Télécharger le fichier - Fichier

Université Abdehamid Ibn Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Département de Mathématiques
1ere Année Master AH-AF-MCO
Matière : Analyse Spectrale des Opérateurs I
Responsable : S. M. Bahri
Leçon 1 :
Quelques aspects fondamentaux des
espaces vectoriels
(Dim 23 Oct 2009)
1
Concept d’un espace vectoriel
En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant
en pratique d’e¤ectuer des combinaisons linéaires.
Étant donné un corps (commutatif) K (R ou C), un espace vectoriel E sur
K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) munie d’une action compatible de K :
1. (x + y) + z = x + (y + z) (associativité de l’addition);
2. x + y = y + x (commutativité de l’addition);
3. il existe un élément
dans E tel que 0x =
pour tout x 2 E;
4. ( + ) x = x + x (distributivité);
5.
(x + y) = x + y (distributivité);
6. 1x = x:
Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des
scalaires.
Les plus simples exemples d’espaces vectoriels étudiés dans un cours d’algébre
linéaire sont ceux des espaces vectoriels de dimension …nie Rn , Cn ou l’espace
des polynômes de degré inférieur à n.
Un important exemple d’espace vectoriel est l’espace C [a; b] des fonctions
continues à valeurs réels (ou complexes) dé…nies sur l’intervalle [a; b].
1.1
Applications linéaires
Une application A : E1 ! E2 entre deux espaces vectoriels E1 et E2 est dite
linéaire si, et seulement si, pour tout x; y 2 E1 et pour tout scalaires a; b
A(ax + by) = aA(x) + bA(y):
1
(1)
Pour de telles applications nous ecrivons souvent Ax à la place de A (x) : En
outre, nous dé…nissons deux ensembles importants associés avec une application
linéaire A. C’est son noyau ker A et son image Im A dé…nis par :
ker A = fx 2 E1 : Ax = 0g
(2)
Im A = fAx : x 2 E1 g :
(3)
et
Une application linéaire A : E1 ! E2 entre deux espaces vectoriels E1 et E2
est appellée isomorphisme si ker A = 0 et Im A = E2 , c’est à dire que A est une
application linéaire bijective et par conséquent inversible. Nous notons par A 1
son inverse.
1.2
Exemples d’espaces vectoriels
1. s est l’ensemble des suites à support …ni : c’est l’ensemble des suites
in…nies d’éléments telles que seul un nombre …ni d’éléments soit non nul.
En d’autres termes, une suite (ai ) est dans s si, et seulement si, il existe
N 2 N de sorte que ai = 0 pour tout i > N . Cet ensemble forme un
espace vectoriel par rapport à l’addition et la multiplication des suites, et
bien évidemment il est isomorphe à l’espace de tous les polynômes.
2. L’ensemble c0 des suites convergentes vers zero.
3. L’ensemble c des suites convergentes.
4. L’ensemble l1 des suites bornées.
5. L’ensemble s de toutes les suites.
Tous ces ensembles sont des espaces vectoriels et ils sont liés de la manière
suivante:
s
c0 c l1 s:
(4)
Dé…nition 1.1 Un sous-ensemble E1 de l’espace vectoriel E est dit sous-espace
s’il est relativement fermé aux opérations linéaires dans E. Nous écrivons E1 ,!
E:
Donc, c0 , par exemple, est un sous-espace de c qui est un sous-espace de l1 :
Il est clair que pour un opérateur A : E1 ! E2 , ker A est un sous-espace de
E1 and Im A est un sous-espace de E2 :
Un ensemble de vecteurs x1 ; x2 ; : : : ; xn est dit ensemble linéairement dépendant et les vecteurs des vecteurs linéairement dépendants, s’il existe des nombres
(ai )ni=1 non tous nuls tels que
a1 x1 + a2 x2 + : : : + an xn = 0:
2
(5)
D’autre part, les (xi )ni=1 sont dits linéairement indépendants s’ils ne sont pas
linéairement
dépendants. Par conséquent, pour de tel ensemble de vecteurs,
Pn
a
x
=
0
implique que ai = 0 8i = 1; 2; : : : ; n.
i=1 i i
Nous dé…nissons l’enveloppe linéaire (notée span) d’un sous-ensemble M
d’un espace vectoriel E comme étant l’intersection de tous les sous-espaces de
E contenant M . C’est à dire
spanM = \ fE : E ,! E et M
E g:
(6)
On peut aussi dé…nir spanM comme l’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires …nies des vecteurs de M .
