Les facteurs d`échelle et la similarité
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CHAPITRE 4 Les facteurs d’échelle et la similarité Le Musée canadien des civilisations à Gatineau, au Québec, a été conçu par l’architecte Douglas Cardinal. Ce Canadien d’origine autochtone est né à Red Deer, en Alberta. Cardinal est reconnu pour ses conceptions architecturales riches en lignes douces et fluides qui sont en harmonie avec le paysage. L’immeuble est reconnu comme une structure de niveau international. Ce modèle à l’échelle est une réplique exacte du bâtiment. Il a exactement la même forme, mais ses dimensions sont différentes. Quels sont les modèles à l’échelle que tu as déjà vus ? En quoi un modèle à l’échelle est-il utile ? Dans ce chapitre, tu en apprendras davantage sur les modèles à l’échelle et sur la façon dont ils sont liés aux concepts de facteur d’échelle et de similarité. Le savais-tu ? Les formes du musée rappellent quatre éléments du milieu naturel, soit le Bouclier canadien, les glaciers, les rivières créées par l’eau qui s’écoule des glaciers et les prairies qui s’étendent jusqu’aux pieds des glaciers. Saurais-tu les reconnaître ? Lien Internet Pour en savoir davantage sur Douglas Cardinal et sur ses projets, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Ce que tu apprendras : • dessiner des agrandissements et des réductions à l’échelle ; • reconnaître des diagrammes à l’échelle et interpréter le facteur d’échelle ; • déterminer le facteur d’échelle à partir de dessins à l’échelle ; • déterminer la présence de polygones semblables ; • résoudre des problèmes en appliquant les propriétés de polygones semblables. 126 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 126 18/11/09 17:49:13 Mots clés agrandissement facteur d’échelle réduction échelle diagramme à l’échelle proportion angles correspondants côtés correspondants semblable polygone Lien littératie La toile d’araignée t’aidera à comprendre les nouveaux concepts et à faire des liens entre eux. Dessine une toile d’araignée dans ton journal de mathématiques. Tu la rempliras à mesure que tu avanceras dans le chapitre. Donne une définition de chaque terme à l’aide d’une phrase, d’un schéma ou d’une expression mathématique. Dans ta définition du polygone, mentionne la somme des angles d’un polygone. ndis rédu sements ction et s facteur d’échelle réduction Agra proportion agrandissement es ramm Diag échelle à l’ échelle diagramme à l’échelle côtés correspondants Modèle à l’échelle du Musée canadien des civilisations similarité s gone Poly lables semb angles correspondants Tria sem ngles blab les Facteurs d’échelle et similarité polygone Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 127 127 18/11/09 17:49:19 Mon organisateur Aide pour étudier Organisateur du chapitre 4 « Réductions » à l’extérieur du volet droit. Ouvre le livret et inscris les termes indiqués. Matériel • • • • • • Répète l’étape 3 avec une feuille de papier ordinaire 8,5 × 11 pour former un autre livret à deux volets. Écris les termes indiqués à droite. feuille de papier de format 11 × 17 règle deux feuilles de papier de format 8,5 × 11 ciseaux deux feuilles de papier quadrillé agrafeuse Utiliser une échelle Utiliser une proportion Étape 1 Étape 4 Plie la feuille de papier 11 × 17 en deux sur sa largeur et pince-la au milieu. Plie les extrémités vers l’intérieur pour qu’ils se touchent au milieu de la feuille. Écris les titres comme sur l’illustration. Plie une feuille de papier quadrillé en deux sur sa longueur. Plie ensuite en deux sur sa largeur. Effectue une coupe sur une seule épaisseur de papier pour former deux volets. Inscris sur chaque volet ce qui est indiqué sur le schéma ci-dessous. Étape 5 Agrafe les quatre livrets pour former ton organisateur de la façon indiquée sur le schéma. Étape 2 Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux sur sa longueur. Utilise une règle pour tracer une ligne horizontale à 5,5 cm du haut de la feuille. Trace huit autres lignes espacées de 2,5 cm. Effectue les coupes sur une seule épaisseur de papier pour former dix volets. Inscris les termes indiqués à droite sur les volets. Mots clés Agrandissement Facteur d’échelle Facteur d’échelle Réduction Réduction Échelle Diagramme à l’échelle Proportion Angles correspondants Côtés correspondants Similarité Échelle Diagramme à l’échelle Proportion Angles correspondants Côtés correspondants Polygone Similarité Agrandissements Réduction Triangles s semblable Utiliser une échelle Utiliser une proportion Polygones s semblable Polygone Comment utiliser ton organisateur Étape 3 Plie une feuille de papier quadrillé en deux sur sa longueur. Plie-la ensuite en deux sur sa largeur. Effectue une coupe sur une seule épaisseur de papier pour former deux volets. Inscris « Agrandissements » à l’extérieur du volet gauche et Mots clés Agrandissement Utiliser du papier quadrillé Utiliser du papier quadrillé Utiliser un facteur d’échelle Utiliser un facteur d’échelle À mesure que tu avanceras dans ce chapitre, écris les définitions des mots clés sous les volets de gauche. Dans les livrets supérieurs du centre, note ce que tu sais au sujet des agrandissements et des réductions. Dans les livrets inférieurs du centre, note ce que tu sais au sujet de la résolution de problèmes qui comportent des facteurs d’échelle et des proportions. Dans les livrets de droite, note ce que tu sais au sujet des triangles et des polygones semblables. Au verso de l’organisateur, note les idées qui te serviront au moment de faire la rubrique « Pour terminer ». Au verso 128 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 128 18/11/09 17:49:22 Lien mathématique Conceptrice ou concepteur de projets Dans de nombreux domaines, des personnes doivent concevoir des modèles ou des plans ; par exemple, en architecture, en mode, en ameublement, dans la conception de sites Web, dans l’industrie automobile et en tourisme. 12 m Placard 2,1 m × 1,4 m Bain Lavabo et douche Salle de bain Évier Réfrigérateur Laveuse et sécheuse Cuisine 4,1 m × 7,4 m Placard Cuisinière 7,2 m Foyer Les architectes conçoivent des plans de maisons. Ces plans sont Chambre principale Salle de séjour 3,1 m × 4,2 m 3,1 m × 4,5 m des « bleus ». Au moment de la conception des plans des étages d’une maison, les architectes travaillent avec des rapports et des Véranda 2,4 m × 7,2 m proportions pour indiquer avec précision les dimensions de chaque espace. Les plans aident les futurs propriétaires à juger si la construction sera adaptée à leurs besoins. Utilise le plan ci-contre pour répondre à ces questions. 1. a) Quelle est l’aire réelle de l’étage ? b) Quelle est l’aire de l’étage sur le bleu ? 2. a) Quelle est l’aire réelle de la salle de séjour ? b) Quelle est l’aire de la salle de séjour sur le bleu ? 3. a) b) c) d) Quel est le rapport entre l’aire réelle de l’étage et son aire sur le bleu ? Quel est le rapport entre l’aire réelle de la salle de séjour et son aire sur le bleu ? Compare les deux rapports. Que peux-tu conclure au sujet des rapports ? Selon toi, quel sera le rapport entre l’aire réelle de la chambre principale et son aire sur le bleu ? Explique ta réponse. 4. a) Pourquoi crois-tu que la précision est importante dans l’élaboration des plans d’un étage ? b) Pourquoi est-il important de garder les mêmes proportions entre les dimensions Chambre 3,1 m × 3,3 m Le savais-tu ? Le terme bleu renvoie à un dessin technique détaillé. À l’origine, ces dessins étaient réalisés sur du papier spécial de couleur bleue. Les lignes étaient tracées en blanc. Cette façon de faire a été remplacée par des méthodes modernes d’impression et par l’affichage numérique. réelles d’un objet et ses dimensions sur un plan ? 5. Discute avec une ou un élève d’autres exemples où des rapports sont utilisés pour comparer des objets dans la vie de tous les jours. Dans ce chapitre, tu apprendras à dessiner les plans d’un objet où les dimensions inscrites seront proportionnelles à ses vraies dimensions. Tu concevras aussi les plans de ton propre projet et tu le réaliseras. Lien littératie Un rapport est un quotient de deux quantités qui sont exprimées avec les mêmes unités. Lien mathématique 4126-M_02I_126-169.indd 129 129 18/11/09 17:49:23 4.1 Objectifs Après cette leçon, tu pourras… • reconnaître des agrandissements et des réductions et interpréter le facteur d’échelle ; • dessiner des agrandissements et des réductions à l’échelle. Le savais-tu ? Les microscopes les plus puissants utilisés dans les écoles secondaires peuvent agrandir un objet 1 500 fois. Les agrandissements et les réductions Un microscope permet d’agrandir des objets qui sont trop petits pour être observés à l’œil nu. Cette photo montre un agrandissement de cellules d’une pelure d’oignon. Pour calculer le facteur par lequel les cellules d’oignon ont été agrandies, multiplie le grossissement de l’oculaire par le grossissement de la lentille de focalisation. Cet instrument est celui que tu utilises pour observer l’objet. Grossissement de l’oculaire : 10x Grossissement de la lentille de focalisation : 40x Grossissement total : 10 × 40 = 400x Oculaire Lentille de focalisation Les cellules d’oignon ont été agrandies 400 fois. En quoi la vue agrandie est-elle semblable à celle du fragment de pelure d’oignon ? En quoi est-elle différente ? Matériel • papier quadrillé à 1 cm • papier-calque • règle Explorer la façon d’agrandir une image 1. En équipe de deux, lancez des idées sur la façon d’agrandir les cellules d’oignons. Quelles sont les diverses stratégies que vous pouvez proposer ? 