Classe PC Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2013-2014
Physique
Devoir n°15 - Le 27 janvier - 4 heures
A
Principe de fonctionnement du Laser
Une cavité laser est constitué de deux miroirs distants de que l’on supposera ici plans pour simplifier l’étude.
On considère alors une onde lumineuse dans une direction normale au plan des miroirs.
Le milieu dans la cavité est assimilé au vide.
Données :
● Longueur d’onde du Laser étudié :
=
● Vitesse de propagation de la lumière dans le vide :
=
−
● Constante de Planck :
● Perméabilité
−
● ∫
AI
∞
+
(
=
−
magnétique
du
milieu
=
:
−
)
( −
)
=
(
)
∣
∣
Cavité résonnante
On considère une onde lumineuse monochromatique dans la cavité dont on cherchera l’expression sous la forme
(
AI-1
)=
( )
(
)
Que signifie l’approximation scalaire en optique ? Quelle grandeur physique représente l’amplitude de l’onde ?
Rappeler l’équation de propagation pour cette onde scalaire dont la célérité est . En déduire une équation vérifiée
par ( )
AI-2
On prend l’origine = au niveau du miroir
de considérer ( ) = ( ) = ?
AI-3
. Quelle hypothèse sur les miroirs et quelle relation nous permettraient
En supposant cette condition vérifiée, déterminer ( ), à une constante multiplicative
près. En déduire la nature
de l’onde et les différentes longueurs d’ondes associées aux modes pouvant s’établir dans cette cavité.
AI-4
AII
Largeur des raies
n’est pas parfait. On considèrera pour ce miroir les coefficients et respectivement de réflexion
En réalité, le miroir
et transmission en amplitude, que l’on admet réels.
La réflexion reste idéale sur le miroir
.
Pour mieux se représenter les choses, on donne une incidence aux rayons sur le schéma. Mais l’étude se fera pour = .
On note
(
(
)
(
)
(
)
) l’amplitude complexe du
+
rayon émergeant,
1
étant considéré à l’infini.
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On pose + =
déphasage par réflexion.
−
AII-1
Physique
. Exprimer
et
en fonction éventuellement de , ,
et
. On ne considèrera pas de
En déduire l’expression de l’amplitude de l’onde résultante à l’infini sous forme d’une série géométrique en fonction
de , , et ( )
AII-2
AII-3
Déterminer l’intensité lumineuse que l’on mettra sous la forme ( ) =
On rappelle que ∑∞=
Calculer
pour
=
=
−
AII-4
Pour quelles valeurs de
AII-5
On considère le domaine
Exprimer
en fonction de
si ∣ ∣ <
. Exprimer
en fonction de .
obtient-on une intensité maximale ? Commenter ces valeurs.
entourant
=
pour lequel
>
(On pourra effectuer un développement limité).
AII-6 Relier
et
en considérant que
≪
En déduire la valeur de
pour un laser avec =
AIII
( )
+
et
, avec
≡
=
. Conclure.
Longueur de cohérence
On utilise un interféromètre de Michelson en configuration lame d’air d’épaisseur .
On dispose pour l’observation des interférences d’une lentille de focale ′ et d’un écran.
AIII-1 On souhaite que le dispositif puisse permettre l’observation de la figure d’interférence quelque soit l’extension spatiale
de la source.
Comment doit-on placer la lentille et l’écran ? Quelle type de figure observera-t-on sur l’écran ?
On ne s’intéresse qu’à la lumière parvenant en
source et interférant en ′ .
AIII-2
′
où on place un détecteur. Représenter deux rayons issus de la
En supposant la lumière monochromatique de fréquence
du détecteur en ′ en fonction de , , et .
AIII-3
et d’intensité
, exprimer l’intensité ( ) reçue au niveau
La source présente un spectre étendu de profil Lorentzien : l’intensité émise dans une bande de fréquence [
est donnée par
=
avec
=
+
( − )
On considère l’étendue possible des fréquences de à ∞.
AIII-4
Déterminer la largeur spectrale
Exprimer l’intensité ( ) reçue en
fonction de .
AIII-5
Proposer une valeur limite de
cette valeur ?
AIII-6
AIV
définie par (
′
±
)=
+
[
.
sous forme d’une intégrale sur les fréquences. Exprimer cette intégrale en
au delà de laquelle les interférences ne seront plus observables. Comment nomme-t-on
Géométrie du faisceau
On considère dans un premier temps l’onde du faisceau modélisée par le champ électromagnétique d’une onde plane harmo*
→
, polarisée rectilignement selon
. On note
le vecteur d’onde,
l’amplitude.
nique se propageant selon
. Le champ est donc considéré comme
On suppose que cette onde est limitée dans un tube cylindrique de rayon et d’axe
nul en dehors de ce tube.
