Cohomologie réelle d`un espace fibré principal

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Cohomologie réelle d’un espace fibré principal différentiable. I : notions
d’algèbre différentielle, algèbre de Weil d’un groupe de Lie
Séminaire Henri Cartan, tome 2 (1949-1950), exp. no 19, p. 1-10
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19-01
1949/50.
Séminaire H. CARTAN, E.N.S.,
COHOMOLOGIE
RÉELLE
D’UN ESPACE
FIBRÉ
DIFFÉRENTIABLE
d’algèbre différentielle,
I : Notions
algèbre de Weil d’un
(Exposé de H. CÀRTAN,
CARTAN,
1.-
PRINCIPAL
groupe de Lie.
le 15 mai
1950).
Algèbres graduées.
d’algèbre graduée A (degrés 9- 0 ) On note a -~ â l’automor(c’est-à-dire de degré p ) y associe ~-1)p a .
phisme qui, à un a
Notion
a
dérivation9 dans A ~
rielle~ de.degré pair, tel que
Une
(Un endomorphisme 6
quel que s oit po)
en
outre
("
est de
endomorphisme 0
un
est dit de
Une antidérvation est
Si
est
degré
s’il applique
r
de
endomorphisme
un
degré +1 ,
et si
&&
de la structure vecto-
B
==
Ap
degré impaiir
0,S
s’appelle
A
dans
tel que
une
différen-
tielle.
Soient
6. et 03B42
deux
sont des dérivations. Le
définie
comme
d’habitude 3
antiderivations ;
[03B81 , 03B82]
crochet
Une
sur
que
de deux
03B41 03B41
et
o. 03B42 + 03B42 03B41
endomorphismes étant
par la formule
le crochet de deux dérivations est
et d’une
alors
une
dérivation,
antidérivation est
une
dérivation,
antidérivation,
ou une
le crochet d’une dérivation
antidérivation.
est déterminée
quand elle est
Ao et A1 formés des éléments de degré 0
l’algèbre A soit engendrée (au sens multiplicatif) par A°
les sous-espaces
et
1,
connue
pourvu
et
certains cas, on peut se donner arbitrairement les valeurs d’une dérivation
en posant qu’elle est nulle sur
(resp. d’une antidérivation) sur
Al ,
exemple, lorsque
A
(Pour tout
Alg.~ Chapitre III).
de
degré
un
l’algèbre extérieure d’un module dont les éléments
ce qui concornc l’algèbre extérieure, voir BOURBAKI,
est
Dans
.
par
sont
Exemple ?
unité,
et soit
A
définit
un
intérieur" par
x
égale
ayant un élément
l’algèbre extérieure du dual de ce module. Chaque élément
endomorphisme i(x) de A ~ de degré -1 ~ appelé "produit
A de (JL y est
s c’est l’antidérivation qui, sur le dual
soit 01’
un
module
sur un anneau
"produit scalaire" définissant
au
la
commutatif
dualité entre
et
x
A1 :
On a alors
"’
(le signe
signifie que le terme correspondant doit être supprimé). L’opérateur i(x) est de carré nuls i(x)i(x) - o ; en effet, i(x)i(x) est une
dérivation 9 évidemment nulle sur Ao et A~ .
2.- Variétés différentiableso
simplifier l’exposition, nous nous bornerons aux variétés indéfiniment
différentiableso Les champs de vecteurs tangents que l’on considérera seront
toujours supposés indéfiniment différentiables ; de même pour les formes difféPour
rentielles de tous
degrés.
