CORRIGÉ Visions 1 à 4

CORRIGÉ
9001, boul. Louis-H.-La Fontaine, Anjou (Québec) Canada H1J 2C5
Téléphone: 514-351-6010 • Télécopieur: 514-351-3534
PR VE
O RS
VI IO
SO N
IR
E
Visions 1 à 4
table des matières
VISION 1
Les fonctions
SAÉ 1 : Les vitesses automatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SAÉ 2 : L’offre et la demande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Révision 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 1.1 : Les opérations sur les fonctions et les paramètres
Section 1.2 : La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 1.3 : La fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banque de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VISION 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
3
5
11
16
21
21
22
26
La fonction polynomiale de degré 2 et la fonction racine carrée
SAÉ 3 : L’entraînement en altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SAÉ 4 : Maximiser ses performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Révision 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 2.1 : La fonction polynomiale de degré 2 . . . . . . . . . . . .
Section 2.2 : La résolution d’équations et d’inéquations du second
Section 2.3 : La fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banque de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VISION 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
degré
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
30
31
32
36
40
44
44
44
49
Les relations métriques dans le cercle et les relations trigonométriques
SAÉ 5 : La conception d’un système d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SAÉ 6 : La machinerie lourde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Révision 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3.1 : Les relations mettant à profit des arcs, des angles et un cercle
Section 3.2 : Les relations mettant à profit un point et un cercle . . . . . . . .
Section 3.3 : La loi des sinus et la loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banque de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
53
54
56
60
62
64
64
64
66
VISION 4 Les fonctions exponentielles et logarithmiques
SAÉ 7 : Les infections transmises sexuellement . . . . . . . . . . . .
SAÉ 8 : La fabrication du yogourt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Révision 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4.1 : La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4.2 : La fonction logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4.3 : Les situations exponentielles et logarithmiques
Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banque de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
70
71
73
77
82
85
85
86
90
3
sAÉ
5
Les relations métriques dans le cercle
et les relations trigonométriques
La conception d’un système d’entraînement
Page 221
Voici un exemple de devis technique qui peut être produit par les élèves :
• Fixer les mesures des segments DE, FG et HI.
m DE 35 cm, m FG 30 cm et m HI 25 cm.
• Déterminer les mesures des segments O1O3, O1O2 et O2O3.
m O1O3 38 cm, m O1O2 48 cm et m O2O3 46 cm.
• Déterminer la mesure des angles du triangle formé par les centres O1, O2 et O3.
Pour l’angle DO1I :
462 382 482 2 38 48 cos x ° ⇒ x 63,43°, où x représente la m ∠ DO1I.
m ∠ DO1I 63,43°
Pour l’angle EO2F :
46
38
sin 63,43° ⇒ x 47,63°, où x représente la m ∠ EO2F.
sin x
m ∠ EO2F 47,63°
Pour l’angle GO3H :
180° 63,43° 47,63° 68,94°
m ∠ GO3H 68,94°
K
• Calculer la longueur de la courroie.
En reportant le segment O1O2 en J, on forme un triangle rectangle
en K, car la courroie est tangente en ce point.
À l’aide de la relation de Pythagore : m KJ 47,91 cm
Déterminer la mesure de l’angle 1 , qui correspond à l’angle EO2K.
m ∠ EO2K 86,42°
Déterminer la mesure de l’angle DO1J.
m ∠ DO1J 180° 86,42° 93,58°
En reportant O1O3 en P, on forme un triangle rectangle en N,
car la courroie est tangente en ce point.
À l’aide de la relation de Pythagore : m PN 37,88 cm
Déterminer la mesure de l’angle 2 , qui correspond à l’angle HO3N.
m ∠ HO3N 85,47°
Déterminer la mesure de l’angle IO1P.
m ∠ IO1P 180° 85,47° 94,53°
m O2O3 m LM, car les deux segments sont parallèles.
Les angles GO3M et FO2L mesurent donc 90°.
J
E
D
O1
• Déterminer la mesure, en degrés, de chacun des arcs sur lesquels la courroie passe.
m JP 360° 63,43° 93,58° 94,53° 108,46°
m KL 360° 47,63° 86,42° 90° 135,95°
m MN 360° 68,94° 85,47° 90o 115,59°
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
1
O2
I
D
O1
I
P
H
2
O3
N
O2
L
F
G
O3
M
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
51
• Déterminer la mesure, en centimètres, de chacun des arcs trouvés précédemment.
JP
108,46°
m JP 360° 2 π 5 ⇒ m JP 9,46 cm
KL
135,95°
m KL 360° 2 π 8 ⇒ m KL 18,98 cm
MN
115,59°
m MN 360° 2 π 8 ⇒ m MN 16,14 cm
La longueur totale de la courroie est donc environ de 176,37 cm.
• Déterminer la mesure des angles A, B et C, qui sont respectivement des angles extérieurs aux cercles de centre O1, O2 et O3.
251,54° 108,46°
71,54°
2
224,05° 135,95°
m∠B
44,05°
2
244,41° 115,59°
m∠C
64,41°
2
m∠A
Schéma pouvant être produit
A
B
K
47,91 cm
44,05°
71,54° J
35 cm
D
9,46 cm
P
E
63,43°
O1
18,98 cm
47,63° O2
I
L
25 cm
30 cm
G
H
37,88 cm
F
68,94°
46 cm
O3
16,14 cm
M
N
64,41°
C
sAÉ
6
La machinerie lourde
Page 222
Voici un exemple de démarche qui permet aux élèves de répondre à la question :
• Déterminer la portée de la pelle.
