Équations de l`électromagnétisme
publicité
Équations de l’électromagnétisme PC Lycée Dupuy de Lôme E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 1 / 23 1 2 3 4 5 6 Conservation de la charge Équation locale Conséquence en régime stationnaire Champ électromagnétique Force de Lorentz Équations de Maxwell Retour à la statique Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges Bilan énergétique à partir des équations locales Équation locale de Poynting Symétries L’A.R.Q.S. Phénomène de propagation Conditions de l’A.R.Q.S. Équations dans l’ARQS Conservation de la charge ARQS magnétique Domaine d’étude E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 2 / 23 Conservation de la charge Équation locale En tout point de l’espace, on considère : Une densité volumique de charges ρ(x, t) Ð → Une densité de courants j = j(x, t).Ð e→ x On effectue un bilan de charge pendant une durée dt sur un volume délimité par un cylindre de section S situé entre les abscisses x et x + dx. b ∂ρ(x, t) ∂j(x, t) + =0 ∂t ∂x Loi de conservation de la charge Admettant qu’il n’y a ni création ni disparition de charges, E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) ∂ρ(M, t) Ð → + div j (M, t) = 0 ∂t Électromagnétisme 3 / 23 Conservation de la charge Conséquence en régime stationnaire Conservation du flux En régime stationnaire, le vecteur densité de courant est conservatif b Ð → Ð→ ∯ j ⋅ dS = 0 Cette propriété permet de retrouver la loi de nœuds E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 4 / 23 Champ électromagnétique Force de Lorentz Force de Lorentz Dans un référentiel R : Une charge ponctuelle q en M , ayant une vitesse Ð → v (M, t) subit de la part du champ électromagnétique Ð → Ð → [ E (M, t), B (M, t)] une force Ð → Ð → Ð → → f = q. [ E (M, t) + Ð v (M, t) ∧ B (M, t)] Force de Laplace Ð → Un élément dl d’un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I, Ð → avec dl orienté dans le sens conventionnel pris pour I, et placé dans une Ð → zone de champ magnétique B subit une force élémentaire Ð→ Ð → Ð → dF = I dl ∧ B E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 5 / 23 Champ électromagnétique Équations de Maxwell Le milieu a des propriétés électromagnétiques (permittivité ǫ0 et de perméabilité µ0 ) assimilables à celles du vide. M est caractérisé par sa densité volumique de charges ρ et sa densité Ð → de courants j Équations de Maxwell Ð → ρ(M, t) div E (M, t) = ǫ0 M-Gauss M-Flux M-Faraday M-Ampère E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → div B (M, t) = 0 Ð → → ∂B Ð→Ð rot E (M, t) = − (M, t) ∂t Ð → ⎡ ⎤ ⎢Ð ⎥ → ∂E → Ð→Ð ⎥ rot B (M, t) = µ0 ⎢ (M, t) j (M, t) + ǫ 0 ⎢ ⎥ ∂t ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Électromagnétisme Ð → Ð → 6 / 23 Champ électromagnétique Éq M-Gauss Éq M-Faraday Retour à la statique Cas statique Ð → ρ div E = ǫ0 Ð → Ð→ Qint ∯ E ⋅ dS = ǫ0 → Ð → Ð→Ð rot E = 0 ÐÐ→ Ð → E = −gradV Cas général Ð → ρ div E = ǫ0 Ð → Ð→ Qint ∯ E ⋅ dS = ǫ Ð → 0 → ∂B Ð→Ð (M, t) rot E = − ∂t ÐÐ→ Ð → E ≠ − gradV Passage aux régimes variables Dans le cas des régimes variables, le champ électrique ne dérive pas d’un potentiel scalaire. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 7 / 23 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de → charge associée aux porteurs de charges de vitesse Ð v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est La puissance de cette force est On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 23 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de → charge associée aux porteurs de charges de vitesse Ð v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est Ð → Ð → → Ð → d f = ρ.dτ.( E + Ð v ∧ B) La puissance de cette force est On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 23 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de → charge associée aux porteurs de charges de vitesse Ð v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est Ð → Ð → → Ð → d f = ρ.dτ.( E + Ð v ∧ B) La puissance de cette force est ⎤ ⎡ ⎥ ⎢Ð Ð → Ð Ð → Ð Ð → Ð ⎥ ⎢→ Ð → Ð → → → → dP = ρ.dτ.( E + v ∧ B ). v = ρ.dτ. ⎢ E . v + ( v ∧ B ). v ⎥ ⎢ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 23 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges On considère un volume élémentaire dτ avec une densité volumique ρ de → charge associée aux porteurs de charges de vitesse Ð v. La force de Lorentz appliquée à ces porteurs est Ð → Ð → → Ð → d f = ρ.dτ.