Les champs de vecteurs tangents constituent
un
module
T
sur
l’anneau des
numériques (indéfiniment différentiables). Le module dual T’ est le
module des formes différentielles de degré un ; son algèbre extérieure A(T’)
est l’algèbre des formes différentielles de tous dogrus (les fonctions ne’ sont
fonctions
autres que les formes différentielles de degré 0 ), La différentiation extérieuau sens du numéro 1 .
re, notée .d , ést une "différentielle" sur
intérieur
x
T
outre
le
de
élément
i(x) (qui
produit
Chaque
définit,
~i(T’ ) $
opère
bien
A(T’)) ,
sur
sur
T
A(T’) , qui
.
que
une
sur
T’
"transformation
et
A(T’) :
o
infinitésimale" 03B8(x) qui opère
c’est
une
dérivation
(de degré 0)
aussi
sur
est entièrement caractérisée par les deux conditionss
champs de vecteurs tangents, le crochet [x , y]
désigne le champ de vecteurs 6(x).y; cette notation se justifie par la relaSi
x
et
y
sont des
tion
En
outre,
sur
l’algèbre différentielle
on a
les relations
Cette
relation, compte
tenu de
dd
=
0 , implique
que
d
6(x)
et
commutento
3.- Groupes de Liea
Soit
G
groupe de Lie. Les
un
champs de vecteurs tangents, invariants
par
les translations à
cet espace
tielles de
~~~~r’ (G) .
ce
à
l’algèbre
est
gauche j les éléments
scalaires
(multiples
de
Chaque élément
de G g qui ne sont
mes
à
sur le corps réel
gauche, forment un espace vectoriel
est en dualité avec l’espace vectoriel
des formes différendegré un, invariantes à gauche. L’algèbre extérieure A(G) de l’es p a-
paramètre
un
opère
plus 9
de
dans
des formes différentielles de tous
degré 0 (fonctions constantes)
l’unité).
de
définit
un
groupe à
un
degrés,
s’identifient
G . La transformation infinitésimale
[x , y]
0(x) opère dans ~A( G) g et A(G)
rieurs i(x) relatifs aux x de
vérifiées dans A(G)
dans
6 (x)
l’algèbre
Les relations
un
de
sous-groupe
ce
de Lie
est stable pour les
o
aux
paramètre d’automorphis-
autres que les translations à droite par
d’où le crochet
invariantes
groupe
~~~~( G) .
De
produits, inté-
( 1 ) 9 (2)
et
(3)
sont
o
Ici,
peut expliciter l’opérateur différentiel d
par e(x’ ) la multiplication (à gauche) par un élément
bre extérieure A(G) ~ alors, en prenant dans
et
on
°
deux bases duales
(x )
et
de
A(G) ~ désignons
A (G)
son
dual
on a
(Cette formule a été donnée par KOSZUL dans sa Thèse (Bullo Soc.
t~’~$9 ~~950) p. 65-127 ; appliquée aux éléments de degré un de
pas autre chose que "les équations de Maurer-Cartan")0
4.-
Math. de
ce
Francey
n’est
Espace fibré principal.
Soit ¿
suppose
un
que 5
espace fibre
est
une
principal,
1)
G
G
est
nous
principale localement trivial,
supposons
nous
ce
qui
référer à
simplement transitif
2) l’espace 03B2 ("espace
G 9
G . On
est
de
une
différentiable, et que G
la notion générale d’espace
est
un
fibré
suit:
opère (à droite) dans 6
valence définie par
de groupe
variété indéfiniment
groupe de Lie connexe. Sans
et
l’algè-
dans
sur
d’une manière indéfiniment
chaque classe
différentiable,
d’équivalence (fibre)
base’’ ) 9 quotient de 03B6
par la relation
variété indéfiniment différentiable
d’équi-
voisinage ouvert :’(1. tel que l’image
soit isomorphe (comme variété indéfiniment différentia-
3) chaque point
dans ~
réciproque
ble)
produit
au
(u 9 g)
étant alors
On notera
:
tiables)
x
E
G 9
possède
un
la transformation définie par
des formes différentielles
sa
rentiation extérieure. Tout vecteur
x
champ de
vecteurs
G
de
o
l’algèbre
l’espace
s
(u 9 gs)
..~
munie de
de
élément
un
tangents à ~ ~s
en
graduation
et de
effet, chaque
définit
de Lie
l’algèbre
de
(indéfiniment différenl’opérateur d de diffé-
fibre
un
de t s’identifie à
G , d’une manière bien définie à une translation à gauche de G près 9 donc un
champ invariant à gauche, sur G 9 se transporte sur chaque fibre d’une seule
définit dans l’algèbre E un produit intérieur
manière. Ainsi, chaque x E
i(x)
et
sous-groupe à
ment
de
x
infinitésimale ~(x) .
