Classe PC Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2013-2014 Physique
Devoir n°15 - Le 27 janvier - 4 heures
A Principe de fonctionnement du Laser
Une cavité laser est constitué de deux miroirs distants de que l’on supposera ici plans pour simplifier l’étude.
On considère alors une onde lumineuse dans une direction normale au plan des miroirs.
Le milieu dans la cavité est assimilé au vide. Données :
●Longueur d’onde du Laser étudié : =
●Vitesse de propagation de la lumière dans le vide : =
−
●Constante de Planck : =−
●Perméabilité magnétique du milieu : =
− −
●∫∞( )
+ ( −)=( )  
AI Cavité résonnante
On considère une onde lumineuse monochromatique dans la cavité dont on cherchera l’expression sous la forme
()= ( ) ( )
AI-1 Que signifie l’approximation scalaire en optique? Quelle grandeur physique représente l’amplitude de l’onde?
AI-2 Rappeler l’équation de propagation pour cette onde scalairedontlacéléritéest .Endéduireuneéquationvérifiée
par ( )
AI-3 On prend l’origine =au niveau du miroir .Quellehypothèsesurlesmiroirsetquellerelationnouspermettraient
de considérer ()= ()= ?
AI-4 En supposant cette condition vérifiée, déterminer ( ),àuneconstantemultiplicative près. En déduire la nature
de l’onde et les différentes longueurs d’ondes associées aux modes pouvant s’établir dans cette cavité.
AII Largeur des raies
En réalité, le miroir n’est pas parfait. On considèrera pour ce miroir les coefficients et respectivement de réflexion
et transmission en amplitude, que l’on admet réels.
La réflexion reste idéale sur le miroir .
Pour mieux se représenter les choses, on donne une incidence aux rayons sur le schéma. Mais l’étude se fera pour =.
( )
( )
( )
On note ( ) l’amplitude complexe du +rayon émergeant, étant considéré à l’infini.
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AII-1 On pose +=−.Exprimer et en fonction éventuellement de , , et .Onneconsidèrerapasde
déphasage par réflexion.
AII-2 En déduire l’expression de l’amplitude de l’onde résultanteàl’infinisousformed’unesériegéométriqueenfonction
de ,,et ( )
AII-3 Déterminer l’intensité lumineuse que l’on mettra sous la forme ()= + .Exprimer en fonction de .
On rappelle que ∑∞
==−si <
Calculer pour =
AII-4 Pour quelles valeurs de obtient-on une intensité maximale? Commenter ces valeurs.
AII-5 On considère le domaine entourant =pour lequel >
Exprimer en fonction de (On pourra effectuer un développement limité).
AII-6 Relier et en considérant que ≪
En déduire la valeur de pour un laser avec =et ≡,avec =.Conclure.
AIII Longueur de cohérence
On utilise un interféromètre de Michelson en configuration lame d’air d’épaisseur .
On dispose pour l’observation des interférences d’une lentille de focale ′et d’un écran.
AIII-1 On souhaite que le dispositif puisse permettre l’observation de la figure d’interférence quelque soit l’extension spatiale
de la source.
Comment doit-on placer la lentille et l’écran ? Quelle type defigureobservera-t-onsurl’écran?
AIII-2 On ne s’intéresse qu’à la lumière parvenant en ′où on place un détecteur. Représenter deux rayons issus de la
source et interférant en ′.
AIII-3 En supposant la lumière monochromatique de fréquence et d’intensité ,exprimerl’intensité ( ) reçue au niveau
du détecteur en ′en fonction de , , et .
La source présente un spectre étendu de profil Lorentzien : l’intensité émise dans une bande de fréquence [+[
est donnée par =avec =+(−)
On considère l’étendue possible des fréquences de à∞.
AIII-4 Déterminer la largeur spectrale définie par (±)=.
AIII-5 Exprimer l’intensité ( ) reçue en ′sous forme d’une intégrale sur les fréquences. Exprimer cette intégrale en
fonction de .
