champ se resserrent le champ est plus intense ; (l’an prochain : le champ magnétique est à flux
conservatif.)
Règle de la main droite 1:
Quand le pouce est selon I la concavité de la main est dans le sens et la direction de B
Règle de la main droite 2 :
Quand le courant est selon la concavité de la main le pouce est dans la direction et le sens de B
Champ créé par une spire sur son axe :
B
I
sin 3 u z
2R
0
Vue de gauche
Vue de droite
lignes de champ magnétostatiques d’une spire : Les lignes de champ sont fermées, elles sortent du pôle Nord
magnétique
bobine plate ; idem multiplié par le nombre N de spires
bobines de Helmholtz : le champ est quasi uniforme entre les deux bobines, pour cela la distance entre les deux
bobines doit être égale au rayon d’une des bobines
Solénoide fini effets de bord, les lignes de champ s’évasent à la sortie traduisant l’affaiblissement du champ.
Champ sur l’axe d’un solénoïde fini : B
0
nI uz
lim(
0
nI u z
) cos(
2
min
) cos(
max
)
n nombre de spires par unité de longueur
Limite du solénoïde infini B=μ0nI
Solénoïde torique, confinement magnétique ITER (en fait il faut des gradients de champ)
Aimant
Les lignes de champ sortent du pole nord et rentrent dans le pole sud
Propriétés de symétrie du champ magnétique dues aux propriétés de symétrie de la distribution de courant qui lui a
donné naissance
Dipole : modélisation, aimant ou spire vu de loin
Champ créé par le dipôle B
0
4
M
(2 cos ur sin u )
r3
Unité du moment dipolaire A.m²
Unité du moment dipolaire par unité de volume ou aimantation
ordre de grandeur 105 A.m-1
Moment magnétique
1
2
Dans le cas d’une seule spire M
OP
I dl ( P )
I
1
OP dOP ( P )
2
I S on voit que cette
définition permet de construire le moment magnétique en effet ½ du produit vectoriel construit l’aire d’un
triangle élémentaire.
M’
M
I
O
Pour une ligne fermée C de courant le moment magnétique est défini par M = IS N
où SN est défini par l’intégrale sur toute surface s’appuyant sur la courbe C
L’expression du champ magnétique au loin d’une spire B
0
4
M
(2 cos ur sin u )
r3
On obtient ainsi un champ dipolaire magnétique dont la dépendance est identique à celle du champ dipolaire
électrostatique (charges +q et – q vues de loin) .
Attention toutefois que le champ au voisinage de la spire (que nous n’avons pas calculé) diffère du champ
dipolaire tout comme le champ du doublet diffère du champ dipolaire au voisinage du doublet
Les lignes de champ de la spire sont fermées contrairement aux lignes de champ du doublet qui joignent la charge +
à la charge -
Sud
Magnétique
Nord
magnétique
Vue de gauche
Vue de droite
lignes de champ magnétostatiques d’une spire : Les lignes de champ sont fermées, elles sortent du pôle Nord
magnétique
Le vecteur B est axial tandis que le vecteur E est polaire
Le vecteur B se transforme par un plan de symétrie de la distribution de courant en l’opposé de son
symétrique
F
qv
B se transforme de façon polaire si on considère une situation symétrique de courants créateurs de B et
de v vitesse des particules test le fait que B soit axial permet de compenser le produit vectoriel et de laisser F polaire
En un point appartenant à un plan de symétrie d’une distribution de courant le champ magnétique est
orthogonal à ce plan
Expériences limaille de fer, formule de soumission au champ pour les dipôles
F
( M .grad ) B ext
Fx
( M .grad ) Bx ext
Fy
( M .grad ) By ext Déplacement vers les zones de champ fort et orientation de l’aimant
Fz
( M .grad ) Bz ext
M
M
B
1) Champ géomagnétique
A Paris point de latitude =40° Nord, la composante horizontale du champ magnétique terrestre a pour
valeur BH =2.10-5 teslas. B y est alors incliné de 65° vers le bas. Le rayon terrestre r a pour valeur 6400kms
En déduire le module du moment magnétique terrestre, en supposant que ce dernier est porté par un axe
Nord géographique - Sud géographique (ce qui n’est pas tout à fait exact)
Calculer l’intensité qui parcourrait une boucle de courant équatoriale dont le rayon serait égal au rayon du
noyau liquide R= 3500kms et qui créerait le même champ que le champ terrestre.
remarque : dans ce problème une des données est superflue
ur
=40°
u
Ngéo
inc= 65°
M
r
6400kms R
3200kms
2
sin(
)
2
M
4
(6400103 )3
0
B
210
M
4 10
4
5
7
71022 Am 2
9
M
sin(4
90)
(6400103 )3
I .S
I R²
I 210 A
les 65 degrés sont une donnée inutile
2) Bobines de Helmholtz quasi uniformité du champ
I
R
O1
-R/2
C
O2
R/2
M
x
1) a) Une bobine circulaire de centre O, d’axe Ox et de rayon R comporte N spires parcourues par un
courant d’intensité I. On négligera l’épaisseur des spires. Soit B = B ex le champ magnétique en un point M
d’abscisse x de l’axe de la spire et B 0 le champ au centre O de la bobine. Exprimer y = B/B 0 en fonction de u
= x/R
Tracer la courbe y(u) et placer le point d’inflexion
2) Deux bobines identiques à la précédente, de centres O 1 et O2 et parcourues dans le même sens par un
courant d’intensité I sont disposées sur le même axe (C,x), C étant le milieu de O1O2
O1O2 a la valeur de R.
a) Calculer BC .
b) Exprimer Y= B/BC en fonction de = CM /R
Tracer Y( )
3) Effectuer le développement limité en de Y au voisinage de = 0 .
4) De ce résultat et du 1-b en déduire que le champ en C est quasi-uniforme du point de vue d’un
déplacement axial
Remarque pour l’an prochain :
Comment montrer qu’un déplacement perpendiculaire à l’axe ne donne aussi qu’une faible variation du
champ. On utilisera : divB d = BdS=0
Br (z) 2 r dz= r² [Bz (z+dz)- Bz (z)]