Le résultat suivant est un important théorème d’algèbre linéaire :
Théorème 1 Soit (xi )ni=1 un ensemble maximal de vecteurs linéairement indépendants dans E (cela signi… qu’il n’existe pas une extension linéairement
indépendante de cet ensemble). Alors le nombre n est invariant et appellé la dimension de l’espace E. Nous écrivons dim E = n et nous dirons que les vecteurs
(xi )ni=1 forment une base de E.
1.3
Espace Quotient
Maintenant, nous introduisons la notion des espaces quotients. Pour un sousespace E1 de E, nous dé…nissons un nouveau espace vectoriel appellé espace
quotient de E relativement à E1 de la manière suivante. Considérons une famille
de sous-ensembles
f[x] = x + E1 : x 2 Eg:
(7)
Les ensembles [x] sont dits coensembles de E. Notons que deux coensembles
[x] et [y] sont, soit identiques, soit disjoints. En e¤et, si z 2 [x] \ [y], alors
z x; z y sont deux éléments de E1 . Comme E1 est un espace vectoriel, il s’en
suit que
y
x = (z
Donc, si a 2 [x] nous avons a
a
x)
(z
y) 2 E1 :
x 2 E1 et d’aprés la structure linéaire de E1 ;
y = (a
x)
(y
x)
c’est à dire, a 2 [y]. Ainsi, nous avons montré que [x]
[y]. D’une manière
similaire, nous montrons que [y] [x]. Nous dénotons par E=E1 la collection
de tous les coensembles [x]. Il est utile de noter que [x] = [y] si, et seulement si,
x y 2 E1 :
Maintenat, nous introduisons la structure linéaire sur E=E1 par
[x] + [y] = [x + y];
a [x] = [ax]:
3
Notons que [0] est le vecteur nul du nouveau espace E=E1 . L’espace E=E1 est
dit espace quotient. La dimension dim E=E1 est dite codimension de E1 et nous
écrivons
co dim E1 = dim E=E1 :
Exemple 2 La codimension de co à l’intérieur de l’espace c des suites conver1
gentes est égale à 1. En e¤ et, pour tout x = (xn )1 ; 2 c;
x + c0 = a (1 + c0 )
où a = lim xn et 1 est la suite constante avec tous les termes égaux à 1.Ainsi,
[x] = a [1] :
Dé…nition 1.2 Les vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn sont dits linéairementt indépandants
relatirement au sous-espace E1 ,! E, si
n
X
ai xi 2 E1 implique que a1 = a2 =
= an = 0:
i=1
Lemme 1.1 La dimension de E=E1 est égalé à n si ,et seulement si, il existe
des vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn linéairement indépandants relativement à E1 tel que
pour chaque x 2 E, il existe un ensemble de nombres uniques a1 ; a2 ; :::; an et un
vecteur unique y 2 E1 tel que
x=
n
X
ai xi + y:
(8)
i=1
Par conséquent, les ensembles [x1 ] ; [x2 ] ; :::; [xn ] de ces vecteurs forment une
base de E=E1 :
Preuve. Soit [x1 ] ; [x2 ] ; :::; [xn ] une base de E=E1 : Alors les vecteurs x1 ; x2 ; :::; xn
sont linéairement indépandants relativement à E1 ;en e¤ et, si
n
X
i=1
alors
n
X
ai xi 2 E1
ai ([xi ]) =
i=1
"
n
X
#
ai xi = [0]
i=1
et donc (de la linéarité indépendante de [xi ]) il s’en suit que ai = 0.