2. Essaie au moins une de ces stratégies et dessine une image qui est deux fois plus grande que cette cellule d’oignon. Quel sera le rapport entre les longueurs des côtés dans l’agrandissement et les longueurs de l’original ? 130 Cellule d’oignon Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 130 18/11/09 17:49:28 3. Compare tes schémas avec ceux d’autres élèves. Quelle stratégie préfères-tu pour faire un agrandissement ? Pour quelles raisons ? Réfléchis et vérifie 4. a) Quelle méthode peux-tu utiliser pour vérifier si un agrandissement est deux fois plus grand que l’original ? Essaie ta méthode. b) Qu’est-ce que l’agrandissement et l’original ont de semblable ? Qu’est-ce qu’ils ont de différent ? Fais des liens agrandissement • une augmentation des dimensions d’un objet par un facteur constant • peut être des objets à deux ou à trois dimensions • par exemple, dans cet agrandissement, toutes les dimensions sont deux fois plus grandes que les dimensions originales Exemple 1 : Faire un agrandissement Dessine une figure dont les dimensions sont deux fois plus grandes que celles de l’original. Solution Méthode 1 : Utiliser du papier quadrillé Trace la figure sur du papier quadrillé à 1 cm. Comment peux-tu utiliser du papier quadrillé à 1 cm pour agrandir la figure ? Dessine le contenu de chaque carré sur le carré correspondant du papier quadrillé à 2 cm. Sur une grille cartographique, chaque région est identifiée par une lettre et un nombre. Utilise une grille cartographique pour copier l’information. La première flèche a déjà été dessinée. A B C D 1 2 4.1 Les agrandissements et les réductions 4126-M_02I_126-169.indd 131 131 18/11/09 17:49:29 Méthode 2 : Utiliser un facteur d’échelle Mesure la longueur de chaque segment. 2 cm 0,3 cm facteur d’échelle • le facteur constant par lequel toutes les dimensions d’un objet sont agrandies ou réduites dans un diagramme à l’échelle • les dimensions de ce rectangle ont été multipliées par 3 ; le facteur d’échelle est donc de 3 Multiplie chaque longueur par un facteur d’échelle de 2. 2×2=4 Comment sais-tu 0,3 × 2 = 0,6 Les segments de la figure agrandie mesurent 4 cm et 0,6 cm. que le facteur d’échelle est de 2 ? Utilise les nouvelles longueurs pour dessiner l’agrandissement. Comment peux-tu agrandir la figure d’une autre façon ? Montre ce que tu sais Utilise deux méthodes pour dessiner une figure dont les dimensions sont trois fois plus grandes que dans la figure originale ci-contre. 132 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 132 18/11/09 17:49:31 Exemple 2 : Faire une réduction Dessine une réduction d’une figure qui sera deux fois plus petites que l’original. réduction • une diminution des dimensions d’un objet par un facteur constant • peut être des figures à deux dimensions ou des objets à trois dimensions • dans cette réduction, toutes les dimensions sont deux fois plus petites que les dimensions originales Solution Méthode 1 : Utiliser du papier quadrillé Trace la figure sur du papier quadrillé à 1 cm. Dessine le contenu de chaque carré sur le carré correspondant du papier quadrillé à 0,5 cm. Comment peux-tu utiliser du papier quadrillé à 2 cm et du papier quadrillé à 1 cm pour dessiner cette figure réduite ? Que se passerait-il si tu n’avais que du papier quadrillé à 1 cm ? 4126-M_02I_126-169.indd 133 4.1 Les agrandissements et les réductions 133 18/11/09 17:49:32 Méthode 2 : Utiliser un facteur d’échelle Mesure la longueur de chaque segment. Quel facteur d’échelle utilises-tu ? Pourquoi ? 2 cm Lien techno Tu peux utiliser un logiciel de dessin pour agrandir ou réduire une image à l’aide d’un facteur d’échelle. Tu peux aussi faire glisser une image et changer ses dimensions. Multiplie chaque longueur par un facteur d’échelle de 0,5. 2 × 0,5 = 1 Les segments de la figure réduite mesurent 1 cm. Le facteur d’échelle indique si un objet a été agrandi ou réduit. Que signifient les énoncés suivants ? • Un facteur d’échelle plus grand que 1 • Un facteur d’échelle plus petit que 1 • Un facteur d’échelle égal à 1 Utilise les nouvelles longueurs pour dessiner la réduction. Quelle méthode préfères-tu pour dessiner une réduction ? Explique ta réponse. Montre ce que tu sais Utilise ta méthode préférée et un facteur d’échelle de 0,5 pour réduire cette figure. 134 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 134 18/11/09 17:49:33 Concepts clés • Un agrandissement est une figure qui a la même forme que la figure originale mais dont les dimensions sont proportionnellement plus grandes. • Une réduction est une figure qui a la même forme que la figure originale mais dont les dimensions sont proportionnellement plus petites. • Le facteur d’échelle est la constante par laquelle on multiplie toutes les dimensions d’un objet pour l’agrandir ou le réduire. ■ Un facteur d’échelle plus grand que 1 indique que l’objet a été agrandi. ■ Un facteur d’échelle plus petit que 1 indique que l’objet a été réduit. • Tu peux utiliser du papier quadrillé ou un facteur d’échelle pour agrandir ou réduire un objet. Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1.Julien pense que plusieurs photos de ce manuel sont des réductions. Est-ce vrai ? Justifie ta réponse. 5 cm 2.Marie a utilisé un facteur d’échelle de 3 pour agrandir ce rectangle. 3 cm 3 X 3 = 9 La longueur de chaque côté de l’agrandissement est égale à 9 cm. A-t-elle raison ? Si oui, comment le sais-tu ? Si non, pourquoi se trompe-t-elle ? Discute de ta réponse avec une ou un autre élève. 3.Ce logo a été créé pour un club de cinéma. Décris deux façons différentes de l’agrandir en vue d’en faire une affiche. 4126-M_02I_126-169.indd 135 4.1 Les agrandissements et les réductions 135 18/11/09 17:49:34 Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 4 et 5, revois l’exemple 1 des pages 131 et 132. 4.Utilise un facteur d’échelle de 2 pour agrandir chaque lettre. a) b) 7.Indique si, dans chacune de ces paires de photos, le facteur d’échelle relatif à la photo de droite est : •plus grand que 1 ; •plus petit que 1 ; •égal à 1. Comment le sais-tu ? a) 5.Agrandis ce drapeau en utilisant un facteur d’échelle de 4. b) France Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 6 à 8, revois l’exemple 2 des pages 133 et 134. 6.Utilise un facteur d’échelle de 0,5 pour réduire chaque lettre. a) c) Lien Internet Pour explorer graphiquement ou numériquement des agrandissements et des réductions d’images, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. 8.Dessine une image de ce drapeau en utilisant b) un facteur d’échelle de __ 1 . 3 Sierra Leone 136 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 136 18/11/09 17:49:38 Applique ce que tu sais 11.Comment peux-tu déterminer si le dessin B est une vraie réduction du dessin A ? 9.Mélissa a observé au microscope des cellules prises à l’intérieur d’une bouche humaine. a) Est-ce un agrandissement ou une réduction ? Comment le sais-tu ? b) Quel est le facteur d’échelle ? Quelle est sa signification ? Dessin A 12.Le rapport entre la longueur et la largeur du drapeau du Canada est de 2 : 1. Ton drapeau mesure 9 cm de largeur. a) Quelles seront les dimensions d’un drapeau confectionné en fonction d’un facteur d’échelle de 3 ? b) Quelles seront les dimensions d’un drapeau confectionné en fonction d’un facteur d’échelle de 0,5 ? 100X 10.Omar et Valérie font des affiches pour le Festival du Voyageur. Quel est le facteur d’échelle relatif à l’affiche de Valérie par rapport à celle d’Omar ? Explique. Festival du Voyageur Dessin B 13.Colette veut coudre des vêtements de chasse traditionnels avec ce patron. Elle veut confectionner différentes tailles de pantalons. Utilise des facteurs d’échelle de 0,5 , de 2 et de 3 pour dessiner chaque pantalon. Festival du Voyageur Taille Omar Derrière Devant Valérie Le savais-tu ? Le Festival du Voyageur a vu le jour à Saint-Boniface en février 1969. Au début, l’événement se tenait pendant trois jours dans le quartier francophone de Winnipeg. À présent, il a lieu pendant dix jours, et ce, dans toute la province. Le festival est une célébration de la joie de vivre des commerçants de fourrure qui se sont établis dans la colonie de la rivière Rouge et dans cette communauté franco-canadienne de l’Ouest canadien. Le festival a pour but de faire connaître les joies de l’hiver par des activités historiques et amusantes. Bas Approfondissement 14.Agrandis ce quadrilatère en utilisant un facteur d’échelle de 2. y x 0 4126-M_02I_126-169.indd 137 4.1 Les agrandissements et les réductions 137 18/11/09 17:49:43 15. Christine a confec- tionné un sac pour bretelle son ordinateur rabat portatif. Son cousin aimerait avoir le 30 cm patron pour en confectionner un. Dessine un patron 42 cm 10 cm en utilisant ces mesures sans inclure les bretelles et le rabat. Réduis ensuite le patron de façon à ce qu’il puisse être recopié sur une page de ton cahier de notes. 