Gilbert Primet September 10, 2014

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Gilbert Primet
September 10, 2014
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Espaces probabilisés nis
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
2
Tirage de n boules dans une urne avec remise.
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
2
Tirage de n boules dans une urne avec remise.
3
Tirage de n boules dans une urne sans remise.
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
2
Tirage de n boules dans une urne avec remise.
3
Tirage de n boules dans une urne sans remise.
4
Suite de n pile ou face.
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
2
Tirage de n boules dans une urne avec remise.
3
Tirage de n boules dans une urne sans remise.
4
Suite de n pile ou face.
5
Suite infinie de pile ou face.
Gilbert Primet
I.1 Expérience aléatoire
On représente une expérience aléatoire par l’ensemble
de ses issues possibles, appelé univers associé à
l’expérience.
exemples
1
Tirage d’une boule dans une urne avec remise.
2
Tirage de n boules dans une urne avec remise.
3
Tirage de n boules dans une urne sans remise.
4
Suite de n pile ou face.
5
Suite infinie de pile ou face.
6
Choix d’un point au hasard dans un carré
Gilbert Primet
I.2 Vocabulaire associé
Soit une expérience aléatoire d’univers U .
1
Un élément ω de l’univers U est appelé un
événement élémentaire.
Gilbert Primet
I.2 Vocabulaire associé
Soit une expérience aléatoire d’univers U .
1
Un élément ω de l’univers U est appelé un
événement élémentaire.
2
Une partie de l’univers (ensemble de résultats
possibles) est appelée un événement.
Gilbert Primet
I.2 Vocabulaire associé
Soit une expérience aléatoire d’univers U .
1
Un élément ω de l’univers U est appelé un
événement élémentaire.
2
Une partie de l’univers (ensemble de résultats
possibles) est appelée un événement.
3
; est l’événement impossible, U est l’événement
certain.
Gilbert Primet
I.2 Vocabulaire associé
Soit une expérience aléatoire d’univers U .
1
Un élément ω de l’univers U est appelé un
événement élémentaire.
2
Une partie de l’univers (ensemble de résultats
possibles) est appelée un événement.
3
; est l’événement impossible, U est l’événement
certain.
4
Un événement est souvent défini par une propriété
caractéristique de ses éléments.
Gilbert Primet
I.3 Opérations sur les événements.
1
Événement A etB : est réalisé si et seulement si A et
B le sont : c’est l’intersection de A et B
Gilbert Primet
I.3 Opérations sur les événements.
1
2
Événement A etB : est réalisé si et seulement si A et
B le sont : c’est l’intersection de A et B
Événement A ouB : est réalisé si et seulement si A ou
B l’est : c’est la réunion de A et B . Attention : le "ou"
est inclusif.
Gilbert Primet
I.3 Opérations sur les événements.
1
2
3
Événement A etB : est réalisé si et seulement si A et
B le sont : c’est l’intersection de A et B
Événement A ouB : est réalisé si et seulement si A ou
B l’est : c’est la réunion de A et B . Attention : le "ou"
est inclusif.
Événement contraire :non A. Est réalisé si et
seulement si A n’est pas réalisé. C’est le
complémentaire de A
Gilbert Primet
I.3 Opérations sur les événements.
1
2
3
4
Événement A etB : est réalisé si et seulement si A et
B le sont : c’est l’intersection de A et B
Événement A ouB : est réalisé si et seulement si A ou
B l’est : c’est la réunion de A et B . Attention : le "ou"
est inclusif.
Événement contraire :non A. Est réalisé si et
seulement si A n’est pas réalisé. C’est le
complémentaire de A
Événements incompatibles A et B : ne peuvent être
réalisés simultanément. Leur intersection est donc
vide.
Gilbert Primet
I.4. Système complet d’événements
Definition
On dit qu’une famille A1 , · · · , An d’événemets d’un univers
U est un système complet d’événements lorsque
A1 , · · · , An sont deux à deux incompatibles et que leur
réunion est égale à U , autrement dit :
∀(i , j ) ∈ [|1, n |]2 i , j ⇒ Ai ∩ Aj = ;
n
[
Ai = U
i =1
Ceci signifie donc qu’à l’issue de l’expérience, un et un
seul des événements Ai est réalisé.
Gilbert Primet
(1)
(2)
II.Probabilité sur un univers fini
Definition (II.1 Probabilité)
Une probabilité sur un univers fini Ω est une application P
de P (Omega) dans [0, 1] vérifiant :
P (Ω) = 1
∀(A , B ) ∈ P (Ω) A ∩ B = ; ⇒ P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B )
2
Example
Equiprobabilité On pose pour tout A ⊂ Ω :
P (A ) =
Gilbert Primet
card (A )
card (Ω)
(3)
(4)
Definition (Espace probabilisé fini)
On appelle espace probabilisé fini un couple (Ω, p) où Ω
est un ensemble fini et p une probabilité sur Ω.
Theorem
Une probabilité p sur un univers fini Ω = {ω1 , · · · , ωn } est
entièrement déterminée par la donnée des réels
pi = p(ωi ), avec les conditions
∀i ∈ [|1, n |]p(ωi ) Ê 0
n
X
pi = 1
i =1
Gilbert Primet
(5)
(6)
Démonstration.
Si une telle probabilité p existe, alors pour tout A ⊂ Ω,
Ã
p(A ) = p
!
[
ω∈A
{ω} =
X
p({ω})
ω∈A
Réciproquement, cette formule définit une probabilité sur
Ω
Gilbert Primet
II.2 Propriétés
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini. Alors :
Ensemble vide p(;) = 0
Une nouvelle notion va nous permettre d’attribuer les
probabilités.
Gilbert Primet
II.2 Propriétés
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini. Alors :
Ensemble vide p(;) = 0
Réunion ∀(A , B ) ∈ P (E )2 p(A ∪ B ) =
p(A ) + p(B ) − p(A ∩ B )
Une nouvelle notion va nous permettre d’attribuer les
probabilités.
Gilbert Primet
II.2 Propriétés
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini. Alors :
Ensemble vide p(;) = 0
Réunion ∀(A , B ) ∈ P (E )2 p(A ∪ B ) =
p(A ) + p(B ) − p(A ∩ B )
Complémentaire ∀A ⊂ E p (ÙE A ) = 1 − p(A )
Une nouvelle notion va nous permettre d’attribuer les
probabilités.
Gilbert Primet
II.2 Propriétés
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé fini. Alors :
Ensemble vide p(;) = 0
Réunion ∀(A , B ) ∈ P (E )2 p(A ∪ B ) =
p(A ) + p(B ) − p(A ∩ B )
Complémentaire ∀A ⊂ E p (ÙE A ) = 1 − p(A )
Croissance ∀(A , B ) ∈ P (E )2 A ⊂ B ⇒ p(A ) É p(B )
Une nouvelle notion va nous permettre d’attribuer les
probabilités.
Gilbert Primet
II.3 Probabilité conditionnelle
Definition
Soit (Ω, p) un espace probabilisé et A ⊂ Ω tel que p(A ) , 0.
Pour tout événement B ⊂ Ω, on pose :
P (B |A ) =
P (A ∩ B )
P (A )
P (B |A ) est la probabilité conditionnelle de B sachant A .
Remarque :
1
On peut justifier de façon intuitive cette notion à
l’aide des fréquences d’apparition. (Dans le cas
card (A ∩B )
d’équiprobabilité P (A |B ) = card (B ) )
2
La situation permet parfois de connaître les probabilités
conditionnelles.
Gilbert Primet
Theorem (Formule des probabilités composées)
Soit (Ω, p) un espace probabilisé et A ⊂ Ω tel que p(A ) , 0.
Pour tout événement B ⊂ Ω : P (A ∩ B ) = P (A )P (B |A )
On peut généraliser ce théorème par : Si A, · · · , An sont
des événements d’un espace probabilisé,
alors :P (A1 ∩ A2 · · · ∩ An )
=P(A1 |A2 ∩ · · · ∩ An )P (A2 |A3 ∩ · · · ∩ An ) · · · ∩ An ) · · · P (An ).
sous réserve que P (A2 ∩ · · · An ) , 0.
Gilbert Primet
Formule des probabilités totales.
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé et (A1 , · · · , An ) un
système complet d’événements de probabilités non
nulles. Alors, pour tout événement A :
P (A ) = P (A |A1 )P (A1 ) + · · · + P (A |An )P (An )
Démonstration.
A = A ∩ Ω = A ∩ (A1 ∪ A2 · · · ∪ An ) Comme ∩ est distributive
par rapport à ∪ : A = (A ∩ A1 ) ∪ · · · (A ∪ An ) Cette réunion
est disjointe, donc :
P (A ) =
n
X
P (A ∩ Ai ) =
i =1
n
X
i =1
Gilbert Primet
P (A |Ai )P (Ai )
Formule de Bayes
Theorem
Soit (Ω, p) un espace probabilisé et A et B des
événements de probabilités non nulles. Alors :
P (B |A ) =
P (A |B )P (B )
P (A )
Theorem
Soit (A1 , , An ) un système complet d’événements de
probabilités non nulles : Alors
P (A |Aj )P (Aj )
i =1 P (A |Ai )P (Ai )
∀j ∈ [|1, n |] P (Aj |A ) = Pn
Cette formule est appelée formule de probabilité des
causes.
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II.4 Événements indépendants
Definition
Soit (Ω, p) un espace probabilisé.
1
On dit que des événements A et B de Ω sont
indépendants lorsque P (A ∩ B ) = P (A )P (B ).
2
On dit que des événements A1 , · · · , An sont
indépendants lorsque pour toute sous famille non
vide J de [|1, n |] :
P (∩j ∈J Aj ) =
Y
P (Aj )
j ∈J
Remarques :
1
Lien avec la probabilité conditionnelle
2
L’indépendance est souvent posée comme
hypothèse.
Gilbert Primet