Maintenant, pour tout x 2 E,
[x] = x + E1 =
n
X
ai ([xi ])
i=1
c’est à dire
x2
X
ai xi + E1 :
4
2
Espaces Normés
Procédons maintenant à dé…nir la notion de distance dans un espace vectoriel
(linéaire). Cela est nécessaire si on veut étudier et analyser la convergence.
Dé…nition 2.1 Une norme p(x) = kxk pour x 2 E est une fonction de E dans
R véri…ant les propriétés suivantes:
1. p(x)
0 et p(x) = 0 si, et seulement si, x = 0.
2. p( x) = j j p(x):
3. p(x + y)
p(x) + p(y) pour tout x; y 2 E et pour tout
2 R (ou C) :
Avec cette dé…nition, la distance entre deux points x et y dans E est la
norme de la di¤érence : kx yk :
Exemple 3 (i) Sur les espaces c0 ; c; l1 nous dé…nissons la norme comme borne
1
supérieure de la valeur absolue des suites : pour x = (ai )1 nous posonskxk =
sup jai j :
(ii) Pour l’espace C [0; 1], nous dé…nissons la norme d’une fonction par :
kf k = max fjf (x)j : x 2 [0; 1]g :
(iii) Un autre exemple est l’espace l1 = (R1 ; kk1 ) qui consiste en les suites
1
x = (xi )1 véri…ants
1
X
kxk1 =
jxi j < 1:
(9)
i=1
D’une manière similaire, nous dé…nissons les espaces lp = R1 ; kkp
1 p < 1 par
!1=p
1
X
p
kxkp =
jxi j
< 1:
pour
(10)
i=1
Ils est souvent non trivial que ces ensembles ( pour p > 1) forment des
espaces vectoriels. En e¤et, nous montrons en premier que la fonction kkp est
une norme et que l’inégalité triangulaire implique que si x et y sont dans lp ,
alors x + y est aussi dans lp . Cela découle de l’inégalité de Hôlder suivante.
2.1
Inégalité de Hölder
Théorème 4 Pour toutes suites de scalaires (ai ) et (bi ) nous avons :
où
1
p
+
1
q
X
ak bk
= 1 (1 < p < q) :
X
p
jak j
5
1=p
X
q
jbk j
1=q
;
(11)
Preuve. Observons en premier quelques liaisons entre les nombres p et q :
1
p
1
=q
1 et (p
1) q = p:
(12)
Pour montrer l’inégalité (11), nous posons
jbi j
jai j
ci = P
et di = P
:
p 1=p
q 1=q
( jaj j )
( jbj j )
Alors
Maintenant, montrons que
X
cpi = 1 et
X
dqi = 1:
1 p 1 q
c + di :
p i
q
ci di
En e¤et, cela est vrai car si l’on considère la fonction y = xp 1 et si on l’intègre
par rapport à la variable x de 0 à ci ; ensuite si on intègre son inverse x = yp1 1 =
y q 1 par rapport à y de 0 à di , il est facile de voir, géométriquement, que la
somme de ces deux intégrales excede toujours le produit ci di et qu’il est égale à
1 p
1 q
p ci + q di . Ainsi, nous obtenons
X
1 1
+ = 1:
p q
ci di
(13)
L’inégalité (12) est dite inégalité de Cauchy-Schwartz si p = q = 2.
De l’inégalité de Hölder s’en suit l’inégalité de Minkowski qui est l’inégalité
triangulaire des espaces lpn = Rn ; kkp :
2.2
Inégalité de Minkowski
Théorème 5 Pour toutes suites de scalaires a = (ai ) et b = (bi ) et pour tout
1 p 1 nous avons :
ka + bkp
Preuve.