17. Dessine une image de façon à ce que la longueur de chaque segment : a) représente40%delalongueuroriginale; 16. Conçois un diagramme à l’échelle de ta salle de classe. a) Mesure les dimensions de la salle de classe et des meubles qui s’y trouvent (bureaux, tables, armoires et étagères). b) Choisis un facteur d’échelle et dessine le diagramme à l’échelle sur du papier quadrillé. c) Quels changements apporterais-tu à la disposition des meubles de ta salle de classe ? Où placerais-tu les bureaux et les tables ? Dessine un diagramme à l’échelle de ta nouvelle disposition. b) soit 2,5 fois plus grande que la longueur originale. Utilise ce que tu as appris pour concevoir un projet qui nécessite un diagramme à l’échelle. Tu peux choisir de concevoir : • au moins quatre plans de marelle pour un terrain de jeu ; • ou agrandir un patron pour un habit ou une robe que tu porterais dans un défilé de mode à l’école. (Suppose que tu as les compétences pour confectionner ce vêtement.) ; • une modification des bleus d’une auto pour un projet dans ton cours de mécanique automobile ; • un modèle réduit d’un lieu d’intérêt de ta province pour l’exposer dans un kiosque touristique ; • ou une page Web sur un sujet donné en incluant les images de ton choix ; par exemple, tu peux présenter des modèles de tambours contemporains. a) Quel projet de conception as-tu choisi ? b) Fais une recherche sur ton projet à la bibliothèque ou sur Internet. Trouve ou crée un motif ou un dessin. c) Utilise du papier quadrillé pour agrandir ou pour réduire ton modèle à l’échelle. 138 Motif pour un tambour haïda Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 138 18/11/09 17:49:45 4.2 Les diagrammes à l’échelle Objectifs Après cette leçon, tu pourras… • identifier des diagrammes à l’échelle et interpréter le facteur d’échelle ; • déterminer le facteur d’échelle d’un diagramme à l’échelle ; • déterminer si un diagramme donné est proportionnel à la figure à deux dimensions originale. échelle • une comparaison entre la grandeur réelle d’un objet et sa représentation • peut être exprimée sous la forme d’un rapport, d’une fraction, d’un pourcentage, par une phrase ou par un dessin • une échelle de 1 : 32 signifie qu’une longueur de 1 cm sur le diagramme correspond à une longueur de 32 cm dans la réalité Matériel • règle Les constructeurs automobiles tracent des dessins à l’échelle pour montrer à quoi ressemblera une auto dans la réalité. La longueur d’une auto est de 339,2 cm et sa hauteur est de 163,2 cm. On la dessine en fonction d’une échelle 1 : 32. Le dessin est-il une représentation précise de l’auto ? Quelles stratégies peux-tu utiliser pour t’en assurer ? Explorer la précision d’une représentation 1. Quelles mesures dois-tu effectuer pour comparer le dessin de l’auto avec l’auto réelle ? Prends les mesures. 2. Compare les mesures. Quelles sont tes conclusions ? Réfléchis et vérifie 3. a) Quel genre de calculs dois-tu effectuer pour déterminer si le dessin représente avec précision l’auto réelle ? b) Quelle information dois-tu connaître pour déterminer si le dessin est une représentation précise de l’auto réelle ? 4. a) Choisi un objet et dessine une de ses vues. Estime ton échelle. b) Utilise la méthode que tu as élaborée pour déterminer si le dessin représente avec précision l’objet. 5. Compare ta méthode avec celle d’une ou d’un autre élève. En quoi les méthodes se ressemblent-elles ? En quoi sont-elles différentes ? Quelle méthode semble être la plus efficace ? Explique ta réponse. 4.2 Les diagrammes à l’échelle 4126-M_02I_126-169.indd 139 139 18/11/09 17:49:46 Fais des liens Exemple 1 : Utiliser l’échelle pour déterminer les dimensions réelles d’un objet diagramme à l’échelleiii • un dessin ou un schéma semblable à une figure ou à un objet • peut être plus petit ou plus grand que l’objet réel, mais les proportions doivent être respectées Dans un diagramme à l’échelle d’une planche à roulettes, on a utilisé une échelle de 1 : 14. Quelle est la longueur de la planche à roulettes ? 5,5 cm Solution Méthode 1 : Utiliser l’échelle Une échelle de 1 : 14 signifie que les dimensions réelles de l’objet sont 14 fois plus grandes que les dimensions sur le dessin. Multiplie la longueur de la planche à roulettes sur le dessin par 14. 5,5 × 14 = 77 La longueur réelle de la planche à roulettes est de 77 cm. Lien littératie Une proportion est une relation d’égalité entre deux rapports. On peut l’écrire sous la forme d’une égalité de deux fractions ou de deux rapports. Par exemple, le rapport « 1 fille pour 4 élèves » est égal au rapport « 5 filles pour 20 élèves ». Sous la forme d’une proportion, on écrit : 5 __ 1 = ___ ou 1 : 4 = 5 : 20. 4 20 Les parties correspondantes de chaque rapport sont exprimées dans les mêmes unités. Méthode 2 : Utiliser une proportion Forme une proportion avec l’échelle et la mesure qui est donnée. longueur sur le dessin Échelle = ____________________ longueur réelle 1 = ___ ___ 5,5 y 14 L’échelle est de 1 : 14. Sur le dessin, la longueur est de 5,5 cm. La longueur réelle est inconnue. × 5,5 1 = ___ ___ 5,5 77 14 × 5,5 La longueur réelle de la planche à roulettes est de 77 cm. Montre ce que tu sais L’échelle du dessin de ce saumon quinnat est de 1 : 9,2. 5 cm Calcule la longueur réelle du saumon. 140 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 140 18/11/09 17:49:47 Exemple 2 : Déterminer le facteur d’échelle Le diamètre d’une pièce canadienne de vingt-cinq cents est égal à 23,88 mm. Calcule le facteur d’échelle utilisé pour dessiner la pièce. Arrondis ta réponse au dixième près. Solution Mesure le diamètre du dessin de la pièce. Il mesure 1,4 cm. Le dessin est une réduction. Le facteur d’échelle est plus petit que 1. Forme une proportion avec l’échelle et les dimensions. Le savais-tu ? Toutes les pièces de monnaie canadiennes sont frappées à l’établissement de la Monnaie royale canadienne à Winnipeg, au Manitoba. La presse monétaire à grande vitesse peut frapper jusqu’à 750 pièces par minute. longueur sur le dessin Échelle = ____________________ longueur réelle 14 1 ______ __ Pour comparer des objets à l’aide d’une x = 23,88 ÷ 14 1 = ______ ___ 14 1,7 23,88 proportion, on doit utiliser les mêmes unités. Le diamètre réel est égal à 23,88 mm. Le diamètre sur le dessin est égal à 1,4 cm, ce qui est égal à 14 mm. Stratégies Résoudre une équation ÷ 14 Divise pour déterminer le facteur d’échelle. 1 ÷ 1,7 ≈ 0,588… ≈ 0,6 Le facteur d’échelle est approximativement de 0,6. Ceci veut dire que, sur le dessin, la pièce est réduite en fonction d’un facteur approximatif de 0,6. Montre ce que tu sais La distance à vol d’oiseau entre Dawson et Whitehorse est de 540 km. Sur la carte, cette distance est de 3 cm. a) Complète cet énoncé pour exprimer en mots l’échelle de la carte. Échelle : 1 cm représente � km b) Quel est le facteur d’échelle ? Indication : 1 km = 100 000 cm Yukon Dawson Whitehorse 4126-M_02I_126-169.indd 141 4.2 Les diagrammes à l’échelle 141 18/11/09 17:49:49 Concepts clés Une carte est un diagramme • Un diagramme à l’échelle est une représentation à l’échelle. proportionnelle plus petite ou plus grande que celle d’un objet. • L’échelle est un rapport entre deux ensembles de mesures. L’échelle permet d’établir une comparaison entre une distance sur une carte et la distance réelle. Si 1 cm représente 12 km, alors 1 cm représente 12 × 100 000 cm. L’échelle est de 1 : 1 200 000. 1 Le facteur d’échelle est de _________ . 1 200 000 B Utiliser une échelle Sur la carte, la distance entre A et B est de 3 cm. Détermine la distance réelle. 3 × 1 200 000 = 3 600 000 La distance réelle est de 3 600 000 cm ou 36 km. ■ Alphaville Bêtaville C Centreville 1 km = 1000 m et 1 m = 100 cm. Donc, 1 km = 100 000 cm. • Tu peux résoudre des problèmes qui comportent des diagrammes à l’échelle en utilisant différentes méthodes. ■ A Utiliser une proportion Sur la carte, la distance entre A et C est de 4 cm. Détermine la distance réelle. distance sur la carte Échelle = _________________ distance réelle 1 __ _________ = 4 1 200 000 � La distance réelle est de 4 800 000 cm ou 48 km. Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1.Joseph ne sait pas comment déterminer la longueur réelle d’un objet en utilisant un diagramme à l’échelle. Énumère les étapes qui lui permettent de résoudre un tel problème. Discute des étapes avec une ou un autre élève. 2.Clarisse veut entreprendre une excursion en vélo de 150 km. Sur la carte, la distance est de 10 cm. Exprime l’échelle de la carte : a) par une phrase ; b) sous la forme d’un rapport. 3.Comment peux-tu vérifier si les dimensions de l’image d’un avion sont proportionnelles aux dimensions de la photo originale ? Essaie ta propre méthode. Décris tes résultats. Photo originale 142 Image de la photo Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 142 18/11/09 17:49:50 Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 4 à 7, revois l’exemple 1 de la page 140. Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 8 à 12, revois l’exemple 2 de la page 141. 4.Dois-tu multiplier ou diviser pour 8.Quel est le facteur d’échelle ? déterminer la valeur manquante ? 1 � a) __ = ____ b) __ 1 = ____ 5,2 � 117 3 144 30 200 a) � = ____ 9.Détermine le facteur d’échelle. 5.Détermine la valeur manquante dans ces proportions. 1 � a) __ = ____ 9 117 0,5 25 a) � = ___ b) ___ 1 = _____ 10,5 12 21 12,5 b) � = _____ � b) � = ___ 1,6 3,2 10.Quel facteur d’échelle a-t-on utilisé pour dessiner l’image d’une planche à roulettes dont la longueur réelle est de 166 cm ? Arrondis ta réponse au centième près. 6.Calcule la longueur réelle de chaque objet. a) L’échelle de l’image d’un autobus scolaire est de 1 : 302,5. 4 cm 4 cm 11.À l’époque où la photo a été prise, b) L’échelle de l’image agrandie d’un Frédérique mesurait 110,5 cm. Calcule le facteur d’échelle utilisé pour reproduire la photo de leur carte. Arrondis ta réponse au centième près. Quelle est la taille, au centimètre près, de sa petite soeur Alycia ? moustique est de 1 : 0,5. 32 mm 7.Détermine la longueur réelle de chaque objet. 6,4 cm du plus haut totem de Victoria est de 1 : 972,5. 5,8 cm a) L’échelle de la photo 4 cm b) L’échelle du modèle d’une baleine à bosse est de 1 : 280. 12.Une distance de vol est de 800 km. Sur une 4126-M_02I_126-169.indd 143 5 cm carte, cette distance est de 5 cm. Quel est le facteur d’échelle ? Indication : 1 km = 100 000 cm. 4.2 Les diagrammes à l’échelle 143 18/11/09 17:49:59 Applique ce que tu sais 16.Léanne veut présenter un modèle d’une tour de communication de 250 m de haut. Il doit pouvoir être exposé dans le hall de l’école, dont le plafond est haut de 3 m. Si Léanne utilise une échelle de 1 : 100, le modèle pourra-t-il être exposé dans le hall ? Montre les détails de ton calcul. 13.Un œuf de Pâques décoré par les Ukrainiens s’appelle un pysanka. Un pysanka géant est exposé à Vegreville, en Alberta. La longueur de l’œuf est de 9,4 m. 17.Un train miniature est un modèle à l’échelle conçu à partir de mesures réelles. Le facteur d’échelle utilisé est de 1 : 87. Cette locomotive mesure 50 mm de haut et 200 mm de long. Quelles sont les dimensions de la locomotive réelle ? a) Sur un diagramme à l’échelle d’un pysanka, quelle serait sa longueur si tu utilisais une échelle de 1 : 150 ? b) Ton résultat représente-t-il la longueur réelle d’un œuf ? Explique ta réponse. 14.La largeur de l’empreinte 2 cm d’un ours polaire adulte est de 30 cm. a) Quel est le facteur d’échelle utilisé dans ce schéma ? b) Quelle est la longueur de son empreinte ? Montre comment tu le sais. c) Sur une feuille de papier, ouvre ta main le plus possible et mesure la largeur. Cette largeur s’appelle l’empan. Écris le rapport entre l’empan de ta main et celle de l’ours polaire. Quelles conclusions peux-tu en tirer ? 18.Détermine les facteurs d’échelle de ces agrandissements ou de ces réductions. b) De A à C c) De B à C d) De C à A e) De C à B a) De A à B A B 15.Les virus sont beaucoup plus petits que les bactéries. Le diamètre de certains virus est d’environ 0,000 1 mm. Sur une illustration, le diamètre d’un virus est de 5 mm. Quel est le facteur d’échelle ? 144 C Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 144 18/11/09 17:50:01 19. Catherine a pris une photo de l’éolienne d’une ferme à Cowley Ridge, en Alberta. La hauteur du mât de l’éolienne est de 45 m. 21. L’entreprise Elk Valley Coal utilise de tels camions. L’homme sur la photo mesure 1,69 m. Pale 2,5 cm a) Quel est le facteur d’échelle observable sur la photo ? b) Quelle est la longueur d’une pale de l’éolienne ? a) Quel est le diamètre de la roue du camion ? b) Quelle est la hauteur du camion ? Approfondissement 20. Les coordonnées du △ABC sont A(4, 3), B(4, 0) et C(7, 0) et celles du △DEF sont D(0, -1), E(0, -2) et F(1, -2). a) Dessine les triangles sur du papier quadrillé. b) Les triangles sont-ils proportionnels ? Justifie ta réponse. c) Quel est le facteur d’échelle lorsqu’on compare △ABC à △DEF ? d) Quel est le facteur d’échelle lorsqu’on compare △DEF à △ABC ? e) Calcule l’aire de chaque triangle. f) Quel est le rapport entre l’aire du △ABC et celle du △DEF ? Quel est le rapport entre l’aire du △DEF et celle du △ABC ? g) De quelle façon peut-on comparer le facteur d’échelle des longueurs à celui des aires ? Le savais-tu ? L’entreprise Elk Valley Coal exploite cinq mines à ciel ouvert dans le sud-est de la Colombie-Britannique et dans le centre-ouest de l’Alberta. 22. Un rectangle mesure 12 cm sur 16 cm. On l’agrandit de façon à ce que son aire soit de 1 200 cm2. a) Détermine le facteur d’échelle lorsqu’on compare : •lepetitrectangleaugrand; •legrandrectangleaupetit. b) Une méthode est-elle meilleure que l’autre pour exprimer le facteur d’échelle ? Explique ta réponse. a) Détermine le facteur d’échelle de l’agrandissement ou de la réduction de ton projet de la page 138. Montre les détails de tes calculs. b) Choisis un nouvel élément à ajouter à ton projet. • Dessine-le sur ton diagramme à l’échelle. • Calcule ses dimensions réelles. c) Comment sais-tu que le diagramme à l’échelle est proportionnel à ce que tu veux concevoir ? 4.2 Les diagrammes à l’échelle 4126-M_02I_126-169.indd 145 145 18/11/09 17:50:06 • papier-calque • règle • rapporteur E Élèves et personnel Béatrice et Justin ont créé ces logos pour le conseil étudiant. Explorer la façon d’identifier des triangles semblables angles correspondants et côtés correspondants • ont la même position relative dans deux figures géométriques A 1. Trace chaque logo sur des feuilles de papier-calque séparées. 2. a) Mesure les angles de chaque logo. Que remarques-tu au sujet des angles correspondants ? b) Mesure les longueurs des côtés de chaque logo. Que remarques-tu au sujet des rapports entre les côtés correspondants des triangles ? Réfléchis et vérifie C 3. a) Quelles conclusions peux-tu tirer au sujet des angles correspondants des deux triangles ? b) Quelles conclusions peux-tu tirer au sujet des côtés correspondants des deux triangles ? E F Angles correspondants : ∠A et ∠D ∠B et ∠E ∠C et ∠F Côtés correspondants: AB et DE BC et EF AC et DF 146 Succès Leur conseiller leur dit que les triangles sont semblables. Comment le sait-il ? Que connais-tu au sujet des triangles semblables ? Quelles stratégies peux-tu élaborer pour déterminer que deux triangles sont semblables ? Matériel B D S el Après cette leçon, tu pourras… • déterminer si des triangles sont semblables ; • déterminer si des diagrammes sont proportionnels ; • résoudre des problèmes en utilisant les propriétés des triangles semblables. nn rso Pe P Objectifs Les triangles semblables Élèv es 4.3 4. a) Quelles sont les conditions nécessaires pour que deux triangles soient semblables ? b) Vérifie ces conditions sur une autre paire de triangles. Sont-ils semblables ? Discute avec une ou un autre élève des raisons pour lesquelles tu penses que les triangles sont ou ne sont pas semblables. Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 146 18/11/09 17:50:07 Fais des liens Exemple 1 : Identifier des triangles semblables semblable Détermine si le △ABC est semblable au △EFG. B 37° 12 A F 15 • des figures semblables ont la même forme mais des dimensions différentes • ont des angles correspondants de même mesure et des côtés correspondants proportionnels 9 4 37° E 5 3 G C Solution Les angles correspondants de triangles semblables sont congruents et les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. Compare ces angles correspondants : m∠A = 90° et m∠E = 90° m∠B = 37° et m∠F = 37° m∠C = 53° et m∠G = 53° Les angles correspondants sont congruents. La somme des angles d’un triangle est de 180°. Si tu sais que les mesures de deux paires d’angles sont égales, que peux-tu conclure au sujet de la troisième paire d’angles ? Compare ces côtés correspondants : 15 9 BC = ___ AC = __ AB = ___ 12 ___ ___ ____ 5 4 EF FG EG 3 =3 =3 =3 Lien littératie Le symbole ∿ signifie « semblable à ». Les côtés correspondants sont proportionnels et le facteur d’échelle est de 3. Donc, △ABC ∿ △EFG. △ABC ∿ △EFG signifie que le triangle ABC est semblable au triangle EFG. Lien littératie Des angles peuvent être représentés de deux façons. • À l’aide de lettres majuscules : la lettre du milieu représente le sommet de l’angle. • À l’aide de la seule lettre du milieu qui représente le sommet : on utilise cette notation lorsqu’il n’y a qu’un angle à ce sommet. K Par exemple, l’angle dont le sommet est L peut être représenté par ∠MLK, ∠KLM ou ∠L. L M 4.3 Les triangles semblables 4126-M_02I_126-169.indd 147 147 18/11/09 17:50:09 Lien Internet Pour en savoir davantage sur les propriétés des triangles semblables, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Montre ce que tu sais Les triangles de chaque paire sont-ils semblables ? Pourquoi ? Q 2,8 1,1 69° 3 a) P 4,2 S 1,7 4,5 R 69° T b) E A 2,7 2,5 70° D 70° 3 B 4,1 4 3,3 C F Exemple 2 : Utiliser les triangles semblables pour déterminer la longueur d’un côté Luc dessine des triangles pour créer un casse-tête mathématique. Utilise tes connaissances pour déterminer : a) si les triangles sont semblables ; b) la mesure du côté KL. Stratégies Organiser, analyser et résoudre K T x Solution 50° a) Vérifie si le △KLM est semblable L 24 au △TUV. La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. m∠K = 180° - 50° - 85° = 45° m∠U = 180° - 85° - 45° = 50° Compare ces angles correspondants : m∠K = 45° et m∠T = 45° m∠L = 50° et m∠U = 50° m∠M = 85° et m∠V = 85° Les angles correspondants sont congruents. 21 85° 10,5 45° 7 85° U V 8 M Il n’est pas nécessaire de prouver que les deux conditions sont remplies pour établir la similarité. Une condition suffit. Donc, △KLM ∿ △TUV. b) Compare les côtés correspondants pour déterminer le facteur d’échelle. LM = ___ 24 ____ x KM = ___ 21 KL = _____ ___ ____ 7 8 TV TU 10,5 =3 =3 =� Le facteur d’échelle est de 3. Tu peux trouver la longueur inconnue. UV 148 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 148 20/11/09 09:22:24 Méthode 1 : Utiliser un facteur d’échelle Puisque les triangles sont semblables, tu peux utiliser le facteur d’échelle pour déterminer la longueur de KL. x = 3 _____ Comment peux-tu 10,5 résoudre cette équation ? x = 31,5 La longueur est de 31,5 unités. Méthode 2 : Utiliser une proportion Puisque les triangles sont semblables, tu peux utiliser l’égalité des rapports pour former une proportion. KM = ___ KL ____ TV TU × 1,5 10,5 ÷ 7 = 1,5 21 = _____ ___ x 7 10,5 × 1,5 x = 31,5 La longueur de KL est de 31,5 unités. Montre ce que tu sais Résous ces problèmes en utilisant la méthode de ton choix. a) △GHI ∿ △KLM. Quelle est la valeur de GH ? Arrondis ta réponse au dixième près. K G x H 10 2 8 I 1,9 L M 7,6 b) △ABC ∿ △EFC. Quelle est la valeur de AB ? Arrondis ta réponse au dixième près. A 8,7 E x 5,4 B 4126-M_02I_126-169.indd 149 7,2 F 10,5 8,7 C 4.3 Les triangles semblables 149 18/11/09 17:50:10 Concepts clés •Des triangles sont semblables lorsqu’une de ces deux conditions est satisfaite : ■ les angles correspondants sont congruents ; ■ les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. △DEF ∿ △ABC △DEF n’est pas semblable au △PQR ∠D = ∠A, ∠E = ∠B, ∠F = ∠C 3 2,2 DE DF 2,6 EF = ___ ___ = ___ ___ ___ = ___ AB 1,5 BC 1,1 AC 1,3 = 2 = 2 =2 •Tu peux résoudre des problèmes qui impliquent des triangles semblables en utilisant : ■ un facteur d’échelle ; ■ une proportion. D 3 1,5 45° 1,3 2,6 B E P A 45° 60° 75° 2,2 2,8 2 60° 75° C 1,1 Q F R 2 Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1.Si deux triangles sont semblables, que peux-tu dire au sujet de leurs angles ? Au sujet des longueurs de leurs côtés ? 2.Amanda a de la difficulté avec les triangles semblables. Elle a dessiné ces deux triangles et elle affirme qu’ils sont semblables. A-t-elle raison ? Explique ta réponse. X L 5 2 3.Deux triangles dont les angles correspondants sont Y 2 Z 4,6 M 3,1 2,4 N congruents et dont les côtés sont égaux sont-ils semblables ? Donne un exemple pour appuyer ta réponse. Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 4 à 8, revois l’exemple 1 de la page 147. 5.Quels sont les angles et les côtés 4.Nomme les angles correspondants et les côtés correspondants des triangles si △PQR ∿ △TUV. P correspondants de ces triangles semblables ? C X R U 150 Y T B Q W A V Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 150 18/11/09 17:50:11 6.Ces triangles sont-ils semblables ? Montre comment tu le sais. R 2,5 2,2 S 9.Le △STR ∿ △UWV. Détermine la longueur U 1,2 T Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 9 à 11, revois l’exemple 2 des pages 148 et 149. manquante. U 6 73,5 12,5 S 10,5 8 R 10,5 T W V x 73,5 11 W V 7.Ces triangles sont-ils semblables ? Montre comment tu le sais. 4 manquante. A 10.Le △CDE ∿ △GFE. Détermine la longueur C 6 B C 8 22,5 13,5 W D E F 7,5 12,5 10 8,5 x 18 G X 12 Y 8.Trouve les triangles semblables. Utilise un croquis pour expliquer comment tu le sais. Dans ce tableau, m signifie « la mesure de ». Triangle Angles 11.Dessine un triangle semblable à ce triangle. Indique les mesures des angles et des côtés sur ton triangle semblable. J Côtés △ABC m∠A = 90° mAB = 6 m∠B = 45° mBC = 8,4 m∠C = 45° mAC = 6 △EFG m∠E = 90° mEF = 3 m∠F = 45° mFG = 4,2 m∠G = 45° mEG = 3 △HIJ m∠H = 90° mHI = 9,2 m∠I = 60° mIJ =18,4 m∠J = 30° mHJ =15,9 △KLM m∠K = 90° mKL = 9 m∠L = 45° mLM =12,6 m∠M= 45° mKM = 9 K L Applique ce que tu sais 12.Renée construit une rampe pour une plateforme de chargement. La rampe est soutenue par un support vertical placé à 2 m de la plateforme et à 3 m de la base de la rampe. La hauteur du support est de 1,2 m. Quelle est la hauteur, h, de la plateforme ? 1,2 m 3m 4126-M_02I_126-169.indd 151 h 2m 4.3 Les triangles semblables 151 18/11/09 17:50:13 Approfondissement 13.Deux échelles appuyées sur un mur forment des angles congruents. Celle de 3 m est appuyée sur le mur à une hauteur de 2,4 m. Quelle distance 2,4 m sépare les deux points d’appui ? 18.Un touriste veut estimer la hauteur d’une tour de bureaux. Il place un miroir sur le sol et il recule de façon à y voir le sommet de la tour. 8m 3m E 14.Kaisha mesure 1,60 m et se tient debout à 4,75 m d’un arbre. Elle est placée de façon à ce que son ombre coïncide avec l’extrémité de l’ombre de l’arbre. Son ombre mesure 1,25 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ? x A 192 cm B C 0,4 m 87,6 m D a) Quelle est la hauteur de la tour ? b) Pourquoi est-il préférable d’utiliser la 1,60 m 1,25 m 4,75 m 15.Sophie aide son père à construire une glissade. Ils ont décidé de la renforcer avec un support supplémentaire. Quelle est la hauteur du support ? supports 195 cm 122 cm x méthode du miroir plutôt qu’une méthode basée sur la longueur des ombres ? 19.Est-il possible que les deux triangles décrits ci-dessous soient des triangles semblables ? Explique ta réponse. a) Deux angles d’un triangle mesurent 60° et 70°. Deux angles de l’autre triangle mesurent 50° et 80°. b) Deux angles d’un triangle mesurent 45° et 75°. Deux angles de l’autre triangle mesurent 45° et 60°. 20.Les côtés d’un triangle mesurent 3 cm, 152 cm 57 cm 16.Peter mesure 168 cm et son ombre est de 45 cm. Michel se tient près de lui et son ombre mesure 40 cm. Qui est le plus grand ? Utilise un schéma pour justifier ta réponse. 17.Sous la forme d’un énoncé, crée un problème qui peut être résolu à l’aide des triangles semblables. Fais un schéma. 152 5 cm et 6 cm. Dans un triangle qui lui est semblable, le côté correspondant au côté de 3 cm mesure 8 cm. a) Détermine la longueur des autres côtés. b) Détermine le rapport entre le périmètre du petit triangle et celui du grand. 21.Avec un mètre à ruban, ou ton ombre et ta taille, peux-tu déterminer la hauteur de ton école sans la mesurer directement ? Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 152 18/11/09 17:50:14 22. Le △WXY est semblable au △ZWY. 23. Utilise deux ensembles de mesures différentes Calcule ZY au dixième près. pour déterminer l’aire du △KLM. W K 7 cm h X Z 10 cm 25 cm Y L 20 cm M Pour ton projet de chapitre, conçois un logo représentatif sur lequel on retrouve ton nom. a) Dessine ton logo sur une feuille de papier 8,5 × 11. Inclus un triangle qui est semblable à ce triangle. Mesure tous les angles et tous les côtés. b) Trace un diagramme à l’échelle du logo de façon à ce qu’il puisse être placé sur le plan de ton projet. Indique le facteur d’échelle utilisé. Lien techno La similarité et le facteur d’échelle Dans cette activité, tu peux utiliser un logiciel de géométrie interactif pour explorer la similarité et les facteurs d’échelle. Pour en savoir davantage, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. Explore 1. Fais glisser le point X le long du segment de droite AB et décris ce que devient l’image. 2. Comment les mesures des côtés correspondants changent-elles l’une par rapport à l’autre ? Explique ta réponse. 