( E + Ð v ∧ B) La puissance de cette force est ⎤ ⎡ ⎥ ⎢Ð Ð → Ð Ð → Ð Ð → Ð ⎥ ⎢→ Ð → Ð → → → → dP = ρ.dτ.( E + v ∧ B ). v = ρ.dτ. ⎢ E . v + ( v ∧ B ). v ⎥ ⎢ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0 On en déduit : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → → Ð →Ð → dP = ρ.Ð v . E .dτ = j . E .dτ Électromagnétisme 8 / 23 Aspects énergétiques Puissance cédée aux porteurs de charges Puissance volumique cédée aux charges La puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux charges en un point M a pour expression → Ð →Ð Pv = ∭V j . E -b Pour un volume V quelconque : →Ð → P(Ð = E , B )→charges ∭ V E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme → Ð →Ð j . E .dτ 9 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit D’après M-Ampère : Donc PV = → → Ð→Ð → Ð → → Ð→ → Ð Comme rotÐ a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit → Ð →Ð PV = j . E D’après M-Ampère : Donc PV = → → Ð→Ð → Ð → → Ð→ → Ð Comme rotÐ a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit → Ð →Ð PV = j . E Ð → → ∂E Ð → 1 Ð→Ð D’après M-Ampère : j = .rot B − ǫ0 . µ0 ∂t Donc PV = → → Ð→Ð → Ð → → Ð→ → Ð Comme rotÐ a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit → Ð →Ð PV = j . E Ð → → ∂E Ð → 1 Ð→Ð D’après M-Ampère : j = .rot B − ǫ0 . µ0 ∂t Ð → → Ð → Ð → ∂E 1 Ð→Ð Donc PV = . (rot B ) . E − ǫ0 . E . µ0 ∂t Ð → Ð → Ð → → Ð→Ð Ð → → Comme rot → a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit → Ð →Ð PV = j . E Ð → → ∂E Ð → 1 Ð→Ð D’après M-Ampère : j = .rot B − ǫ0 . µ0 ∂t Ð → → Ð → Ð → ∂E 1 Ð→Ð Donc PV = . (rot B ) . E − ǫ0 . E . µ0 ∂t Ð → Ð → Ð → → Ð→Ð Ð → → Comme rot → a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) → Ð→Ð → Ð → Ð → 1 Ð 1 ∂E 2 . ( B .rot E − div ( E ∧ B )) − ǫ0 . µ0 2 ∂t Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t PV = E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales La puissance volumique cédée aux charges s’écrit → Ð →Ð PV = j . E Ð → → ∂E Ð → 1 Ð→Ð D’après M-Ampère : j = .rot B − ǫ0 . µ0 ∂t Ð → → Ð → Ð → ∂E 1 Ð→Ð Donc PV = . (rot B ) . E − ǫ0 . E . µ0 ∂t Ð → Ð → Ð → → Ð→Ð Ð → → Comme rot → a ⋅ b =Ð a ⋅ rot b − div ( b ∧ Ð a) → Ð→Ð → Ð → Ð → 1 Ð 1 ∂E 2 . ( B .rot E − div ( E ∧ B )) − ǫ0 . µ0 2 ∂t Ð → → ∂B Ð→Ð D’autre part, comme rot E = − , on en déduit ∂t Ð → Ð → ⎛ E ∧ B ⎞ ∂ B2 E2 PV = −div + ǫ0 . ) ( − 2 ⎝ µ0 ⎠ ∂t 2.µ0 PV = E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales Les équations locales permettent d’arriver à la relation suivante Ð → Ð → ⎛E ∧ B⎞ E2 ∂ B2 ( + ǫ0 . ) = −PV − div ∂t 2.µ0 2 ⎝ µ0 ⎠ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ uem Ð → Π Cette relation s’interprète mieux sous sa forme intégrale ∭ P ∈V Ð → Ð → ⎛E ∧ B⎞ ∂uem .dτ = − ∭ PV .dτ − ∭ div .dτ ∂t P ∈V P ∈V ⎝ µ0 ⎠ ∭P ∈V Ð → Ð → → E∧B Ð ∂uem .dτ = − ∭ PV .dτ − ∯ .d S ∂t P ∈V M ∈S µ0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 23 Aspects énergétiques Bilan énergétique à partir des équations locales Vecteur de Poynting La densité surfacique de flux d’énergie électromagnétique est caractérisée par le vecteur de Poynting Ð → Ð → Ð → E∧B Π= µ0 Énergie électromagnétique volumique On associe au champ électromagnétique une énergie volumique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) uem = ǫ0 2 1 .E + .B 2 2 2.µ0 Électromagnétisme 12 / 23 Aspects énergétiques Équation locale de Poynting On peut rappeler l’expression d’un bilan énergétique en conduction thermique ∂u Ð → + div j = Pcree ∂t Équation locale de Poynting Le bilan énergétique est traduit au niveau local par la relation : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → ∂uem + div Π = −Pv ∂t Électromagnétisme 13 / 23 Symétries Symétrie pour la distribution de charge et courants Les plans de symétrie ou d’anti-symétrie doivent l’être à la fois pour les distributions de charges et de courants Les propriétés de symétrie sont alors identiques à celles énoncées dans le cas statique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 14 / 23 L’A.R.Q.S. Phénomène de propagation Ð → Considérons un champ E = E(x, t).Ð e→z Il est possible de trouver une équation aux dérivées partielles vérifiée par E(x, t) à partir des équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 15 / 23 L’A.R.Q.S. Phénomène de propagation Ð → Considérons un champ E = E(x, t).Ð e→z Il est possible de trouver une équation aux dérivées partielles vérifiée par E(x, t) à partir des équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday. b ∂2E ∂2E − µ .