transformation
une
o
paramètre de
l’algèbre de Lieo
un
~~~ ) défini par l’éléopérateurs d 9 i(x) et 0(x)
à droite dans
les
Dans
(2)
satisfont.aux relations
(opérant
G
Cette dernière est celle du
(3) .
et
o
L’algèbre B des formes différentielles (indéfiniment différentiables)de
l’espace de base ? s’identifie à une sous-algèbre de E 9 stable pour d ~ la
sous-algèbre des éléments annulés par tous les opérateurs i(x) et 6(x) relatifs
aux
x
de
o
algèbre différentielle graduée où
opèrent des antidérivations i(x) (de degré -1 et de carré nul) et des dérivations
6(x) (de degré 0 ) correspondant aux éléments x d’une algèbre de Lie
de manière à satisfaire à ( 1 ) 9 (2) et (3) . Nous dirons 9 pour abréger,
que G opère dans E . Cela étant, nous appellerons éléments basiques de E
les éléments annulés par tous les i(x) et les
6 (x) ;9 ils forment une sousalgèbre graduée B ,p stable pour d (en vertu de (3)). On appelle invariants lee
éléments do E annules
ils forment une sous-algèbre lE stable pour d.
D’une manière
Un
générale,
problème important
soit
E
une
consiste à chercher des relations entre les
algèbres
cohomologie H(E) et H(B) ~ la cohomologie étant prise, dans chaque cas~
par rapport à l’opérateur différentiel d . Dans les cas intéressants~
..~.~
H(E) est un isomorphisme sur.
de
a
’
H(I )
5. -- Connexion
infinitésimale
dans
un
espace
fibre principal.
Une connexion infinitésimale est définie par la
de
l’espace
P
sur
que :
fibré ~ ,
d’un
projecteur
le sous-espace des vecteurs
fp
tangents à
de
la
donnée,
en
chaque point
P
l’espace tangent à ~ au point
fibre au point P de manière
1)
soit fonction indéfiniment différentiable du
~p
2) les projecteurs 03C6P
opérations du groupe G
transforment les
se
point
P ~s
dans les autres par les
uns
.
o
L’existence de connexions infinitésimales
des vecteurs tangents
de trouver
à ~/
étant considérée
démontre ainsii la variété
se
espace où
comme
opère G ~
il
9
homomorphisme de cet espace dans l’espace vectoriel
où G opère par les transformations du groupe adjoint (le mot "homomorphisme"
étant pris au sens des exposés
cot homomorphisme étant de
,
6 , 7 et 8
plus assujetti à avoir une valeur donnée sur la sous-variété des vecteurs"tan-
s’agit
gents
aux
un
de 1 .
fibres
Or
ici, parce que l’ espace
prolonger une section dans
tel
un
est
prolongement d’homomorphisme est possible
rétractile ; en effet; on est ramené à
dans ~~
La donnée d’une connexion infinitésimale
application linéaire
de
l’algèbre
f
du dual
(algèbre
E
dans le sous-espace
de
i(x).x’
=
o
revient à la donnée d’une
~~~ ) 9
des formes différentielles de
~ i ( x) . f ( x’ )
(5)
*~(G) .
espace fibré dont la fibre est
un
(scalaire
constante
f(~(x).x’) ,
=
pour tout
~~ : G
x ~
algèbre différentielle
du numéro 4)t ce sera
fin
satisfasse
aux
Soit donc
E
dans
vu =
un
groupe
A (G)
de
algébrique"
G (au sens
dans
E~
dans
de la
qui
o
algébrique
connexion
laquelle opère
opère
application linéaire
une
sur
(5)
conditions
une
dans laquelle
E
fonction
A (G).