p
ka + bkp
=
=
X
X
X
1
p
+
p
p
(jak j + jbk j)
X
1
q
(14)
jak + bk j
X
p 1
p 1
(jak j + jbk j)
jak j +
(jak j + jbk j)
jbk j
X
X
X
1=q
1=p
p
p
p
(jak j + jbk j)
jak j
+
jbk j
=
pour q tel que
kakp + kbkp :
p
1=q
kakp + kbkp
(jak j + jbk j)
= 1:
6
1=p
3
Notions topologiques et géométriques
Un espace vectoriel topologique est une structure composite. Sa structure est
induite par les opérations algébriques et une topologie. Le concept de l’espace
vectoriel topologique re‡ète les propriétés liées avec les concepts intuitives de
voisinage, limite et continuité dans les espace euclidiens ordinaires. Dans un
espace vectoriel topologique les deux structures sont interdépendantes. Cette
relation re‡ète les propriétés de continuité des opérations algébriques sur les
vecteurs dans les espaces euclidiens.
Quelques remarques topologiques s’imposent. Nous dirons qu’une suite (xn )
converge vers un point x dans l’espace E si, et seulement si, kxn xk ! 0. Une
boule ouverte de rayon r > 0 centrée en x0 est dé…nie par :
Dr (x0 ) = fx= kx
x0 k < rg
(15)
et un ensemble O est dit ouvert si, et seulement si, pour tout x 2 O il existe
r > 0 tel que Dr (x0 )
O: Un ensemble F est dit fermé si pour toute suite
xn 2 F convergente vers x 2 E on a x 2 F:
Lemme 3.1 Si O est un ensemble ouvert alors l’ensemble F = Oc est fermé.
Réciproquement, si F est un ensemble fermé alors l’ensemble O = F c est ouvert.
Preuve. Soit xn 2 F et xn ! x 2 E. Si x 2 O alors pour tout r > 0 et n assez
grand, dist (xn ; x) < r ce qui implique que pour n assez grand xn 2 O et non
dans F.
Pour l’inverse, si x 2 F c il existe > 0 telque D (x) O: Sinon pour toute
suite décroissante vers zéro n > 0 il existe xn 2 F et dist (xn ; x) < n telque
xn ! x c’est à dire x 2 F:
Notons aussi que la réunion d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert et
l’intersection d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
Discutons maintenant quelques idées géométriques. Si deux points x et y
sont données alors l’ensemble f x + (1
y)g pour 0
1 est le segment
joignant ces deux points. Nous appelons aussi cet ensemble intervalle et nous
ecrirons I [x; y].
Exercice 6 Montrer que si z 2 I [x; y] alors
kx
yk = kx
zk + kz
yk
c’est à dire que l’inégalité triangulaire devient égalité.
Dé…nition 3.1 Un sous ensemble M d’un espace vectoriel E est dit convexe
si, et seulement si, pour tous points x; y 2 M; l’intervalle I [x; y] est contenu
dans M .
Il est facile de voir (exercice) que si (M ) est une famille d’ensembles convexes alors l’intersection \ M est aussi un ensemble convexe. Nous observons
ici que si E est un espace vectoriel normé, l’ensemble
D (E) = fx= kxk
7
1g ;
(16)
dit boule unité de l’espace E, est un ensemble convexe et symétrique par rapport
à l’origine.
4
Espace Quotient Normé
Lemme 4.1 Si X0 ,! X, et X0 est un sous espace fermé alors X=X0 est un
espace normé et pour [x] 2 X=X0 sa norme est donnée par
k[x]k = inf kx
y2X0
yk :
(17)
Preuve. Si k[x]k = 0 alors il existe une suite xn 2 X0 telle que xn ! x: Ainsi
x 2 X0 car X0 est fermé et donc [x] = 0.
L’homogéniété de k[x]k est evidente car X0 est un sous espace linéaire et
en…n, nous montrons l’inégalité triangulaire.
Pour tout > 0; nous prenons z1 ; z2 2 X0 tels que
kx + z1 k
k[x]k +
kx + z2 k
k[y]k + :
et
Il s’en suit que pour chaque
> 0 nous avons
k[x] + [y]k =
inf kx + y + zk
z2X0
kx + y + z1 + z2 k
kx + z1 k + kx + z2 k
k[x]k + k[y]k + 2 ;
ce qui achève la preuve.