ǫ . =0 0 0 ∂x2 ∂t2 Phénomènes de retard Le champ électrique est régit par une équation de propagation. Les interactions ne seront donc pas des phénomènes instantanés, les variations des caractéristiques des sources se ressentant avec un certain retard en un point M de l’espace. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 15 / 23 L’A.R.Q.S. Conditions de l’A.R.Q.S. ARQS Pour des régimes lentement variables, on pourra négliger les temps propagation devant les temps caractéristiques des évolutions imposées par les sources. Or la propagation avec une vitesse de l’ordre de grandeur de la célérité c. Les distances seront telles que pour une période T des variations : L ∆t = << T c Condition de l’ARQS On pourra considérer l’ARQS si -b E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) L << c.T Électromagnétisme 16 / 23 L’A.R.Q.S. Conditions de l’A.R.Q.S. Ordres de grandeur de l’ARQS Fréquence Longueur d’onde EDF : N = 50 Hz λ = 6000 km Ordinateur : N = 1 GHz λ = 30 cm E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme Dimensions max. 17 / 23 L’A.R.Q.S. Conditions de l’A.R.Q.S. Ordres de grandeur de l’ARQS Fréquence Longueur d’onde Dimensions max. EDF : N = 50 Hz λ = 6000 km rmax = 100 km Ordinateur : N = 1 GHz λ = 30 cm rmax = 1 cm E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 23 Équations dans l’ARQS Ð → j (x , t) Pro pa g a ti o n Conservation de la charge Ð → j (x + dx, t) Densité de courant à flux conservatif On néglige les retards dus à la propagation dans l’A.R.Q.S., ce qui a pour conséquence Cons. de la charge ∂ρ Ð → div j = 0 ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→ =0 ∂t E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 18 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique Domaine d’étude ARQS magnétique Dans le cadre de l’ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. Ð → → ∂E Ð → Ð→Ð rot B = µ0 . j + µ0 .ǫ0 . ∂t Effet Effet E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique Domaine d’étude ARQS magnétique Dans le cadre de l’ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. Ð → → ∂E Ð → Ð→Ð rot B = µ0 . j + µ0 .ǫ0 . ∂t Effet des courants Effet des charges E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique Domaine d’étude ARQS magnétique Dans le cadre de l’ARQS magnétique, les effets des distributions de courant sont très supérieures aux effets des distributions de charge. Ð → → ∂E Ð → Ð→Ð rot B = µ0 . j + µ0 .ǫ0 . ∂t Effet des courants Effet des charges Courants de conduction et de déplacement Dans le cadre de l’ARQS magnétique, les courants de déplacement sont négligeables devant les courants de conduction. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → ∂E Ð → ǫ0 . ≪ j ∂t Électromagnétisme 19 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique Équations de Maxwell Toutes les grandeurs dépendent des coordonnées du point M ainsi que du temps. Équations de Maxwell dans l’ARQS magnétique Ð → ρ M-Gauss div E = ǫ0 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → div B = 0 M-Flux M-Faraday M-Ampère Ð → → ∂B Ð→Ð rot E = − ∂t → Ð → Ð→Ð rot B = µ0 . j Électromagnétisme 20 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique M-Ampère Expressions de B → Ð → Ð→Ð rot B = µ0 . j On retrouve une équation locale identique au cas statique. Théorème d’Ampère dans l’ARQS magnétique Le calcul des champs magnétique sera analogue au cas particulier de la magnétostatique, en remplaçant I par i(t) -b E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) → Ð → Ð ∮ B ⋅ dl = µ0 .ientr. (t) Électromagnétisme 21 / 23 Équations dans l’ARQS ARQS magnétique Aspect énergétique Énergie magnétique Dans le cadre de l’ARQS magnétique, la forme d’énergie magnétique sera prédominante devant la forme d’énergie électrique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) uem ≡ 1 .B 2 2.µ0 Électromagnétisme 22 / 23 Équations dans l’ARQS Conducteurs dans l’ARQS magnétique ARQS magnétique Ð → ρ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪L’équation de Maxwell-Gauss : div E = ǫ 0 On part de ⎨ Ð → Ð → ⎪ ⎪ La loi d’Ohm locale : j = γ. E ⎪ ⎩ d’écrire Ð → γρ div j = ǫ0 , ce qui permet Ð → ∂ρ Or l’équation locale de conservation de la charge est div j + = 0 ce qui ∂t donne ∂ρ γ ρ+ =0 ǫ0 ∂t ǫ0 on en déduit la loi d’évolution de la charge dans le En posant τ = γ conducteur t0 − t ρ(t) = ρ0 .e τ Or pour les conducteurs, γ > 104 ce qui donne τ < 10−14 s. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 23 / 23