x’ ~
et tout
Ceci permet de définir la notion abstraite de "connexion
une
telle que s
L 9 c’est-1..-dire
de
E~
G
a
Supposons
degré
de
dans
en
et
une
algèbre différentielle graduée
outre que, dans
de
degré
E ~
on
ait
qui est bien le
cas si
E est une algèbre de formes différentielles. Alors on peut prolonger._
f en un homomorphisme (multiplicatif) de l’algèbreA(G) dans
E
(transformant l’élément unité dans l’élément unité) ; notons encore f ce
pour
u
p
v
q ~
ce
n’a as,
en
0
prolongement.
Mais,
si
On a~ pour tout
x’
est
un
u ~
A(G) ~
élément do
d(f(x’)) =f(dx’) . L’application
x’
on
--+
d(f(x’)) -f(dx’)
général,
de
dans
E
n’est autre que le tenseur de courbure de la connexion.
L’élément d(f(x’)) - f(dx’) n’est pas~ en générale un élément basique;
néanmoins il est annulé par tous les produits intérieurs i(x) . Démonstration
i(x)d(f(x’))
s
=f(e(x).x’) d’après (5). et,
=
d’après (5)’ ~
i(x).f(dx’)
6.-
L’algèbre
f(i(x).dx’)
=
de Weil d’une
=
f(ô(x).x’ -
algèbre
=
f(C(x).x’) .
~
de Lieo
S(G) 1’"algèbre symétrique~ du dual (JL’(c) de
si on prend une base
(x.) dans C?’(G) ~, S(G) s’identifie à l’algèbre des
polynômes par rapport aux lettres x. (commutant deux à deux). S(G) s’identifie aussi canoniquement à l’algèbre des formes multilinéaires symétriques
Désignons
sur
vectoriel
l’espace
On
comme
par
distinguera l’espace
de
sous-espace
A (G)
sur
S (G) .
0
Définissons
que f
S(G) s
x’
application linéaire
une
conserve
=
les
de
sous-espace
isomorphisme canonique
on a un
On notera souvent
f(x~)
Pour
comme
l’élément
f
de
h(x’) ~ pour
dans
E~
A(G) ,
h
de
x’ ~.
en
et
A (G) .
0
posant
d(f(x’)) ~ f(dx’) .
o
degrés,
convient que les
on
éléments de
sont
2 ; ceci conduit à graduer S(G) en posant que les éléments de
sont de degré 2p . L’application f se prolonge alors en un homomorphisme
multiplicatif de l’algèbre (commutative) S(G) dans l’algèbre E ~ homomorphisme qui conserve les degrés. On notera encore
f l’homomorphisme prolongé.
de degré
C~.(G) est l’algèbre graduée
W(G) A(G) ~ S(G) ~ produit tensoriel des algèbres graduées A(G) et S(G) .
Les homomorphismes f s A(G) 2014~ E , et f" ~ S(G) 2014~ E , définissent un
homomorphisme ? de U(G) dans E . On va définir, sur W(G) (indépendamment
de l’algèbre E et de la connexion f ) des opérateurs i(x) ~ P(x) et une
L’algèbre
de Weil de
l’algèbre
de Lie
=
0
différentielle
de telle manière que, pour toute connexion f dans une
algèbre différentielle graduée E (avec vu (-1)pquv) , l’homomorphisme f
défini par f soit compatible avec les i(x) ~ les 6 (x) et les opérateurs
=
différentiels
S (dans W(G))
Définition de
et
i(x).? i(x)
d
est
(dans
déjà
défini
sur
A(G)
(identifié
à la
sous-algèbre
tifié
au
des éléments
1
sous-espace des
1
étant Isolément unité). Sur
convenons
i(x)
que
est
(iden-
l’ opérateur
nul.