AIV-1
de ,
Écrire le champ électrique, rappeler la relation de dispersion et déterminer le champ magnétique associé en fonction
et .
2
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Physique
Déterminer l’expression de la puissance moyenne transportée par l’onde.
En déduire l’amplitude
pour =
et P =
AIV-2
En raison de quel phénomène est-t-il en fait impossible de considérer un faisceau contenu dans un tube cylindrique
en = ?
Évaluer alors l’angle d’ouverture du faisceau divergeant en fonction de et .
AIV-3
Afin de tenir compte de ce phénomène, on propose la forme approchée pour le champ électrique : #
$
−
"
→
→
$
% +
(
)= ( ) ( − )"
avec ( ) =
; =
où
est une longueur caractéristique et
AIV-4
Représenter l’allure de
AIV-5
On suppose que
∣
∣≪
(
(
la distance du point
) en fonction de , pour
à l’axe
et
=
√
.
fixé. Commenter
) varie très lentement par rapport à
et . Montrer que cela se traduit par ∣
∣≪
et
On admet qu’alors la relation de structure liant les champs électrique et magnétique dans le cas d’une onde plane
peut être appliquée ici. En déduire l’expression de (
) en fonction de (
) et , donner la direction de polarisation
"
→
de .
AIV-6
AIV-7
Déterminer la valeur temporelle moyenne du vecteur de Poynting en
AIV-8
On se place dans un plan
P( ).
Montrer que P( ) =
fixé. Définir en fonction de
( )
"
→
(
(
), noté
"
→
(
)
) la puissance moyenne traversant ce plan, notée
Ce résultat vous parait-il cohérent ?
Même s’il a des défauts, nous allons continuer avec ce modèle...
AIV-9
"
→
"
→
( ( ) )= −
( ). Ce rayon put servir à caractériser l’enveloppe du
On définit le rayon ( ) tel que
faisceau laser.
Montrer que ( ) = ( ).
On se place dans le cas où ≫ . En désignant par l’angle d’ouverture du faisceau, exprimer en fonction de
et
On donne =
. Calculer et comparer cette valeur à la première modélisation.
AIV-10
B
Dispositif interférentiel
On s’intéresse ici à la superposition de deux ondes monochromatiques caractérisées par des champs et de même polarisation
et se propageant toutes deux dans le même sens le long de l’axe
.
supposée rectiligne selon l’axe
On consid§re également les champs électriques de même amplitude .
3.1) Donner les conditions d’obtention d’un phénomène d’interférences à partir de ces deux ondes.
3.2) Deux sources de lumière réelles distinctes ne peuvent pas engendrer de telles conditions. Expliquer sommairement,en
un nombre minimal de lignes, à partir du principe d’émission de la lumière, les causes de cet échec.
3.3) Comment réalise-t-on, en pratique, les conditions permettant l’obtention du phénomène d’interférences ? Indiquer brièvement ce qui en limite l’application.
3
3.4) On peut répertorier deux grandes familles de systèmes interférentiels ; lesquelles ?
Donner un exemple de système pour chaque famille.
3.5) Ecrire la relation entre l'éclairement Eo pour une onde seule et l'amplitude Eo du champ
électrique de cette onde.
Donner, sans démonstration, l'expression de l'éclairement E résultant de la superposition des deux
ondes considérées. On précisera avec soin les différentes grandeurs qui interviennent.
4) Dispositif interférentiel
On s'intéresse au dispositif interférentiel de Mach-Zehnder schématisé sur la figure 1, que l'on peut
considérer comme un « Michelson déplié » et dans lequel on trouve deux miroirs plans (M1) et (M2)
ainsi que deux lames séparatrices (SP1) et (SP2) d'épaisseurs supposées nulles, tous ces instruments
étant inclinés à 45° par rapport aux faisceaux optiques. Une source ponctuelle S est placée au foyer
objet d'une lentille convergente (L). Le faisceau réfracté par la lentille est séparé en deux parties de
même intensité par la lame (SP1) pour être recomposé partiellement au niveau de la séparatrice (SP2)
identique à la première, après réflexion sur l'un ou l'autre des miroirs. Le faisceau émergent est
ensuite reçu sur un écran (EC).
Ce dispositif est entièrement plongé dans l'air dont on admettra que l'indice a pour valeur no = 1 .
(EC)
(M 1)
(SP 2 )
:
(L)
no = 1
S
(SP 1 )
Figure 1
(M2 )
4.1) Justifier, sans calcul, qu'en l’état de la figure 1, tous les points éclairés sur l'écran (EC) reçoivent
deux ondes en phase. En déduire l'aspect, brillant ou sombre, de la tache lumineuse sur l'écran.