Pour déterminer la portée de la pelle, il faut déterminer la mesure de CD et la mesure de DE .
Tracer un schéma comme celui ci-contre afin de bien identifier
les mesures à déterminer.
C
B
A
D
2m
E
52
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
• À l’aide de la loi des cosinus, déterminer la mesure du segment AC.
(m AC )2 32 42 2 3 4 cos 140°
m AC 6,59 m
• À l’aide de la loi des sinus, déterminer la mesure de l’angle BCA.
6,59
3
sin 140° ⇒ x 17,02°, où x représente la m ∠ BCA.
sin x
L’angle ACD mesure donc : 85° 17,02° 67,98°
• À l’aide de la loi des sinus, déterminer la mesure de l’angle ADC.
6,59
6,4
sin x ⇒ x 72,57°, où x représente la m ∠ ADC.
sin 67,98°
L’angle ADE mesure environ 62,43°.
L’angle CAD mesure donc environ 39,45°.
• À l’aide de la loi des sinus, déterminer la mesure du segment CD.
x
6,59
sin 72,57° ⇒ x 4,38 m, où x représente la m CD.
sin 39,45°
m CD 4,38 m
• À l’aide de la loi des sinus, déterminer la mesure de l’angle AED.
5,8
6,4
sin 62,43° ⇒ x 78°, où x représente la m ∠ AED.
sin x
m ∠ AED 78° ou 102°
L’angle DAE mesure environ 15,57°.
• À l’aide de la loi des sinus, déterminer la mesure du segment DE.
x
5,8
sin 15,57° ⇒ x 1,76 m, où x représente la m DE.
sin 62,43°
m DE 1,76 m
La portée maximale de la pelle correspond au moment où les segments AC, CD et DE forment une ligne droite. La somme
de ces mesures représente donc la portée maximale, qui est environ de 12,73 m.
• Déterminer la profondeur maximale à laquelle la pelle peut creuser.
Étant donné que le segment AB forme avec l’horizontale un angle de 30°, déterminer la mesure de l’angle BAC afin de
déterminer la mesure de l’angle formé par le segment AC avec l’horizontale.
m ∠ BAC 180° 140° 17,02°
m ∠ BAC 22,98°
Le segment AC forme un angle d’environ 52,98° avec l’horizontale.
• Déterminer la profondeur du point C.
x
sin 52,98° 6,59 ⇒ x 5,26 m, où x représente la profondeur du point C.
La profondeur maximale est de : 5,26 m 2 m 4,38 m 1,76 m 9,4 m
Le représentant a tort. Il affirme que la portée maximale de la pelle est de 12 m, alors que la portée est environ de
12,73 m. De plus, il affirme que la profondeur à laquelle la pelle peut creuser est de 10 m, alors que cette pelle ne peut
creuser qu’à une profondeur d’environ 9,4 m.
RÉVISION
3
Page 154
Réactivation 1
a. 1) Le rayon d’un grand cercle est de 13,5 cm.
44
b. 1) La longueur de AB sur l’anneau bleu est de 9 π cm.
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
2) L’aire d’un anneau est de 61,25π cm2.
2) La longueur de BC est de 0,75π cm.
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
53
c. DE sur l’anneau noir mesure 56°.
d. Les angles au centre FO2G et FO5G sont isométriques.
Page 155
Réactivation 2
a. 1)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ FAB ∠ EAC
Angle commun
m AF 0,5m AE
Le point F est le milieu du segment AE.
m AB 0,5m AC
Le point B est le milieu du segment AC.
∆ ABF ∆ ACE
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
2)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ BCD ∠ ACE
Angle commun
m BC 0,5m AC
Le point B est le milieu du segment AC.
m CD 0,5m CE
Le point D est le milieu du segment EC.
∆ BCD ∆ ACE
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
3)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ FED ∠ AEC
Angle commun
m EF 0,5m EA
Le point F est le milieu du segment AE.
m ED 0,5m EC
Le point D est le milieu du segment EC.
∆ FDE ∆ ACE
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables (CAC).
b. 1) Les angles homologues sont isométriques.
2) Les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.
c. 0,5 ou 2.
d. Puisque les triangles ABF, FDE et BCD sont semblables au triangle ACE, ces trois triangles sont nécessairement semblables
entre eux. Leurs angles homologues sont donc isométriques.
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
AF FE
Le point F est le milieu du segment AE.
∆ ABF ∆ FDE
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
AB BC
Le point B est le milieu du segment AC.
∆ ABF ∆ BCD
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
ED DC
Le point D est le milieu du segment EC.
∆ FDE ∆ BCD
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
e. 1) Les angles homologues sont isométriques.
2) Les côtés homologues sont isométriques.
f. 1) m EC
3) m BC
2) m AE
g. 10 cm
54
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Page 159
Mise à jour
1. a) 6,8π cm
b) 3,6π cm
2. a) 80°
b) 320°
91π
3. a) 30 cm
116π
b) 45 cm
133π
c) 90 cm
c) 50π cm
c) 120°
1331
d) 90 cm
e) 15,27 cm
f ) 6,25 cm
Page 160
Mise à jour (suite)
4. a) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
b) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont
semblables (CAC).
c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC).
d) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
5. a) x 2,8 cm et y 2,4 cm.
c) x 4 cm et y 1,25 cm.
b) x 3,03 cm et y 2,78 cm.
d) x 3,27 cm et y 4,1 cm.