Une notion faible que celle de la norme est la notion de semi-norme.
p (x) est une semi-norme sur un espace vectoriel E si elle satisfait les propriétés d’une norme sauf qu’elle peut être nulle pour des vecteurs non nuls.
Donc, une semi-norme p : E ! R+ satisfait :
1. p (0) = 0;
2. p ( x) = j j p (x) ;
3. p (x + y)
p (x) + p (y)
pour tout x; y 2 E et tout 2 R (ou C) :
Il est utile de noter que si p est une semi-norme et si E0 est son noyau, i.e.,
E0 = ker p = fx 2 E : p (x) = 0g, alors
1. E0 est un sous espace de E ( d’aprés l’inégalité triangulaire ) et
2. p dé…nie une norme sur le quotient E=E0 :
8
En e¤et, 1. est vrai d’aprés l’inégalité triangulaire et 2. est vrai puisque
p (x + y) est indépendante de y 2 E0 :
p (x + y1 )
p (x + y2 ) + p (y2
y1 ) = p (x + y2 )
et de même
p (x + y2 )
p (x + y1 ) + p (y1
y2 ) = p (x + y1 ) ; (y1 ; y2 2 E0 ) :
Par conséquent, p peut être regardé comme fonction sur les classes d’équivalence
: p ([x]) = p (x) et elle ne dépent pas du représentant de la classe. Ainsi une
seminorme p (x) sur E dé…nie d’une manière naturelle une norme sur l’espace
quotient E=E0 : Ceci est un point crucial pour l’exemple suivant d’espace normé.
Un analogue aux espaces lp est donné par les espaces de fonctions avec des
p-normes …nies. Nous dé…nissons l’espace des fonctions continues Cp [a; b] de la
façon suivante :
!1=p
Z
b
f 2 Cp [a; b] si kf kp =
a
p
jf (x)j dx
< 1:
Notons que la quantité kf kp est une seminorme et donc nous pouvons passé
à l’espace quotient si on veut avoir une norme. Donc nous passons à l’espace
quotient comme il a été décrit çi dessus (quotient relativement à l’ensemble des
zéros de k:kp ). Dans cet espace nous observons le problème suivant. Il est facile
de montrer qu’il existe des suites de fonctions continues fn et une fonction non
continye f telle que la quantité kfn f kp converge vers zéro. Donc fn est à
l’intérieur de l’espace mais elle converge vers une fonction qui se trouve en dehors
de l’espace des fonctions continues. Ce type d’espace est dit "incomplet". Dans
la section suivante, nous abordons les espaces complets.
5
Complétion
Pour approcher l’image générale nous avons besoin de la dé…nition suivante.
Dé…nition 5.1 Un espace normé X est dit complet si, et seulement si, toute
suite de Cauchy (xn ) dans X converge vers un élément x de l’espace X.
Exemple 7
1. Il est bien connu du cours d’analyse que si (xn ) est une suite
de Cauchy dans l’espace C [a; b] muni de la norme de la borne supérieure
(i.e., pour tout " > 0; il existe N ( ) 2 N telle que supt2[a;b] jxn (t) xm (t)j <
1 pour tout n; m plus grand que N ( ) et pour tout t 2 [a; b] alors il existe
une fonction continue x (t) telle que
sup jxn (t)
t2[a;b]
x (t)j ! 0
quand n tend vers l’in…ni. Donc l’espace C [a; b] muni de la norm kxk1 =
supt2[a;b] jx (t)j est un espace normé complet.
9
2. L’espace l2 est un espace normé complet, en e¤ et si xn = (xnm )m est une
suite de Cauchy avec la norme k k2 alors toute suite (xnm )m est une suite
de Cauchy et par complétude de R ou de C il existe la limite de (xnm )
quand n tend vers l’in…ni. Soit x = (xm )m alors
k
X
1
2
jxm j = lim
n!1
k
X
1
2
2
jxnm j
sup kxn k2 < M < 1
pour un certain M > 0. Donc x 2 l2 : Finalement xn xk 2
" pour
n; k assez grands et en passant à la limite quand k tend vers l’in…ni, nous
obtenons kxn xk2 "; par conséquent xn ! x:
Notons que la même démonstration (avec les modi…cations évidentes) est
aussi valable.