3. Compare le facteur d’échelle aux longueurs des côtés du dessin original et de son image. Recopie ce tableau et remplis-le avec les mesures prises aux différents endroits. Discute de tes observations avec une ou un autre élève. Indication : Dans le tableau, m signifie « la mesure de ». mFE mFE mAX _____ mXB 4.3 Les triangles semblables 4126-M_02I_126-169.indd 153 153 18/11/09 17:50:16 4.4 Les polygones semblables Le savais-tu ? La courtepointe étoilée est un modèle traditionnel dans diverses cultures autochtones nordaméricaines. La forme étoilée provient de motifs utilisés sur les robes en peau de bison. Lorsque les bisons ont été exterminés, la courtepointe étoilée a remplacé la robe en peau de bison. Aujourd’hui, une courtepointe étoilée donnée en cadeau est grandement appréciée. Elles sont confectionnées pour des événements spéciaux comme les enterrements, les baptêmes, les mariages, etc. Objectifs Après cette leçon, tu pourras… • reconnaître des polygones semblables et expliquer pourquoi ils sont semblables ; • dessiner des polygones semblables ; • résoudre des problèmes en utilisant les propriétés des polygones semblables. L’étoile centrale d’une courtepointe étoilée typique des tribus lakotas est formée de losanges en tissu appliqués en huit sections. Lorsque les sections sont cousues, elles forment une étoile à huit pointes. Les losanges de la courte-pointe sont-ils semblables ? Quelles stratégies peuvent t’aider à trouver la réponse ? Matériel • papier-calque • rapporteur • règle Explorer la façon de reconnaître des polygones semblables 1. Trace chaque losange sur du papier-calque. Mesure les angles et les côtés de chaque losange. 2. a) Organise tes données selon les angles et les côtés correspondants. b) Que remarques-tu au sujet des angles correspondants ? c) Que remarques-tu au sujet des rapports entre les côtés correspondants ? polygone • une figure à deux dimensions fermée et formée par au moins trois segments de droite 154 Réfléchis et vérifie 3. Que conclus-tu au sujet de ces trois losanges ? 4. a) Quelles sont les conditions nécessaires pour que deux polygones soient semblables ? b) Vérifie tes conditions avec un autre ensemble de deux polygones. Sont-ils semblables ? Discute avec une ou un autre élève des raisons pour lesquelles tu penses qu’ils sont semblables ou pas. Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 154 18/11/09 17:50:19 Fais des liens Les angles correspondants de polygones semblables sont congruents et les côtés correspondants de ces polygones sont proportionnels. Exemple 1 : Identifier des polygones semblables Les deux quadrilatères se ressemblent. Le quadrilatère M′A′T′H′ est-il un véritable agrandissement du quadrilatère MATH ? Explique ta réponse. 3 M 1,1 A 100° 3,5 H 80° 1,5 T 4,2 M’ A’ M’ se dit « M prime ». H’ 1,54 2,1 100° 4,9 Le savais-tu ? 80° Solution Compare ces angles correspondants : m∠M = 190° et m∠M′ = 190° m∠A = 100° et m∠A′ = 100° m∠T = 180° et m∠T′ = 180° m∠H = 190° et m∠H′ = 190° Les polygones peuvent être divisés en triangles qui ne se chevauchent pas. La somme des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180°. Tu peux déterminer la somme des angles intérieurs d’un polygone en multipliant le nombre de triangles par 180. T’ Quelle est la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère ? Les angles correspondants sont congruents. Compare ces côtés correspondants : 1,54 4,9 M′A′ = _____ A′T′ = ___ _____ ____ 1,1 3,5 MA AT = 1,4 = 1,4 2,1 H′T′ = ___ _____ HT 1,5 = 1,4 Pour effectuer la division en triangles, choisis un sommet du polygone et trace des droites pour le relier à tous les autres sommets. Un pentagone peut être divisé en trois triangles. 4,2 M′H′ = ___ _____ MH Lien littératie 3 = 1,4 Les côtés correspondants sont proportionnels et le facteur d’échelle est de 1,4. Le quadrilatère M′A′T′H′ est un véritable agrandissement du quadrilatère MATH et le facteur d’échelle est de 1,4. Montre ce que tu sais Les deux trapèzes sont-ils semblables ? Explique comment tu le sais. B F A C D G 3 × 180° = 540° La somme des angles intérieurs d’un pentagone est égale à 540°. Lien Internet E Pour en savoir davantage sur les propriétés des polygones semblables, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. H 4.4 Les polygones semblables 4126-M_02I_126-169.indd 155 155 18/11/09 17:50:20 Exemple 2 : Déterminer la longueur manquante d’un côté Jonathan veut agrandir le drapeau du Nunavut. Il sait que les rectangles JKLM et PQRS sont semblables. Quelle est la mesure de LM du rectangle JKLM ? K J Q P 5 cm R 9 cm S 32 cm L Stratégies Résoudre une équation M x Solution Puisque les rectangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. Sers-toi des côtés correspondants pour former une proportion. KL = ____ ____ LM Quelle autre méthode peux-tu QR RS utiliser pour résoudre ce x 32 ___ __ = problème ? Essaie cette méthode. 5 9 x 6,4 = __ 9 x = 57,6 La longueur de LM est de 57,6 cm. Montre ce que tu sais F Ces deux trapèzes sont semblables. Détermine la mesure de DG. Décris ta démarche. Concepts clés • Des polygones sont semblables lorsque ces deux conditions sont satisfaites : ■ les angles correspondants sont congruents ; ■ les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. • Tu peux utiliser des polygones semblables pour déterminer la longueur inconnue d’un côté ou la mesure inconnue d’un angle. 156 7,2 E 4,5 B 3,2 A 2 C 4 D G x Les trapèzes HIJK et LMNO sont semblables. I 1,2 J 1,6 H 105° 105° 75° 75° 2,2 ∠H = ∠L, ∠I = ∠M, ∠J = ∠N, ∠K = ∠O M 1,2 2,4 105° 105° L 1,8 K N 1,8 75° 75° 3,3 O Les longueurs des côtés du trapèze LMNO sont proportionnelles à celle du trapèze HIJK. Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 156 18/11/09 17:50:21 Vérifie tes connaissances Communique tes idées 1.Propose un exemple et sa solution pour expliquer la façon de déterminer la longueur manquante d’un côté dans une paire de polygones semblables. F 2. a) Utilise du papier quadrillé pour dessiner un parallélogramme semblable à celui-ci. Comment sais-tu qu’ils sont semblables ? b) Compare ton parallélogramme semblable à celui d’une ou d’un autre élève. Sont-ils semblables ? Explique. G E H Exerce-toi Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 3 et 4, revois l’exemple 1 de la page 155. Si tu as besoin d’aide pour répondre aux questions 5 et 6, revois l’exemple 2 de la page 156. 3.Examine chacune de ces paires de polygones. 5.Utilise ces deux pentagones semblables pour Les polygones sont-ils semblables ? a) A 7,5 7,5 B E 12 12 2,5 J 2,5 K N 4 4 L C 12 b) S M 4 9 B 12 F 6 8 E I G C R 13 3 13 3,2 V 3,2 X 2 Y U 4.Relève tous les ensembles de polygones semblables dans ce collage. Tu peux reproduire l’image et utiliser un code de couleurs pour identifier les polygones semblables. A 6 x W 10 D 15 T trouver la valeur de la longueur manquante. H D 6. Les côtés d’un rectangle A mesurent 22,4 m et 14,7 m. Un côté d’un rectangle semblable B mesure 4,3 m. La mesure de l’autre côté est manquante. Le rectangle A est un agrandissement du rectangle B en fonction d’un facteur d’échelle de 5,2. Quelle est la mesure manquante ? Arrondis ta réponse au dixième près. Applique ce que tu sais 7.Guillaume affirme que « tous les quadrilatères qui ont des côtés de même longueur sont semblables ». A-t-il raison ? Explique ta réponse. Lien Internet Pour explorer les changements qui se produisent lorsqu’on manipule des figures semblables ou qu’on modifie le facteur d’échelle, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens. 4126-M_02I_126-169.indd 157 4.4 Les polygones semblables 157 18/11/09 17:50:22 8.On utilise parfois du grillage pour construire des clôtures. Le grillage est constitué de fils de fer flexibles qui forment des hexagones. a) Utilise du papier quadrillé pour dessiner : •deux hexagones semblables à ceux de la photo ; •deux hexagones qui ne sont pas semblables à ceux de la photo. b) Relativement à chaque paire, explique comment tu sais qu’ils sont semblables ou pas. Lien littératie Un polygone régulier a tous ses côtés congruents et tous ses angles congruents. 11.Ce schéma représente le devant d’une cabane à oiseaux. Chris a agrandi le schéma en utilisant un facteur d’échelle de 3. Il veut en doubler les dimensions. a) Dessine-la en grandeur réelle. b) Comment sais-tu que l’agrandissement est semblable au schéma original ? 12.On a découpé un morceau de carton qui a la forme d’un quadrilatère et on a tracé un plus petit quadrilatère semblable à l’intérieur. Calcule le périmètre du quadrilatère intérieur. 9.Monique veut fabriquer une planchette de jeu qui représentera un terrain de baseball réduit. Un terrain a la forme d’un carré de 27,4 m de côté (2 740 cm). Dessine la planchette en utilisant une échelle de 1 : 182,5. 