Page 161
Mise à jour (suite)
6. a) 1)
2)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ ADE ∠ CBF
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠ DEA ∠ BFC
Angle droit
∠ DAE ∠ BCF
m ∠ DAE 90° m ∠ ADE
m ∠ BCF 90° m ∠ CBF et m ∠ ADE m ∠ CBF
AD BC
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
∆ ADE ∆ BCF
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ ABE ∠ CDF
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠ AEB ∠ CFD
Angle droit
∠ DCF ∠ BAE
m ∠ DCF 90° m ∠ CDF
m ∠ BAE 90° m ∠ ABE et m ∠ ABE m ∠ CDF
AB CD
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
∆ ABE ∆ CDF
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
b) Non, car la diagonale d’un parallélogramme n’est pas la bissectrice des angles qu’elle partage. Donc, ∠ ADE ∠ CDF.
7. a) 1) 120°
b)
AFFIRMATION
2) 60°
3) 120°
JUSTIFICATION
∠ DOC ∠ AOB
Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
∠ OAB ∠ OCD
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
OC OA
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
∆ ABO ∆ CDO
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques
sont isométriques (ACA).
8. Non, car m AB 1,31 m et le diamètre de la trappe d’aération est de 1, 36 m.
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
55
Page 162
Mise à jour (suite)
35π
9. a) L’arc intercepté mesure 20°.
b) La longueur de l’arc intercepté est de 9 cm.
10. L’aire du carré qui correspond au fond de cette boîte est de 900 cm2.
b) L’aire de l’hélice est environ de 978,33 cm2.
11. a) La mesure d’un des arcs est de 60°.
Page 163
Mise à jour (suite)
12. a)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ ACD ∠ EAB
Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.
∠ ADC ∠ BEA
Angle droit
∆ ADE ∆ CBF
Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
b)
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
∠ EAB ∠ EBC
Les angles EAB et ABE sont complémentaires.
Les angles ABE et EBC sont complémentaires.
Donc, les angles EAB et EBC sont isométriques.
∠ AEB ∠ BEC
Angle droit
∆ ADE ∆ CBF
Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
c) 1) m EB 36 cm, m EC 27 cm et m BC 45 cm.
2) m AB 60 cm, m BE 36 cm et m AE 48 cm.
13. L’altitude de l’hélicoptère est environ de 103,92 m.
14. Les cercles qui ont servi à la conception de cette glissade ont tous un rayon environ de 13,89 m.
15. La longueur de la bordure de ciment est environ de 297,35 m.
section
3.1
Les relations mettant à profit des arcs, des angles et un cercle
Page 164
Problème
La mesure du rayon du cercle qui supporte l’arc BC est environ de 1,96 m.
Activité 1
4
a. 1) 3
Page 165
3
2) –
4
b. Les pentes sont opposées et inverses.
c. Si une droite est tangente à un cercle, alors elle est perpendiculaire à l’extrémité du rayon au point de tangence.
Page 166
Activité 1 (suite)
d.
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
OE OE
Côté commun
OB OD
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
BE DE
Par la relation de Pythagore :
OB 2 OE 2 BE 2 et OD 2 OE 2 DE2.
Puisque OB OD , alors BE DE
e. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
56
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
f. 1) Les angles BOE et DOE sont isométriques, alors les arcs BC et CD sont isométriques.
2) Puisque AC est un diamètre, m ABC m ADC 180° ;
Puisque m ∠ AOB 180° m ∠ BOE et m ∠ AOD 180° m ∠ DOE et que m ∠ BOE m ∠ DOE,
les angles AOB et AOD sont isométriques. Les arcs BC et CD sont isométriques.
g. 1) Les deux parties de la corde sont égales.
3) Les deux parties de l’arc sont égales.
2) Les deux parties de l’arc sont égales.
h. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
i. Les hauteurs homologues de deux triangles isométriques sont isométriques.
j. La distance qui sépare le centre d’un cercle de chacune des cordes isométriques de ce cercle est toujours la même.
k. Plusieurs réponses possibles. Exemple :
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
OE OE
Côté commun
OA OB
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
AE EB
Par la relation de Pythagore :
OA 2 OE 2 AE 2 et OB2 OE 2 EB 2.
Puisque OA OB, alors AE EB .
∆ AEO ∆ BEO
Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
OF OF
Côté commun
OC OD
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
DF CF
Par la relation de Pythagore :
OC2 OF2 CF 2 et OD2 OF2 DF2.
Puisque OC OD, alors DF CF .
∆ DOF ∆ COF
Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
OA OB
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
OC OD
Les rayons d’un même cercle sont isométriques.
∠ AOD ∠ BOC
m ∠ AOE ∠ AOD ∠ DOF 180°
m ∠ BOE ∠ BOC ∠ COF 180°
Puisque ∠ AOE ∠ BOE et ∠ DOF ∠ COF, alors ∠ AOD ∠BOC.