3. L’espace c0 des suites convergentes vers zéro, muni de la norme de la borne
supérieure est complet (laisser comme exercice).
Pour les espaces normés non complets il existe une procédure pour "remplir
le vide" et les rendrent complets.
Théorème 8 Soit E un espace linéaire normé. Il existe un espace normé comb et un opérateur linéaire T : E ! E
b tel que
plet E
(i) kT xk = kxk (isométrie );
b (i.e., T E = E).
b
(ii) Im T = (= T E) est un ensemble dense dans E
5.1
Construction du complété
Soit E l’espace linéaire de toutes les suites de Cauchy
1
X = (xi 2 E)i=1
(18)
dans E. Introduisons une seminorme dans l’espace E : p (X) = limi!1 kxi k ;
où X = (xi ) est une suite de Cauchy. Notons que la limite existe toujours. [ En
e¤et, jkxn k kxm kj kxn xm k ! 0 quand n m ! 1; par dé…nition des
suites de Cauchy; alors la suite de nombres fkxn kg est une suite de Cauchy et
donc convergente.]
Dé…nissons N = fX : p (X) = 0g ; alors N est le sous espace de toutes les
suites qui convergent vers 0. Alors p dé…nie bien une norme sur l’espace quotient
b = E=N (comme indiqué çi dessus) par la même formule p (X) = limi!1 kxi k
E
( pour tout représentant X d’une classe d’équivalence
= X + N 2 E=N .
b
L’opérateur T : E ! E est dé…ni par T x = (= X + N ) où X est la suite
constante X = (x; x; :::; x; :::)). (Une suite constante est, bien sûr, une suite de
Cauchy et p (X) = kxk :)
Maintenant, pour montrer le théorème, nous devons montrer que
10
b
(a) T E est dense dans E;
b est un espace complet.
(b) E
Preuve.
(a) Pour tout
> 0 et X = (xn ), il existe N 2 N tel que
kxn
xm k <
pour n > m
N:
Dé…nissons Yn 2 E; Yn = (xn ; xn ; :::; xn ; :::) une suite constante; i.e.,
T xn = Yn : Alors la distance de X à Yn est p (X Yn )
. Donc tout X
est approché par des éléments de T E.
m ! 1 (i.e. X (n) est une suite
(b) Soit p X (n) X (m) ! 0 quand n
b = E=N ).
de Cauchy dans E et représente une suite de Cauchy dans E
(n)
Prenons n & 0 et xn 2 E tel que p X
T xn < n . Alors fxn g est
une suite de Cauchy dans E: En e¤et,
kxn
xm k = p (T xn
T xm )
p T xn
X (n) +p X (n)
X (m) +p X (m)
quand n
m ! 1. Alors X (0) = (xn ) est une suite de Cauchy (donc
appartient à E) et X (0) = lim X (n) : En e¤et,
p X (n)
X (0)
p (T xn
T xn ) + p T xn
X (0) ! 0:
(Comparer cela avec la construction des nombres irrationnels à partir des
nombres rationnels.)
La complétion de C(p) [a; b] est appelé Lp [a; b]. Donc un élément dans
Lp [a; b] est une classe de fonctions, mais nous choisissons toujours un représentant de cette classe et nous le traitons comme un élément de l’espace Lp [a; b].
Le plus important espace pour nous est L2 [a; b].
References
[1] Kolmogorov & Fomine Eléments de la théorie des fonctions et de l’analyse
fonctionnelle, Ellipses, 1999.
[2] John B. Conway, Acourse in functional analysis, second edition, Springer
1990.
[3] Walter Rudin, Functional analysis, second edition, McGrawHill, 1991.
11
T xm ! 0