Prolongeons i(x) en une antidérivation de l’algèbre A(G) ~S(G) ; c’est
possible d’une seule manière ~ l’antidérivation i(x) est nulle sur S(G)
son carré est nul Cela étant, on a bien, pour tout 03B1 ~ W(G) y
et, sur
a
qu’il
lorsque ~~
parce
en
est ainsi lorsque X
S(G)
est dans
Définition de
nir
W(G)
=
le
on
A(G)
W(G) ~
x’ ~.
qu’il en est ainsi lorsque ~:
lorsque ~ est un élément x’ de
=
déjà défini
A (G) p
o
sur
dérivation
en une
et x’
et
A(G) ; on va le
(de degré 0) sur
défi-
posons
=
alors
on a
parce
03B8(x).(’)
est
prolongera
Or soit
Pour
alors les 2 membres
6(x)
s
et
sur
(car
(relation (5)’) 9
sont nuls)
A(G)
est dans
f(0(x).x’) p
A(G)
est dans
S (G)
comme on
(relation (5)’) ~
et
s
le vérifie
aussitôt, grâc e
Définition de l ’ opérateur différentiel o de W(G) .
à
(5)’ .
La relation
La relation
duales./
Ayant ainsi, dé fini ~
et
sur
sur
on
le
prolonge
en une
antidérivation (de degré +1 ) sur W(G)
A(G) ~ S(G) . Les relations (6) et
(7) permettent d’expliciter s appelons h l’antidérivation qui transforme
=
x’
e
A~(G)
en
(8)
On voit
x"’
~
S (G)
=
2014
h
que 03B4
est
somme
et est nulle
0
sur
(e(x*)
de 3
antidérivations
S(G)
s
désigne
la
multiplication-par-
x’k)
où
S(G)
d
prolonge
dA
et est nulle
sur
A(G) ,
et nul sur
A(G)
A(G) .
et est nulle
sur
Introduisons
6S(x),
et
6(x)
E’~(x)
égal à
S(G) et
9
d (x)
égal à
S(G) , dS prolonge ~~
sur
sur
nul
sur
sur
A(G)
A(G) ~
sur
alors
Les formules
(8), (9), (10), (il) expli citent l’opérateur c .
o
Pour tout 03B1 ~ W(G) ,
f(~)
=
car
d ’ aprè s (6)
et
là~
on
c ’ est vrai si
(7) . Ainsi, f
o
La relation
De
bien
on a
à
analogue
(3)
est
compatible
~’
est
commute
une
différentielle
à l’identité
On
composante de 03B4 03B4 x’
-~S
2
=
0 . Il suffit de
0
et
(G)
S (G)
dans
6(x) .
les
avec
montrer que la dérivation ~ est nulle sur
= ~~
x é X (G) ,
i(x) s’annule sur A
montrer que la
S~(G) ~
dans
et 03B4 .
d
avec
ou
s
déduit facilement
Montrons enfin que
A~(G)
est dans
.x
Or,
il reste à
et
est
pour tout
nulle ;
or
cela revient
.
ainsi défini
W(G) avec tous ses opérateurs i(x) ,
6(x) et c~ 9 qui satisfont à ( 1) , (2) et (3) (où d serait remplacé par
~ ) ? ~~ est une différentielle 9 explicitée par les formules ‘ $ I9 (9), B 1 O 9
(11). De plus, chaque f oi s qu’on a une c onnexi on al gé brique f dans une algèbre différentielle graduée E où opère un groupe G (satisfaisant à
vu
(-1)pqu.v) 9 f se prolonge en un homomorphisme f de W(G) dans E .
a
l’algèbre
de Weil
=
compatible
avec
les graduations et tous
En
particulier9
identique de A (G)
S+(G) (on
nul sur
fie ainsi
S+(G) ;
A(G)
au
E
prenons pour
dans
note
°
S+(G)
la
les opérateurs.