∆ AOD ∆ BOC
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques
sont isométriques (CAC).
l. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC).
m. Les côtés homologues de triangles isométriques sont isométriques.
n. La mesure des arcs interceptés par deux droites parallèles sécantes à un cercle est la même.
Page 167
Activité 2
a. 1) L’angle
b. m ∠
1
2
.
67,5°, m ∠
2) L’angle 1 .
2
22,5° et m ∠
3
3) L’angle 3 .
45°.
c. 1) 135°
2) La somme des mesures des arcs BH et DG est le double de celle de l’angle 1 .
d. 1) 45°
2) La mesure de l’arc BC est le double de celle de l’angle 2 .
e. 1) 90°
2) La différence des mesures des arcs DH et EG est le double de celle de l’angle 3 .
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
57
f. 1) La mesure d’un angle dont le sommet est situé sur un cercle correspond à la moitié de la mesure de l’arc compris entre
ses côtés.
2) La mesure d’un angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre correspond à la demi-somme des mesures
des arcs compris entre ses côtés prolongés.
3) La mesure d’un angle dont le sommet est situé à l’extérieur d’un cercle correspond à la demi-différence des mesures des
arcs compris entre ses côtés.
Page 168
Technomath
a. 1) Écran 1 : m AB 72°
Écran 2 : m AB 170°
2) Dans chaque cas, la mesure de l’arc AB correspond au double de la mesure des angles ACB et ADB.
b. La somme des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l’angle ABC.
c. La différence des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l’angle ABC.
d. 1) 84,5°
2) 34°
Page 171
Mise au point 3.1
1. a) x 60°. Deux parallèles sécantes ou tangentes à un cercle interceptent sur le cercle deux arcs isométriques.
b) x 1,5 cm. Dans un même cercle ou dans deux cercles isométriques, deux cordes isométriques sont situées à la même
distance du centre, et réciproquement.
c) x 90°. Toute perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon est tangente au cercle et réciproquement.
d) x 9,2 cm. Tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde et chacun des arcs qu’elle sous-tend en deux
parties isométriques.
e) x 100°. Un angle inscrit a pour mesure la moitié de celle de l’arc compris entre ses côtés.
f ) x 74°. L’angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre a pour mesure la demi-somme des mesures des
arcs compris entre ses côtés prolongés.
2. a) 150°
d) 103°
b) 52,4°
e) 40°
c) 51°
f ) 233°
Page 172
Mise au point 3.1 (suite)
3. a) x 162° et y 64°.
c) x 108° et y 120°.
b) x 110° et y 145°.
d) x 140 o et y 162°.
4. a) 4
b) 3
c) 2
2) Figures 1 , 2 et 3 : 90°
5. a) 1) Figures 1 , 2 et 3 : 180°
b) Un triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre forme l’un des côtés du triangle est un triangle rectangle.
Page 173
Mise au point 3.1 (suite)
6.
C
B
Contre exemple :
A
F
O
E
C
D
DC et AD ne sont pas parallèles.
58
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
7. a) 82 cm
b) 4π cm
c) 90°
d) 42 cm
8. a) 33 cm
b) 0,4 mm
c) 3 dm
d) 4,5 cm
Page 174
Mise au point 3.1 (suite)
b) 4,52 cm
e) 3 cm
c) 10 cm
f ) 5,03 cm
10. a) 1) 90°
b) 1) 1,13 cm
c) 45°
2) 27°
3) 67,5°
2) 0,47 cm
3) 1,45 cm
11. a) 9,71 cm
180 °
57,3°
12. a)
b) 36°
9. a) 3,2 cm
d) 6,37 cm
π
πr
b) 60°
c) 3 cm
Page 175
Mise au point 3.1 (suite)
13. m AB 48° et m CD 12°.
14. x 1,45 m et y 1,5 m.
15. La distance entre les deux segments en pointillé est environ de 4,33 cm.
16. La distance entre le centre O de la douille et le segment qui relie les centres de deux boulons consécutifs est environ
de 4,45 cm.
Page 176
Mise au point 3.1 (suite)
17. a) La distance entre les sommets A et D est environ de 5,97 cm.
b) La distance entre les segments AB et DE est environ de 5,17 cm.
18. La mesure du segment AC est environ de 124 273,89 km.
19. a) La hauteur totale du stade est de 72,5 m.
b) La largeur extérieure du dôme est environ de 86,17 m.
c) La mesure de l’angle BAC est environ de 53,13°.
section
3.2
Les relations mettant à profit un point et un cercle
Page 177
Problème
Le coût total de le la construction des routes de ce parc est environ de 1 297 847,87 $.
Page 178
Activité 1
a. 1) Les segments OA et OB sont des rayons et tous les rayons d’un même cercle sont isométriques.
2) Ce sont des angles droits, car toute perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon est tangente au cercle et réciproquement.
3) Par la relation de Pythagore, (m OP )2 (m OA )2 (m PA )2 et (m OP )2 (m OB )2 (m PB )2. Puisque OA OB,
alors PA PB.
b. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).
c. 1) Le segment PO est la bissectrice de l’angle APB.
2) La mesure des segments tangents l’un à l’autre est la même.
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
59
d. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.
2) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.
e. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
f.
m DE
m AE
m BE
m CE
g. Le produit des mesures des segments de l’une des cordes est égal au produit des mesures des segments de l’autre.
