Sur une certaine loi de force comprenant comme cas

NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J. HAAG
Sur une certaine loi de force comprenant
comme cas particulier la loi de
gravitation einsteinienne
Nouvelles annales de mathématiques 5esérie, tome 2
(1923), p. 61-73
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[R7b]
SIK UNE CENTAINE LOI ItE FORCE COMPRENANT
COMME CAS PARTICULIER LA LOI DE GRAVITA
TION EINSTEINIENNE ;
PAR J. HAAG.
1. Soil un point M, de masse i, soumis aux deux
forces suivantes :
i° Une force centrale
F!= F -+- e«(Ai-4- A, cos*/);
2° Une force tangente à la trajectoire
F2 = A31>2 cosi.
Dans ces formules, F, A,, A2, A3 sont des fonctions
du rayon vecteur r = OM ; v est la vitesse et i l'angle
de cette vitesse avec OM.
Nous appellerons forces perturbatrices les forces
autres que F.
On peut déterminer le mouvement dupointMpar
des quadratures. D'abord, sa trajectoire est dans un
plan passant par O, car le plan osculateur à cette ligne
passe constamment par ce point fixe. Prenons, dans ce
plan, un système de coordonnées polaires, de pôle O.
Soient o- le moment cinétique par rapport à O et p la dis-

( 62 )
tance du pôle à la tangente à la trajectoire. On a
a- = v p.
D'autre part,
d'où
• = -1 dt = A3P cos idt = X^dr,
logff = ƒ A3dr.
Pour la commodité de l'écriture, posons
r
K . . .
^A
(1) Jkzdr = A, A3=— •
Nous avons
(2) cr = r- — = A:eA (A: = const.),
équation qui généralise Vintégrale des aires de la
théorie des forces centrales.
Appliquons maintenant le théorème des forces vives.
Nous avons
dl ~) = ¥x dr -4- Ftv dt =
ou, en remarquant que
équation différentielle linéaire du premier ordre en p2,
qui nous donnerait, par deux quadratures, v en fonc-
tion de /•. On aurait ensuite, par la méthode classique
des forces centrales, 9 et t par deux nouvelles quadra-
tures.
2. Cherchons Y équation de la trajectoire.

(63)
Posons r = — et calculons la quantité
(4)
on a
Portons dans (3) :
dv dk\
— -+- 2 a? -r-
a2 A:2 e2A ( +
2
ou, en remarquant que
dk dk
= _
du dr
posons
(5) 2 ƒ""(At-h Ai) dr = B;
notre équation devient
a\ dx dB F
(6) iF-p = 2 A2 — 2 T^—T e~2A,
dont l'intégrale générale est
(7) x=eAh-+-<i CU-*ki—
Vjant x en fonction de w, l'équation (4) donnera 8 par
une quadrature. On peut aussi, en dérivant par rapport
à 0, former l'équation du second ordre :
Supposons que Ton connaisse la trajectoire et, par

• ( 64 )
conséquent, x en fonction de u. On peut alors tirer de
l'équation (6)
[
i dB i dx~\
x du a du]
ou
(9) F=.t's'
Ceci peut être considéré comme une généralisation
de la formule de Binet. Elle nous donne la force
centrale F, connaissant la trajectoire et les forces
perturbatrices, lesquelles peuvent être choisies arbi-
trairement. On voit qu'il y a une infinité de lois de
force, de la nature présentement étudiée, qui permet-
tent de réaliser une; trajectoire quelconque donnée à
l'avance.
Dans le cas particulier où les forces perturbatrices
sont nulles, la formule (9) se réduit à
r ., ,
/ d*u \
ce qui est la classique formule de Binet.
3. Cherchons les lois de force qui donnent lieu
à la première loi de Kepler. Supposons qu'une tra-
jectoire particulière soit une ellipse, de foyer O,
définie par l'équation
. . 1 -+- e cosO
(.0) » = —-—
On a, dans cette hypothèse,
. . 1 — e2 in
o.) * = —^- +
7
et, en portant dans (9),