Structures Algébriques, Feuille de TD 8

Structures Algébriques, Feuille de TD 8
Exercice 1 (anneau booléen). Soit Ω un ensemble de cardinal strictement
supérieur à 1 et P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Si U et V sont deux éléments
de P(Ω), on note U ∆V (différence symétrique de U et de V ) la partie
U ∆V := (U \ V ) ∪ (V \ U ) ∈ P(Ω).
(1) Montrer que les opérations de différence symétrique et d’intersection confèrent à P(Ω) une structure d’anneau commutatif avec 0 = ∅ et 1 = Ω.
(2) L’anneau (P(Ω), ∆, ∩) est il un anneau intègre ?
Exercice 2 (annulateur, radical). Soit (A, +, ·) un anneau commutatif.
(1) Montrer que si M est un sous-ensemble quelconque de A,
{a ∈ A ; a · x = 0 ∀ x ∈ M }
est un idéal de l’anneau A, dit idéal annulateur ann(M ) de M .
(2) Montrer que l’ensemble des éléments a de A tels qu’il existe na ∈ N∗ avec
ana = 0 est un idéal de A, dit nilradical de l’anneau A. Que peut-on dire
du nilradical nil(A) de l’anneau A lorsque A est intègre ?
(3) Montrer que si I est un idéal de A, l’ensemble
√
I := {a ∈ A ; ∃na ∈ N∗ tel que ana ∈ I}
est un idéal de I (contenant I), dit radical de I. De quel idéal de A le
nilradical de A (voir la question 2) est-il le radical ?
Exercice 3 (fonction d’Euler). Soit φ : n ∈ N∗ 7→ φ(n) la fonction d’Euler associant à n ∈ N∗ l’ordre du sous-groupe multiplicatif (Z/nZ)∗ de l’anneau
(Z/nZ, +, ·). Montrer que si m et n sont deux entiers strictement positifs premiers
entre eux mφ(n) + nφ(m) ≡ 1 modulo mn Z.
Exercice 4 (morphismes d’anneaux : images directe et réciproque d’idéaux).
(1) Construire un morphisme d’anneaux ϕ de l’anneau (Z, +, ×) dans l’anneau
(Q, +, ×) tel que ϕ(2Z) ne soit pas un idéal de (Q, +, ×).
(2) Montrer que si ϕ est un morphisme d’anneaux surjectif de (A, +, ·) dans
(B, +, ·), l’image de tout idéal de A est un idéal de B.
(3) Montrer que si ϕ : (A, +, ·) → (B, +, ·) est un morphisme d’anneaux,
l’image réciproque f −1 (I) de tout idéal de B est un idéal de A. Montrer
que le fait d’être un idéal premier persiste après prise d’image réciproque.
En utilisant le même morphisme d’anneaux qu’à la question 1, montrer
qu’il n’en est pas de même en ce qui concerne le fait d’être un idéal maximal.
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Exercice 5 (intégrité et structure de corps).
(1) Montrer qu’un anneau commutatif (A, +, ·) non réduit à {0} n’admettant
comme seuls idéaux que les idéaux triviaux {0} et A est un corps.
(2) Montrer qu’un anneau (A, +, ·) intègre n’ayant au plus qu’un nombre fini
d’idéaux est un corps (on pensera à utiliser, si x appartient à A \ {0}, la
suite des idéaux xn · A pour n ∈ N).
(3) Soit (A, +, ·) un anneau intègre fini. Montrer que si x appartient à A\{0},
l’application ϕx : a ∈ A 7→ x · a ∈ A est un morphisme injectif de groupes
entre (A, +) et (A, +). Montrer que ϕx est surjectif et en déduire que
(A, +, ·) est un corps.
Exercice 6 (anneau euclidien des entiers de Gauß).
(1) Montrer que le carré [0, 1]×[0, 1] du plan est inclus dans l’union des quatre
disques ouverts de rayon 1 de centres les quatre sommets de ce carré.
(2) Soient z et w deux nombres complexes avec
qu’il existe
w 6= 0. Montrer
au moins un élément (a, b) de Z2 tel que z/w − (a + ib) < 1.
(3) Montrer que l’ensemble des entiers de Gauß
Z[i] := {a + i b ; a, b ∈ Z} ⊂ C
est équipé d’une structure d’anneau intègre pour l’addition et la multiplication dans C.
(4) En utilisant l’application ν : a + ib ∈ Z[i] → a2 + b2 ∈ N, montrer que
(Z[i], +, ×) est un anneau euclidien.
Exercice 7 (idéaux premiers, maximaux). Soient (A, +, ·) un anneau commutatif, I et J deux idéaux de A et P un idéal premier de A.
(1) Rappeler la définition de l’idéal I · J. Montrer que si I · J ⊂ P, on a I ⊂ P
ou J ⊂ P.
(2) Montrer que si I ∩ J = P, alors I = P ou J = P.
(3) Rappeler ce que signifie pour un idéal de A le fait d’être maximal et
pourquoi un idéal maximal est nécessairement premier.
(4) Montrer que si M est un idéal maximal de A, le seul idéal premier P qui
contient l’idéal M · M := M2 est l’idéal P = M.
Exercice 8 (idéal transporteur). Soit A un anneau commutatif, I et J deux
idéaux de A.
(1) Montrer que [I : J] := {a ∈ A ; a · J ⊂ I} (transporteur de J dans I) est
un idéal de A contenant I et que l’on a [I : J] · J ⊂ I.
(2) Montrer que si K est un troisième idéal de A, on a les égalités :
[I ∩ J : K] = [I : K] ∩ [J : K],
[I : J + K] = [I : J] ∩ [I : K].
Exercice 9 (idéaux primaires versus premiers). On dit qu’un idéal I d’un
anneau commutatif (A, +, ·) est primaire si et seulement si, dès que a et b sont
deux éléments de A tels que a · b ∈ I, on a a ∈ I ou bν ∈ I pour au moins un entier
ν ∈ N∗ . Montrer que si I est idéal primaire de A différent de A, alors le radical
de I (voir l’exercice 2, question (3)) est un idéal premier. Quels sont les idéaux
primaires propres de (Z, +, ×) ?