Page 179
Activité 1 (suite)
h. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.
2) Il s’agit d’un angle commun.
i. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
j.
m PA
m PC
m PD
m PB
k. Le produit de la mesure d’un segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au produit de la mesure de l’autre
segment sécant par celle de sa partie extérieure.
l. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques.
2) Il s’agit d’un angle commun.
m. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).
n.
m PC
m PA
m PC
m PB
o. Le produit de la mesure du segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au carré de la mesure du segment
tangent.
Page 180
Technomath
a. 1) Écran 1 : m AE m CE 12,96 cm
Écran 2 : m AE m CE 7,56 cm
2) Écran 1 : m BE m DE 12,96 cm
Écran 2 : m BE m DE 7,56 cm
b. Les produits des mesures des segments de chacune des cordes sont égaux.
c. 1) Écran 3 : m PB m PA 60 cm
Écran 4 : m PB m PA 60 cm
2) Écran 3 : m PC m PD 91 cm
Écran 4 : m PC m PD 91 cm
d. Les produits de la mesure de chacun des segments sécants par celle de leur partie extérieure sont égaux.
e. 1) Oui, la conjecture émise en d s’applique.
2) Oui, la conjecture émise en b s’applique.
Page 183
Mise au point 3.2
1. a) 0,9 cm
bc
2. a) d
c2
d) b b
60
b) 3,13 cm
c) 3,25 cm
d) 7,7 cm
bc
b) 3d
e) a b2 c2
2c
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
e) 4,78 cm
f ) 0,38 cm
c (c d )
c)
b
b
c 2 2cd b 2
f) a b
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Page 184
Mise au point 3.2 (suite)
3. a) 2,33 cm
b) 7 cm
c) 3,98 cm
d) 2,47 cm
e) 4,55 cm
f ) 4,41 cm
4. a) 5 cm
b) 1 et 2 cm.
c) 5 cm
d) x 4 cm et y 6 cm.
e) 4 cm
f ) 3,56 cm
Page 185
Mise au point 3.2 (suite)
b) 98,8°
5. a) 3,22 cm
6. 7,8 cm
7. a) 6 cm
b) 8 cm
8. 1,37 cm
Page 186
Mise au point 3.2 (suite)
9. a) 4,37 cm
c) 50 cm
b) 4,47 cm
10. La mesure de la surface engendrée par la rotation de la lame est de 41π cm2.
11. La longueur du segment AB est environ de 379 913,36 km.
Page 187
Mise au point 3.2 (suite)
12. Le diamètre de la roue est environ de 100,63 cm.
13. Note : Voici la figure à partir de laquelle
les élèves devraient travailler.
A
D
(x
3) dm
59°
(x
2 dm
2) dm
E
B
O
x dm
83°
5,29 dm
C
14. Le point le plus éloigné de la Terre que les astronautes peuvent observer se trouve à environ 1803,05 km.
15. Non, car m HI m IE m FI m ID.
Page 188
Mise au point 3.2 (suite)
16. a) Non.
b) Oui.
17. a) La longueur totale de la lampe de poche est environ de 23,38 cm.
b) La mesure associée à x est environ de 5,53 cm.
18. La longueur de la planche de bois est environ de 67,92 cm.
section
3.3
La loi des sinus et la loi des cosinus
Page 189
Problème
La distance qui sépare le point A du point B est environ de 137,69 m.
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
61
Page 190
Activité 1
a. L’observation de Michèle est exacte car, dans le triangle ABC,
83° → 2,25 cm, 62° → 2 cm et 35° → 1,3 cm, et dans le triangle DEF,
107° → 2,35 cm, 41° → 1,6 cm et 37° → 1,3 cm.
b. Les égalités sont fausses (la propriété fondamentale des proportions n’est pas respectée).
c. Non, car les deux exemples mentionnés infirment cette conjecture.
Page 191
Activité 1 (suite)
d. L’observation de Félix-Olivier est exacte, car dans le triangle ABC, sin 83° 0,99, sin 62° 0,88 et sin 35° 0,57
et dans le triangle DEF, sin 107° 0,96, sin 41° 0,66 et sin 32° 0,53.
e. Les égalités sont vraies (la propriété fondamentale des proportions est respectée).
f. Oui, car les deux exemples mentionnés vont dans le sens de la conjecture.
2) 0,5 et 0,17.
g. 1) 0,26 et 0,26.
3) 0,71 et 0,71.
4) 0,87 et 0,87.
5) 1,00 et 0,94.
h. 1) Non, car les résultats précédents montrent qu’il y a plusieurs angles dont le sinus est inférieur ou égal à celui d’un angle
de plus petite mesure.
2) Oui, car les résultats précédents ne contiennent aucun contre-exemple qui infirmerait l’observation de John.
Page 192
Activité 2
a. 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
sin2 10° cos2 10° 1
sin2 30° cos2 30° 1
sin2 45° cos2 45° 1
sin2 60° cos2 60° 1
sin2 90° cos2 90° 1
2) La valeur de l’expression sin2 x cos2 x est toujours égale à 1.
m
b. 1) cos B a ⇒ m a cos B
c. Pour passer de l’étape
Pour passer de l’étape
Pour passer de l’étape
Pour passer de l’étape
Pour passer de l’étape
1
2
3
4
5
2) sin A à l’étape
à l’étape
à l’étape
à l’étape
à l’étape
h
⇒ b h sin A
b
3) cos A n
⇒ b n cos A
b
, substituer c n à m.
