Structures Algébriques, Feuille de TD 8

Structures Alg´ebriques, Feuille de TD 8
Exercice 1 (anneau bool´een).Soit Ω un ensemble de cardinal strictement
sup´erieur `a 1 et P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Si Uet Vsont deux ´el´ements
de P(Ω), on note U∆V(diff´erence sym´etrique de Uet de V) la partie
U∆V:= (U\V)∪(V\U)∈P(Ω).
(1) Montrer que les op´erations de diff´erence sym´etrique et d’intersection conf`e-
rent `a P(Ω) une structure d’anneau commutatif avec 0=∅et 1= Ω.
(2) L’anneau (P(Ω),∆,∩) est il un anneau int`egre ?
Exercice 2 (annulateur, radical).Soit (A, +,·) un anneau commutatif.
(1) Montrer que si Mest un sous-ensemble quelconque de A,
{a∈A;a·x=0∀x∈M}
est un id´eal de l’anneau A, dit id´eal annulateur ann(M) de M.
(2) Montrer que l’ensemble des ´el´ements ade Atels qu’il existe na∈N∗avec
ana=0est un id´eal de A, dit nilradical de l’anneau A. Que peut-on dire
du nilradical nil(A) de l’anneau Alorsque Aest int`egre ?
(3) Montrer que si Iest un id´eal de A, l’ensemble
√I:= {a∈A;∃na∈N∗tel que ana∈I}
est un id´eal de I(contenant I), dit radical de I. De quel id´eal de Ale
nilradical de A(voir la question 2) est-il le radical ?
Exercice 3 (fonction d’Euler).Soit φ:n∈N∗7→ φ(n) la fonction d’Eu-
ler associant `a n∈N∗l’ordre du sous-groupe multiplicatif (Z/nZ)∗de l’anneau
(Z/nZ,+,·). Montrer que si met nsont deux entiers strictement positifs premiers
entre eux mφ(n)+nφ(m)≡1 modulo mn Z.
Exercice 4 (morphismes d’anneaux : images directe et r´eciproque d’id´eaux).
(1) Construire un morphisme d’anneaux ϕde l’anneau (Z,+,×) dans l’anneau
(Q,+,×) tel que ϕ(2Z) ne soit pas un id´eal de (Q,+,×).
(2) Montrer que si ϕest un morphisme d’anneaux surjectif de (A, +,·) dans
(B, +,·), l’image de tout id´eal de Aest un id´eal de B.
(3) Montrer que si ϕ: (A, +,·)→(B, +,·) est un morphisme d’anneaux,
l’image r´eciproque f−1(I) de tout id´eal de Best un id´eal de A. Montrer
que le fait d’ˆetre un id´eal premier persiste apr`es prise d’image r´eciproque.
En utilisant le mˆeme morphisme d’anneaux qu’`a la question 1, montrer
qu’il n’en est pas de mˆeme en ce qui concerne le fait d’ˆetre un id´eal maxi-
mal.
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Exercice 5 (int´egrit´e et structure de corps).
(1) Montrer qu’un anneau commutatif (A, +,·) non r´eduit `a {0}n’admettant
comme seuls id´eaux que les id´eaux triviaux {0}et Aest un corps.
(2) Montrer qu’un anneau (A, +,·) int`egre n’ayant au plus qu’un nombre fini
d’id´eaux est un corps (on pensera `a utiliser, si xappartient `a A\ {0}, la
suite des id´eaux xn·Apour n∈N).
(3) Soit (A, +,·) un anneau int`egre fini. Montrer que si xappartient `a A\{0},
l’application ϕx:a∈A7→ x·a∈Aest un morphisme injectif de groupes
entre (A, +) et (A, +). Montrer que ϕxest surjectif et en d´eduire que
(A, +,·) est un corps.
Exercice 6 (anneau euclidien des entiers de Gauß).
(1) Montrer que le carr´e [0,1]×[0,1] du plan est inclus dans l’union des quatre
disques ouverts de rayon 1 de centres les quatre sommets de ce carr´e.
(2) Soient zet wdeux nombres complexes avec w6= 0. Montrer qu’il existe
au moins un ´el´ement (a, b) de Z2tel que 
z/w −(a+ib) <1.
(3) Montrer que l’ensemble des entiers de Gauß
Z[i] := {a+i b ;a, b ∈Z} ⊂ C
est ´equip´e d’une structure d’anneau int`egre pour l’addition et la multipli-
cation dans C.
(4) En utilisant l’application ν:a+ib ∈Z[i]→a2+b2∈N, montrer que
(Z[i],+,×) est un anneau euclidien.
Exercice 7 (id´eaux premiers, maximaux).Soient (A, +,·) un anneau commu-
tatif, Iet Jdeux id´eaux de Aet Pun id´eal premier de A.
(1) Rappeler la d´efinition de l’id´eal I·J. Montrer que si I·J⊂P, on a I⊂P
ou J⊂P.
(2) Montrer que si I∩J=P, alors I=Pou J=P.
(3) Rappeler ce que signifie pour un id´eal de Ale fait d’ˆetre maximal et
pourquoi un id´eal maximal est n´ecessairement premier.
(4) Montrer que si Mest un id´eal maximal de A, le seul id´eal premier Pqui
contient l’id´eal M·M:= M2est l’id´eal P=M.
Exercice 8 (id´eal transporteur).Soit Aun anneau commutatif, Iet Jdeux
id´eaux de A.
(1) Montrer que [I:J] := {a∈A;a·J⊂I}(transporteur de Jdans I) est
un id´eal de Acontenant Iet que l’on a [I:J]·J⊂I.
(2) Montrer que si Kest un troisi`eme id´eal de A, on a les ´egalit´es :
[I∩J:K]=[I:K]∩[J:K],[I:J+K]=[I:J]∩[I:K].
Exercice 9 (id´eaux primaires versus premiers).On dit qu’un id´eal Id’un
anneau commutatif (A, +,·) est primaire si et seulement si, d`es que aet bsont
deux ´el´ements de Atels que a·b∈I, on a a∈Iou bν∈Ipour au moins un entier
ν∈N∗. Montrer que si Iest id´eal primaire de Adiff´erent de A, alors le radical
de I(voir l’exercice 2, question (3)) est un id´eal premier. Quels sont les id´eaux
primaires propres de (Z,+,×) ?