AIII-6 Proposer une valeur limite de au delà de laquelle les interférences ne seront plus observables. Comment nomme-t-on
cette valeur ?
AIV Géométrie du faisceau
On considère dans un premier temps l’onde du faisceau modélisée par le champ électromagnétique d’une onde plane harmo-
nique se propageant selon ,polariséerectilignementselon .Onnote→le vecteur d’onde, l’amplitude.
On suppose que cette onde est limitée dans un tube cylindriquederayon et d’axe .Lechampestdoncconsidérécomme
nul en dehors de ce tube.
AIV-1 Écrire le champ électrique, rappeler la relation de dispersion et déterminer le champ magnétique associé en fonction
de ,et .
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AIV-2 Déterminer l’expression de la puissance moyenne transportée par l’onde.
En déduire l’amplitude pour =et P=
AIV-3 En raison de quel phénomène est-t-il en fait impossible de considérer un faisceau contenu dans un tube cylindrique
en =?
Évaluer alors l’angle d’ouverture du faisceau divergeant enfonctionde et .
Afin de tenir compte de ce phénomène, on propose la forme approchée pour le champ électrique :
"→ ( )=( ) (−)"→ avec ( )=
−;=#
$
$
%+et =√
où est une longueur caractéristique et la distance du point àl’axe .
AIV-4 Représenter l’allure de ( )en fonction de ,pour fixé. Commenter
AIV-5 On suppose que ( )varie très lentement par rapport à et .Montrerquecelasetraduitpar∣ ∣≪et
∣∣≪
AIV-6 On admet qu’alors la relation de structure liant les champs électrique et magnétique dans le cas d’une onde plane
peut être appliquée ici. En déduire l’expression de ( )en fonction de ( )et ,donnerladirectiondepolarisation
de "→ .
AIV-7 Déterminer la valeur temporelle moyenne du vecteur de Poynting en ( ),noté"→ ( )
AIV-8 On se place dans un plan fixé. Définir en fonction de "→ ( )la puissance moyenne traversant ce plan, notée
P().
Montrer que P()=( )
AIV-9 Ce résultat vous parait-il cohérent ?
Même s’il a des défauts, nous allons continuer avec ce modèle...
AIV-10 On définit le rayon ( )tel que "→ ( ( ) )=−"→ ( ).Cerayonputserviràcaractériserl’enveloppedu
faisceau laser.
Montrer que ( )=( ).
On se place dans le cas où ≫.Endésignantpar l’angle d’ouverture du faisceau, exprimer en fonction de et
On donne =.Calculer et comparer cette valeur à la première modélisation.
B Dispositif interférentiel
On s’intéresse ici à la superposition de deux ondes monochromatiques caractérisées par des champs et de même polarisation
supposée rectiligne selon l’axe et se propageant toutes deux dans le même sens le long de l’axe .
On consid§re également les champs électriques de même amplitude .
3.1) Donner les conditions d’obtention d’un phénomène d’interférences à partir de ces deux ondes.
3.2) Deux sources de lumière réelles distinctes ne peuvent pas engendrer de telles conditions. Expliquer sommairement,en
un nombre minimal de lignes, à partir du principe d’émission de la lumière, les causes de cet échec.
3.3) Comment réalise-t-on, en pratique, les conditions permettant l’obtention du phénomène d’interférences ? Indiquer briè-
vement ce qui en limite l’application.
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3.4) On peut répertorier deux grandes familles de systèmes interférentiels ; lesquelles ?
Donner un exemple de système pour chaque famille.
3.5) Ecrire la relation entre l'éclairement Eopour une onde seule et l'amplitude Eodu champ
électrique de cette onde.
Donner, sans démonstration, l'expression de l'éclairement Erésultant de la superposition des deux
ondes considérées. On précisera avec soin les différentes grandeurs qui interviennent.