, substituer b sin A à h et b cos A à n.
4 , élever chacune des expressions entre parenthèses au carré.
5 , effectuer une mise en évidence simple de b2.
6 , substituer 1 à l’expression sin2 x cos2 x.
2
3
d. Il faut connaître soit la valeur des trois côtés d’un triangle, ou la valeur d’un des angles ainsi que la valeur des côtés qui
forment cet angle.
e. 1) arc cos
a2 b 2 c 2
A
–2bc
2) arc cos
b 2 a2 c 2
B
–2ac
3) arc cos
c 2 a2 b 2
C
–2ab
Page 193
Technomath
a. 1)
62
Rapport
Valeur du rapport d’après l’écran 3
Valeur du rapport d’après l’écran 4
m AC
sin B
5,77
5,52
m AB
sin C
5,77
5,51
m
BC
sin A
5,77
5,51
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
2) Le rapports de la mesure de chacun des côtés d’un triangle et du sinus de l’angle opposé à chacun de ses côtés
sont égaux.
b. 1) Oui, la conjecture s’applique.
2) Oui, la conjecture s’applique.
Page 195
Mise au point 3.3
1. a) 7,93
b) 15,35
c) 25,73
d) 4,84
e) 108,21
f ) 113,77
2. a) 52,31°
b) 112,83°
c) 108,21°
d) 3,61 cm
e) 6,66 cm
f ) 95,03°
Page 196
Mise au point 3.3 (suite)
3. a) 13,34 cm2
b) 5,23 cm2
c) 35,09 cm2
d) 366,86 m2
4. a) 1) Vraie.
2) Fausse.
3) Vraie.
b) 1) Le sinus d’un angle et celui de son supplément sont équivalents.
2) Le cosinus d’un angle et celui de son supplément sont de signes contraires.
3) La tangente d’un angle et celle de son supplément sont de signes contraires.
5. 30,14 cm2
Page 197
Mise au point 3.3 (suite)
6. a) 3,82 cm
b) 4,47 cm
7. a) m DB 4,59 cm et m AC 6,55 cm.
b) m DB 8,58 cm et m AC 6,24 cm.
8. 3,5 cm
Page 198
Mise au point 3.3 (suite)
9. a) Les murs originaux du fort mesurent respectivement environ 91,44 m, environ 91,44 m et environ 125,89 m.
b) La superficie initiale du fort est environ de 4174,91 m2
10. a) La mesure de l’angle d’élévation est environ de 24,75°.
b) L’alpiniste se trouve à environ 1343,67 m du sommet.
11. a) 1) L’angle d’inclinaison de la benne est environ de 29,74°.
2) La longueur de la partie hydraulique est environ de 0,94 m.
b) La longueur de la benne est environ de 3,34 m.
Page 199
Mise au point 3.3 (suite)
12. La distance entre les centres des deux atomes d’hydrogène est environ de 151,56 pm.
13. a) La distance est environ de 20,37 m.
b) La distance est environ de 13,5 m.
Page 200
Mise au point 3.3 (suite)
14. a) 1) La distance entre les deux avions est environ de 368,64 km.
2) La distance entre les deux avions est environ de 569,85 km.
b) 1) L’angle formé par la trajectoire de vol des deux avions mesure 55,2°.
2) L’angle formé par la trajectoire de vol des deux avions mesure 62,5°.
c) 1) La distance entre les deux villes est environ de 2585,38 km.
2) Les angles mesurent respectivement 55°, environ 58,81° et environ 66,19°.
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
63
15. a) 1) Le segment qui relie le centre de la poulie 1 au centre de la poulie 2 mesure 405 cm.
2) L’angle formé par les segments qui relient le centre de la poulie 1 au centre de la poulie 4 ainsi que le centre de
la poulie 4 au centre de la poulie 3 mesure environ 29,74°.
b) Les mesures trouvées en a) deviennent respectivement 10 65 cm et 30°.
Page 201
Mise au point 3.3 (suite)
16. La distance qui sépare les yeux de la personne et la pièce de monnaie est environ de 4,03 m.
17. a) 49,55 m
b) ∠ ADC 54,05°, ∠ DAC 78,62° et ∠ DCA 47,33°.
18. L’actuelle propriétaire a tort, car le côté AB de ce terrain mesure environ 48,32 m.
RUBRIQUES PARTICULIÈRES
3
Page 203
Chronique du passé
1. a) 1) 90°
2) 90°
3) 90°
b) La mesure d’un angle inscrit dans un cercle dont les côtés interceptent un diamètre est toujours égale à 90°.
2. a) m AE m CE m BE m DE
b) 2,5 cm
3. a) a b c . La loi d’al-Kashi correspond à la relation de Pythagore.
b) Angle A : 49,11° ; angle B : 70,89° ; m BC 321 cm ou 13,75 cm.
c) ∠ BAC 44,42°, ∠ ABC 57, 12° et ∠ BCA 78,46°.
2
2
2
Page 205
Le monde du travail
1. La mesure du rayon du cercle qui supporte l’arc AB est environ de 68,17 m.
2. a) La mesure de chacun des cylindres hydrauliques est environ de 3,8 m.
b) 1) La mesure de l’angle formé par les deux cylindres est environ de 39,22°.
