Les facteurs d`échelle et la similarité

Les facteurs d’échelle
et la similarité
Le Musée canadien des civilisations à Gatineau, au Québec, a été
conçu par l’architecte Douglas Cardinal. Ce Canadien d’origine
autochtone est né à Red Deer, en Alberta. Cardinal est reconnu
pour ses conceptions architecturales riches en lignes douces et
fl uides qui sont en harmonie avec le paysage. L’ immeuble est
reconnu comme une structure de niveau international.
Ce modèle à l’échelle est une réplique exacte du bâtiment.
Il a exactement la même forme, mais ses dimensions sont
diff érentes. Quels sont les modèles à l’échelle que tu as déjà
vus ? En quoi un modèle à l’échelle est-il utile ?
Dans ce chapitre, tu en apprendras davantage sur les
modèles à l’échelle et sur la façon dont ils sont liés aux
concepts de facteur d’échelle et de similarité.
Le savais-tu?
Les formes du musée rappellent quatre éléments du milieu
naturel, soit le Bouclier canadien, les glaciers, les rivières créées
par l’eau qui s’écoule des glaciers et les prairies qui s’étendent
jusqu’aux pieds des glaciers. Saurais-tu les reconnaître ?
Lien Internet
Pour en savoir davantage sur Douglas Cardinal et sur ses
projets, visite le site www.cheneliere.ca et suis les liens.
Ce que tu apprendras :
• dessiner des agrandissements et des réductions à l’échelle ;
• reconnaître des diagrammes à l’échelle et interpréter le
facteur d’échelle ;
• déterminer le facteur d’échelle à partir de dessins à l’échelle ;
• déterminer la présence de polygones semblables ;
• résoudre des problèmes en appliquant les propriétés de
polygones semblables.
Les facteurs d’échelle
et la similarité
CHAPITRE
4
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Lien littératie
La toile d’araignée t’aidera à comprendre les
nouveaux concepts et à faire des liens entre eux.
Dessine une toile d’araignée dans ton journal
de mathématiques. Tu la rempliras à mesure
que tu avanceras dans le chapitre.
Donne une dé nition de chaque terme à l’aide
d’une phrase, d’un schéma ou d’une expression
mathématique. Dans ta dé nition du polygone,
mentionne la somme des angles d’un polygone.
polygone
angles
correspondants
côtés
correspondants
similarité
agrandissement
facteur d’échelle
réduction
échelle
diagramme
à l’échelle
proportion
Diagrammes
à l’échelle
Agrandissements et
réductions
Triangles
semblables
Polygones
semblables
Facteurs d’échelle
et similarité
Mots clés
agrandissement
facteur d’échelle
réduction
échelle
diagramme à
l’échelle
proportion
angles correspondants
côtés correspondants
semblable
polygone
Modèle à l’échelle du Musée canadien des civilisations
Chapitre 4 127
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Mon organisateur
Aide pour étudier
Organisateur du chapitre 4
Matériel
• feuille de papier de format 11 × 17
• règle
• deux feuilles de papier de format 8,5 × 11
• ciseaux
• deux feuilles de papier quadrillé
• agrafeuse
Étape 1
Plie la feuille de papier 11 × 17
en deux sur sa largeur et
pince-la au milieu. Plie les
extrémités vers l’intérieur pour
qu’ils se touchent au milieu de
la feuille. Écris les titres comme
sur l’illustration.
Étape 2
Plie une feuille de papier 8,5 × 11 en deux
Similarité
Polygone
Proportion
Diagramme
à l’échelle
Agrandissement
Échelle
Réduction
Facteur d’échelle
Mots clés
Côtés
correspondants
Angles
correspondants
sur sa longueur. Utilise une règle pour
tracer une ligne horizontale à 5,5 cm du
haut de la feuille. Trace huit autres lignes
espacées de 2,5 cm. Eff ectue les coupes
sur une seule épaisseur de papier pour
former dix volets. Inscris les termes
indiqués à droite sur les volets.
Étape 3
Plie une feuille de papier
Utiliser
du papier
quadrillé
Utiliser
du papier
quadrillé
Utiliser
un facteur
d’échelle
Utiliser
un facteur
d’échelle
quadrillé en deux sur sa
longueur. Plie-la ensuite en
deux sur sa largeur. Eff ectue
une coupe sur une seule
épaisseur de papier pour
former deux volets. Inscris
« Agrandissements » à
l’extérieur du volet gauche et
« Réductions » à l’extérieur du volet droit. Ouvre le livret
et inscris les termes indiqués.
Répète l’étape 3 avec une
Utiliser
une échelle Utiliser une proportion
feuille de papier ordinaire
8,5 × 11 pour former un
autre livret à deux volets.
Écris les termes indiqués à
droite.
Étape 4
Plie une feuille de papier quadrillé en deux sur sa
longueur. Plie ensuite en deux sur sa largeur. Eff ectue
une coupe sur une seule épaisseur de papier pour
former deux volets. Inscris sur chaque volet ce qui est
indiqué sur le schéma ci-dessous.
Étape 5
Agrafe les quatre livrets pour former ton organisateur
de la façon indiquée sur le schéma.