l’algèbre A(G) 9
alors f
somme
des
quotient de l’algèbre
cette identification est
est
compatible
avec
.
f
étant l’application
l’identité
Sp(G)
W(G)
~
pour
par l’idéal
sur
p ~:
A(G) , et est
1 ) ; f ~ identi~
engendré
par
toutes les structures
0
si
Remarque :
Weil
réduit à
se
7 . - Classes
est
G
un
abêlien
groupe
l’opérateur J
de
l’algèbre
de
h.
o
caractéristiques (réelles)
d’ un espace fibré
principal.
l’espace -~ ~
fibre principal de groupe G .Soit f une connexion; d’où un homomorphisme
f de W(G) dans E 9 compatible avec tous les opérateurs. Les éléments basiques de W(G) sont transformés par f dans des éléments de l’algèbre B des
formes différentielles de l’espace de base ~ . Or la sous-algèbre des éléments
A(G) S( G) n’est autre que la sous-algèbre des éléments
basiques de W( G)
Soit de
E
nouveau
des formes différentielles de
l’algèbre
=
S(G) .
invariants de
que les
IS(G)
par le
On notera
o
éléments de
cette
sous-algèbre ;
on
n’oubliera pas
de ré 2p . L’étude de la structure de
(algèbre des formes multilinéaires symétriques sur n(G) , invariantes
groupe adjoint) sera faite dans l’exposé suivant.
La formule
(c’est-à-dire
sont de
(11)
qu’un élément
montre ? pour
c~
nul),
de
S(G)
soit
un
cocycle
qu’il soit
invariant. Ici, f transforme donc les éléments de
IS(G) dans des cocycles de
pairs 9
B ~ c’ost-à-dire des cocycles de l’espace de base. Ils sont de
on les appelle les cocycles caractéristiques de la connexion. Ils forment une
sous-algèbre de B, appelée la sous-algèbre caractéristique de B .
pour que
son
soit
il faut et il suffit
passant des cocycles de B à leurs classes de cohomologie dans l’algèbre H(B) ~ on obtient un homomorphisme d’algèbres graduées
En
2014~
On
verra
dans
un
H(B) , qui applique
exposé ultérieur
choix de la connexion: c’est
~ .
La
s’appelle
que cet
la
homomorphisme
est
H~(B) .
indépendant
du
invariant de la structure fibrée de l’espace
9 image de IS(G) par cet homomorphisme.
un
H(B)
sous-algèbre caractéristique
sous-algèbre
dans
de
Hf, B) 9
de
ses
éléments sont les
classes caractéristiques de la structure fibrée.
8.-
L algèbre’ de
Dans
Weil
l’exposé suivante
est triviale. Cela
réduisant
bre
signifie
algèbre
on
que
universelle.
prouvera le théorème ~ la
Hm(W(G) )
corps des scalaires. On
au
des
hypothèse
comme
sur
éléments invariants
le groupe de Lie
Ceci est lié
au
a
de
un
cohomologie de
W(G)
m ~ ~ , Ho(W(G) ) se
théorème analogue pour la sous-algè=
0
W(G) .
pour tout
Ce théorème vaut
sans aucune
G .
rôle d’ "algèbre universelle" que j oue
du
point de
19-10
vue
de
l’homologie. L’algèbre W(G)
j oue le rôle d’une algèbre
de
cochaînes
qui serait classifiant (exposé 8p numéro 4) pour tous les
espaces fibres principaux de groupe G , L’algèbre
jouo alors le rôle
de l’algèbre de cohomologie de l’espace de base d’un tel espace classifiant
(cf. cohomologie de la grassmannienne, lorsque G est le groupe orthogonal),
d’un espace fibré
I~(G)
l’homomorphisme I’S(G) ~ H(B) correspond
cohomologie de la base de l’espace classifiant
de l’espace fibre étudié.
et
-
alors à
dans la
l’homomorphisme de la
cohomologie de la base
,.