2) L’inclinaison du segment qui relie les points d’attache 1 et 2 est environ de 6,24°.
Page 206
Vue d’ensemble
1. a) 3,75 cm
d) 4,91 cm
b) 20,24 cm
e) 2,27 cm
c) 0,58 cm
f ) 7,98 cm
2. a) x 82° et y 41°.
d) x 42° et y 134°.
b) x 47° et y 73,5°.
e) x 26° et y 32°.
c) x 84° et y 17°.
f ) x 40° et y 124°.
Page 207
Vue d’ensemble (suite)
3. a) 4,84 cm
d) 3 cm
b) 5,15 cm
e) 4,75 cm
c) 4,5 cm
f ) 5,76 cm
4. a) x 68,46 et y 3,33.
d) x 3,13 et y 42,04.
b) x 4,27 et y 3,09.
e) x 76,53 et y 63,06.
c) x 130,62 et y 2,33.
f ) x 28,96 et y 104,48.
64
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Page 208
Vue d’ensemble (suite)
5. a)
1
76,74°,
2
129,91° et
3
153,35°.
b)
1
121,37°,
2
125,17° et
3
113,46°.
6. a) 2,46 cm
b) 2,26 cm
c) 3,51 cm
7. a) 105°
b) 135°
c) 75°
d) 30°
8. a) 66°
b) 74°
c) 126°
d) 94°
Page 209
Vue d’ensemble (suite)
9. a) ∠ DFE 65°, ∠ DEF 57,5° et ∠ FDE 57,5°.
10. a) 7,15 cm
b) ∠ DFE 62,5°, ∠ DEF 68° et ∠ FDE 49,5°.
b) 9,19 cm
c) 4,13 cm
d) 8,15 cm
11. 150,75°
Page 210
Vue d’ensemble (suite)
12. a) 106,26°
b) 77,88°
13. La hauteur de l’arbre est environ de 17,04 m.
14. a) 5,8 cm
b) 11,55 cm
c) 4,94°
15. a) La mesure de l’arc rouge est environ de 3,61 cm.
b) La mesure de l’arc rouge est environ de 7,03 cm.
c) La mesure de l’arc rouge est environ de 2,24 cm.
La mesure de l’arc vert est environ de 3,49 cm.
La mesure de l’arc vert est environ de 8,05 cm.
La mesure de l’arc vert est environ de 2,27 cm.
Page 211
Vue d’ensemble (suite)
16. Les mesures possibles de l’angle
1
sont comprises entre 37,6° et 56°.
17. a) La mesure minimale de l’angle DEB est environ de 26,38°.
b) N’importe quelle longueur de pagaie conviendra, car la distance minimale entre l’extrémité de la pagaie et le deuxième
kayakiste sera environ de 106,07 cm.
18. a) 1) 3,49 m
b) 1) 86,8°
2) 3,99 m
3) 3,03 m
2) 87,82°
3) 80,71°
Page 212
Vue d’ensemble (suite)
19. a) La distance entre les balises B et F est environ de 159,66 m.
b) L’aire totale du terrain est environ de 19 225,22 m2.
20. Le volume de minerai que le camion peut transporter est de 64,27 m3.
21. La montgolfière se déplace à une vitesse d’environ 53,44 km/h.
22. a) La distance qui sépare le lampadaire d’un des coins de la maison est environ de 18,25 m.
b) La mesure associée à x est environ de 31,8°.
Page 213
Vue d’ensemble (suite)
23. La distance qui sépare le point A du point B est environ de 7,37 m.
24. a) 1) La distance entre les monuments 1 et
2) La distance entre les deux monuments
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
2
3
est environ de 20,52 m.
et 4 est environ de 51,96 m.
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
65
b) 1) L’angle d’observation mesure 40°.
2) L’angle d’observation mesure 20°.
c) La distance qui sépare les deux personnes est environ de 129,66 m.
Page 214
Banque de problèmes
1. Le prolongement du segment qui mesure 55 m passe par le centre du cercle qui supporte l’arc AB.
Déterminer la hauteur à partir de ce segment.
902 352 82,92 m
Déterminer la hauteur entre le sol et le segment de 55 m.
902 802 41,23 m
La hauteur de l’hôtel est environ de 139,15 m.
2. Déterminer la distance x entre les centres de la roue de rayon 0,2 m et de la roue de rayon 0,4 m à l’aide de la loi
des cosinus.
x2 2,22 2,52 2 2,2 2,5 cos 20° ⇒ x 0,87 m
Déterminer la longueur de chacune des parties droites de la chaîne à l’aide de la relation de Pythagore.
2,19 m, 2,495 m et 0,79 m.
Déterminer la mesure des angles formés par les centres des roues à l’aide de la loi des sinus.
Roue de rayon 0,4 m : 60,1° et roue de rayon 0,2 m : 99,9°.
Déterminer la mesure, en degrés, de l’arc qui supporte la chaîne sur chacune des roues.
Roue de rayon 0,2 m : 360° 95,22° 113,78° 99,9° 51,1°
Roue de rayon 0,4 m : 360° 84,78° 93,44° 20° 161,78°
Roue de rayon 0,55 m : 360° 86,56° 66,22° 60,1° 147,12°
Déterminer les longueurs de la chaîne x1, x2 et x3 sur l’arc de chaque roue.