4.2) Sur le trajet issu de (M1) et dirigé vers (SP 2) on introduit (Figure 2.a) une lame à faces parallèles
(L1) d'épaisseur e et d'indice n , perpendiculaire au faisceau. Sur l'autre trajet, de (SP1) vers (M2)
on introduit une lame à faces parallèles (L2) identique à la première (Fig 2.b), mais faiblement
inclinée, de manière à se présenter sous une faible incidence T par rapport au faisceau.
4.2.1) Exprimer, pour le parcours de (M1) à (SP2), la différence de marche supplémentaire G1
introduite par la présence de lame à face parallèle (L1).
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(L2 )
(L1 )
(n)
(M 1)
A
(n)
H
(SP2 )
(SP 1)
A'
T
B'
e
e
Figure 2.a
(M 2)
H'
Figure 2.b
4.2.2) Exprimer, pour le parcours de (SP1) à (M 2), le chemin optique L(A'B') puis la distance (A'H')
(projection de (A'B') sur l'axe optique) en fonction de l'angle T supposé très petit et des données n et
e . En déduire la différence de marche supplémentaire G2 introduite par la présence de la lame à
face parallèle (L2).
Les calculs seront développés en les limitant au second ordre (inclus) en T .
4.2.3) En supposant que la source (S) émette une onde monochromatique de longueur d'onde O dans
le vide, exprimer le déphasage ) des faisceaux au niveau de la tache sur l'écran. L'éclairement sur
l'écran est-il alterné ou uniforme ?
4.3) En augmentant lentement l'angle T à partir d'une valeur nulle (sous réserve qu'il demeure petit),
on peut obtenir sa mesure en relevant celle de l'éclairement et à condition de compter le nombre
entier k de passages par un maximum de brillance.
4.3.1) Pour quelles valeurs de T a-t-on un éclairement maximal ?
En prenant O = 632,8 nm , n = 1,5 et e = 1 mm , calculer en degrés la valeur T de l'angle
correspondant à k = 1 .
4.3.2) Si ce dispositif était utilisé pour la mesure d'angles, dans quel sens faudrait-il modifier
l'épaisseur de la lame pour gagner en sensibilité ?
4.3.3) En supposant que la source ait une longueur de cohérence " c 10 Pm , quelle condition
devrait-on imposer à l'épaisseur de la lame si l'on voulait mesurer un angle de 1° tout en maintenant
k=1 ?
4.4) La source S est maintenant supposée polychromatique, avec un spectre étalé entre les longueurs
d'onde 0,4 Pm et 0,8 Pm . La lame (L2) est positionnée avec l’angle T obtenu à la question (4.3.1).
On négligera les variations de l'indice n des lames avec la longueur d'onde.
- Montrer que certaines longueurs d'ondes sont absentes sur l'écran. Les calculer.
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5) La lame (L1) étant maintenue en place, la lame (L2) est remplacée (Figure 3) par une lame à face
parallèles (L3) , de même épaisseur e , perpendiculaire au faisceau optique et présentant un gradient
d'indice, de norme J . Ce gradient est parallèle à l'axe Oy du repère cartésien orthonormé (O,x,y,z)
dont l'axe Ox est confondu avec la direction de propagation de la lumière et l'axe Oz (non dessiné)
est normal au plan de figure.
Dans tout ce qui suit, on supposera que la source est à nouveau monochromatique, de longueur
d'onde dans le vide égale à O.
y
(L3 )
(n')
(1)
(1)
h
(SP 1 )
y
x
O
(M 2)
e
Figure 3
5.1) L'indice n' de la lame (L3) évolue de manière linéaire entre les deux limites de cette lame où
y = h et y = h , de sorte que : n ' n J y .
On considérera que h = 1 cm , n = 1,5 et J = 10 m.
5.1.1) Dans quel sens de l'axe Oy le gradient de l'indice n ' se trouve-t-il orienté ?
5.1.2) Exprimer, en fonction de n , e , J et y , la différence de marche supplémentaire G3
engendrée par l'interposition de la lame (L3), pour le seul rayon du plan de figure atteignant la lame
(L3) avec un décalage y par rapport à l'axe optique.
5.1.3) Tracer le cheminement complet de ce rayon, de la source jusqu'à l'écran. Quelle sera l'ordonnée
Y :M de son point d'impact M sur l'écran (EC) ?
5.1.4) En déduire la différence de marche globale G entre les deux rayons, issus de S et interférant
en M .
5.2) Décrire l'aspect de la figure obtenue sur l'écran, puis préciser la valeur de l'interfrange i lorsque
O= 546 nm et e = 1 mm.
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