10. a) Les parents de Rachel veulent construire une terrasse autour de leur piscine qui a la forme d’un octogone. La terrase doit avoir la même forme que la piscine, mais avec des côtés 1,5 m plus longs que ceux de la piscine. Quelles sont les longueurs extérieures des coffres qui doivent être mis en place pour couler le ciment ? 16 12 8 21 10 Approfondissement 13.Dans une caméra, une figure semblable à la figure originale apparaît dans le viseur. Calcule la hauteur réelle de la flèche. Objet réel Coffrage 5m b) Quelle est la somme des angles intérieurs Image dans l’appareil photographique 4,2 cm d’un octogone ? Montre comment tu le sais. 3,8 cm 158 12,8 cm Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 158 18/11/09 17:50:24 Le savais-tu ? 16. Comment le rapport entre les aires de deux polygones semblables peut-il être comparé au rapport entre les longueurs des côtés de ces polygones ? Utilise une paire de polygones semblables pour expliquer ta réponse. Avant, l’image était à l’envers dans le viseur de certaines caméras. 14. Lise veut fabriquer un modèle de tente que ses parents utilisent à Behchoko, dans les Territoires du Nord-Ouest. La hauteur maximale du modèle doit être de 12 cm. Le plancher de la tente mesure 2,4 m sur 3 m. Les côtés de la tente mesurent 1,5 m de haut, et la hauteur maximale réelle est de 2,4 m. a) Quel facteur d’échelle doit-elle utiliser ? b) Le devant de la tente a la forme d’un pentagone. Calcule les dimensions du modèle de ce pentagone. c) Calcule les autres dimensions du modèle. 17. Élabore une démonstration qui prouve que le rapport entre les côtés correspondants de deux prismes est de 3 : 1, et que le rapport entre les volumes de ces prismes est de 27 : 1. 18. a) Identifie les polygones semblables dans ce dallage. b) Décris verbalement le motif. Utilise ta description pour créer ton propre dallage composé de polygones semblables. c) Trace chaque ensemble de polygones semblables de ton dallage. Indique les dimensions de chaque ensemble. 15. Un vieux réservoir dont la longueur est de 0,3 m peut contenir 154 L d’eau. On construit un nouveau réservoir semblable qui a une longueur de 1,5 m. Quelle est la capacité du nouveau réservoir ? Dans ton projet de chapitre, inclus un polygone. • Utilise un polygone semblable à un de ces polygones • Utilise un facteur d’échelle approprié et dessine un diagramme à l’échelle de ton polygone pour qu’il puisse être inclus dans ton projet. Indique ton facteur d’échelle. 4.4 Les polygones semblables 4126-M_02I_126-169.indd 159 159 18/11/09 17:50:30 Révision du chapitre 4 Mots clés Aux questions 1 à 4, utilise les indices pour mettre les lettres en ordre. 6. Dessine une image de cet œuf qui sera trois fois plus grande que l’original. 1. L G O P O N E Y Un ■est une figure à deux dimensions fermée formée par au moins trois segments de droite. 2. L A S B B L E S E M Des figures ■ sont des figures dont les angles correspondants sont congruents et dont les côtés correspondants sont proportionnels. 3. U F T E A C R D’ H E C L É L E Le ■ ■est la quantité constante par laquelle il faut multiplier toutes les dimensions d’une figure pour l’agrandir ou la réduire. Lien arts La pysanka est un art originaire de l’Europe de l’Est. Les gens qui le pratiquent utilisent de la cire d’abeille et des colorants pour décorer les œufs de Pâques. 7. Dessine une réduction de la flèche pour qu’elle soit deux fois plus petite que l’original. 4. P N O R R O T I P O Une ■ est une égalité entre deux rapports. 4.1 Les agrandissements et les réductions, pages 130 à 138 5. Dessine cette figure sur du papier quadrillé en utilisant les facteurs d’échelle mentionnés. 8. Dessine une image de ce carré en fonction : a) d’un facteur d’échelle de1; b) d’un facteur d’échelle plusgrandque1; c) d’un facteur d’échelle plus petit que 1. 4.2 Les diagrammes à l’échelle, pages 139 à 145 9. Un boîtier de disque compact a la forme d’un carré de 14,3 cm de côté. Quel est le facteur d’échelle utilisé pour dessiner cette image ? a) Facteur d’échelle de 2 b) Facteur d’échelle de 0,5 160 2,2 cm Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 160 18/11/09 17:50:32 10. Détermine la longueur réelle de chaque objet à partir de son diagramme à l’échelle. a) Une cuillère Échelle: 1: 4 15. Quelle est la longueur du côté IG si △GHI ∿ △KLM ? 14 L K 3,5 cm b) Une auto miniature Échelle : 1: 2,78 10,5 17,5 4 H G x 5 M I 5 cm 11. Sur le plan d’une tour, 1 cm représente 12,5 m. Si la tour mesure 108,75 m de haut, quelle est sa hauteur sur le plan ? 4.4 Les polygones semblables, pages 154 à 159 16. Ces deux polygones sont-ils semblables ? P 3,5 12. La longueur d’une autoroute est de 600 km. Sur une carte, elle mesure 6 cm. Quel est le facteur d’échelle si 1 km = 100 000 cm ? 4.3 Les triangles semblables, pages 146 à 153 13. Ces triangles sont-ils semblables ? Pourquoi ? A E 19,2 15 B 4,1 2,4 F Q 1,8 17. Les côtés d’un quadrilatère mesurent 3 cm, 4,8 E 14. Le △UVW est semblable au △UYZ. Détermine la longueur de x. D H J 9,6 x F U y G K 23 17,3 W 25,3 25,3 L Y N 11,5 11 x D S 3 R C 1,3 1,3 semblables. Détermine les longueurs des côtés manquants. Arrondis tes réponses au dixième près. 12 V B 0,8 18. Les pentagones DEFGH et JKLMN sont C 11 3 A 9 cm, 12 cm et x. Les côtés correspondants d’un quadrilatère semblable mesurent 2,25 cm, 6,75 cm, 9 cm et 13,5 cm. Quelle est la valeur de x ? D 3 1,5 33 Z 23 M Révision du chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 161 161 18/11/09 17:50:35 Test pratique du chapitre 4 Aux questions 1 à 4, choisis la meilleure réponse. 6. La quantité constante par laquelle on multiplie les dimensions d’un objet pour l’agrandir ou le réduire se nomme le ■■. 8 1 1. Quelle est la valeur de x si __ = ___ ? x 32 A 2 B 3 C 4 D 7 2. △GHI ∿ △KLM. Détermine la longueur manquante. A 4 B 8 C 10 D 14 Réponses brèves 7. Dessine une réduction de cette figure pour qu’elle soit deux fois plus petite. G K 24 48 36 L H 21 32 x M I 8. Un crayon mesure 18,8 cm de long. Détermine le facteur d’échelle qui a été utilisé pour le dessiner. Arrondis ta réponse au dixième près. 3. Sur un diagramme à l’échelle, que représente 1 dans 1 : 5 ? A Le nombre de fois que l’objet est plus grand B Une unité de la dimension réelle C Une unité de la dimension du dessin D La grandeur totale du diagramme à l’échelle 4. Quelle paire de quadrilatères paraissent être semblables ? 4 cm 9. La hauteur du mât du drapeau d’un édifice est de 5,5 m. Sur un modèle, sa hauteur est de 6,5 cm. Quel est le facteur d’échelle qui a été utilisé ? Arrondis ta réponse au centième près. 10. La larve de la tordeuse des bourgeons de Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 l’épicéa de l’Ouest peut atteindre une taille de 32 mm. Quelle sera la longueur de l’image de la larve si on utilise un facteur d’échelle de 1 : 1,43 ? Arrondis ta réponse au dixième près. A Figure 1 et figure 2 B Figure 1 et figure 3 C Figure 1 et figure 4 D Figure 2 et figure 3 Complète les phrases des questions 5 et 6. 5. La longueur d’un parapluie est de 75 cm. Si on utilise une échelle de 1 : 5, la longueur de son image sera de ■ . 162 Le savais-tu ? La larve de la tordeuse des bourgeons de l’épicéa de l’Ouest se nourrit principalement de feuillage, de fleurs et de jeunes cônes d’épicéas et de sapins. Ces insectes endommagent de façon importante les sapins bleus de Douglas de la Colombie-Britannique. Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 162 18/11/09 17:50:36 11. L’image est-elle proportionnelle à la figure 14. Dans un nid d’abeilles, les alvéoles ont une originale ? Comment le sais-tu ? Si l’image est proportionnelle, quel est le facteur d’échelle ? B forme hexagonale. Dessine un hexagone semblable à ces alvéoles. Pourquoi les hexagones sont-ils semblables ? A X W C D Figure originale Y Z Image Réponses à développement 12. En fin d’après-midi, l’ombre d’un poteau vertical de 20 m mesure 28 m de long. L’ombre d’un immeuble voisin mesure 35 m de long. Fais un schéma. Quelle est la hauteur de l’immeuble ? Le savais-tu ? Un nid d’abeilles est constitué d’alvéoles hexagonales qui contiennent des larves d’abeilles, du miel et du pollen. L’arrangement hexagonal est une façon efficace de placer un maximum d’alvéoles dans un espace restreint. 13. Détermine si △ABC et △DEF sont semblables. Décris ton travail. 