4) Dispositif interférentiel
On s'intéresse au dispositif interférentiel de Mach-Zehnder schématisé sur la figure 1, que l'on peut
considérer comme un « Michelson déplié » et dans lequel on trouve deux miroirs plans (M1)et(M
2)
ainsi que deux lames séparatrices (SP1)et(SP
2) d'épaisseurs supposées nulles, tous ces instruments
étant inclinés à 45° par rapport aux faisceaux optiques. Une source ponctuelle S est placée au foyer
objet d'une lentille convergente (L). Le faisceau réfracté par la lentille est séparé en deux parties de
même intensité par la lame (SP1)pourêtrerecomposépartiellementau niveau de la séparatrice (SP2)
identique à la première, après réflexion sur l'un ou l'autre des miroirs. Le faisceau émergent est
ensuite reçu sur un écran (EC).
Ce dispositif est entièrement plongé dans l'air dont on admettra que l'indice a pour valeur no=1.
Figure 1
(M )
1
S
(M )
2
2
(SP )
(SP )
1
(L)
(EC)
:
n=1
o
4.1) Justifier, sans calcul, qu'en l’état de la figure 1, tous les points éclairés sur l'écran (EC) reçoivent
deux ondes en phase. En déduire l'aspect, brillant ou sombre, de la tache lumineuse sur l'écran.
4.2) Sur le trajet issu de (M1) et dirigé vers (SP2) on introduit (Figure 2.a) une lame à faces parallèles
(L1) d'épaisseur e et d'indice n , perpendiculaireaufaisceau.Surl'autretrajet,de(SP
1) vers (M2)
on introduit une lame à faces parallèles (L2) identique à la première (Fig 2.b), mais faiblement
inclinée, de manière à se présenter sous une faible incidence Tpar rapport au faisceau.
4.2.1) Exprimer, pour le parcours de (M1)à(SP
2), la différence de marche supplémentaire G1
introduite par la présence de lame à face parallèle (L1).
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Figure 2.a
(M )
1(M )
2
(SP )
2(SP )
1
e
T
e
(n) (n)
A' B'
H'
AH
(L )
1(L )
2
Figure 2.b
4.2.2) Exprimer, pour le parcours de (SP1)à(M
2), le chemin optique L(A'B') puis la distance (A'H')
(projection de (A'B') sur l'axe optique) en fonction de l'angle Tsupposé très petit et des données n et
e . En déduire la différence de marche supplémentaire G2introduite par la présence de la lame à
face parallèle (L2).
Les calculs seront développés en les limitant au second ordre (inclus) en T.
4.2.3) En supposant que la source (S) émette une onde monochromatique de longueur d'onde Odans
le vide, exprimer le déphasage )des faisceaux au niveau de la tache sur l'écran. L'éclairement sur
l'écran est-il alterné ou uniforme ?
4.3) En augmentant lentement l'angle Tà partir d'une valeur nulle (sous réserve qu'il demeure petit),
on peut obtenir sa mesure en relevant celle de l'éclairement et à condition de compter le nombre
entier k de passages par un maximum de brillance.
4.3.1) Pour quelles valeurs de Ta-t-on un éclairement maximal ?
En prenant O= 632,8 nm , n = 1,5 et e = 1 mm , calculer en degrés la valeur Tde l'angle
correspondant à k = 1 .
4.3.2) Si ce dispositif était utilisé pour la mesure d'angles, dans quel sens faudrait-il modifier
l'épaisseur de la lame pour gagner en sensibilité ?
4.3.3) En supposant que la source ait une longueur de cohérence m10
cP ", quelle condition
devrait-on imposer à l'épaisseur de la lame si l'on voulait mesurer un angle de 1° tout en maintenant
k=1 ?
4.4) La source S est maintenant supposée polychromatique, avec un spectre étalé entre les longueurs
d'onde 0,4 Pm et 0,8 Pm.Lalame(L
2) est positionnée avec l’angle Tobtenu à la question (4.3.1).
On négligera les variations de l'indice n des lames avec la longueur d'onde.
-Montrerquecertaineslongueursd'ondessontabsentessurl'écran.Lescalculer.
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