Triangles
semblables
Polygones
semblables
Agrandissements
Utiliser
une échelle
Similarité
Polygone
Proportion
Diagramme
à l’échelle
Agrandissement
Échelle
Réduction
Facteur d’échelle
Mots clés
Côtés
correspondants
Angles
correspondants
Réduction
Utiliser une
proportion
Comment utiliser ton organisateur
À mesure que tu avanceras dans ce chapitre, écris les
dé nitions des mots clés sous les volets de gauche. Dans
les livrets supérieurs du centre, note ce que tu sais au sujet
des agrandissements et des réductions. Dans les livrets
inférieurs du centre, note ce que tu sais au sujet de la
résolution de problèmes qui comportent des facteurs
d’échelle et des proportions. Dans les livrets de droite,
note ce que tu sais au sujet des triangles et des polygones
semblables.
Au verso de l’organisateur, note les idées qui te serviront
au moment de faire la rubrique « Pour terminer ». Au verso
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Lien mathématique
Conceptrice ou concepteur de projets
Dans de nombreux domaines, des
personnes doivent concevoir des
modèles ou des plans ; par exemple,
en architecture, en mode, en
ameublement, dans la conception
de sites Web, dans l’industrie
automobile et en tourisme.
Les architectes conçoivent des
plans de maisons. Ces plans sont
des « bleus ». Au moment de la
conception des plans des étages
d’une maison, les architectes
travaillent avec des rapports et des
proportions pour indiquer avec
précision les dimensions de
chaque espace. Les plans aident les
futurs propriétaires à juger si la construction sera adaptée à leurs besoins.
Utilise le plan ci-contre pour répondre à ces questions.
1. a) Quelle est l’aire réelle de l’étage ?
b) Quelle est l’aire de l’étage sur le bleu ?
2. a) Quelle est l’aire réelle de la salle de séjour ?
b) Quelle est l’aire de la salle de séjour sur le bleu ?
3. a) Quel est le rapport entre l’aire réelle de l’étage et son aire sur le bleu ?
b) Quel est le rapport entre l’aire réelle de la salle de séjour et son aire sur le bleu ?
c) Compare les deux rapports. Que peux-tu conclure au sujet des rapports ?
d) Selon toi, quel sera le rapport entre l’aire réelle de la chambre principale et son
aire sur le bleu ? Explique ta réponse.
4. a) Pourquoi crois-tu que la précision est importante dans l’élaboration des plans
d’un étage ?
b) Pourquoi est-il important de garder les mêmes proportions entre les dimensions
réelles d’un objet et ses dimensions sur un plan ?
5. Discute avec une ou un élève d’autres exemples où des rapports sont utilisés pour
comparer des objets dans la vie de tous les jours.
Dans ce chapitre, tu apprendras à dessiner les plans d’un objet où les dimensions
inscrites seront proportionnelles à ses vraies dimensions. Tu concevras aussi les plans de
ton propre projet et tu le réaliseras.
Le savais-tu?
Le terme bleu renvoie
à un dessin technique
détaillé. À l’origine,
ces dessins étaient
réalisés sur du papier
spécial de couleur
bleue. Les lignes
étaient tracées en
blanc. Cette façon de
faire a été remplacée
par des méthodes
modernes d’impression
et par l’a chage
numérique.
Lien littératie
Un rapport est un
quotient de deux
quantités qui sont
exprimées avec les
mêmes unités.
Chambre principale
3,1 m × 4,2 m
Salle de bain Cuisine
4,1 m × 7,4 m
Évier
Réfrigérateur Laveuse
et sécheuse
Cuisinière
Lavabo
Salle de séjour
3,1 m × 4,5 m
Chambre
3,1 m × 3,3 m
Véranda
2,4 m × 7,2 m
Foyer
7,2 m
Placard
2,1 m × 1,4 m
12 m
Bain
et
douche
Placard
Lien mathématique 129
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4.1
Un microscope permet
d’agrandir des objets qui
sont trop petits pour être
observés à l’œil nu. Cette
photo montre un
agrandissement de cellules
d’une pelure d’oignon.
Pour calculer le facteur par
lequel les cellules d’oignon
ont été agrandies, multiplie
le grossissement de l’oculaire
par le grossissement de la
lentille de focalisation. Cet
instrument est celui que tu
utilises pour observer l’objet.
Grossissement de l’oculaire : 10x
Grossissement de la lentille de
focalisation : 40x
Grossissement total : 10 × 40 = 400x
Les cellules d’oignon ont été agrandies
400 fois.
En quoi la vue agrandie est-elle semblable à
celle du fragment de pelure d’oignon ? En
quoi est-elle différente ?
Explorer la façon d’agrandir une image
1. En équipe de deux, lancez des idées sur la façon d’agrandir les cellules
d’oignons. Quelles sont les diverses stratégies que vous pouvez proposer ?
2. Essaie au moins une de ces stratégies et dessine
une image qui est deux fois plus grande que cette
cellule d’oignon. Quel sera le rapport entre les
longueurs des côtés dans l’agrandissement et les
longueurs de l’original ?
Matériel
• papier quadrillé à 1 cm
• papier-calque
• règle
Objectifs
Après cette leçon,
tu pourras…
• reconnaître des
agrandissements et
des réductions et
interpréter le facteur
d’échelle ;
• dessiner des
agrandissements et
des réductions à
l’échelle.
Les agrandissements et
les réductions
Le savais-tu?
Les microscopes les
plus puissants utilisés
dans les écoles
secondaires peuvent
agrandir un objet
1 500 fois.
Oculaire
Lentille de
focalisation
Cellule d’oignon
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