1 Enoncé. On considère n caisses numérotés de 1 à n tels que n est un nombre impair strictement plus grand que 1. Chaque caisse qui porte un numéro i contient i boules blanches et (n i) boules noires. On choisis aléatoirement une caisse parmi toutes ces caisses puis on tire aléatoirement une boule. 1) Quel est la probabilité de choix d’une caisse qui porte un nombre impair? 2) Quel est la probabilité de tirage d’une boule blanche? 3) Quel est la probabilité que la boule tirée soit blanche sachant qu’elle est tirée d’une caisse qui porte un nombre impair? 4) Sachant qu’on a tiré une boule noir, quel est la probabilité qu’elle soit tirée d’une caisse qui porte un nombre impair? 2 Mes réponses. 1) Le nombre totale de caisses est n et le nombre totales de caisses qui portent un n+1 nombre impair, puisque n est impair, est . 2 Donc cette probabilité est: P1 = n+1 . 2n 2) Soit B l’évènement:"Tirer une boule blanche". i". Soit Ci tels que i 2 f1; ::; ng l’évènement:"Choix d’une caisse qui porte le nombre On a 8(i; j)f1; ::; ng2 ; i 6= j ) Ci l’univers). On a: B = B T =B = T n [ i=1 B n [ Ci i=1 T Ci ! T Cj = ? ainsi que n [ i=1 Ci = . ( est Author 2 n X Donc: P (B) = P (B i=1 n X = T Ci ) P (Ci )PCi (B) i=1 1 (choix d’une caisse parmi n caisses). n Soit i 2 f1; ::; ng. On a: P (Ci ) = Sachant qu’on a choisi la caisse qui porte le numéro i, on a donc à l’intérieur i k boules blanches et un total de n boules. Donc: PCi (B) = . n n 1X k n2 Donc: P (B) = i=1 n+1 2n = 3) Soit I l’évènement:"Choix d’une caisse qui porte un nombre impair". On doit calculer PI (B). n+1 2 On a I = [ n+1 C2i 1 donc P (I) = i=1 2 X P (C2i 1) i=1 0 n+1 T 2 T T [ P (B I) On a PI (B) = et B I = B @ C2i P (I) i=1 n+1 P (B T I) = 2 X P (B i=1 T C2i 1 1A n+1 2 = [ i=1 B T C2i 1 donc: 1) n+1 = 2 X P (C2i 1 )PC2i 1 (B) i=1 Donc: n+1 PI (B) = 2 X P (C2i 1 )PC2i 1 (B) i=1 n+1 2 X P (C2i 1) i=1 n+1 1 a été choisie parmi 2 2 ) = . En sachant qu’ on a 1 n+1 Soit i 2 f1; ::; ng. La caisse qui porte le numéro 2i caisse qui porte un nombre impair donc P (C2i Author 3 choisi la caisse qui porte le numéro 2i et un total de n boules. Donc PC2i 1 on a à son intérieur 2i 2i 1 . Donc: 1 (B) = n 1 boules blanche n+1 PI (B) = 2 X i=1 2 2i 1 n+1 n n+1 2 X i=1 2 n+1 n+1 2 X 2 = 2i n(n + 1) 1 i=1 = (n + 1)2 2 n(n + 1) 4 = n+1 2n 4) Soit N l’évènement:"Tirer une boule noire". Puisque toute caisse ne comporte que des boules blanches et noir, on a donc N = B et donc: P (N ) = 1 P (B). On a: T P (I N ) PN (I) = P (N ) 0 n+1 2 T[ P @N C2i 1A i=1 = = 1 P (N ) 0 n+1 2 [ T P @ N C2i 1 1A i=1 P (N ) n+1 = 2 X = 2 X P (N i=1 T C2i 1) P (N ) n+1 P (C2i 1 )PC2i i=1 1 P (B) 1 (N ) Author 4 n+1 = 2 X = 2 2 X n n+1 P (C2i 1 )(1 PC2i 1 (B)) i=1 1 P (B) n+1 2i + 1 i=1 n 1 2n 2 (n 1)(n + 1) 4 = n+1 n 1 2n =1