15. Ces polygones sont semblables. Détermine les longueurs manquantes x et y. Décris ton travail. A D 4,5 A I D x B 5 E B F 4 3,2 2,56 L J 1,28 y K C C Termine ton projet du chapitre. a) Choisis un plan d’ensemble qui contient ces éléments : • • • • une image agrandie ou réduite de ton projet ; un triangle semblable pour le logo ; un polygone semblable qui contient le titre de ton projet ; un diagramme à l’échelle de ton projet. b) Fais une présentation qui comprend : • ton projet et l’échelle utilisée ; • une description ou un échantillon réel de ton projet complété ; • ce que tu as appris au sujet des diagrammes à l’échelle et de la similarité. Test pratique du chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 163 163 18/11/09 17:50:39 Défis Des ombres, des ombres, encore des ombres ! Quand as-tu joué aux ombres chinoises pour la dernière fois ? Quelle a été la plus grande ombre chinoise que tu as faite ? Comment as-tu fait ? Tu es marionnettiste dans une représentation pour jeunes enfants. En équipes de deux, préparez des ombres chinoises qui vous permettront d’explorer certains concepts mathématiques étudiés dans ce chapitre. Matériel • pièce sombre • source de lumière directe 1. Forme l’ombre d’un oiseau comme celle-ci. a) Quel est le facteur d’échelle entre les mains et leur ombre ? Comment as-tu déterminé ce facteur d’échelle ? b) Utilise un ensemble différent de dimensions pour calculer le facteur d’échelle. c) Que remarques-tu au sujet des deux facteurs d’échelle ? d) Quelle est la relation mathématique entre les mains et leur ombre ? 2. a) Forme une ombre chinoise de ton choix. Ne déplace pas la source de lumière. Déplace plutôt tes mains en changeant la distance entre elles et le mur. b) De quelle façon le déplacement de tes mains change-t-il le facteur d’échelle de l’ombre ? Note tes observations et justifie ta réponse mathématiquement. 3. a) Projette l’ombre chinoise sur le mur. Garde tes mains à la même place, mais cette fois, déplace la source de lumière en la rapprochant ou en l’éloignant de tes mains. b) De quelle façon le déplacement de la source de lumière change-t-il le facteur d’échelle de l’ombre ? Note tes observations et justifie ta réponse mathématiquement. 164 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 164 18/11/09 17:50:40 Graphiste Comme graphiste, tu conçois un logo pour une communauté, une organisation, une école, un produit de consommation ou un service. Ton logo doit : •Comprendreunecaractéristiquepropreàlacommunauté, l’organisation, l’école, le produit de consommation ou le service. Par exemple, tu peux représenter : – un prix mérité par la communauté en utilisant un symbole, commeuntrophée; –unecultureenutilisantunsymbole,commeuntotem; – une organisation en utilisant un symbole, comme un animal avecdesqualitésquireflétentcellesdel’organisation; – un service en utilisant des symboles, comme un ordinateur, unecalculatriceouunmarteauetdesclous; – une industrie en utilisant des symboles, comme un puits de pétroleouunélévateuràgrains; – des caractéristiques géographiques, comme des montagnes, des arbres ou une plaine. •Incluredespolygonesoudesfigurescomposéesdepolygones. •Pouvoirêtreagrandiouréduitàl’échelle. 1. a) Conçois ton logo. b) Explique pourquoi tu as choisi les divers éléments de ton logo. 2. a) Choisis les dimensions d’un agrandissement de ton logo pour en faire un panneau publicitaire ou une bannière. b) Détermine le facteur d’échelle. c) Justifie mathématiquement le facteur d’échelle par rapport à trois mesures de ton logo. 3. a) Choisis les dimensions d’une réduction de ton logo pour en faire une carte professionnelle ou un site Web. b) Détermine le facteur d’échelle. c) Justifie mathématiquement le facteur d’échelle par rapport à trois mesures de ton logo. Défis 4126-M_02I_126-169.indd 165 165 18/11/09 17:50:42 Révision des chapitres 1 à 4 Chapitre 1 La symétrie et l’aire de la surface 1. Dessine chaque figure en incluant les lignes de symétrie. Décris les lignes de symétrie et le type de symétrie de chaque figure. a) b) 5. Reproduis ce triangle sur du papier quadrillé. a) Trace une figure en fonction d’un ordre de rotation de 4 autour de l’origine. •Nommechaquesommetdutriangle original. •Indiquelescoordonnéesdesimages après chaque rotation. y 2. Décris deux façons de compléter cette figure en considérant que le pointillé représente une ligne de symétrie. Complète la figure. 6 4 2 0 3. À l’intérieur d’un cercle, dessine une figure qui possède une symétrie linéaire et de rotation. a) Quel est le nombre de lignes de symétries dans ta figure ? Décris-les. b) Quel est l’ordre de rotation de ta figure ? c) Donne l’angle de rotation en degrés et en fractions de révolution. 2 4 6 x b) Répète la transformation en utilisant cette fois une ligne de symétrie pour former une nouvelle figure. Utilise l’axe des y et, ensuite, l’axe des x comme lignes de symétrie. 6. On dispose quatre cubes de 25 cm de côté de cette façon. 4. Dessine un gâteau carré et un gâteau circulaire. Choisis les dimensions de façon à ce que la longueur du côté du gâteau carré soit égale au diamètre du gâteau circulaire. a) Trouve l’aire de la surface de chacun de tous les côtés du gâteau sauf le dessous. b) Coupe chaque gâteau en quatre morceaux égaux. Si les morceaux sont séparés les uns des autres, de quel pourcentage l’aire de la surface de chaque gâteau augmente-t-elle ? (Ne compte pas le dessous.) 166 a) Trouve l’aire de la surface du solide formé. b) Si on plaçait les cubes de cette façon, de combien l’aire de la surface varierait-elle ? Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 166 18/11/09 17:50:44 Chapitre 2 Les nombres rationnels 7. Place ces nombres rationnels en ordre croissant. __ 2 3 -__ 4 2,7 -2__ 0,6 -0,9 -__ 3 5 4 12. Marie confectionne une courtepointe carrée. L’aire de sa courtepointe est de 2,89 m2. Quel est son périmètre ? 8. Trouve une fraction comprise entre -6,3 et -6,4. 9. Estime le résultat de ces opérations, puis calcule-le. a) -2,52 + 1,84 b) -2,4 × (-1,5) c) -4,37 ÷ (-0,95) d) 0,76 + (-1,83) e) 8,48 - 10,51 f) -5,3(4,2) g) -2,31 - (-5,72) h) -5,5 ÷ (-5,5) 10. Estime le résultat de ces opérations, puis calcule-le. 1 1 a) 1___ - -1___ 10 10 3 3 b) 3__ ÷ -3__ 5 8 1 1 c) -1__ - ___ 2 12 1 1 __ d) - + -__ 6 8 3 1 e) ___ × -__ 7 10 2 4 f) __ ÷ __ 3 5 5 1 g) -4__ + 2__ 2 9 1 1 h) -2__ -2__ 2 2 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 11. Estime et calcule la longueur du côté de chaque carré à partir de son aire. Si c’est nécessaire, arrondis ta réponse au centième d’unité près. a) 2,56 cm2 b) 0,01 km2 c) 0,048 mm2 d) 1,02 km2 Chapitre 3 Les puissances et les exposants 13. Exprime 42 × (43)5 sous la forme d’une puissance unique. 14. Évalue l’expression (-6)0 + 23 ÷ (7 - 5)2. (-4) (-4) 15. Exprime ___________ sous la forme d’une 3 2 10 (-4) puissance unique, puis évalue-la. 16. Exprime (3 × 7)4 sous la forme d’une multiplication répétée sans exposant et sous la forme du produit de deux puissances. 17. Une population de 50 bactéries double toutes les heures. La formule N = 50(2)t permet de déterminer le nombre, N, de bactéries après t heures. Combien de bactéries y aura-t-il après : a) 5 h ? b) 9 h ? Révision des chapitres 1 à 4 4126-M_02I_126-169.indd 167 167 18/11/09 17:50:46 Chapitre 4 Les facteurs d’échelle et la similarité 18. Agrandis cette figure en utilisant un facteur d’échelle de 3. 22. Quels sont les rectangles semblables ? Justifie ta réponse. A E B D C F 19. Détermine les valeurs manquantes. ■ 1 a) ___ = ___ 23. a) Nomme les différents types de polygones semblables dans ce dallage. 3,5 42 2,7 1 b) __ = ______ ■ 49,95 4,6 1 c) _____ = ___ ■ 0,09 20. Détermine la longueur manquante. 2,9 A x D C 1,9 E 1,9 B 21. Utilise l’échelle ci-dessous pour calculer la distance à vol d’oiseau entre Calgary et Regina. Arrondis ta réponse au kilomètre près. b) Repère tous les polygones semblables. Décris le motif verbalement. c) Crée ton propre dallage avec des polygones semblables. Calgary Regina Échelle: 1 cm représente 154 km 168 Chapitre 4 4126-M_02I_126-169.indd 168 18/11/09 17:50:48 Projet Combien de fois peux-tu plier une feuille de papier ? Bertrand prétend que personne ne peut plier une feuille de papier en deux plus de sept à huit fois, quelle que soit sa grandeur ou son épaisseur. Vérifie-le. Bertrand a-t-il raison ? Matériel • feuilles de papier de différentes grandeurs et de différentes épaisseurs 1. Utilise 3 feuilles de papier d’épaisseur différente. a) Estime l’épaisseur d’une seule feuille pour chaque type de papier. b) Élabore une stratégie pour déterminer l’épaisseur d’une feuille de papier. Justifie ton travail mathématiquement. 2. Utilise trois grandeurs différentes de papier pour explorer le nombre de fois que tu peux plier les feuilles en deux. a) Par rapport à chaque feuille, prédis le nombre de fois que tu pourras la plier en deux. b) Plie chaque feuille en deux autant de fois que tu le peux. Note tes résultats, puis compare-les avec ceux des autres élèves. 3. a) Écris une expression qui représente l’épaisseur du papier plié après chaque pli en fonction de l’épaisseur de la feuille, e. b) Écris une expression qui représente l’aire du dessus du papier plié après chaque pli en fonction de l’aire de la feuille, a. c) Compare les régularités de tes expressions. Utilise ces régularités pour expliquer pourquoi il devient de plus en plus difficile de plier une feuille de papier après seulement quelques plis. Projet 4126-M_02I_126-169.indd 169 169 18/11/09 17:50:49