51,1°
x
Roue de rayon 0,2 m : 360° 2 π 1 0,2 ⇒ x 0,18 m
x
161,78°
Roue de rayon 0,4 m : 360° 2 π 2 0,4 ⇒ x 1,13 m
147,12°
x
3
Roue de rayon 0,55 m : 360° 2 π ⇒ x 1,41 m
0,55
La longueur totale de la chaîne est environ de 8,2 m.
Page 215
Banque de problèmes (suite)
3. Déterminer la mesure du segment CO.
m CO 62 22 5,65 cm.
Déterminer la mesure de l’angle COD.
A
CD
1
m ∠ COD 2 arc sin 3 38,94°
Déterminer la mesure du segment AB.
F
G
Déterminer la mesure de l’angle COG.
360° 5 38,94°
m ∠ COG 33,06°
5
B
O
E
sin 73,47°
sin 33,05°
⇒ x 6,83 cm, où x représente la m AB.
x
12
66
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
4. Déduire tous les angles du cadre du tandem et calculer, à l’aide de la loi des sinus, les mesures des tiges du cadre.
2
2
65,27 cm
3
8 cm
8 cm
65,27 cm
1
23,75 cm
51,76 cm
75°
54,29 cm
25°
25°
80°
100°
100°
64,02 cm
50°
75°
105°
75°
55°
55,35 cm
80°
28,01 cm
80°
50 cm
55°
75°
25°
55,35 cm
1
65,27 cm
3
65,27 cm
La longueur minimale de tiges de fibres de carbone est environ de 609,62 cm.
Page 216
Banque de problèmes (suite)
5. Deux dents consécutives forment un arc de 18° (360° 20).
E
D
A
C
B
Les mesures du triangle ABC sont indiquées ci-contre.
Déterminer la mesure du segment BC.
m BC 2 18° 36°
m DE 4 18° 72°
m CD 3 18° 54°
A
54°
110 mm
72° 36°
54°
2
54°
m CD
m ∠ B 2 2 27°
m∠A
99°
C
27°
m ∠ C 180° 54° 27° 99°
B
m BC
110 mm
sin 54°
sin 99°
m BC 90,1 mm
L’angle au centre COB 36°.
Déterminer la mesure du rayon de la lame.
O
sin 36°
sin 72°
x ⇒ x 145,79 mm
90,1
La machiniste a tort, car la mesure du rayon de la lame est environ de 145,79 mm.
A
36°
72°
C
90,1 mm
B
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
67
6. Déterminer la mesure de l’arc BC. Celle-ci correspond au double
de la mesure de l’angle BOA.
1
m ∠ BOA arc cos 3 70,53°
Donc, la mesure de l’arc BC est environ de 141,06°.
G
B
Déterminer la mesure de l’arc FI. Celle-ci correspond au double
de la différence entre la mesure des angles BOA et BOF.
2
70,53° arc cos 3 22,33°
Donc, l’arc FI mesure environ 44,68°.
A
D
E
F
H
I
O
C
7. L’ébéniste a tort. Le segment AE mesure 1 m et ce segment correspond à une corde plus petite que le diamètre. Puisque
le segment BD est un diamètre, la mesure du segment BD est plus grande que celle du segment AE. Le diamètre de la table
est supérieur à 1 m.
Page 217
Banque de problèmes (suite)
8. Déterminer la mesure du segment BC.
m BC 4 cm
Déterminer la mesure de l’angle 3 à l’aide de la loi des cosinus.
m∠
3
arc cos
8,62 10,52 122
44,32°
–2 10,5 12
Déterminer la mesure du segment AD à l’aide de la loi des cosinus.
m AD 3,52 10,52 2 3,5 10,5 cos 44,32 8,36 cm
Déterminer la mesure de l’angle ADC à l’aide de la loi des sinus.
sin x
sin 44,32°
10,5 ⇒ x 61,33°, où x représente la m ∠ ADC.
8,36
Puisqu’il s’agit d’un angle obtus : m ∠ ADC 119,67°
m ∠ ADE 61,33°.
m ∠ 4 61,33°, car cet angle intercepte le même arc que l’angle ADE.
Déterminer la mesure de l’angle 1 à l’aide de la loi des sinus.
sin x
sin 61,33°
6,5 ⇒ x 41,54°, où x représente la m ∠ 1 .
8,6
Déterminer la mesure de l’arc BD.
119,67° x
44,32 ⇒ x 31,03°, où x représente la m BD.
2
Déterminer la mesure de l’angle
2
.
119,67 31,03
m∠ 2 75,35°
2
La personne B a raison, car la démarche mathématique ci-dessus permet de déterminer la mesure des angles
1
à
4
.
9. Déterminer le rayon x du cercle qui supporte les arcs formant les lamelles.
sin 20°
sin 80°
x ⇒ x 28,79 mm
10
Déterminer la mesure x du segment qui relie deux pointes de lamelles consécutives.
sin 72°
sin 36°
28,79 ⇒ x 17,79 mm
x
Chaque arc formé par deux pointes de lamelles sur le pourtour du diaphragme mesure 60°.
Le rayon du diaphragme est de 17,79 mm et le segment CF mesure environ 35,59 mm.
68
Vision 3 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 1
© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée