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Université Abdehamid Ibn Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Département de Mathématiques
1ere Année Master AH-AF-MCO
Matière : Analyse Spectrale des Opérateurs I
Responsable : S. M. Bahri
Leçon 1 : Quelques aspects fondamentaux des
espaces vectoriels
(Dim 23 Oct 2009)
1 Concept d’un espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant
en pratique d’e¤ectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corps (commutatif) K(Rou C), un espace vectoriel Esur
Kest un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d’une action com-
patible de K:
1. (x+y) + z=x+ (y+z)(associativité de l’addition);
2. x+y=y+x(commutativité de l’addition);
3. il existe un élément dans Etel que 0x=pour tout x2E;
4. (+)x=x +x (distributivité);
5. (x+y) = x +y (distributivité);
6. 1x=x:
Les éléments de Esont appelés des vecteurs, et les éléments de Kdes
scalaires.
Les plus simples exemples d’espaces vectoriels étudiés dans un cours d’algébre
linéaire sont ceux des espaces vectoriels de dimension …nie Rn,Cnou l’espace
des polynômes de degré inférieur à n.
Un important exemple d’espace vectoriel est l’espace C[a; b]des fonctions
continues à valeurs réels (ou complexes) dé…nies sur l’intervalle [a; b].
1.1 Applications linéaires
Une application A:E1!E2entre deux espaces vectoriels E1et E2est dite
linéaire si, et seulement si, pour tout x; y 2E1et pour tout scalaires a; b
A(ax +by) = aA(x) + bA(y):(1)
1

Pour de telles applications nous ecrivons souvent Ax à la place de A(x):En
outre, nous dé…nissons deux ensembles importants associés avec une application
linéaire A. C’est son noyau ker Aet son image Im Adé…nis par :
ker A=fx2E1:Ax = 0g(2)
et
Im A=fAx :x2E1g:(3)
Une application linéaire A:E1!E2entre deux espaces vectoriels E1et E2
est appellée isomorphisme si ker A= 0 et Im A=E2, c’est à dire que Aest une
application linéaire bijective et par conséquent inversible. Nous notons par A1
son inverse.
1.2 Exemples d’espaces vectoriels
1. sest l’ensemble des suites à support …ni : c’est l’ensemble des suites
in…nies d’éléments telles que seul un nombre …ni d’éléments soit non nul.
En d’autres termes, une suite (ai)est dans ssi, et seulement si, il existe
N2Nde sorte que ai= 0 pour tout i>N. Cet ensemble forme un
espace vectoriel par rapport à l’addition et la multiplication des suites, et
bien évidemment il est isomorphe à l’espace de tous les polynômes.
2. L’ensemble c0des suites convergentes vers zero.
3. L’ensemble cdes suites convergentes.
4. L’ensemble l1des suites bornées.
5. L’ensemble sde toutes les suites.
Tous ces ensembles sont des espaces vectoriels et ils sont liés de la manière
suivante:
sc0cl1s: (4)
Dé…nition 1.1 Un sous-ensemble E1de l’espace vectoriel Eest dit sous-espace
s’il est relativement fermé aux opérations linéaires dans E. Nous écrivons E1,!
E:
Donc, c0, par exemple, est un sous-espace de cqui est un sous-espace de l1:
Il est clair que pour un opérateur A:E1!E2,ker Aest un sous-espace de
E1and Im Aest un sous-espace de E2:
Un ensemble de vecteurs x1; x2; : : : ; xnest dit ensemble linéairement dépen-
dant et les vecteurs des vecteurs linéairement dépendants, s’il existe des nombres
(ai)n
i=1 non tous nuls tels que
a1x1+a2x2+: : : +anxn= 0:(5)
2

D’autre part, les (xi)n
i=1 sont dits linéairement indépendants s’ils ne sont pas
linéairement dépendants. Par conséquent, pour de tel ensemble de vecteurs,
Pn
i=1 aixi= 0 implique que ai= 0 8i= 1;2; : : : ; n.
Nous dé…nissons l’enveloppe linéaire (notée span) d’un sous-ensemble M
d’un espace vectoriel Ecomme étant l’intersection de tous les sous-espaces de
Econtenant M. C’est à dire
spanM =\
fE:E,!Eet MEg:(6)
On peut aussi dé…nir spanM comme l’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires …nies des vecteurs de M.
Le résultat suivant est un important théorème d’algèbre linéaire :
Théorème 1 Soit (xi)n
i=1 un ensemble maximal de vecteurs linéairement in-
dépendants dans E(cela signi… qu’il n’existe pas une extension linéairement
indépendante de cet ensemble). Alors le nombre nest invariant et appellé la di-
mension de l’espace E. Nous écrivons dim E=net nous dirons que les vecteurs
(xi)n
i=1 forment une base de E.
1.3 Espace Quotient
Maintenant, nous introduisons la notion des espaces quotients. Pour un sous-
espace E1de E, nous dé…nissons un nouveau espace vectoriel appellé espace
quotient de Erelativement à E1de la manière suivante. Considérons une famille
de sous-ensembles
f[x] = x+E1:x2Eg:(7)
Les ensembles [x]sont dits coensembles de E. Notons que deux coensembles
[x]et [y]sont, soit identiques, soit disjoints. En e¤et, si z2[x]\[y], alors
zx; z ysont deux éléments de E1. Comme E1est un espace vectoriel, il s’en
suit que
yx= (zx)(zy)2E1:
Donc, si a2[x]nous avons ax2E1et d’aprés la structure linéaire de E1;
ay= (ax)(yx)
c’est à dire, a2[y]. Ainsi, nous avons montré que [x][y]. D’une manière
similaire, nous montrons que [y][x]. Nous dénotons par E=E1la collection
de tous les coensembles [x]. Il est utile de noter que [x] = [y]si, et seulement si,
xy2E1:
Maintenat, nous introduisons la structure linéaire sur E=E1par
[x]+[y] = [x+y];
a[x] = [ax]:
3

Notons que [0] est le vecteur nul du nouveau espace E=E1. L’espace E=E1est
dit espace quotient. La dimension dim E=E1est dite codimension de E1et nous
écrivons
co dim E1= dim E=E1:
Exemple 2 La codimension de coà l’intérieur de l’espace cdes suites conver-
gentes est égale à 1. En e¤et, pour tout x= (xn)1
1;2c;
x+c0=a(1 + c0)
où a= lim xnet 1 est la suite constante avec tous les termes égaux à 1.Ainsi,
[x] = a[1] :
Dé…nition 1.2 Les vecteurs x1; x2; :::; xnsont dits linéairementt indépandants
relatirement au sous-espace E1,!E, si
n
X
i=1
aixi2E1implique que a1=a2==an= 0:
Lemme 1.1 La dimension de E=E1est égalé à nsi ,et seulement si, il existe
des vecteurs x1; x2; :::; xnlinéairement indépandants relativement à E1tel que
pour chaque x2E, il existe un ensemble de nombres uniques a1; a2; :::; anet un
vecteur unique y2E1tel que
x=
n
X
i=1
aixi+y: (8)
Par conséquent, les ensembles [x1];[x2]; :::; [xn]de ces vecteurs forment une
base de E=E1:
Preuve. Soit [x1];[x2]; :::; [xn]une base de E=E1:Alors les vecteurs x1; x2; :::; xn
sont linéairement indépandants relativement à E1;en e¤et, si
n
X
i=1
aixi2E1
alors n
X
i=1
ai([xi]) = "n
X
i=1
aixi#= [0]
et donc (de la linéarité indépendante de [xi]) il s’en suit que ai= 0.
Maintenant, pour tout x2E,
[x] = x+E1=
n
X
i=1
ai([xi])
c’est à dire
x2Xaixi+E1:
4

2 Espaces Normés
Procédons maintenant à dé…nir la notion de distance dans un espace vectoriel
(linéaire). Cela est nécessaire si on veut étudier et analyser la convergence.
Dé…nition 2.1 Une norme p(x) = kxkpour x2Eest une fonction de Edans
Rvéri…ant les propriétés suivantes:
1. p(x)0et p(x) = 0 si, et seulement si, x= 0.
2. p(x) = jjp(x):
3. p(x+y)p(x) + p(y)pour tout x; y 2Eet pour tout 2R(ou C):
Avec cette dé…nition, la distance entre deux points xet ydans Eest la
norme de la di¤érence : kxyk:
Exemple 3 (i) Sur les espaces c0; c; l1nous dé…nissons la norme comme borne
supérieure de la valeur absolue des suites : pour x= (ai)1
1nous posonskxk=
sup jaij:
(ii) Pour l’espace C[0;1], nous dé…nissons la norme d’une fonction par :
kfk= max fjf(x)j:x2[0;1]g:
(iii) Un autre exemple est l’espace l1= (R1;kk1)qui consiste en les suites
x= (xi)1
1véri…ants
kxk1=
1
X
i=1
jxij<1:(9)
D’une manière similaire, nous dé…nissons les espaces lp=R1;kkppour
1p < 1par
kxkp= 1
X
i=1
jxijp!1=p <1:(10)
Ils est souvent non trivial que ces ensembles ( pour p > 1) forment des
espaces vectoriels. En e¤et, nous montrons en premier que la fonction kkpest
une norme et que l’inégalité triangulaire implique que si xet ysont dans lp,
alors x+yest aussi dans lp. Cela découle de l’inégalité de Hôlder suivante.
2.1 Inégalité de Hölder
Théorème 4 Pour toutes suites de scalaires (ai)et (bi)nous avons :
XakbkXjakjp1=p Xjbkjq1=q ;(11)
où 1
p+1 q= 1 (1 < p < q):
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