1 Enoncé. 2 Mes réponses.

1 Enoncé.
On considère n caisses numérotés de 1àntels que nest un nombre impair
strictement plus grand que 1. Chaque caisse qui porte un numéro icontient iboules
blanches et (ni)boules noires. On choisis aléatoirement une caisse parmi toutes
ces caisses puis on tire aléatoirement une boule.
1) Quel est la probabilité de choix d’une caisse qui porte un nombre impair?
2) Quel est la probabilité de tirage d’une boule blanche?
3) Quel est la probabilité que la boule tirée soit blanche sachant qu’elle est tirée
d’une caisse qui porte un nombre impair?
4) Sachant qu’on a tiré une boule noir, quel est la probabilité qu’elle soit tirée
d’une caisse qui porte un nombre impair?
2 Mes réponses.
1) Le nombre totale de caisses est net le nombre totales de caisses qui portent un
nombre impair, puisque nest impair, est n+ 1
2.
Donc cette probabilité est: P1=n+ 1
2n.
2) Soit Bl’évènement:"Tirer une boule blanche".
Soit Citels que i2 f1; ::; ngl’évènement:"Choix d’une caisse qui porte le nombre
i".
On a 8(i; j)f1; ::; ng2; i 6=j)CiTCj=?ainsi que
n
[
i=1
Ci= . (est
l’univers).
On a: B=BT
=BT n
[
i=1
Ci!
=
n
[
i=1
BTCi

Author 2
Donc: P(B) =
n
X
i=1
P(BTCi)
=
n
X
i=1
P(Ci)PCi(B)
Soit i2 f1; ::; ng. On a: P(Ci) = 1
n(choix d’une caisse parmi ncaisses).
Sachant qu’on a choisi la caisse qui porte le numéro i, on a donc à l’intérieur i
boules blanches et un total de nboules. Donc: PCi(B) = k
n.
Donc: P(B) = 1
n2
n
X
i=1
k
=n+ 1
2n
3) Soit Il’évènement:"Choix d’une caisse qui porte un nombre impair". On doit
calculer PI(B).
On a I=
n+1
2
[
i=1
C2i1donc P(I) =
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)
On a PI(B) = P(BTI)
P(I)et BTI=BT0
@
n+1
2
[
i=1
C2i11
A=
n+1
2
[
i=1
BTC2i1donc:
P(BTI) =
n+1
2
X
i=1
P(BTC2i1)
=
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)PC2i1(B)
Donc:
PI(B) =
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)PC2i1(B)
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)
Soit i2 f1; ::; ng. La caisse qui porte le numéro 2i1a été choisie parmi n+ 1
2
caisse qui porte un nombre impair donc P(C2i1) = 2
n+ 1. En sachant qu’on a

Author 3
choisi la caisse qui porte le numéro 2i1on a à son intérieur 2i1boules blanche
et un total de nboules. Donc PC2i1(B) = 2i1
n. Donc:
PI(B) =
n+1
2
X
i=1
2
n+ 1
2i1
n
n+1
2
X
i=1
2
n+ 1
=2
n(n+ 1)
n+1
2
X
i=1
2i1
=2
n(n+ 1)
(n+ 1)2
4
=n+ 1
2n
4) Soit Nl’évènement:"Tirer une boule noire". Puisque toute caisse ne comporte
que des boules blanches et noir, on a donc N=Bet donc: P(N) = 1 P(B).
On a:
PN(I) = P(ITN)
P(N)
=
P0
@NT
n+1
2
[
i=1
C2i11
A
P(N)
=
P0
@
n+1
2
[
i=1
NTC2i11
A
P(N)
=
n+1
2
X
i=1
P(NTC2i1)
P(N)
=
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)PC2i1(N)
1P(B)

Author 4
=
n+1
2
X
i=1
P(C2i1)(1 PC2i1(B))
1P(B)
=
2
n+ 1
n+1
2
X
i=1
n2i+ 1
n1
2n
=
2
n+ 1
(n1)(n+ 1)
4
n1
2n
= 1